Los números complejos

Luis Gonzalo Revelo Pabón 50
Dpto. de Matemáticas – Goretti.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax  bx  c  0 se analizó, el discrimi-
2

nante , cuando podría ser positivo, negativo o cero y a la vez la relación que tiene el discrimi-
nante con las soluciones de la ecuación cuadrática.
Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran
imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa
de la solución de la ecuación de segundo grado, además estudiaremos lo que se llama la definición axio-
mática del conjunto de los números complejos, formando así una extensión de los conjuntos numéricos.

NUMEROS IMAGINARIOS: toda expresión algebraica escrito de la forma √ donde n es un número
PAR y –a es un número negativo, se le llama Numero Imaginario puro.
Así, por ejemplo: √ , √ , √ , √ , √ , √ , √ , √ , √ , son números imagi-
narios puros.

UNIDAD IMAGINARIA. La unidad imaginaria de los números imaginarios es √ y se la representa por
la letra i.

Por lo tanto i = √ al elevar al cuadrado ambos miembros tenemos que:

SIMPLIFICACION DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS PUROS

√ √ =√ .√ =Xi
√ √ =√ .√ =2i
√ √ =√ .√ =4i
√ √ =√ .√ =√ i
√ √ =√ .√ =√ i

TALLER
Dadas las siguientes expresiones algebraicas convertirlas a un número imaginario puro de la forma
z = bi, donde b es un número real.

1) Z=√ 6) Z=√
2) Z=√ 7) Z=√
3) Z=√ 8) Z=√
4) Z=√ 9) Z=√
5) Z=√ 10) √

Solución:
1.) z = 2i 2.) z = √ i 3.) z = √ i 4.) z = 4i 5.) z= 9i 6.) z =10i 7.) z=11i 8.) z =13i
9.) z =√ i 10.) z = √ i

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. El conjunto de los números complejos está formado por el conjunto de todas las parejas or-
denadas Z= (a, b), donde a y b son números reales. A este conjunto de los números complejos se lo de-
nota con la letra .

Al número complejo Z = (a, b), está formado por dos partes o componentes, a la primera componente a se
le llama parte real y a la segunda componente b se le denomina parte imaginaria. Es decir:

a = Es la primera componente o componente real
b = Es la segunda componente o componente imaginaria
Z1 = (a, 0) es un número real
Z2 = (0, b) es un número imaginario puro
Z = (a, b) es un número complejo.

Formas de expresar un número complejo. A un número complejo se lo puede escribir de tres maneras:
- De forma de pareja ordenada o vectorial: Z = (a, b)
- De forma binómica: √ = a + bi

- De forma Polar: Z = = r (Cos + Sen )


Ejemplo de números complejos, escritos en forma de pareja ordenada y binómica.

Z = (2,3) = 2+3i,
Z1 = (5, -4) = 5-4i,
Z3 = (-7, 3) = -7+3i,
Z4 = (8, 6) = 8+6i,
Z5 = (-2, -5) = -2-5i,

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Si Z = x + yi es un número complejo, entonces el conjugado del número Z, es un número complejo
̅ = x - yi, es decir, el número complejo conjugado ̅ tiene la misma parte real que el número complejo Z
pero la parte imaginaria tiene signo opuesto o contrario.

Ejemplo. Si Z = 3+ 2i, entonces ̅ = 3- 2i y si Z = 3- 2i, entonces ̅ = 3+ 2i.

Numero complejo Numero complejo conjugado
Z ̅
8-2i 8+2i
-3+5i -3-5i
-4-7i -4+7i
9+12i 9-12i

TALLER
Dados los siguientes números complejos, Z1 = 2+3i, Z2 = 5-2i, Z3 = -4 - 5i, Z4 = -2+8i, Z5 =12 -11i,
Z6 =8+7i, Z7 =9+6i, Z8 =-2+7i, Z9 =-8-3i, Z10 =-5-3i, encontrar el número complejo conjugado en cada uno
de ellos:

1) 6)
2) 7)
3) 8)
4) 9)
5) 10)

Solución:
1) = 2-3i .2) = 5+2i 3.) = -4 + 5i 4.) = -2- 8i 5.) = 12 +11i. 6.) = 8- 7i 7.) = 9- 6i
8.) =-2-7i 9.) = -8 + 3i 10.) = -5 + 3i

SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS: Para sumar dos o más números complejos se suman las partes
reales y las partes imaginarias entre sí. Es decir:

