BC-0506: Comunicação e RedesBC-      Grafos Aleatórios e Redes de Mundos Pequenos                           1
Índice de AssuntosGrafos Aleatórios: Erdös e Rényi  Grafos Aleatórios: Conceitos  Exemplos: propagação de boatosSeis graus...
Parte 1: Grafos Aleatórios
ConceitosDado um Grafo não-orientado de n vértices,quantas arestas poderão existir no máximo?            2                ...
Exemplo de Grafo com 5 vértices:     número máximo de arestas: contamos 10                      5           1             ...
Dedução do caso geralCada vértice conectando-se com todos os demaisdiretamente: número de conexões do vértice = n-1       ...
Dedução do caso geralDo exemplo de Grafo com n = 5 vértices:número máximo de arestas = 5 x (5-1)/2 = 10                   ...
Dedução do caso geralDa mesma forma, se o Grafo tem apenas umcomponente conexo com n = 5 vértices:                        ...
Grafos aleatórios:O que são?Para que servem?                     9
Grafos aleatórios:Conceito: dado um Grafo de n vértices, iniciar acolocação de arestas entre pares de vértices deforma ale...
Grafos aleatórios:Conceito: dado um Grafo de n vértices, cadaaresta pode existir ou não com probabilidade p.   Quando a ma...
Grafos aleatórios:À medida que inserimos arestas, se formam váriossub-Grafos disconexos.• Quando o número de conexões aume...
Grafos aleatórios:Comportamento de transição de fase.    Se <k> < 1: componentes desconectados com    tamanho médio 1/(1-n...
Grafos aleatórios:Intuição da prova:    Suponha um subconjunto de vértices S.    Considere as arestas que “saem” de S    (...
Grafos aleatórios:Intuição da prova:    Ou seja, para cada nova aresta explorada,    incluimos um vértice em S, e o conjun...
Grafos aleatórios:Demo: transição de fase ao aumentar p       Gif animadahttp://www.stanford.edu/~dgleich/demos/matlab/ran...
Grafos aleatórios:Podem existir 2 componentes gigantes?Se existirem 2 componentes gigantes, com N1 eN2 vértices, qual a pr...
Grafos aleatórios:Podem existir 2 componentes gigantes?Probabilidade de uma aresta NÂO conectar N1 eN2, então é 1 - 2N1N2/...
Grafos aleatórios: para queservem?Apesar dos Grafos serem uma simplificaçãoelegante para facilitar o entendimento edesenvo...
Grafos aleatóriosPaul Erdös e Alfred Rényi (húngaros) propuseramentão os Grafos aleatórios, sugerindo que, muitasredes com...
Frases de ErdösPaul Erdös foi um itinerante a sua vida toda, nãotendo nenhuma posse a não ser uma pequena mala  Batia na p...
Exemplos:Propagação de boatos:  Festa com 100 convidados  Nem todos conhecem os outros convidados  Grupos de 2 a 3 pessoas...
Exemplos:Pior caso é a pessoa ter que transmitir ainformação pessoalmente uma a uma:teríamos: 99 x 10 minutos: 16,5 horasO...
Exemplos:aresta entre os grupos: alguem do grupo conhecealguem do outro grupo1 troca em 10 min: a cada 10 min, a informaçã...
Exemplos:aresta entre os grupos: alguem do grupo conhecealguem do outro grupo1 troca em 10 min: a cada 10 min, a informaçã...
Exemplos:Pior caso é a pessoa ter que transmitir ainformação pessoalmente uma a uma:teríamos: 99 x 10 minutos: 16,5 horasE...
Uso de grafos aleatóriosEstes mesmos modelos podem ser utilizados paraestudar e modelar propagação de doenças, reaçõesquím...
Uso de grafos aleatóriosDistribuição de Poisson                           28
Geração de Grafos AleatóriosUm grafo aleatório é um grafo (rede) gerado porum processo aleatórioFormação  Iniciar com N vé...
Parte 2: Seis Graus de      Separação Imagem: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Six_degrees_of_separation.svg
Experimento de Milgram:Origens: escritor húngaro Karinthy escreve oconto “Cadeia” em 1929, onde o personagem tentademonstr...
Experimento de Milgram:Nos pontos de partida, ele enviou a residentesaleatoriamente escolhidos, cartas paraparticiparem de...
Experimento de Milgram:Das 160 cartas preparadas, 42 retornaramMenor caminho = 2 conexões; Mais longo = 12Valor médio = 5,...
