4. Representação de Schrodinger
𝑖ℏ
𝜕𝜓(𝑟, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐻𝜓
• Governa a evolução de um sistema quântico no tempo
• Hamiltoniana pode ou não ser dependente do tempo
𝜓 𝑡 = 𝑈 𝑡0, 𝑡 𝜓(𝑡0)
• 𝑈(𝑡, 𝑡0) é o operador de evolução temporal
• Condição inicial 𝑈 𝑡0, 𝑡0 = 1
𝜓 𝑡
𝐻|𝜓 = 𝐸 𝜓
𝑈(𝑡, 𝑡0)
• Uma interpretação útil de 𝑈(𝑡, 𝑡0)
𝑡0 → 𝜓 𝑎
𝑡 → 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑎
• A probabilidade de encontrar o sistema no estado de 𝜓 𝑏 no
tempo 𝑡 quando o sistema estava no estado 𝜓 𝑎 em 𝑡 = 𝑡0
𝑊𝑏𝑎 = 𝜓 𝑏 𝑈(𝑡, 𝑡0) 𝜓 𝑎
2
(1)
(2)
(3)
5. Representação de Schrodinger
• Propriedade da composição:
𝜓 𝑡2 = 𝑈 𝑡2, 𝑡0 𝜓(𝑡0)
𝜓 𝑡2 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝜓 𝑡1 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝑈 𝑡1, 𝑡0 𝜓(𝑡0)
∴ 𝑈 𝑡2, 𝑡0 = 𝑈 𝑡2, 𝑡1 𝑈(𝑡1, 𝑡0)
• Ou seja, é possível obter a evolução temporal de 𝑡0 a 𝑡1 e
depois de 𝑡1 a 𝑡2
• Substituindo 2 na equação de Schrodinger
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑡0 = 𝐻 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑡0
∴ 𝑖ℏ
𝜕𝑈 𝑡, 𝑡0
𝜕𝑡
= 𝐻𝑈(𝑡, 𝑡0)
• Assim temos a Equação de Schrodinger para o operador
de evolução temporal.
(4)
6. Representação de Schrodinger
• Assumindo que 𝐻†
= 𝐻, podemos calcular o conjugado
hermitiano de 4:
−𝑖ℏ
𝜕𝑈†
𝑡, 𝑡0
𝜕𝑡
= 𝑈†
𝑡, 𝑡0 𝐻
𝑈†
× 4 → 𝑖ℏ𝑈†
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= 𝑈†
𝐻𝑈
5 × 𝑈 → −𝑖ℏ
𝜕𝑈†
𝜕𝑡
𝑈 = 𝑈† 𝐻𝑈
• Subtraindo as equações acima
∴ 𝑖ℏ 𝑈†
𝜕𝑈
𝜕𝑡
+
𝜕𝑈†
𝜕𝑡
𝑈 = 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
𝑈†
𝑈 = 0
• Portanto o operador 𝑈(𝑡, 𝑡0) é um operador unitário
𝑈†
𝑈 = 1
(5)
7. Representação de Schrodinger
• Se 𝐻 𝑡 = 𝐻, a solução formal de 1 é dada por
𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ 𝜓 𝑟, 𝑡0
• Comparando com a equação 4, obtemos a forma explícita do operador:
𝑈 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ
• Ou na forma integral:
𝑈 𝑡, 𝑡0 = 1 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝐻𝑈 𝑡′
, 𝑡0 𝑑𝑡′
• Vamos expressar a solução da equação de Schrodinger dependente do
tempo em termos do conjunto completo de autoestados 𝜓 𝑘(𝑟)
𝐻𝜓 𝑘 𝑟 = 𝐸 𝑘 𝜓 𝑘 𝑟
𝑘
|𝜓 𝑘 𝜓 𝑘| = 𝕀
(6)
8. Representação de Schrodinger
𝜓 𝑟, 𝑡 = 𝑈 𝑡, 𝑡0 𝜓 𝑟, 𝑡0 = 𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ 𝜓 𝑡0
𝜓 𝑟, 𝑡 =
𝑘
𝑒
−
𝑖𝐻 𝑡−𝑡0
ℏ |𝜓 𝑘 𝜓 𝑘 𝜓(𝑟, 𝑡0)
𝜓 𝑟, 𝑡 =
𝑘
𝑎 𝑘 𝑡 𝜓 𝑘(𝑟)
• Com o coeficiente da expansão variando em função do tempo
𝑎 𝑘 = 𝑒
−
𝑖𝐸 𝑘 𝑡−𝑡0
ℏ 𝜓 𝑘 𝜓(𝑟, 𝑡0)
• Seja 𝐴 um operador dependente do tempo
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
𝐴 = 𝜓(𝑡) [𝐴, 𝐻] 𝜓(𝑡)
• O valor esperado de um operador é constante no tempo se o operador
comuta com a Hamiltoniana. Neste caso, o operador e as observáveis
físicas são constantes de movimento (conservação dessa observável).
