2. En un tanque entra y sale agua a razón de 10 litros por
minuto. ¿Cuánto de agua salió en 3 minutos? ¿Cuánto
de agua ingreso en 2 minutos?
Buscando la solución
a)Salió agua durante 3 minutos: (+10) . (-3) = -30
b)Ingresó agua durante 2 minutos: (+10) . (+2) = +20
Observamos que:
Si los números enteros tienen igual signo, el
resultado es positivo.
Pero si tienen distinto signo, el resultado es
negativo.
Multiplicación en Z
Situación Problemática No. 1
3. 3
Situación Problemática 2
Cada vez que va al cine gasta 6 euros
(a) (–7) ·(+ 9) = – 63
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número
entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos
de los factores.
Otros ejemplos:
– 6
(c) (– 13) · (+4)= –52
(b) (+12) · (–12) = –144
Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha
gastado después de haber ido tres veces?
Va tres veces + 3
Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18
Gráficamente:
0 +6 +12–24 –18 –12 –6
–6–6 –6
4. 4
Hay cuatro posibilidades:
(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63
(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63
Regla de los signos:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.Observa:
2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo.
El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.
(a) (+5) · (– 1) = –55
Otros ejemplos:
(b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27
Recuerda en la multiplicación
de números enteros:
7. (+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3
Pueden darse cuatro casos:
(+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8
(–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7
(–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6
Regla de los signos:
+ : + = +
+ : – = –
– : + = –
– : – = +
Es la misma
que para la
multiplicación
Observación: El paréntesis es necesario
cuando se divide por un número negativo.
En cualquier otro caso se puede obviar.
8.
9. 9
PROPIEDADES DE
LA
MULTIPLICACIÓN
EN Z
CONMUTATIVA
El producto de dos números
enteros no varía cuando se cambia
el orden de los factores.
(– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27
(+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48
DISTRIBUTIVA:
El producto de un número entero por
una suma es igual a la suma
de los productos del número entero
por cada uno de los sumandos
–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7
Elemento Neutro de la
multiplicación es el 1.
a.1 = a
Elemento Absorbente de la
Multiplicación es el 0.
a.0=0
ASOCIATIVA:
La suma de tres números enteros
no varía cuando
se asocian los términos de modos
distintos
[10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) +
(– 2)]
10. 10
Operaciones combinadas. Resumen
Resumimos con los siguientes casos:
–12 + (–3) · (+4) + (–9)
[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)
–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]
[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)]
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Observa que en todos los casos
hay los mismos números y operaciones.
Cambia la situación de los paréntesis
= –12 + (–12) + (–9) = –33
= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69
= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3
= –15 · (–5) = 75
12. 12
Resolución de problemas
Tantear para comprender mejorPrimero:
Hacer una tablaSegundo:
Comprobación.Tercero:
La suma es: –4 + (–15) = –19.
Que son las condiciones requeridas.
No puede ser, pues su producto debe ser 60.
¿Por qué no valdrían dos números positivos?
Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290.
¿Has advertido que
para que el producto sea
60, los dos números deben
ser negativos?
Negativos que sumen 19 1, 18 2, 17 3, 16 4, 15 5, 14 6, 13
Negativos de producto 60 1, 60 2, 30 3, 20 4, 15 5, 12
Luego, los números buscados son –4 y –15.
Su producto vale: (–4) · (–15) = 60
13. 13
Resolución de problemas
800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725
Leemos el enunciadoPrimero: Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?
Representamos gráficamente.Segundo:
+25 durante 15 min.
-30
Hacer los cálculos respectivos.Tercero:
Comprobamos.Cuarto:
Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)
En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.
Quedan entonces: 800 – 75 = 725.
Hay 800 l
Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior
un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por
otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el
depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