Experimento de Milgram:A frase “6 Graus de Separação” não é de Milgram  Criada pelo autor John Guare que escreveu uma peça...
Experimento de Milgram:Milgram restringiu a sua experiência aos EUA, semconsiderar pessoas de outros paísesExperimentos po...
Outros exemplos - WebAnalisando-se o padrão de links das páginas daWeb (www), para a quantidades de páginas da Webem 1998 ...
Outros exemplosA resposta a esta questão tem duas partes  Redes de hiperlinks da Web são em grande parte  redes circulares...
Parte 3: Mundo Pequeno                         38
Efeito Mundo PequenoO experimento de Milgram despertou a consciênciade um mundo pequeno pois todas as pessoas domundo esta...
Efeito Mundo PequenoO efeito Mundo Pequeno foi estudado e verificadoem numerosas e diferentes redesSeja dij a distância (m...
Efeito Mundo PequenoSe o número de vértices a uma distância <= r de umvértice central cresce exponencialmente com r,então ...
Efeito Mundo PequenoJá foi demonstrado que em redes que seguem umalei de potência o valor de l cresce no máximo a log n / ...
ClusterizaçãoComo observamos, muitas redes reais nãoseguem o modelo dos Grafos Aleatórios criadaspor Erdös e Rényi, pois e...
Coeficiente de Clusterização Global O Coeficiente de clusterização global é:      3 x número de triângulos na redeC=   núm...
Coeficiente de ClusterizaçãoGlobalClusterização é frequentemente tambémchamada de transitividade  Se A conhece B e B conhe...
Coeficiente de ClusterizaçãoO grafo abaixo possui C = 3/8 = 0.375 (global)  1 triangulo  8 triplas: 6 centradas no nó cent...
Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioMédia do coeficiente de clusterização local Cipara cada vértice i.Ci = # arestas en...
Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioMédia do coeficiente de clusterização local Cipara cada vértice i.Ci = # arestas en...
Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioCoef. de clusterização local   2 vértices à esq do triang: 1  Vértice central     (...
Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioFoi proposto primeiro, mas tem um problema:Suponha:   um nó com 2 vizinhos, conecta...
Efeito da ClusterizaçãoA figura a mostra um esquema de conexõesuniformes, com todos os vértices conectadoscom os vizinhos ...
ClusterizaçãoEstas conexões possuem um grande efeito nadistância média do GrafoSuponha, por exemplo, uma única conexão que...
ClusterizaçãoQuão grande precisa ser o índice declusterização para a rede ser mundo pequeno?    Strogatz: “mundo pequeno” ...
ClusterizaçãoGrafo aleatório (random graph):    p é a probabilidade de 2 vértices estarem    conectados p/ qualquer par de...
Efeito Mundo Pequeno     Tabela: l p/ diversos tipos de rede              α : expoente se a distribuição segue lei de potê...
Efeito Mundo Pequeno Repare no coeficiente de clusterização (z=<k>)                                                  56
Geração de Redes Small WorldUma rede small-world é um tipo de grafo onde amaioria dos vértices não é vizinho dos outrosvér...
Geração de Redes Small World                           58
Geração de Rede Small WorldParte de rede regular– cada nó se conecta com alguns vizinhosCada aresta é reconectada a um vér...
Modelo de Rede Small WorldSe p aumenta, o coef. de clusterização (C) e odiâmetro (L) diminuem.                            ...
Modelo de Rede Small WorldMas L diminui muito antes de CRegião com C grande e L pequeno = Small WorldConectado só a vizinh...
Modelo de Rede Small WorldEste modelo simples não é realista para todos osproblemas small worldMas foi importante para dem...
Conexões fortes e fracasEm 1973, Mark Granovetter de Harvard publica oartigo The Strength of Weak Ties, no AmericanJournal...
Conexões fortes e fracasNo artigo, ele propõe que, na procura de emprego,abrir um restaurante, ou espalhar uma notíciarele...
Conexões fortes e fracasO artigo original de Mark Granovetter foi rejeitadona sua primeira tentativa de publicação, e só f...
Colaboração e Número de ErdösPaul Erdös não colaborou somente como teóricona área de GrafosComo um dos matemáticos mais pr...
Colaboração e Número de ErdösO número de Erdös é um número que foi criadopara medir a distância entre Erdös e uma pessoa• ...
