Este documento presenta información sobre la parábola como una sección cónica. Define la parábola, sus elementos clave como el vértice, foco y directriz, y explica cómo trazar una parábola. También proporciona las ecuaciones canónicas y generales de la parábola y presenta ejemplos para ilustrar cómo encontrar los elementos de una parábola a partir de su ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan sobre la naturaleza y propiedades geométricas y algebraicas de la parábola.

1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA
DE SANTA ELENA
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS
“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL SOBRE LA PARÁBOLA”
AUTORES:
Nivela Rosales Galo Alexander
Apolinario Zapata Nicole Alejandra
Suárez Rodríguez Rogelio Ernesto
Laínez Torres Estefany Elizabeth
CARRERA:
INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20
DOCENTE:
Ing. Carlos Malavé Carrera.
SANTA ELENA
Agosto 2015

2. Contenido
1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................3
1.1. OBJETIVOS................................................................................................................................3
1.2. JUSTIFICACIÓN.......................................................................................................................3
2. SECCIONES CÓNICAS.................................................................................................................4
3. ESQUEMA DE LAS CONICAS .................................................................................................4
3.1. PARÁBOLA.................................................................................................................................5
Definición:............................................................................................................................................5
3.1.1. Elementos de la parábola. .........................................................................................5
3.1.2. Trazado de una parábola...........................................................................................6
3.2. Ecuacióncanónica de la parábola....................................................................................7
3.3. Ecuación general de una parábola ................................................................................10
Ejemplo 1:....................................................................................................................................................11
Ejemplo 2:....................................................................................................................................................13
Ejemplo 3:....................................................................................................................................................13
3.4. DEMOSTRACIÓN DE PARÁBOLA...................................................................................15
BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................................18
INFORMACIÓN ADICIONAL:............................................................................................................18

3. 1. INTRODUCCIÓN
La parábola aparece en diferentes situaciones de la vida cotidiana y en
diversas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se
corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Se puede
apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos
una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se
puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.
1.1. OBJETIVOS
 Conocer y aprender lo que es secciones cónicas.
 Identificar los elementos que conforman la parábola.
 Aprender a graficar la parábola.
 Encontrar ecuaciones generales y canónicas de parábolas.
1.2. JUSTIFICACIÓN
La tradición indica que las secciones cónicas fueron descubiertas por
Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde
demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola
con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y
Eratóstenes.
Sinembargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge
en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las
matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a
secciones cónicas.
“Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado
por otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular
a la base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección
es paralelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que
se dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la sección
común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en
cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el
diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea recta que está
en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección
que el cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido
por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada
parábola.”
Apolonio de Perge:
Es Apolonio quien menciona que es un espejo parabólico refleja de forma
paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en

4. las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por
Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un
problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro
Sobre la cuadratura de la parábola.
2. SECCIONES CÓNICAS
Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un
cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono,
comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono
determina las distintas clases de cónicas. Además son sección cónica (o
simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que
no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e
hipérbolas.
3. ESQUEMA DE LAS CONICAS
LAS CÓNICAS
elipse parábola hipérbola
circunferencia

5. 3.1. PARÁBOLA
Definición:
Una parábola es un conjunto de todos los puntos P (x, y) en el plano R2
que equidistan de una recta fija L , llamada directriz; y de un punto fijo F0,
denominado foco que pertenece a la recta.
Parábola = {P (x, y) / d (P, F) = d (p, l)}
Una parábola es una curva con dos brazos abiertos cada vez más,
simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la
directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta
intersecta a la parábola se llama vértice.
3.1.1. Elementos de la parábola.
La parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son
básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación:
Eje de simetría: Es la recta que contiene al foco y es perpendicular a la
ecuación de la directriz.
Vértice (V): Se denomina vértice de la parábola al punto donde esta cambia
su monotonía. Es el punto que coincide con el eje focal (llamado también
eje de simetría).

6. Distancia focal o Parámetro (p): Indica la distancia entre el vértice y el
foco, así como entre el vértice y la directriz (ambas distancias son iguales)
se lo denota con la letra p.
Lado recto (LR): El segmento de la recta perpendicular al eje de simetría
que une dos puntos de la parábola y que contiene al foco se denomina lado
recto.
Foco (F): Es el punto fijo F, o el punto fijo de referencia que no pertenece
a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la
misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Es la recta fija d. Es la línea recta perpendicular al eje focal
que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la
parábola.
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera,
pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
3.1.2.Trazado de una parábola
Existen numerosos métodos para el trazado de la parábola conocidos sus
elementos principales. Sólo se explicará el trazado de la cónica usando su
definición como lugar geométrico por la sencillez del procedimiento.
Como los puntos equidistan de la directriz y del foco, se trazan paralelas a
la directriz a una distancia cualquiera y arcos con centro el foco y radio la
mencionada distancia hasta que corten a las rectas (Fig. 19). Estos
puntos (P1, P2) pertenecerán a la parábola por equidistar del foco y de la
directriz. Una vez dibujados los puntos, estos se unen entre sí a mano
alzada o bien mediante plantillas de curvas.