(7)
10. Representação de Heisenberg
• Definição da função de onda:
𝜓 𝐻 = 𝑒
𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝜓(𝑡)
𝜕𝜓 𝐻
𝜕𝑡
= 0 ∴ 𝜓 𝐻 = 𝜓 0 ; ∀𝑡
• O valor esperado na representação de Schrodinger é dado por
𝐴 = 𝜓(𝑡) 𝐴 𝜓(𝑡)
• Invertendo a definição da função de onda e substituindo na definição do
valor esperado temos
𝐴 = 𝜓 𝐻 𝑒
𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝐴𝑒
−𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝜓 𝐻
• Assim definimos o operador na representação de Heisenberg como
𝐴 𝐻 𝑡 = 𝑒
𝑖𝐻𝑡
ℏ 𝐴𝑒
−𝑖𝐻𝑡
ℏ
• O valor esperado de 𝐴 nesta representação fica
𝐴 𝐻 = 𝜓 𝐻 𝐴 𝐻 𝜓 𝐻
• Desta forma, o valor esperado de um operador é o mesmo,
independente da representação escolhida. Note que 𝐻 𝐻 = 𝐻.
(8)
11. Representação de Heisenberg
• Equação de movimento para o operador 𝐴 𝐻(𝑡):
𝑖ℏ
𝜕𝐴 𝐻 𝑡
𝜕𝑡
= 𝐴 𝐻, 𝐻
• Conhecida como Equação de Heisenberg
• Relações de comutação são preservadas na
passagem de uma representação para outra.
𝐴, 𝐻 = 0 ⟺ 𝐴 𝐻 𝑡 , 𝐻 = 0
• O conteúdo físico da equação de Heisenberg é
idêntico à expressão análoga na representação
de Schrodinger.
(9)
12. Diferenças
• Schrodinger → o desenvolvimento temporal é
dado pela função de onda 𝜓(𝑡)
• Heisenberg → o desenvolvimento temporal é
dado pelo operador 𝐴(𝑡)
14. Representação de Interação
• Apropriado para certas formulações da teoria de
perturbação dependente do tempo. 𝐻 = 𝐻0 + 𝑉
𝜓𝐼(𝑡) = 𝑒
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
𝜓(𝑡)
𝐴𝐼 𝑡 = 𝑒
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
A𝑒
−𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
• Onde as equações 10 e 11 são as definições da função de
onda e do operador na representação de interação,
respectivamente. Tomando a derivada temporal das duas
equações acima temos as equações de movimento.