Colaboração e Número de ErdösO estudo da rede de colaboração criada emtorno de Erdös mostrou que, em 1998, existiauma rede...
Colaboração e Número de ErdösEntretanto, as medidas reais mostraram umcoeficiente de clusterização 10.000 vezesmaior, indi...
Coeficiente de Clusterização                   Rede                   Coeficiente de                                      ...
Referências[01] Barabasi, A.L., Linked: How Everything IsConnected to Everything Else and What It Means forBusiness, Scien...
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  1. 1. BC-0506: Comunicação e RedesBC- Grafos Aleatórios e Redes de Mundos Pequenos 1
  2. 2. Índice de AssuntosGrafos Aleatórios: Erdös e Rényi Grafos Aleatórios: Conceitos Exemplos: propagação de boatosSeis graus de Separação Experimento de Milgran Outros exemplosRedes de Mundos Pequenos Conexões Fortes e Fracas Clusterização 2
  3. 3. Parte 1: Grafos Aleatórios
  4. 4. ConceitosDado um Grafo não-orientado de n vértices,quantas arestas poderão existir no máximo? 2 5 3 4 5 Vértices 6 Arestas 1Mais arestas: mais caminhos, distâncias menores,menor diametro, maiores graus 4
  5. 5. Exemplo de Grafo com 5 vértices: número máximo de arestas: contamos 10 5 1 4 2 3 5
  6. 6. Dedução do caso geralCada vértice conectando-se com todos os demaisdiretamente: número de conexões do vértice = n-1 5 Número total de conexões = n x (n-1) Cada par de vértices 1 4 compartilha uma conexão. Logo: n. Arestas máx = n x (n-1)/2 2 3 6
  7. 7. Dedução do caso geralDo exemplo de Grafo com n = 5 vértices:número máximo de arestas = 5 x (5-1)/2 = 10 5 1 4 2 3 7
  8. 8. Dedução do caso geralDa mesma forma, se o Grafo tem apenas umcomponente conexo com n = 5 vértices: 5 número mínimo de arestas = n-1 1 4Atenção: 2 3 Se está dito ou subentendido que todos os vértices estão no mesmo componente conexo. Não é necessário existirem arestas em um grafo 8
  9. 9. Grafos aleatórios:O que são?Para que servem? 9
  10. 10. Grafos aleatórios:Conceito: dado um Grafo de n vértices, iniciar acolocação de arestas entre pares de vértices deforma aletória, sem repetição.Formam-se sub-Grafos 5 1 4 2 3 10
  11. 11. Grafos aleatórios:Conceito: dado um Grafo de n vértices, cadaaresta pode existir ou não com probabilidade p. Quando a maioria dos vértices serão conectados em componente conexo? 5 Surgem propriedades interessantes 1 4minimo(n-1) < num. arestas < n x (n-1)/2 p máximo 2 3 11
  12. 12. Grafos aleatórios:À medida que inserimos arestas, se formam váriossub-Grafos disconexos.• Quando o número de conexões aumenta, estessub-Grafos se conectam, formando componentesconexos cada vez maiores.Se o grau médio supera 1, um único super-componente conexo contém a maioria dos vértices.• A maioria dos vértices do Grafo poderá seralcançado a partir de qualquer outro vértice,bastando seguir um conjunto de arestas [01]. 12
  13. 13. Grafos aleatórios:Comportamento de transição de fase. Se <k> < 1: componentes desconectados com tamanho médio 1/(1-np) Se <k> > 1 : só pode haver um super- componente contendo a maioria dos vértices <k> = 1 : Transição de fase !! Comportamento muda rapidamente Nome vem da física estatística Analogia: transição de estados da matéria 13
  14. 14. Grafos aleatórios:Intuição da prova: Suponha um subconjunto de vértices S. Considere as arestas que “saem” de S (conectam vértice em S a vértice fora de S) Tome uma delas, e inclua em S o vértice fora de S. Há menos uma aresta saindo de S. (aquela que foi explorada) Há mais arestas saindo de S (todas as outras incidindo no novo vértice) Quantas são? Na média, <k> 14
  15. 15. Grafos aleatórios:Intuição da prova: Ou seja, para cada nova aresta explorada, incluimos um vértice em S, e o conjunto de arestas na fronteira aumenta em <k> e diminui em 1 Ou seja, muda em <k> - 1 Se <k> < 1, na média a mudanca é negativa: o numero de arestas a explorar vai cair Se <k> > 1, na média a mudança é positiva: haverão arestas a explorar até acabarem os vértices (ou pelo menos explorar a maioria dos vértices) 15