7. 3.2. Ecuación canónica de la parábola
Supongamos que F tiene coordenadas (0, 𝑝) y la recta 𝑙 tiene ecuación 𝑦 =
−𝑝 con 𝑝 > 0. Observe la gráfica.
Observe que 𝑑( 𝑃, 𝐹) = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2 y que 𝑑( 𝑃, 𝑙) = | 𝑦 + 𝑝|.
Igualando distancias y resolviendo:
𝑑( 𝑃, 𝐹) = 𝑑( 𝑃, 𝑙)
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2 = 𝑦 + 𝑝
(√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2)
2
= (𝑦 + 𝑝)2
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑝𝑦 + 𝑝2
= 𝑦2
+ 2𝑝𝑦 + 𝑝2
𝑥2
= 4𝑦𝑝
La ecuación de esta parábola, con vértice en el origen de coordenadas
𝑉(0,0) y foco en el punto 𝐹(0, 𝑝), es:
𝒙 𝟐
= 𝟒𝒚𝒑
Basándose en la deducción realizada,
existen otros tres casos elementales de
parábolas:
 Si el eje de simetría es vertical y el foco
está en el semieje negativo de las
ordenadas 𝐹(0, −𝑝), la ecuación es:
𝒙 𝟐
= −𝟒𝒚𝒑

8.  Si el eje de simetría es horizontal y el foco está en el semieje positivo
de las abscisas 𝐹(𝑝, 0) , la ecuación es:
𝒚 𝟐
= 𝟒𝒑𝒙
 Si el eje de simetría es
horizontal y el foco está en el
semieje negativo de las abscisas
𝐹(−𝑝, 0), la ecuación es:
𝒚 𝟐
= −𝟒𝒑𝒙
Suponga ahora que el vértice no es el origen, que tenemos 𝑉(ℎ, 𝑘), ahora
𝑑( 𝑃, 𝐹) = √(𝑥 − ℎ)2 + [ 𝑦 − (𝑘 + 𝑝)]2 y 𝑑( 𝑃, 𝑙) = 𝑦 − 𝑘 + 𝑝.
Igualando distancias y resolviendo:
𝑑( 𝑃, 𝐹) = 𝑑( 𝑃, 𝑙)
√(𝑥 − ℎ)2 + [ 𝑦 − (𝑘 + 𝑝)]2 = (𝑦 − 𝑘 + 𝑝)2
(√(𝑥 − ℎ)2 + [ 𝑦 − (𝑘 + 𝑝)]2)
2
= (𝑦 − 𝑘 + 𝑝)2
(𝑥 − ℎ)2
+ [(𝑦 − 𝑘) − 𝑝]2
= [( 𝑦 − 𝑘) + 𝑝]2
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
− 2𝑝( 𝑦 − 𝑘) + 𝑝2
= ( 𝑦 − 𝑘)2
+ 2𝑝( 𝑦 − 𝑘) + 𝑝2
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
La ecuación de esta parábola es:
(𝒙 − 𝒉) 𝟐
= 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
Y su gráfico sería:
 Una parábola con eje focal horizontal, será cóncava hacia la
derecha y su ecuación será:
(𝒚 − 𝒌) 𝟐
= 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)

9. Y su gráfico sería:
 Una parábola con eje focal horizontal, será cóncava hacia la
izquierda y su ecuación será.
(𝒚 − 𝒌) 𝟐
= −𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)
Y su gráfico sería:
Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto V (h, k), considere:

10. 3.3. Ecuacióngeneralde una parábola
Tendremos ecuaciones de la forma 𝐴𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 cuando es una
parábola horizontal o de la forma 𝐵𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 para una
parábola de forma vertical; siempre es posible reducirla a la forma canónica
de una parábola. Para ello, se completa un trinomio cuadrado perfecto en
la variable con término cuadrático y se manipula adecuadamente el otro
miembro de la ecuación. La ecuación general de la cónica será de la forma
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐹 = 0 con 𝐴 = 0 o 𝐵 = 0 pero no ambos.
3.3.1.Ecuaciónordinariade la parábola con vértice (h,k).
 Si p es positiva, la parábola se
abre hacia arriba.
 Si p es negativa, la parábola se
abre hacia abajo.
 Las ecuaciones ordinarias para las
parábolas paralelas al eje-y son:
(𝑥 − ℎ)2
= −4𝑝(𝑦 − 𝑘)