𝑖ℏ
𝜕𝜓𝐼 𝑡
𝜕𝑡
= 𝑉𝐼 𝜓𝐼(𝑡)
• Com 𝑉𝐼 𝑡 = 𝑒
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
V𝑒
−𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡
𝑖ℏ
𝜕𝐴𝐼
𝜕𝑡
= 𝐴𝐼, 𝐻0
(10)
(11)
(12)
(13)
15. Representação de Interação
• Sabendo que o valor esperado de um operador é
independente da representação,
𝐴 = 𝜓𝐼(𝑡) 𝐴𝐼 𝜓𝐼(𝑡)
• As expressões para o desenvolvimento temporal das
funções de onda são análogas à aquelas estabelecidas na
representação de Schrodinger. Definindo 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 por
𝜓𝐼 𝑡 = 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 𝜓𝐼 𝑡0 e com 𝑈𝐼 𝑡0, 𝑡0 = 1, temos
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0
= exp
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡 exp −
𝑖
ℏ
𝐻 𝑡 − 𝑡0 exp −
𝑖
ℏ
𝐻0 𝑡0
𝑈𝐼
†
𝑡, 𝑡0 = 𝑈𝑖
−1
(𝑡, 𝑡0)
(14)
16. Representação de Interação
• Equação diferencial para 𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0
𝑖ℏ
𝜕𝑈𝐼
𝜕𝑡
= 𝑉𝐼 𝑈𝐼
• Mais conveniente escrever a equação acima como
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝑈𝐼 𝑡′
, 𝑡0 𝑑𝑡1
• 16 é a forma mais comum → desenvolve uma solução em série para
𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) através de sucessivas interações. Começando com 𝑈𝐼
(0)
= 1 e
substituindo em 16
𝑈𝐼
(1)
= 1 −
𝑖
ℏ 𝑡1
𝑡
𝑉𝐼 𝑡1 𝑑𝑡1
• Fazendo esta substituição sucessivas vezes ficamos com
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 1 +
𝑛=1
∞
−
𝑖
ℏ
𝑛
𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 …
𝑡0
𝑡 𝑛−1
𝑑𝑡 𝑛 𝑉𝐼 𝑡1 … 𝑉𝐼(𝑡 𝑛)
𝑡0 < 𝑡 𝑛 < 𝑡 𝑛−1 < ⋯ < 𝑡2 < 𝑡1 < 𝑡
(16)
(15)
(17)
17. Representação de Interação
• Operador cronológico de Dyson ou de ordenação temporal
𝑃
𝑃 𝐴 𝑡1 𝐵 𝑡2 = 𝑃 𝐵 𝑡2 𝐴 𝑡1 =
𝐴 𝑡1 𝐵 𝑡2 , 𝑡1 > 𝑡2
𝐵 𝑡2 𝐴 𝑡1 , 𝑡2 > 𝑡1
• Mostrar que o operador de evolução temporal pode ser
escrito em termos do operador de Dyson da seguinte
forma:
𝑈𝐼 𝑡, 𝑡0 = 𝑃 exp −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝑑𝑡′
= 𝑃
𝑛=0
∞
−
𝑖
ℏ
𝑛
1
𝑛! 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝑑𝑡′
𝑛
• Considere o termo 𝐼 =
−
𝑖
ℏ
2 1
2! 𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 𝑡0
𝑡1
𝑑𝑡2 𝑃{𝑉𝐼 𝑡1 𝑉𝐼 𝑡2 }
(18)
18. Representação de Interação
• Dividindo a integral em duas partes
• 𝐼 = −
𝑖
ℏ
2 1
2! 𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 𝑡0
𝑡1
𝑑𝑡2 𝑃 𝑉𝐼 𝑡1 𝑉𝐼 𝑡2 +
(19)
19. Representação de Interação
• Expansão do valor esperado de A usando a série de Dyson
𝐴𝐼 = 𝜓𝐼(𝑡) 𝐴𝐼 𝜓𝐼(𝑡) = 𝜓𝐼(𝑡0) 𝑈𝐼
†
𝑡, 𝑡0 𝐴𝐼 𝑈𝐼(𝑡, 𝑡0) 𝜓𝐼(𝑡0)
𝐴𝐼
= 𝜓𝐼(𝑡0) 𝐴𝐼 𝑡 𝜓𝐼(𝑡0)
+
−𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1 𝜓𝐼(𝑡0) [𝐴𝐼 𝑡 , 𝑉𝐼(𝑡1)] 𝜓𝐼(𝑡0)
+ −
𝑖
ℏ
2
𝑡0
𝑡
𝑑𝑡1
𝑡0
𝑡1
𝑑𝑡2 𝜓𝐼(𝑡0) [ 𝐴𝐼 𝑡 , 𝑉𝐼 𝑡1 , 𝑉𝐼 𝑡2 ] 𝜓𝐼(𝑡0)
+ ⋯
(19)
20. Diferenças entre as 3 representações
Representação de Schrodinger
• 𝜓(𝑡) obedece a equação de Schrodinger, é a fonte de informação para a
evolução temporal.