  16. 16. Grafos aleatórios:Demo: transição de fase ao aumentar p Gif animadahttp://www.stanford.edu/~dgleich/demos/matlab/random_graphs/erdosreyni.html 16
  17. 17. Grafos aleatórios:Podem existir 2 componentes gigantes?Se existirem 2 componentes gigantes, com N1 eN2 vértices, qual a probabilidade de uma arestaconectar os 2?A aresta tem que conectar um vertice em N1 (probN/n) a um vértice em N2 (N2/n), ou vice-versa(conta 2x)Prob = 2N1N2/n2Probabilidade de uma aresta NÂO conectar N1 eN2, então é 1 - 2N1N2/n2 17
  18. 18. Grafos aleatórios:Podem existir 2 componentes gigantes?Probabilidade de uma aresta NÂO conectar N1 eN2, então é 1 - 2N1N2/n2Existem no máximo (½)n(n-1) ~= ½ n2p arestasPortanto a probabilidade que nenhuma das arestasjunte os 2 componentes é (pela definição da exponencial)Que tende a zero quando N1 e N2 aumentam oucrescem mais rápido do que n. (p=<k>/n) 18
  19. 19. Grafos aleatórios: para queservem?Apesar dos Grafos serem uma simplificaçãoelegante para facilitar o entendimento edesenvolver soluções para problemas, na prática,apresentam grandes desafios Apesar do Grafo poder representar as relações sociais, a Internet, e o metabolismo celular, as leis que regem a sua formação e inter-relacionamento são claramente diferentesComo desenvolver um modelo de Grafo paradescrever sistemas tão diferentes e, ao mesmotempo, descobrir propriedades compartilhadas? 19
  20. 20. Grafos aleatóriosPaul Erdös e Alfred Rényi (húngaros) propuseramentão os Grafos aleatórios, sugerindo que, muitasredes complexas na Natureza poderiam seguir umpadrão aleatório de formaçãoA partir dos Grafos aleatórios, muitos fenômenosnaturais e sociais passaram a ser estudados eanalisados a partir deste modelo de referência Antes, eram estudados somente redes regularesErdös escreveu mais de 1500 artigos em matemáticaaté a sua morte em 1996, a maioria em co-autoria Sua produção só é superada por Euler Com Rényi, foram 8 artigos clássicos sobre Grafos 20
  21. 21. Frases de ErdösPaul Erdös foi um itinerante a sua vida toda, nãotendo nenhuma posse a não ser uma pequena mala Batia na porta de conhecidos do mundo inteiro e dizia: “A minha mente está aberta”Tinha um gosto especial pela probabilidade Dizia: “Deus se diverte jogando dados com o mundo” Seu colega Albert Einstein não concordava: “Deus não joga dados com o Universo”Afirmava também que não criamos a matemática,apenas a descobrimos Considerava que as verdades matemáticas eram as mais absolutas e eternas 21
  22. 22. Exemplos:Propagação de boatos: Festa com 100 convidados Nem todos conhecem os outros convidados Grupos de 2 a 3 pessoas que se conhecem Todos conhecem pelo menos UMA pessoa de outros grupos. E sempre saem do grupo para contar novidades para seus amigos Se a cada 10 minutos eles contam as novidades para os amigos, quanto tempo leva em média para que uma nova informação chegue a todos os 99 convidados? 22
  23. 23. Exemplos:Pior caso é a pessoa ter que transmitir ainformação pessoalmente uma a uma:teríamos: 99 x 10 minutos: 16,5 horasOu, se pensarmos nos grupos como vértices,supondo 50 grupos, transmitindo para os gruposum por um, 50 x 10 min = 500 min = 8,33 hQuanto tempo demora considerando que eles temamigos fora do grupo? Como modelamos os amigos? 23
  24. 24. Exemplos:aresta entre os grupos: alguem do grupo conhecealguem do outro grupo1 troca em 10 min: a cada 10 min, a informaçãopercorre cada aresta.Como sabemos quando a informação chegará amaioria dos vértices na média? 24
  25. 25. Exemplos:aresta entre os grupos: alguem do grupo conhecealguem do outro grupo1 troca em 10 min: a cada 10 min, a informaçãopercorre cada aresta.Como sabemos quando a informação chegará amaioria dos vértices na média?Calculando a distância média no super componentedo grafo aleatório. Que é pequena. 25