Sean los números complejos Z1 = a + bi y Z2 =c + di, entonces la suma de Z1 + Z2 será igual a:

.Z = Z1 + Z2
.Z = (a + bi) + (c + di)
.Z = (a + c) + (b + d)i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.
.
Ejemplo. Si Z1 = (3,2) y Z2 = (4,-1), halle .Z = Z1 + Z2
.Z = Z1 + Z2
.Z = (3, 2) + (4,-1)
.Z = (3+ 2i) + (4 – i)
.Z = 7 + i

Ejemplo: Si Z1 = (-4,5) y Z2 = (3,-6), halle .Z = Z1 + Z2
.Z = Z1 + Z2
.Z = (-4, 5) + (3, -6)
.Z = (-4+ 5i) + (3 – 6i)
.Z = -1 - i

Ejemplo:
Sumar
1. Z1 = 2+5i y Z2 = 3-2i
2. Z1 = -3 -3i, Z2 = 5-2i, y Z3 = 4+5i
3. Z1 = 12+3i, Z2 = -10+12i, Z3 = -5-8i, y Z4 = 3+2i

Solución


1. Z = Z1 + Z2 =( 2+5i) + (3-2i) = 5 -3i
2. Z = Z1 + Z2 + Z3 = (-3 -3i) + (5-2i) + (4+5i) = 6
3. Z = Z1 + Z2 + Z3 +Z4 = (12+3i) + (-10+12i) + (-5-8i) + (3+2i) = 12+3i -10+12i -5-8i + 3+2i = 9i.

TALLER
Dados los siguientes números complejos, Z1 = 2+3i, Z2 = 5-2i, Z3 = -4 - 5i, Z4 = -2+8i, Z5 =12 -11i, Z6
=8+7i. Encontrar:
1) Z = Z1 + Z2 6) Z = Z2 + Z3
2) Z = Z1 + Z3 7) Z = Z2 + Z4
3) Z = Z1 + Z4 8) Z = Z2 + Z5
4) Z = Z1 + Z5 9) Z = Z2 + Z6
5) Z = Z1 + Z6 10) Z = Z3 + Z4

Solución:
1.) Z = 7 + i 2.) Z = -2 – 2i 3.) Z = 11i 4.) Z = 14 – 8i 5.) Z = 10 +10i 6.) Z = 1-7i 7.) Z = 3+6i
8.) Z = 17 -13i 9.) Z = 13 + 5i 10.) Z = -6 +3i

DIFERENCIA DE NUMEROS COMPLEJOS: Para restar números complejos se restan las partes reales y
las partes imaginarias entre sí. Es decir:

Sean los números complejos Z1 = a + bi y Z2 =c + di, entonces de Z1 restar Z2 será igual a:
Z = Z1 - Z2
Z = (a + bi) - (c + di)
Z = a +bi –c -di
Z = (a - c) + (b - d) i, puesto que a, b, c, d son todos números reales.

Ejemplo:
De Z1 = 5+7i restar (quitarle) Z2 = 4 +2i
Z = Z1 - Z2
Z = (5+7i) – (4+2i)
Z = 5+7i -4-2i
Z = 1+5i.

Ejemplo
Restar (quitarle) Z1 = -3-7i de Z2 = 8-11i
Z = Z2 – Z1
Z = (8-11i) – (-3-7i)
Z = 8-11i +3+7i
Z = 11 - 4i

TALLER
Z6 =8+7i. Encontrar la diferencia de los dos números complejos que se indican a continuación:
1) Z = Z1 - Z2 6) Z = Z2 - Z3
2) Z = Z1 - Z3 7) Z = Z2 - Z4
3) Z = Z1 - Z4 8) Z = Z2 - Z5
4) Z = Z1 - Z5 9) Z = Z2 - Z6
5) Z = Z1 - Z6 10) Z = Z3 - Z4
Solución:
1) Z = --3 + 5i 2) Z = 6 + 8i 3) Z = 4 - 5i 4) Z = --10 + 14i 5) Z = --6 -- 4i 6) Z = 9 + 3i
7) Z = 7—10i 8) Z = 17 -13i 9) Z = --3 –9i 10) Z = -2 --13i

MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS: Para multiplicar dos números complejos, se los multi-
plica como dos expresiones algebraicas compuestas, teniendo en cuenta que: = -1. Es decir:
2 2
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi = (ac - bd) + (ad + bc)i porque i = -1.

