1. RELACIONES
FUNCIONES LOGICAS, ENUNCIADOS FORMALES
Se llama función lógica definida sobre el producto cartesiano A × B de dos
conjuntos A y B, una expresión denotada por
P(x, y)
que se caracteriza porque cuando en P(x, y) se sustituyen las variables x e y,
respectivamente, por a y b, se convierte en un enunciado ya verdadero, ya falso, para todo
par ordenado (a, b) ∈ A × B. Por ejemplo, si A es el conjunto de autores y B el de dramas,
entonces
P(x, y) = «x escribió y»
es una función lógica sobre A × B. Por ejemplo:
P(Shakespeare, Hamlet) = «Shakespeare escribió el Hamlet»
P(Shakespeare, Fausto) = «Shakespeare escribió el Fausto»
son verdadero y falso, respectivamente.
La expresión misma P(x, y) se dice enunciado formal en dos variables, o
simplemente, enunciado formal. Ejemplos de enunciados formales son los siguientes:
Ejemplo 1-1: «x es menor que y».
Ejemplo 1-2: «x pesa y kilos».
Ejemplo 1-3: «x divide a y».

2. Ejemplo 1-4: «x es la esposa de y».
Ejemplo 1-5: «El cuadrado de x más el cuadrado de y da dieciséis», o sea «x2 + y2 = 16».
Ejemplo 1-6: «El triángulo x es semejante al triángulo y».
En todos estos ejemplos hay dos variables, pero también pueden darse enunciados
en una variable, como «x esta en las Naciones Unidas», o en más de dos variables, como «x
por y igual z».
RELACIONES
Una relación R consiste en lo siguiente:
(1) Un conjunto A.
(2) Un conjunto B.
(3) Un enunciado formal P(x, y) tal que P(a, b) es verdadero o falso para todo par
ordenado (a, b) de A × B.
Se dice entonces que R es una relación entre A y B y se la denota por
R = (A, B, P(x, y))
Además, si P(a, b) es verdadero, se escribe
aRb
que se lee «a está relacionado con b»; y si P(a, b) es falso, se escribe
que se lee «a no está relacionado con b».
Ejemplo 2-1: Sea R1 = (R, R, P(x, y)), donde P(x, y) se supone significar «x es menor que
y». Es claro que R1, es una relación, porque P(a, b), o lo que es lo mismo, «a < b», es

3. verdadero o falso para todo par ordenado (a, b) de números reales. Así, pues, como
P(2, π) es verdadero, se puede escribir
2 R1 π
y puesto que P(5, √2) es falso,
Ejemplo 2-2: Sea R2 = (A, B, P(x, y)), donde A es el conjunto de los hombres, B es el
conjunto de las mujeres y P(x, y) es «x es el marido de y». R2 es una relación ciertamente.
Ejemplo 2-3: Sea R3 = (N, N, P(x, y)), donde N es el conjunto de los números naturales y
P(x, y) se lee «x divide a y». R3 es entonces una relación y evidentemente
3 R3 12
y
Ejemplo 2-4: Sea R4 = (A, B, P(x, y)), siendo A el conjunto de los hombres, B el de las
mujeres y P(x, y) quiere decir «x divide a y». Aquí R4 no es una relación, pues P(a, b),
carece de significado si a es un hombre y b una mujer.
Ejemplo 2-5: Sea R5 = (N, N, P(x, y)), siendo N los números naturales y donde P(x, y)
significa «x es menor que y». Aquí R5 es una relación.
Sea R = (A, B, P(x, y)) una relación. Se dice que el enunciado formal P(x, y) define
una relación entre A y B. Además, si A = B, se dice que P(x, y) define una relación en A o
que R es una relación en A.
Ejemplo 2-6: El enunciado formal P(x, y), que se lee «x es menor que y», define una
relación en los números racionales.