  26. 26. Exemplos:Pior caso é a pessoa ter que transmitir ainformação pessoalmente uma a uma:teríamos: 99 x 10 minutos: 16,5 horasErdös e Rényi provam pelos Grafos aleatórios quebastam 30 minutos em média para que todos os 99convidados fiquem sabendo da informação Diamêtro médio neste super componente é 3 26
  27. 27. Uso de grafos aleatóriosEstes mesmos modelos podem ser utilizados paraestudar e modelar propagação de doenças, reaçõesquímicas, propagação de vírus na Internet, etc.Em redes com grande quantidade de vértices, um Grafoaleatório terá vértices com aproximadamente o mesmonúmero de arestasMedindo o grau de cada vértice do Grafo aleatório, e oresultado desenhado em um histograma, a distribuiçãode graus irá seguir a distribuição de Poisson Esse tipo de Grafo é conhecido também como Grafo aleatório de Poisson 27
  28. 28. Uso de grafos aleatóriosDistribuição de Poisson 28
  29. 29. Geração de Grafos AleatóriosUm grafo aleatório é um grafo (rede) gerado porum processo aleatórioFormação Iniciar com N vértices e nenhuma aresta Com probabilidade p, conectar 2 vértices selecionados aleatoriamente com uma aresta com p=0.2 29
  30. 30. Parte 2: Seis Graus de Separação Imagem: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Six_degrees_of_separation.svg
  31. 31. Experimento de Milgram:Origens: escritor húngaro Karinthy escreve oconto “Cadeia” em 1929, onde o personagem tentademonstrar que as pessoas estão muito maispróximas que se supõemA partir de no máximo cinco conhecidos, sepoderia chegar a qualquer um dos meio Bilhão depessoas da Terra (números da época)Em 1967, o professor de Harvard, StanleyMilgram realiza um experimento para determinar a“distância” entre duas pessoas quaisquer dos EUA Ele escolheu duas pessoas comuns como “alvo” e dois locais distintos e distantes como pontos de partida 31
  32. 32. Experimento de Milgram:Nos pontos de partida, ele enviou a residentesaleatoriamente escolhidos, cartas paraparticiparem de um estudo sociológicoA carta continha informações sobre as pessoas“alvo” como nome, endereço e fotos, e as seguintesinstruções: Acrescente o seu nome no fim da lista desta folha, para que o receptor saiba quem mandou Retire um dos cartões postais pré-pagos, preencha-o e envie para a Universidade de Harvard para podermos acompanhar o progresso do experimento 32
  33. 33. Experimento de Milgram:Das 160 cartas preparadas, 42 retornaramMenor caminho = 2 conexões; Mais longo = 12Valor médio = 5,5 surpreendentemente baixoArredondando-se o 5,5 temos a famosa frase“6 graus de separação” 33
  34. 34. Experimento de Milgram:A frase “6 Graus de Separação” não é de Milgram Criada pelo autor John Guare que escreveu uma peça teatral com este título para a Broadway em 1990, (filme em 1993)O experimento de Milgram sugere que qualquerpessoa do planeta, conectada com pelo menos UMAoutra pessoa, faz parte de uma enorme rede de 6bilhões de vértices, e que qualquer pessoa poderáser alcançada a partir de poucas conexõesDessa concepção da sociedade humana deriva oconceito de Small World, ou Mundo Pequeno• Expressão “Its a small world” em inglês, e.g. quando encontramos conhecidos em comum 34
  35. 35. Experimento de Milgram:Milgram restringiu a sua experiência aos EUA, semconsiderar pessoas de outros paísesExperimentos posteriores mais amplosapresentaram um valor médio bem menor, de 3,para quaisquer pessoas dos EUAEm 2001, o professor Duncan Watts recria oexperimento de Milgram utilizando e-mails: 48 milremetentes de 157 países e 19 “Alvos”O valor médio de intermediários foi 6E as redes não sociais? Teriam o mesmo grau deseparação? 35
  36. 36. Outros exemplos - WebAnalisando-se o padrão de links das páginas daWeb (www), para a quantidades de páginas da Webem 1998 (800 milhões de nós), foi estimado quequalquer documento da Web seria atingido com 19cliques, sem utilizar nenhum site de buscaEssa diferença de grau (de 6 para 19) surpreendeprincipalmente se considerarmos que a maioria dasredes naturais tem poucos graus de separação:redes de cadeia alimentar (2 graus), moléculasdentro de uma célula (3 reações químicas), redesde colaboração de cientistas (de 4 a 6 graus)Porque esta diferença tão grande? 36