Ejemplo:
Multiplicar los siguientes números complejos
1. Z1 = 3 –4i por Z2 = 5 –3i
2. Z1 = 3+5i por Z2 = 4 –3i
3. Z1 = -4 –3i por Z2 = -7+4i


Solución:

Z = Z1. Z1 = 3+29i

Z = Z1. Z1 = 27 – 29i

Z = Z1. Z1 = 40 + 5i

TALLER
Z6 =8+7i. Encontrar el producto de los siguientes números complejos.
1) Z = Z1. Z2 6) Z = Z2. Z3
2) Z = Z1. Z3 7) Z = Z2. Z4
3) Z = Z1. Z4 8) Z = Z2. Z5
4) Z = Z1. Z5 9) Z = Z2. Z6
5) Z = Z1. Z6 10) Z = Z3. Z4
Solución:
1) Z = 16 + 11i 2) Z = 7 – 22i 3) Z = --28 +10i 4) Z = 57 + 14i 5) Z = --5 +38i 6) Z = --30 - 17i
7) Z = 6+ 44i 8) Z = 38 - 79i 9) Z = 54 + 19i 10) Z = 48 –22i

DIVICION DE NUMEROS COMPLEJOS: Para dividir dos números complejos, en primer lugar la división
se la expresa en forma de un número fraccionario, luego se racionaliza a la fracción, para ello se multipli-
ca al numerador y al denominador de la fracción por el numero complejo conjugado del denominador. Es
decir:

̅
( )( )
̅
Ejemplo

Dividir Z1. = 5 + 2i entre Z2. = 4-3i

( )( )
Dividir Z1. = -3 +4i entre Z2 = -5-7i

( )( )

TALLER
Z6 =8+7i, Z7 =9+6i, Z8 =-2+7i, Z9 =-8-3i, Z10 =-5-3i, encontrar el cociente de los siguientes números com-
plejos:
1) 6)

2) 7)


3) 8)

4) 9)

5) 10)

Solución:
1) Z = 2) Z = 3) Z = 4) Z = 5) Z =

6) Z = 7) Z = 8) Z = 9) Z = 10) Z =

Raíces con números complejas de la ecuación de segundo grado:
Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real, tiene dos solu-
ciones imaginarias que son números complejos conjugados.

Ejemplo. Resolver la ecuación x  2 x  6  0 .
2

2 2
X - 2X + 6 = 0 al comparar con AX + BX + C = 0 se deduce que: {

Resolvemos la ecuación cuadrática, mediante la expresión algebraica:

√

Remplazamos:

√

√

√

√

Solución: Las raíces complejas de la ecuación son: y

TALLER
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.
2 2
1) X +3X + 4 =0 6) X + 9 =0
2 2
2) X +3X + 12 =0 7) 3X –8X +16 =0
2 2
3) X –5X + 7 =0 8) 5X +4X + 4 =0
2 2
4) X +2X + 8 =0 9) 6X –9X +7 =0
2 2
5) X –2X + 8 =0 10) 5X –4X + 7 =0
Solución:
1) –1, 5 1,32i 2) –1, 5 3,12i 3) 2, 5 0,86i 4) –1 2, 64 5)1 2,64i 6) 3i 7) 1, 33 1,85i
8) –0,4 0,8i 9) 0,75 0,77i 10) 0,4 1,11i


Módulo y argumento de un número complejo

Sea z = (a, b) = a + bi un numero complejo, entonces el módulo o Valor Absoluto del número complejo z
simbolizado por | | o simplemente r, que es un número real definido por la siguiente expresión
r=| | √ .

El módulo o Valor Absoluto | | se interpreta como la distancia que existe entre el origen del plano carte-
siano al punto de la pareja z =(a, b).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  bi , al ángulo formado entre el semi
eje positivo de las x y el radio vector r que determina el módulo z .

El argumento del número complejo z se denota por arg( z ) y se calcula mediante la siguiente expresión:

.arg (z) = tang ( )
-1
donde {

.

Ejemplo:
Dado los siguientes números complejos:
1. z = (3, 4) = 3 + 4i
2. z = (-4, 5) = -4 +5i
3. z = (-5, -6) = -5 -6i
4. z = (2, -2) = 2 - 2i

Representarlos en el plano cartesiano, encontrar el módulo
| |, y el argumento de z.

Solución
1. z = (3, 4) = 3 + 4i
Como:
.a = 3
.b = 4
Entonces

Por definición de módulo o Valor Absoluto del número
complejo z se tiene que:

| | √ . Remplazamos
| | √
| | √ = 5.