4. Ejemplo 2-7: El enunciado formal «x es el esposo de y», define una relación entre el
conjunto de hombres y el conjunto de mujeres.
CONJUNTOS DE SOLUCION Y GRAFOS DE RELACIONES
Sea R = (A, B, P(x, y)) una relación. El conjunto de los elementos (a, b) de
A × B, para los cuales P(a, b) es verdadero, se llama conjunto solución R* de la relación R.
Es decir,
R* = {(a, b) │a ∈ A, b ∈ B, P(a, b) es cierto}
Es claro que R*, conjunto solución de una relación R entre A y B, es un subconjunto de
A × B. Por tanto, R* se puede representa o mostrar en el diagrama de coordenadas de
A × B.
El grafo de una relación R entre A y B consta de los puntos del diagrama de
coordenadas de A × B que pertenecen al conjunto solución de R.
Ejemplo 3-1: Sea R = (A, B, P(x, y)), donde A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} y P(x, y)
significa «x divide a y». Entonces el conjunto solución de R es
R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

5. En el diagrama de coordenadas de A × B que aparece en la Fig. 6-1 se muestra el conjunto
solución de R.
Ejemplo 3-2: Sea R la relación definida en los números reales por
y<x+1
La porción sombreada del diagrama cartesiano de R × R en la Fig. 6-2 consiste en los
puntos que pertenecen a R*, conjunto solución de R, o sea que es el grafo de R.
Nótese que R* está formado por los puntos debajo de la recta y = x + 1. La recta
y = x + 1 se representa en línea de trazos para indicar que los puntos de esa recta no
pertenecen a R*.
RELACIONES COMO CONJUNTOS DE PARES ORDENADOS
Sea R* un subconjunto de A × B. Puede definirse una relación R = (A, B, P(x, y)),
donde P(x, y) signifique

6. «El par ordenado (x, y) pertenece a R*»
El conjunto de solución de esta relación R es el conjunto original R*. Así, a toda relación
R = (A, B, P(x, y)) corresponde un conjunto de solución único R* que es un subconjunto de
A × B, y a cada subconjunto R* de A × B corresponde una relación R = (A, B, P(x, y)) de
la cual es R* el conjunto de solución. En vista de esta correspondencia inyectiva y
sobreyectiva entre relaciones R = (A, B, P(x, y)) y subconjuntos R* de A × B, se puede
definir también una relación así:
Definición 6-1: una relación R entre A y B es un subconjunto de A × B.
Si bien la Definición 6-1 de una relación puede parecer artificiosa, tiene sin
embargo, la ventaja de que no se sirve de conceptos no definidos como «enunciado formal»
y «variable» para definir una relación.
Ejemplo 4-1: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces
R = {(1, a), (1, b), (3, a)}
es una relación entre A y B. Se tiene
1R a y 3R a
y
y
Ejemplo 4-2: Sean W = {a, b, c}. Entonces
R = {(a, b), (a, c), (c, c), (c, b)}
es una relación, y entonces
aR b y cR c
y
y
Ejemplo 4-3: Sea

7. R = {(x, y) │x ∈ R, y ∈ R, y < x2}
Así que R es un conjunto de pares ordenados de números reales, o sea que es un
subconjunto de R × R. Por consiguiente, R es una relación en los números reales que se
podría definir asimismo por
R = (R, R, P(x, y))
habiéndose de leer P(x, y) «y es menor que x al cuadrado».
Observación 6-1: Si el conjunto A tiene m elementos y el B tiene n elementos , hay
entonces 2mn relaciones distintas entre A y B, porque A × B, que tiene mn elementos, tiene
2mn subconjuntos diferentes.
RELACIONES INVERSAS
Toda relación R entre A y B time una relación inversa R -1 entre B y A, que se define
por
R -1 = {(b, a) │(a, b) ∈ R}
Es decir, la relación inversa R -1 consta de los pares ordenados que al ser invertidos, es
decir, permutados, pertenecen a R.
Ejemplo 5-1: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces
R = {(1, a), (1, b), (3, a)}
es una relación entre A y B. La relación inversa de la R es
R -1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}
Ejemplo 5-2: Sean W = {a, b, c}. Entonces
R = {(a, b), (a, c), (c, c), (c, b)}

8. es una relación en W. La relación inversa de esta R es
R -1 = {(b, a), (c, a), (c, c), (b, c)}
RELACIONES REFLEXIVAS
Sea R = (A, A, P(x, y)) una relación en un conjunto A, es decir, sea R un
subconjunto de A × A. Sc dice que R es una relación reflexiva si, para todo a ∈ A,
(a, a) ∈ R
o lo que es lo mismo, R es reflexiva si todo elemento de A esta relacionado consigo mismo.
Ejemplo 6-1: Sean V = {1, 2, 3, 4} y
R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}
Esta R no es una relación reflexiva, ya que (2, 2) no pertenece a R. Téngase en cuenta que
Todos los pares ordenados (a, a) deben pertenecer a R para que R sea reflexiva.
Ejemplo 6-2: Sea A el conjunto de triángulos del plano euclidiano. La relación R definida
en A por el enunciado formal «x es semejante a y» es una relación reflexiva porque todo
triangulo es semejante a si mismo.
Ejemplo 6-3: Sea R la relación definida en los números reales por el enunciado formal «x
es menor que y», es decir, «x < y». Aquí R no es reflexiva puesto que a ≮ a para todo
número real a.