  37. 37. Outros exemplosA resposta a esta questão tem duas partes Redes de hiperlinks da Web são em grande parte redes circulares: se auto-referenciam, o que dificulta achar um link de “saída” do grupo de páginas • Sub-redes dedicadas a assuntos específicos Diferença no número de conexões por vértice Uma página da Web tem em média 10 links, enquanto que um ser humano tem em média de 200 a 5.000 pessoas conhecidas, segundo estimativa dos sociólogos Conhecido é diferente de amigo (Dunbar Number) 37
  38. 38. Parte 3: Mundo Pequeno 38
  39. 39. Efeito Mundo PequenoO experimento de Milgram despertou a consciênciade um mundo pequeno pois todas as pessoas domundo estavam conectadas através de poucos linksAo mesmo tempo, os estudos teóricos dos GrafosAleatórios criadas por Erdös e Rényi,proporcionavam ferramentas para analisar novasredes, principalmente as complexas e dinâmicasUma das principais propriedades gerais das redesaleatórias, onde as informações (ou qualquer outracoisa) se propaga rapidamente por toda rede, éconhecida como “Efeito Mundo Pequeno” [01] 39
  40. 40. Efeito Mundo PequenoO efeito Mundo Pequeno foi estudado e verificadoem numerosas e diferentes redesSeja dij a distância (menor caminho) entre osvértices i e j, e [n x (n-1)/2] o número total dearestas (máximo de todas combinações) do GrafoDefinindo l como a distância média entre todos ospares de vértices de um Grafo não-direcionado,temos [02]: 40
  41. 41. Efeito Mundo PequenoSe o número de vértices a uma distância <= r de umvértice central cresce exponencialmente com r,então o valor de l crescerá de acordo com log n Ocorre com várias redes, inclusive grafos aleatóriosRede é considerada como tendo o “efeito mundopequeno” (small world effect) se: (1) l escala O(log n) com o tamanho da rede O(log n) – logaritmo ou menor Fácil de medir (distância média) (2) alto índice de clusterização 41
  42. 42. Efeito Mundo PequenoJá foi demonstrado que em redes que seguem umalei de potência o valor de l cresce no máximo a log n / log log n Algumas redes com lei de potência também são small-worldSabemos medir a condição (1) Vocês já implementaram o algoritmo Não considere vértices não conectadosO que é índice de clusterização? Problema:área nova -> várias definições similares mas diferentes 42
  43. 43. ClusterizaçãoComo observamos, muitas redes reais nãoseguem o modelo dos Grafos Aleatórios criadaspor Erdös e Rényi, pois ele pressupõe umadistribuição uniforme de vértices e arestasNos anos 90, Duncan Watts e Steven Strogatzpropõem um aprimoramento no modelo “MundoPequeno” com a introdução do conceito de“clusterização” e um “coeficiente declusterização” para medir o seu efeito clusterização = clustering = agrupamento 43
  44. 44. Coeficiente de Clusterização Global O Coeficiente de clusterização global é: 3 x número de triângulos na redeC= número de triplas de vértices conectados C pode ser entendido como a probabilidade média de que dois vértices que são vizinhos de um mesmo outro vértice, também serão vizinhos Tripla: um nó com 2 arestas para 2 outros nós Não é combinação(n,3) Fator 3: em um triângulo há 3 triplas 44
  45. 45. Coeficiente de ClusterizaçãoGlobalClusterização é frequentemente tambémchamada de transitividade Se A conhece B e B conhece C então A conhece C Nesse caso, um triângulo entre eles é formadoC varia de 0 a 1C = 0 quando não há nenhuma transitividadeC = 1 quando todos estão conectados a todos,indicando que existem triângulos entre todos osconjuntos de 3 vértices 45
  46. 46. Coeficiente de ClusterizaçãoO grafo abaixo possui C = 3/8 = 0.375 (global) 1 triangulo 8 triplas: 6 centradas no nó central 1 centrada em cada um dos outros nós do triangulo 46
  47. 47. Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioMédia do coeficiente de clusterização local Cipara cada vértice i.Ci = # arestas entre os vizinhos de vi / # possível de arestas entre os vizinhos de vi.Com k vizinhos, são possíveis k(k-1)/2 arestasQuantas arestas existem entre vizinhos: conte. Ou... 47
