Prof. Roberto Cristóvão
robertocristovao@gmail.com
Aula 18
Séries de Taylor e de Maclaurin
Série de Taylor e de Maclaurin
Se tiver uma representação (expansão)
em série de potências em isto é, se
então seus coefic...
Série de Taylor
Substituindo essa fórmula para de volta
na série, então teremos a chamada série
de Taylor da função em (ou...
Série de Maclaurin
Para o caso especial , a série de
Taylor torna-se
e recebe o nome especial de série de
Maclaurin
Exemplo 1
Encontre a série de Maclaurin da função
e seu raio de convergência.
Solução: Se então
Assim para todo
Logo a sér...
Exemplo 1
Fazendo temos
Pelo Teste da Razão a série converge para
todo , e o raio de convegência é
Investigação
Sob quais circunstâncias uma função é igual
à soma de sua série Taylor?
Em outras palavras, se tiver derivada...
Polinômio de Taylor de grau n
é o limite da sequência das somas
parciais. No caso da série de Taylor, as
somas parciais sã...
Ilustração
Para os polinômios de Taylor em
0 com e 3 são
Teste de Comparação no LimiteGraficamente
Teorema
Se , onde é um
polinômio de Taylor de grau de em
e
para , então é igual à soma
de uma série de Taylor no intervalo
Exemplo 3
Encontre a série de Taylor de em
Solução:
Exemplo 4
Encontre a série de Maclaurin para senx.
Solução:
Exemplo 5
Encontre a série de Maclaurin para cosx.
Solução:
Exemplo 6
Encontre a série de Maclaurin para xcosx.
Solução:
Exemplo 7
Represente f (x)=senx como a soma de sua
série de Taylor centrada em π/3.
Solução:
Exemplo 7
Represente f (x)=senx como a soma de sua
série de Taylor centrada em π/3.
Solução:
Exemplo 7
Gráfico
Exemplo 8
Encontre a série de Maclaurin para
onde é um número real.
Solução:
Exemplo 8
(Série Binomial)
Converge se .
Notação radicional:
Série Binomial
Se é um número real e , então
Exemplo 9
Encontre a série de Maclaurin para afunção
e seu raio de convergência.
Solução
Série binomial com . Substituindo por :
Solução
A série converge para , ou seja, .
Portanto o raio de convergência é
Tabela
Exemplo 10
Calcule com erro inferior a 0,001.
Solução:
Exemplo
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18 series de taylor e de maclaurin

  1. 1. Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 18 Séries de Taylor e de Maclaurin
  2. 2. Série de Taylor e de Maclaurin Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se então seus coeficientes são dados pela fórmula
  3. 3. Série de Taylor Substituindo essa fórmula para de volta na série, então teremos a chamada série de Taylor da função em (ou em torno de ou centrada em )
  4. 4. Série de Maclaurin Para o caso especial , a série de Taylor torna-se e recebe o nome especial de série de Maclaurin
  5. 5. Exemplo 1 Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência. Solução: Se então Assim para todo Logo a série de Maclaurin é
  6. 6. Exemplo 1 Fazendo temos Pelo Teste da Razão a série converge para todo , e o raio de convegência é
  7. 7. Investigação Sob quais circunstâncias uma função é igual à soma de sua série Taylor? Em outras palavras, se tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que
  8. 8. Polinômio de Taylor de grau n é o limite da sequência das somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são: é chamado polinômio de Taylor de grau de em
  9. 9. Ilustração Para os polinômios de Taylor em 0 com e 3 são
  10. 10. Teste de Comparação no LimiteGraficamente
  11. 11. Teorema Se , onde é um polinômio de Taylor de grau de em e para , então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo
  12. 12. Exemplo 3 Encontre a série de Taylor de em Solução:
  13. 13. Exemplo 4 Encontre a série de Maclaurin para senx. Solução:
  14. 14. Exemplo 5 Encontre a série de Maclaurin para cosx. Solução:
  15. 15. Exemplo 6 Encontre a série de Maclaurin para xcosx. Solução:
  16. 16. Exemplo 7 Represente f (x)=senx como a soma de sua série de Taylor centrada em π/3. Solução:
  17. 17. Exemplo 7 Represente f (x)=senx como a soma de sua série de Taylor centrada em π/3. Solução:
  18. 18. Exemplo 7
  19. 19. Gráfico
  20. 20. Exemplo 8 Encontre a série de Maclaurin para onde é um número real. Solução:
  21. 21. Exemplo 8 (Série Binomial) Converge se . Notação radicional:
  22. 22. Série Binomial Se é um número real e , então
  23. 23. Exemplo 9 Encontre a série de Maclaurin para afunção e seu raio de convergência.
  24. 24. Solução Série binomial com . Substituindo por :
  25. 25. Solução A série converge para , ou seja, . Portanto o raio de convergência é
  26. 26. Tabela
  27. 27. Exemplo 10 Calcule com erro inferior a 0,001. Solução:
  28. 28. Exemplo

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