Gabriela Martinez

1. MATEMÁTICA II
Actividad Virtual V 15%
Nombres y Apellidos: Gabriela Martínez CI: 26.121.662
Fecha:04/09/14
EJERCICIOS
Facilitador: Prof. José E. Linárez
Resolver los siguientes ejercicios (15 puntos, 1,5 puntos C/U)
1. Hallar el área de la región encerradas por los gráficos
a) 푓(푥) = 푥2 − 4, 푔(푥) = 푥 − 4
푥2 − 4 = 푥 − 4
푥2 = 푥
푥2 − 푥 = 0
푥(푥 − 1) = 0
X=0 x=1
푓(푥) = 푥2 − 4
푦 = 푥2 − 4
푦 + 4푥2
푣 = (0, −4)
1
퐴 = ∫ (푥 − 4 − 푥2 + 4)푑푥 = ∫ (푥 − 푥2
0
1
0
)푑푥 = (
푥2
2
−
푥3
3
) ∫
1
0
12
2
=
–
13
3
1
2
=
−
1
3
=
1
6
Puntos de corte
푓(푥) = 푔(푥)
-4

2. 푐)푥 =
12
푦
, 푥 = 0, 푦 = 1, 푦 = 푒2
Datos 푦 = 푒2
X=0
Y=1
Y=푒2
푒2 − 0) 푑푦
1
퐴 = ∫
12
푦
(
=12∫ 푦−1 푒2
1 푑푦
푒2
1
=12푙푛|푦| ∫
=12푙푛|푒2| − 12푙푛|1|
=12 .2 푙푛|푒| = 24
Y
x
X=0
푥 =
12
푦
Y=1
0
1

3. 푑)푓(푥) = tan
푥
2
, 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥 = 0, 푥 =
1
2
휋
Datos
푓(푥) = 푡푎푛푔(푥
2)
Eje x
1
2
Rectas: x=0; X=
휋
푥
2
퐴 = ∫ 푡푎푛푔 (
)
휋/2
0
푑푥 = 2 ∫ 푡푎푛푔 푢 푑푢
푢 =
푥
2
푑푢 =
1
2
푑푥
2푑푢 = 푑푥.
푤 = cos 푢
푑푤 = −푠푒푛 푢푑푢
−푑푤 = −푠푒푛 푢푑푢
푥
2
퐴 = ∫ 푡푎푛푔 (
)
휋/2
표
푥
2
푑푥 = 푙푛|푐표푠 (
휋/2
0
) | ∫
2푙푛|푐표푠
휋
2
2
| − 2 푙푛|푐표푠
0
2
= 2 ∫
| = 2푙푛| √2
2
|−2푙푛|1|
= 2푙푛|
√2
2
|
푠푒푛 푢
cos 푢
푑푢 = −2 ∫
푑푤
푤
=-2푙푛|푤| + 푐
=2푙푛| cos 푢| + 푐
=2푙푛|푐표푠
푥
2
| +c
-휋 휋 -휋
2
Y
X
0

4. B) 푦 = 푥3, 푦 = 4푥
Y=y
푥3 = 4푥
푥3 − 4푥 = 0
푥(푥2 − 4) = 0
푥(푥 − 2)(푥 + 2) = 0
X=0
X=2
X=-2
퐴 = 2 ∫ (4푥 − 푥3)푑푥 = 2
4푥2
2
−
2
0
푥4
4
∫
2
0
= 4 . 22 −
24
2
= 16 − 8 = 8
Y
x
-2
2

5. Hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por
las curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)
a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
Datos
Arco: Y= cos 2푥
Giro: Eje x
휋/4
푉 = 휋 ∫ (cos 2푥)²푑푥
−휋/4
휋/4
= 2휋 ∫ 푐푠표2 2푥 푑푥
0
= 2휋 ∫ 1 +
푐표푠4푥
2
푑푥
휋/4
0
휋/4
0
휋/4
0
= 휋 ∫ 푑푥 + 휋 ∫ 푐표푠4푥 푑푥
푢 = 4푥
푑푢 = 4푑푢
푑푢
4
= 푑푥
= 휋 ∫ 푑푥 + 휋 ∫
푐표푠푢푑푢
4
휋/4
0
휋/4
0
=휋푥 ∫ +
휋
4
휋/4
0
푠푒푚4푥 ∫
휋/4
0
=휋.
휋
4
+
휋
4
푠푒푛4 .
휋
4
−
휋
4
. 푠푒푛(4.0)
=
휋2
4
Y
X
1
-1
−휋
4
휋
4