Por definición de argumento o ángulo se tiene que:


.arg (z) = tang ( )
-1
remplazamos:

.arg (z) = tang ( )
-1

.arg (z) = 53,13º
.arg (z) = 53º 7´

2. z = (-4, 5) = -4 +5i
Como:
.a = -4
.b = 5
Entonces

Por definición de módulo o Valor Absoluto del
número complejo z se tiene que:

| | √
| | √

Por definición de argumento o ángulo se tiene
que:

.arg (z) = tang ( )
-1
remplazamos:

.arg (z) = tang ( )
-1

.arg (z) = -51,34º
.arg (z) = - 51,34º + 180º
.arg (z) = 128º 39º

3. z = (-5, -6) = -5 -6i
Como:

a = -5
.b = -6
Entonces


| | √
| | √

que:

.arg (z) = tang ( )
-1
remplazamos:

.arg (z) = tang ( )
-1

.arg (z) = 50,19º
.arg (z) = 50,19º + 180º
.arg (z) = 230,19º


z = (2, -2) = 2 - 2i

Como:
a=2
.b = -2
Entonces


| | √
| | √

que:

.arg (z) = tang ( )
-1
remplazamos:

.arg (z) = tang ( )
-1

.arg (z) = -45º
.arg (z) = -45º + 180º
.arg (z) = 135º

TALLER
Dado los siguientes números complejos. Representarlos en el plano cartesiano, encontrar el módulo | |,
y el argumento de z.

1) z = (3, 4) = 3 + 4i
2) z = (-4, 5) = -4 +5i
3) z = (-5, -6) = -5 -6i
4) z = (2, -5) = 2 - 5i
5) z = (3, -7) = 3 - 7i
6) z = (-4, -5) = -4 - 5i
7) z = (-5, -6) = -5 -6i,

Solución: 1) | | = 5, 53,13º 2) | | = 6,40 128,65º 3) | | =7,81 230,19º 4) | | = 5,38
291.80º 5) | | =7,61 293,19º 6) | | = 6,4; 231,34º 7) | | = 7,81 230,19º.

Un número complejo escrito en forma polar: Un numero escrito en forma Polar tiene la forma de:
Z = a +bi =
Dónde:
Z: Número complejo
: Número complejo escrito en forma polar
= [ ]: Modulo del número complejo.
: Angulo formado por el vector del número com-
plejo, y el semi eje positivo de las X.

El número complejo Z

Z= = r (Cos + Sen )

Porque: z= a + bi {

Dónde:
Cos: Función trigonométrica
Sen: Función trigonométrica.

Ejemplo.
Escribir en forma polar los siguientes números complejos: A) z= 3 + 2 i, B) z =1 - i, C) z = -2 - 5 i.


Solución.
A) Z = 3 + 2i
- El modulo del número complejo está definido por: √
Remplazamos:
√ =√ =3,60
- El argumento o ángulo del número complejo Z, está definido por: Z =
Remplazamos:
-1
tang ( = 33,69º El complejo dado se encuentra en el primer cuadrante.
Por lo tanto, el número complejo escrito en forma Polar está definido por:
Z = a + bi = remplazamos.
Z = 3+2i =

B) Z = 1 – i
Remplazamos:
√ =√ =1,41
Remplazamos:
-1
tang ( = -- 45º El complejo dado se encuentra en el cuarto cuadrante. Entonces:
= 360º -- 45º = 315º
Como el número complejo escrito en forma Polar está definido por:
Z=1–i=

C) Z = -2 – 5i
Remplazamos:
√ =√ = 5,38
Remplazamos:
-1
tang ( = 68,19º El complejo dado se encuentra en el tercer cuadrante. Entonces:
=180º + 68,19º = 248,19º
Como el número complejo escrito en forma Polar está definido por:
Z = --2 –5i =

Ejemplo. Representar en forma binómica los complejos los siguientes números complejos escritos en
forma polar: a) 350°, b) 2180°, y c) 1220°

Solución:
Un número complejo escrito en forma polar, trigonométrica y binómica es igual a:
Z = = r (Cos + Sen ) = a+ bi
Por lo tanto al remplazar en la ecuación anterior la información dad, se tiene:
a) Z = 350° = 3.(Cos 50° + i.Sen 50°) = 3(0,643 + 0,766 i) = 1,929 + 2,298 i
b) Z = 2180° = 2.(Cos 180° + i.Sen 180°) = 2 (-1 + 0 i) = - 2
c) Z = 1220° = 1.(Cos 220° + i.Sen 220°) = - 0,766 - 0,643 i

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