  48. 48. Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioMédia do coeficiente de clusterização local Cipara cada vértice i.Ci = # arestas entre os vizinhos de vi / # possível de arestas entre os vizinhos de vi.Quantas arestas existem entre vizinhos: Calcule o num. de caminhos de comprimento 3 que começam e terminam no vértice i. A diagonal de A3 é 2x esse número! A3=AAA (A é a matriz de adjacências) (fácil no MATLAB/Scilab) 48
  49. 49. Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioCoef. de clusterização local 2 vértices à esq do triang: 1 Vértice central (4 vizinhos, 1 aresta): 1/(4(4-1)/2) = 1/6 2 vértices isolados Alguns consideram 0, outros indefinido Não acontece em alguns problemas Média: (1+1+1/6)/3=0.72 ou (1+1+1/6+0+0)/5=0.43 Depende da definição 49
  50. 50. Coeficiente de ClusterizaçãoLocal MédioFoi proposto primeiro, mas tem um problema:Suponha: um nó com 2 vizinhos, conectados → C = 1 um nó com 100 vizinhos, desconectados → C=0 Média dos dois nós: 0.5Mas não temos metade dos vizinhos conectados! Problema com a fórmula: k(k-1) no denominador Mais peso para nós de grau pequenoÚtil para estimar conectividade local Coef. Clust. Global melhor para descrever o grafo todo 50
  51. 51. Efeito da ClusterizaçãoA figura a mostra um esquema de conexõesuniformes, com todos os vértices conectadoscom os vizinhos mais próximosA figura b mostra uma situação onde algumasconexões aleatórias que atravessam o Grafo [02] 51
  52. 52. ClusterizaçãoEstas conexões possuem um grande efeito nadistância média do GrafoSuponha, por exemplo, uma única conexão queatravesse o Grafo pelo meio Qualquer propagação teria a sua distância a percorrer reduzida pela metade 52
  53. 53. ClusterizaçãoQuão grande precisa ser o índice declusterização para a rede ser mundo pequeno? Strogatz: “mundo pequeno” se C >> Crg Crg: coef. de clusterização para grafo aleatório com mesmo n e #arestasQual é o coeficiente de clusterização para umgrafo aleatorio Gn,p ? É fácil... 53
  54. 54. ClusterizaçãoGrafo aleatório (random graph): p é a probabilidade de 2 vértices estarem conectados p/ qualquer par de vértices. Portanto para qualquer par de vértices conectados a um 3º vertice, a probabilidade deste par estar conectado é p. Portanto Crg = p = <k>/n 54
  55. 55. Efeito Mundo Pequeno Tabela: l p/ diversos tipos de rede α : expoente se a distribuição segue lei de potência [02] Repare como distâncias médias são pequenas Tipo rede Rede Tipo Vértices Arestas l α Social Atores de filmes não direcional 449.913 25.516.482 3,48 2,3 Social Co-autoria de artigos Física não direcional 52.909 245.300 6,19 - Social Ligações telefônicas não direcional 47.000.000 80.000.000 2,1 Social Mensagens e-mail direcional 59.915 86.300 4,95 1,5 a 2,0Informação Páginas www direcional 203.549.046 2.130.000.000 16,18 2,1 a 2,7Informação Redes de citações direcional 783.339 6.716.198 3,0Tecnológico Distribuição elétrica não direcional 4.941 6.594 18,99 -Tecnológico Rotas de trens não direcional 587 19.603 2,16 - Biológico Rede metabólica não direcional 765 3.686 2,56 2,2 Biológico Cadeia alimentar marinha direcional 135 598 2,05 - Biológico Redes Neurais direcional 307 2.359 3,95 - 55
  56. 56. Efeito Mundo Pequeno Repare no coeficiente de clusterização (z=<k>) 56
  57. 57. Geração de Redes Small WorldUma rede small-world é um tipo de grafo onde amaioria dos vértices não é vizinho dos outrosvértices, mas onde a maioria dos vértices podeser alcançada de qualquer outro vértice atravésde um número pequeno de arestasFormação Iniciar com um anel (lattice) de N vértices com arestas entre os seus n mais próximos vizinhos Cada aresta deve ser religada a outro vértice com probabilidade p 57
  58. 58. Geração de Redes Small World 58
  59. 59. Geração de Rede Small WorldParte de rede regular– cada nó se conecta com alguns vizinhosCada aresta é reconectada a um vértice distancecom probabilidade pSe p=1, temos um grafo aleatório 59