6. C) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la
elipse
푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1
Datos:
Giro eje x:
푥2
푎푠 +
푦2
푏2 = 1
푦2
푏2=1 −
푥2
푎푠
푦2=푏2 (1 −
푥2
푎2)
푦 = ±√푏2 1 −
푥2
푎2
푉 = 휋 ∫ (√푏2 1 −
푥2
푎2)
푎
−푎
² 푑푥
=2휋 ∫ 푏 푎 2
0
(1 −
푥2
푎2) 푑푥
푎
0
=2푏2 휋 (∫ 1푑푥
−
1
9
∫ 푥2 푎2 0
푑푥) = 2푏2 휋 (푥 −
1
푎2
푥3
3
푎
0
) ∫
= 2 푏2휋 (푎 −
푎3
푎23
) =
4푎푏2 휋
3
Y
X
B
A a

7. 2. Hallar la longitud de la curva dada
a) 푦 =
푥3
6
+
1
2푥
, 푑푒푠푑푒 푥 = 1 ℎ푎푠푡푎 푥 = 3
Datos:
푦 =
푥3
6
+
1
2푥 =
푥3
6
+
1
2
푥−1
푦` =
3푥2
6
+
1
2
(−1)푥−2
푥2
2
−
1
2푥2
3
1
퐿 = ∫ √1 + (푦1)² 푑푥
= ∫ √1 + (
푥2
2
3
1
1
2푥2 )² 푑푥
= ∫ √(1 +
푥4
4
− 2
푥2
2
.
1
2푥2 +
1
4푥4)
3
1
푑푥
= ∫ √(
푥4
4
+
1
2
+
1
4푥2 )
3
1
푑푥
푥2
2
= ∫ √(
+ 1/2푥2)
3
1
² 푑푥
= ∫
3
1
푥2
2
(
+
1
2푥2) 푑푥
=
1
2
∫ 푥2 푑푥 +
1
2
3
1
3
∫ 푥−2
1
푑푥
1
2
=
푥3
3
∫ +
1
2
푥−1
−1
3
1
3
1
∫
33
6
=
−
13
6
−
1
2.3
+
1
2.1
14
3
=
.

8. b) 푦 = 푙푛푠푒푐푥, 푑푒푠푑푒 푥 = 0, ℎ푎푠푡푎 푥 =
휋
3
Datos:
푦 = ln 푠푒푐푥
푦` =
1
푠푒푐푥
. 푠푒푐푥 푡푎푛푔푥 = y`=tang
휋/3
0
퐿 = ∫ √(1 + 푦1) ²
휋/3
0
푑푥 = ∫ √(1 + 푡푎푛푔2푥)푑푥
휋/3
0
= ∫ √푠푒푐2푥
휋/3
0
푑푥 =∫ 푠푒푐푥푑푥
= ∫
푠푒푐푥(푠푒푐푥 + 푡푎푛푔푥)푑푥
푠푒푐푥 + 푡푎푛푔푥
휋/3
0
푢 = 푠푒푐푥푡푎푛푔푥
푑푢 = (푠푒푐푥 + 푡푎푛푔푥 + 푠푒푐2푥)푑푥
= ∫
푑푢
푢
푙푛|푢| + 푐 = 푙푛|푠푒푐푥 + 푡푎푛푔푥| + 푐
= 푙푛|푠푒푐푥 + 푡푎푛푔푥| ∫ = ln |푠푒푐
휋
3
휋
3
0
+ 푡푎푛푔
휋
3
|−푙푛|푠푒푐표 + 푡푎푛푔0|
= 푙푛|2 + √3| − 푙푛|1 + 0|
= 푙푛|2 + √3|
0