11.  Si p es positiva, la parábola se abre
hacia la derecha.
 Si p es negativa, la parábola se abre
hacia la izquierda.
 Las ecuaciones ordinarias para las
parábolas paralelas al eje- x son:
(𝑥 − ℎ)2
= −4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Ejemplo 1:
Determine la ecuación canónica de la parábola 2𝑥2
+ 8𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0.
Encuentre su vértice, su foco y la ecuación de su recta directriz.
Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la
ecuación anterior llevándola a la forma ordinaria.
1. Escribimos la ecuación:
2𝑥2
+ 8𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
2. Separamos a diferentes miembros la variable al cuadrado (𝑥) y la
variable lineal (𝑦) junto con el término independiente:
2𝑥2
+ 8𝑥 = −3𝑦 + 5
3. Aplicamos factor común:
2( 𝑥2
+ 4𝑥) = −3𝑦 + 5
4. Pasamos el 2 que está multiplicando a dividir al segundo miembro:
𝑥2
+ 4𝑥 = −
3
2
𝑦 +
5
2
5. Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos
miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se
complete el trinomio cuadrado perfecto:
𝑥2
+ 4𝑥 + 4 = −
3
2
𝑦 +
5
2
+ 4
6. Simplificamos:
𝑥2
+ 4𝑥 + 4 = −
3
2
𝑦 +
13
2
7. Factorizando resulta:
(𝑥 + 2)2
= −
3
2
(𝑦 −
13
3
)

12. 8. Se trata de una parábola con eje de simetría vertical y cóncava hacia
abajo y fuera del origen, según lo visto anteriormente:
(𝑥 − ℎ)2
= −4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Con lo cual se puede determinar que:
ℎ = −2
𝑘 =
13
3
9. Por lo tanto el vértice 𝑉(ℎ, 𝑘) tiene las coordenadas 𝑉 (−2,
13
3
)
10. Si 4𝑝 =
3
2
, entonces:
𝑝 =
3
2
×
1
4
=
3
8
11.Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de
p, es posible determinar la posición del foco, ya que este estará
alineado a la izquierda del vértice a una distancia p desde k, y con
la misma ordenada h, resultando:
𝐹(ℎ, 𝑘 − 𝑝)
𝐹 (−2,
13
3
−
3
8
)
𝐹 (−2,
95
24
)
12. La ecuación de la directriz se obtiene de 𝑦 = 𝑘 + 𝑝
𝑦 =
13
3
+
3
8
=
113
24
Resultando: 𝑦 −
113
24
= 0

13. Ejemplo 2:
Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (3,2) y el
foco en (5,2).
1. Escribimos los datos dados:
𝑉(3,2)
𝐹(5,2)
2. Analizando las coordenadas de vértice y foco, se observa que su
ordenada es común, por lo que se concluye que están alineados
horizontalmente y que el foco está a la izquierda del vértice. Dado
lo anteriormente, es posible afirmar que su ecuación tiene la forma:
( 𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
3. Siendo las coordenadas del vértice (ℎ, 𝑘), se sustituyen en la
ecuación y resulta:
(𝑦 − 2)2
= 4𝑝(𝑥 − 3)
4. En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco,
y esta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes.
𝑝 = 5 − 3
𝑝 = 2
5. Sustituyendo:
(𝑦 − 2)2
= 4(2)(𝑥 − 3)
(𝑦 − 2)2
= 8(𝑥 − 3)
Ecuación escrita en la forma ordinaria.
6. Resolviendo:
(𝑦 − 2)2
= 8(𝑥 − 3)
𝑦2
− 4𝑦 + 4 = 8𝑥 − 24
𝑦2
− 8𝑥 − 4𝑦 + 28 = 0
Ecuación escrita en la forma general.
Ejemplo 3:
Partiendo de la ecuación de la parábola 𝑦2
= −8𝑥, obtenga las
coordenadas del vértice, del foco, de los extremos del lado recto, así
como la longitud del mismo y además la ecuación de la directriz.