• Os operadores são independentes do tempo, mas o valor esperado não
é independente do tempo a menos que 𝐴, 𝐻 = 0
Representação de Heisenberg
• 𝜓 𝐻 é independente do tempo
• Operadores obedecem a equação de Heisenberg
• Operadores dependem do tempo e fornecem a informação para a
evolução temporal do sistema
Representação de Interação
• Os vetores de estado e os operadores são dependentes do tempo.
• Quando 𝐻 = 𝐻0 + 𝑉, 𝜓 carrega a dependência temporal devido à 𝑉 e
os operadores devido à 𝐻0.
24. Limites infinitos
• Resolvendo a integral:
𝜓 𝑎 = 𝜑 𝑎 + lim
𝜀→0
1
𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀
𝑉𝜑 𝑎
𝜓 𝑎 = 1 + lim
𝜀→0
1
𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀
𝑉 𝜑 𝑎
• Outra maneira de escrever uma expressão para 𝜓 𝑎:
𝑖ℏ
𝜕𝜓𝐼 𝑡
𝜕𝑡
= 𝑉𝐼 𝑡 𝜓𝐼 𝑡 → 𝜓𝐼 𝑡 = 𝜓 𝑡0 −
𝑖
ℏ 𝑡0
𝑡
𝑉𝐼 𝑡′
𝜓 𝑡′
𝑑𝑡′
⁞
𝜓 𝑎 = 1 + lim
𝜀→0
1
𝐸 𝑎 − 𝐻0 + 𝑖𝜀
𝑉 𝜑 𝑎
• Similaridades e diferenças entre 20 e 21:
- 20 é expressa em termos da Hamiltoniana total.
- 21 é expressa em termos de 𝐻0 e representa uma série infinita. Chamada de Equação
de Lippmann-Schwinger.
- Nos dois casos a equação 𝐻𝜓 𝑎 = 𝐸 𝑎 𝜓 𝑎 é satisfeita.
- Os termos 𝐸 𝑎 − 𝐻 + 𝑖𝜀 −1
e 𝐸 𝑎 − 𝐻0 + 𝑖𝜀 −1
aparecem na teoria de espalhamento.
São conhecidas como funções de Green.
(20)
(21)
25. Limites infinitos
• A matriz de elementos do operador de
espalhamento 𝑆 na base de 𝜑 𝑘 o qual é
autofunção da Hamiltoniana não perturbada 𝐻0
com autovalores 𝐸 𝑘
𝑆 𝑏𝑎 = 𝜑 𝑏 𝑈𝐼(∞, −∞) 𝜑 𝑎
𝑆 𝑏𝑎 = 𝛿 𝑏𝑎 − 2𝜋𝑖𝑅 𝑏𝑎 𝛿(𝐸 𝑏 − 𝐸 𝑎)
• Onde 𝑅 𝑏𝑎 = 𝜑 𝑏 𝑉 𝜓 𝑎 é chamado de matriz de
reação, que pode ser escrita na forma:
𝑅 𝑏𝑎 = 𝑉𝑏𝑎 + lim
𝜀→0
𝑐
𝑉 𝑏𝑐 𝑉𝑐𝑎
𝐸 𝑎−𝐸 𝑐+𝑖𝜀
+ termos de ordem
superior
27. Precessão de spin
• Sistema de spin
1
2
, de momento magnético
𝑒ℏ
2𝑚 𝑒 𝑐
sujeito a um campo
magnético B na direção z, uniforme e estático.