  60. 60. Modelo de Rede Small WorldSe p aumenta, o coef. de clusterização (C) e odiâmetro (L) diminuem. 60
  61. 61. Modelo de Rede Small WorldMas L diminui muito antes de CRegião com C grande e L pequeno = Small WorldConectado só a vizinhosMas perto de todosSem ser aleatórioE com C altoVizinhos conectadosentre si 61
  62. 62. Modelo de Rede Small WorldEste modelo simples não é realista para todos osproblemas small worldMas foi importante para demonstrar aspropriedades básicas e a importância dasferramentas estatísticasParticularmente bom para estudo de epidemiasem plantas:– Plantas doentes infectam as plantas vizinhas– Às vezes pássaros levam polen infectado 62
  63. 63. Conexões fortes e fracasEm 1973, Mark Granovetter de Harvard publica oartigo The Strength of Weak Ties, no AmericanJournal of Sociology Trata-se de um estudo que o autor realizou durante a graduação sobre a busca de empregoAo pesquisar sobre os fatores que influenciavam nabusca de um emprego, principalmente nas redes decontato, ele realizou dezenas de entrevistas comgerentes e profissionais sobre quem tinha indicadoou ajudado a encontrar o emprego As repostas que mais encontrou não foi “um amigo”, mas “um conhecido” 63
  64. 64. Conexões fortes e fracasNo artigo, ele propõe que, na procura de emprego,abrir um restaurante, ou espalhar uma notíciarelevante, as nossas conexões sociais mais fracas(conhecidos) são mais importantes que as nossasligações com os nossos estimados amigosAs ligações fortes (amigos) fecham sobre simesmas, reduzindo as oportunidadesSão as ligações fracas (ou de conhecidos) quepossibilitam que a rede de contatos se expanda eamplie as oportunidades 64
  65. 65. Conexões fortes e fracasO artigo original de Mark Granovetter foi rejeitadona sua primeira tentativa de publicação, e só foipublicado 4 anos depoisHoje, este artigo é reconhecido como um dosartigos mais influentes da sociologia de todos ostempos, e um dos mais citados também 65
  66. 66. Colaboração e Número de ErdösPaul Erdös não colaborou somente como teóricona área de GrafosComo um dos matemáticos mais produtivos detodos os tempos, produziu mais de 1500 artigoscom 507 co-autoresEsta produção bem documentada, possibilitou umoutro estudo sobre redes de colaboração 66
  67. 67. Colaboração e Número de ErdösO número de Erdös é um número que foi criadopara medir a distância entre Erdös e uma pessoa• O próprio Erdös tem o número de Erdös ZeroAqueles que escreveram um artigo em co-autoriacom Erdös receberam o número Erdös de 1Aqueles que escreveram um artigo em co-autoriacom alguém com o número Erdös 1, receberam onúmero Erdös 2, e assim por diante 67
  68. 68. Colaboração e Número de ErdösO estudo da rede de colaboração criada emtorno de Erdös mostrou que, em 1998, existiauma rede fortemente entrelaçada de 70.975matemáticos, conectados através de mais de200 mil artigos em co-autoria [02]Se os matemáticos escolhessem oscolaboradores de forma aleatória, ocoeficiente de clusterização desta rede decolaboração, seria extremamente pequena,cerca de 10-5 68
  69. 69. Colaboração e Número de ErdösEntretanto, as medidas reais mostraram umcoeficiente de clusterização 10.000 vezesmaior, indicando que os matemáticos nãoescolhem as suas colaborações de formaaleatória, e mais que tudo, formam uma redealtamente clusterizada 69
  70. 70. Coeficiente de Clusterização Rede Coeficiente de Clusterização Web 0.081 Flickr 0.313 LiveJournal 0.330 Orkut 0.171 YouTube 0.136Fonte: Measurement and analysis of online social networks, IMC 2007. 70
  71. 71. Referências[01] Barabasi, A.L., Linked: How Everything IsConnected to Everything Else and What It Means forBusiness, Science and Everyday Life, Plume, 2003.[02] Newman, M., The Structure and Function ofComplex Networks, Siam Review, Vol. 45, No 2,pp.167–256, 2003.Aulas Bruno Gonçalveshttp://www.bgoncalves.com/teaching/spring-2011-i690.html 72

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