9. Ejemplo 6-4: Sea A una familia de conjuntos y sea R la relación definida en A por «x es
un subconjunto de y». Esta relación R es reflexiva porque todo conjunto subconjunto si
mismo.
RELAClONES SIMETRICAS
Sea R un subconjunto de A × A, es decir, sea R una relación en A. Se dice que R es
una relación simétrica si
(a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ R
esto es, que si a está relacionado con b, entonces b está relacionado con a.
Ejemplo 7-1: Sean S = {1, 2, 3, 4} y
R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)}
Aquí R no es una relación simétrica, puesto que
(2, 3) ∈ R pero (3, 2) ∉ R
Ejemplo 7-2: Sea A el conjunto de los triángulos del plano euclidiano, y sea R la relación
en A definida por el enunciado formal «x es semejante a y». Entonces R es simétrica,
puesto que si el triángulo a es semejante al triángulo b, entonces el triángulo b es también
semejante al a.

10. Ejemplo 7-3: Sea R la relación en los números naturales N que viene definida por «x
divide a y". Esta R no es simétrica, pues si 2 divide a 4, 4 no divide a 2. Es decir,
(2, 4) ∈ R pero (4, 2) ∉ R
Observación 6-2: Como (a, b) ∈ R implica que (b, a) pertenece a la relación reciproca
R -1, R es una relación simétrica si, y solamente si,
R = R -1
RELACIONES ANTISIMETRICAS
Una relación R en un conjunto A, o sea un subconjunto de A × A, se dice relación
antisimétrica si
(a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R implica a = b
O, en otras palabras, si a ≠ b, entonces puede a estar relacionado con b, o bien b
relacionado con a, pero no las dos cosas.
Ejemplo 8-1: Sea N el conjunto de los números naturales y R sea la relación definida en
N por «x divide a y». Esta R es antisimétrica, puesto que a divide a b y b divide a a
implican a = b.
Ejemplo 8-2: Sea W = {1, 2, 3, 4} y sea
R = {(1, 3), (4, 2), (4, 4), (2, 4)}
no es una relación antisimétrica en W, pues

11. (4, 2) ∈ R y (2, 4) ∈ R
Ejemplo 8-3: Sea A una familia de conjuntos, y sea R la relación definida en A por «x es
un subconjunto de y». Esta relación R es antisimétrica porque
A ⊂ B y B ⊂ A implica A = B
Observación 6-3: Sea D la diagonal de A × A, esto es, el conjunto de todos los pares
ordenados (a, b) ∈ A × A. Entonces una relación R en A es antisimétrica si, y solamente si,
R ∩R -1 ⊂ D
RELACIONES TRANSITIVAS
Una relación R en un conjunto A se dice relación transitiva si

12. (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R implica (a, c) ∈ R
o sea que si a está relacionado con b, y b está relacionado con c, entonces a está
relacionado con c.
Ejemplo 9-1: Sea A el conjunto de gentes de la Tierra. Sea R la relaci6n en A definida por
el enunciado formal «x ama a y». Si a ama a b y b ama a c, no se sigue necesariamente que
a ama a c. Así que R no es una relación transitiva.
Ejemplo 9-2: Sea R la relación definida en los números reales por «x es menor que y».
Entonces, como ya se ha demostrado,
a < b y b < c implica a < c
Por tanto, R es una relación transitiva.
Ejemplo 9-3: Sean W = {a, b, c} y sea
R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)}
Esta relación R no es transitiva porque
(c, b) ∈ R y (b, a) ∈ R pero (c, a) ∉ R
Ejemplo 9-4: Dada A, una familia de conjuntos, sea R la relación definida en A por «x es
un subconjunto de y». Aquí R es una relación transitiva porque
A⊂ ByB⊂C implica A ⊂ C

13. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si
(1) R es reflexiva, esto es, para todo a ∈ A, (a, a) ∈ R.
(2) R es simétrica, esto es, (a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ R.
(3) R es transitiva, esto es, (a, b) ∈ R, y (b, c) ∈ R implican (a, c) ∈ R.
Ejemplo 10-1: Sea A el conjunto de triángulos del plano euclidiano. Sea R la relación en A
definida por «x es semejante a y». Entonces, como se demuestra en geometría, R es
Reflexiva, simétrica y transitiva y, por tanto, R es una relación de equivalencia.
Ejemplo 10-2: El ejemplo mas importante de relación de equivalencia es el de la
«igualdad». Para cualesquiera elementos en todo conjunto
(1) a = a,
(2) a = b implica b = a,
(3) a = b y b = c implican a = c.
DOMINIO DE DEFINICION Y DOMINIO DE IMAGENES DE UNA RELACION
Sea R una relación entre A y B, es decir, sea R un subconjunto de A × B. El
dominio de definición D o dominio simplemente de la relación R es el conjunto de todos
los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R, o sea
D = {a │a ∈ A, (a, b) ∈ R}

14. El dominio de imágenes E de la relación R consiste en todos los segundos elementos que
aparecen en los pares ordenados, o sea
E = {b │b ∈ B, (a, b) ∈ R}
Se ve que el dominio de definición de una relación entre A y B es un subconjunto de A y
que su dominio de imágenes es un subconjunto de B.
Ejemplo 11-1: Sean A = {1, 2, 3,4} y B = {a, b, c} y
R = {(2, a), (4, a), (4, c)}
Aquí el dominio de definición de R es el conjunto {2, 4} y el dominio de imágenes de R es
el conjunto {a, c}.
Ejemplo 11-2: Sea la relación R definida en los números reales por el enunciado formal
«4x2 + 9y2 = 36». Se muestra R en el diagrama de coordenadas cartesianas de R × R en la
figura de abajo. El dominio de definición de R es el intervalo cerrado [-3, 3] y el dominio
de imágenes de R es el intervalo cerrado [-2, 2].

15. Observación 6-4: Sea una relación R entre A y B representada en un diagrama de
coordenadas de A × B. Entonces a ∈ A esta en el dominio de R si, y solamente si, la
vertical por a contiene un punto del grafo de R. Asimismo, b ∈ B esta en el dominio de
imágenes de R si, y solamente si, la horizontal por b contiene un punto del grafo de R.
RELACIONES Y FUNCIONES
Repitamos la
Definición 5-1: Una función f de A en B es un subconjunto de A × B en el cual cada a ∈ A
aparece como primer elemento en un par ordenado de f y solo en uno.
Como todo subconjunto de A × B es una relación, una función es un tipo especial de
relación. Así, por ejemplo, los términos «dominio de definición» y «dominio de imágenes»
aparecen tanto en el estudio de las funciones como en el de las relaciones.
Problema importante es en matemáticas el determinar si una relación R definida en
los números reales por una ecuación de la forma
F(x, y) = 0
es o no una función. Es decir, dada la relación definida por
F(x, y) = 0
¿define una función y = f (x) esta relación?
En general, este problema es en extremo difícil. Aquí solo se esta en posibilidad de
resolver tal pregunta en el case de ecuaciones muy sencillas.
Ejemplo 12-1: Sea R la relación en los números reales definida por
x2 + y2 = 25
R se representa en el diagrama cartesiano R × R de la Figura 6-3.

16. R es un círculo de radio 5 con el centro en el origen. Hay, pues, muchas verticales
que contienen más de un punto de R así (3, 4) ∈ R y también (3, -4) ∈ R, de modo que la
relación R no es una función.
Ejemplo 12-2: Sean A = [-5, 5] , B = [0, ∞) y sea R la relación entre A y B definida por
x2 + y2 = 25
R se representa en el diagrama de A × B de la Figura 6-4.

17. R es la mitad superior de un círculo, pero aquí i cada vertical contiene un punto, y
solo uno, de R; por tanto, R es una función.
Ejemplo 12-3: Sea R la relación definida en los números reales por
2x - 3y = 6
y que se representa R, en el diagrama cartesiano de R × R de la Fig. 6-5.
Aquí R es una recta y cada vertical contiene un punto, y solo uno, de R; R es, pues,
una función. Además, despejando y en la ecuación anterior, se tiene una fórmula que define
la función R:
y = (2x - 6)/3