𝐻 = −
𝑒
𝑚 𝑒 𝑐
𝑆. 𝐵 = −
𝑒
𝑚 𝑒 𝑐
𝑆 𝑧
• 𝐻, 𝑆 𝑧 = 0 thereofre 𝐸 ±= ∓
𝑒ℏ
2𝑚 𝑒 𝑐
• Definindo 𝜔 ≡
𝑒 𝐵
𝑚 𝑒 𝑐
→ 𝐻 = 𝜔𝑆 𝑧
• O operador de evolução temporal é dado por
𝑈 𝑡, 0 = exp −
𝑖𝜔𝑆 𝑧 𝑡
ℏ
• Se em 𝑡 = 0 o estado é dado por |𝛼 = 𝑐+| + + 𝑐−| − , em um tempo
t temos
|𝛼, 𝑡 = 𝑐+ exp −
𝑖𝜔𝑡
2
| + + 𝑐− exp +
𝑖𝜔𝑡
2
| −
28. Precessão de spin
• Supondo que o sistema esteja no estado 𝑆 𝑥 +,
assim temos que 𝑐+ = 𝑐− =
1
2
• Probabilidade de encontrar o sistema nos
estados 𝑆 𝑥 ± depois de um tempo t
𝑆 𝑥 + 𝛼, 𝑡 2
= cos2
𝜔𝑡
2
𝑆 𝑥 − 𝛼, 𝑡 2
= 𝑠𝑖𝑛2
𝜔𝑡
2
• O campo magnético na direção z faz o spin girar.
29. Evolução temporal do oscilador harmônico
𝐻 =
𝑝2
2𝑚
− 𝑚𝜔2
𝑥2
2
• Equações de movimento de Heisenberg
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= −𝑚𝜔2 𝑥 ;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑝
𝑚
• São equivalentes à:
𝑑𝑎
𝑑𝑡
= −𝑖𝜔𝑎 ;
𝑑𝑎†
𝑑𝑡
= 𝑖𝜔𝑎†
• Cujas soluções são
𝑎 𝑡 = 𝑎 0 exp(−𝑖𝜔𝑡) ; 𝑎†
𝑡 = 𝑎†
0 exp(𝑖𝜔𝑡)
• Estas relações mostram que N e H são operadores independentes do
tempo. Escrevendo em termos de x e p temos
𝑥 𝑡 = 𝑥 0 cos 𝜔𝑡 +
𝑝 0
𝑚𝜔
sin 𝜔𝑡
𝑝 𝑡 = −𝑚𝜔𝑥 0 sin 𝜔𝑡 + 𝑝 0 cos 𝜔𝑡
• Estas equações são parecidas com as equações clássicas. Mostram que x
e p “oscilam” do mesmo modo que os análogos clássicos.
Notas do Editor
Equação de Schrodinger dependente do tempo
Interpretação útil: Suponha que o sistema está no estado 𝜓 𝑎 em 𝑡 0 . Depois de um tempo t o sistema se desenvolve para o estado 𝑈 𝑡, 𝑡 0 𝜓 𝑎 . A amplitude de probabilidade de que 𝑈 𝑡, 𝑡 0 𝜓 𝑎 é um estado particular de 𝜓 𝑏 é dado pela integral de overlap 𝜓 𝑏 𝑈(𝑡, 𝑡 0 ) 𝜓 𝑎 , que é a projeção de 𝜓 𝑏 em 𝑈(𝑡, 𝑡 0 ). Probabilidade...
Propriedade da composição de deslocamentos temporais.
𝑈 † 𝑈 é uma constante e para satisfazer a condição de contorno deve ser igual a 1.