14. 1. De la gráfica se observa que el vértice tiene las coordenadas:
𝑉(0,0)
2. Y además de la gráfica y del análisis de la ecuación, se obtiene el
valor de la distancia focal:
Si 𝑦2
= −8𝑥 y 𝑦2
= −4𝑝𝑥
3. Entonces:
−4𝑝 = −8
𝑝 =
−8
−4
= 2
𝑝 = 2
4. De acuerdo a lo anterior y según el grafico de apoyo las
coordenadas del foco será:
𝐹(−2,0)
5. Ya que la directriz intersecta al eje de las abscisas en el punto
(2,0), su ecuación será:
𝑥 − 2 = 0
Las coordenadas de los extremos del lado recto, al estar alineadas con el
foco tienen la misma abscisa y sus ordenadas se obtienen sumando y
restando a la ordenada del foco, el doble de la distancia focal p:
𝑝 = 2.
6. Por lo que:
2𝑝 = 2(2) = 4
7. Ordenada del foco 𝑦 = 0
8. Extremo superior: (−2,0 + 4)

15. (−2, 4)
9. Extremo inferior (−2, 0 − 4)
(−2, −4)
10.La longitud del lado recto es 𝐿𝑅̅̅̅̅ = |4𝑝| por lo que entonces:
𝐿𝑅̅̅̅̅ = |4(2)|
𝐿𝑅̅̅̅̅ = 8
3.4. DEMOSTRACIÓN DE PARÁBOLA
EJERCICIO # 1
1) Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y foco son los puntos
(−4,3) y (−1,3), respectivamente. Hallar también la ecuación de su
directriz.

16. 1. Escribimos los datos:
𝑉(−4,3)
𝐹(−1,3)
2. Analizando las coordenadas de vértice y foco, se observa que su
ordenada es común, por lo que se concluye que están alineados
horizontalmente y que el foco está a la izquierda del vértice. Dado lo
anteriormente, es posible afirmar que su ecuación tiene la forma:
( 𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
3. Siendo las coordenadas del vértice (ℎ, 𝑘), se sustituyen en la
ecuación y resulta:
( 𝑦 − 3)2
= 4𝑝(𝑥 + 4)
4. En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco,
y esta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes.
𝑝 = (−1 + 4)
𝑝 = 3
5. Sustituyendo:
(𝑦 − 𝑘)2
= 4(3)(𝑥 + 4)
(𝑦 − 𝑘)2
= 12(𝑥 + 4)
Ecuación escrita en la forma ordinaria.
6. Resolviendo:
𝑦2
− 6𝑦 + 9 = 12𝑥 + 48
𝑦2
− 6𝑦 − 12𝑥 + 9 − 48 = 0
𝑦2
− 6𝑦 − 12𝑥 − 39 = 0
Ecuación escrita en la forma ordinaria.
7. La ecuación de su directriz será: 𝑥 = ℎ − 𝑝
𝑥 = −4 − 3
𝑥 = −7

17. EJERCICIO # 2
2) Construir la parábola con vértice (3,2) y foco (3,4). Halla su ecuación
estándar y su ecuación general.
1. Escribimos los datos
𝑉(3,2)
𝐹(3,4)
2. Forma Canónica
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝( 𝑦 − 𝑘)
3. Siendo las coordenadas del vértice (ℎ, 𝑘), se sustituyen en la
ecuación y resulta:
(𝑥 − 3)2
= 4(2)( 𝑦− 2)
(𝑥 − 3)2
= 8( 𝑦 − 2)
Ecuación escrita en la forma ordinaria.
4. Resolviendo
𝑥2
− 6𝑥 + 9 = 8𝑦 − 16
𝑥2
− 6𝑥 + 9 − 8𝑦 + 16 = 0
5. Obtenemos así la Ecuación General
𝑥2
− 6𝑥 − 8𝑦 + 25

18. BIBLIOGRAFÍA
ESPOL. (2006). Fundamentos de matemáticas. En Fundamentos de
matemáticas (págs. 834-843). Guayaquil.
Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica . México, D. F.: EDITORIAL
LIMUSA, S. A. de C. V. Balderas 95, Primer piso, 06040.
Muñoz, M. V. (s.f.). El libro rojo de las matemáticas . En M. V. Muñoz, El
libro rojo de las matemáticas (págs. 505-510).
Swokowski/Cole. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica.
En E. W. Swokowski, & J. A. Cole, Álgebra y trigonometría con
geometría analítica (págs. 816-823). México, D. F.: Edamsa
Impresiones, S.A. de C.V.
INFORMACIÓN ADICIONAL:
http://www.vitutor.com/geo/coni/i_1.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/parabola.html
http://trigomvcmi.blogspot.com/2011/10/ejercicios.html
http://es.slideshare.net/4326176/elementos-de-una-parabola
http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-
conicas/definicion-grandes-conicas.shtml#ixzz3jHYsRH98
http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-
conicas/definicion-grandes-conicas.shtml#ixzz3jHS6jO8h