Prof. JorgeÂngulos no triângulo
Prof. JorgeSoma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante eigual a 180º.ACBrA + B + ...
Prof. JorgeMedida do ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjac...
Prof. JorgeMedida do ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjac...
Prof. JorgeExemplo Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD.Calcular a medida x do ângulo indicado.BAD76...
Prof. JorgeCongruência de triângulos
Prof. JorgeTriângulos congruentes Dois triângulos são congruentes, se e somente se, tiveremos lados dois a dois iguais e,...
Prof. JorgeCritérios de congruênciaExistem alguns critérios mínimos que garantem acongruência de dois triângulos. São os c...
Prof. JorgeCaso LAL (Lado, Ângulo, Lado) Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes doislados e o ângulo compreendi...
Prof. JorgeExemplo Provar que todos os pontos da mediatriz de um segmentosão eqüidistantes de seu extremos.AmBMPL → PM = ...
Prof. JorgeCaso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes umlado e dois ângulos a ele a...
Prof. JorgeExemplo Na figura, AB = AD e BC // DE. Provar que AC = AE.B DAA → B = DL → AB = ADA → CAB = EADΔ ABC = Δ ADE⇒C...
Prof. JorgeCaso LAA (Lado, Ângulo, Ângulo) Se dois triângulos tem ordenadamente um lado, um ânguloe o ângulo oposto ao la...
Prof. JorgeExemplo Provar que todo ponto da bissetriz de um ângulo éeqüidistante de seus lados.L → OP = OPA → POA = POBA ...
Prof. JorgeCaso LLL (Lado, Lado, Lado) Se dois triângulos tem os três lados ordenadamentecongruentes, então esses triângu...
Prof. JorgeExemplo No triângulo ABC da figura, AB = AC e AM é a medianarelativa a BC. Provar que AM é também bissetriz in...
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Geometria plana angulos no triangulo econgruencia

  1. 1. Prof. JorgeÂngulos no triângulo
  2. 2. Prof. JorgeSoma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante eigual a 180º.ACBrA + B + C = 180º + C +  = 180º = A e  = B⇒r // AB
  3. 3. Prof. JorgeMedida do ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.ACB + C = 180ºA + B + C = 180º( I )( II )⇒ + C = A + B + C⇒ = A + B
  4. 4. Prof. JorgeMedida do ângulo externo Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.fACBe = A + Bgef = A + Cg = B + C
  5. 5. Prof. JorgeExemplo Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD.Calcular a medida x do ângulo indicado.BAD76º 115ºCxy y76 + y = 115 y = 39º⇒115 + y = x115 + 39 = xx = 154º⇒
  6. 6. Prof. JorgeCongruência de triângulos
  7. 7. Prof. JorgeTriângulos congruentes Dois triângulos são congruentes, se e somente se, tiveremos lados dois a dois iguais e, também, ângulos internos doisa dois iguais.AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’A = A’ ; B = B’ e C = C’⇒A’ B’C’Δ ABC = Δ A’B’C’ACB
  8. 8. Prof. JorgeCritérios de congruênciaExistem alguns critérios mínimos que garantem acongruência de dois triângulos. São os casos decongruência.
  9. 9. Prof. JorgeCaso LAL (Lado, Ângulo, Lado) Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes doislados e o ângulo compreendido, então eles sãocongruentes.L → AB = A’B’A → A = A’ ⇒A’ B’C’Δ ABC = Δ A’B’C’ACBL → AC = A’C’
  10. 10. Prof. JorgeExemplo Provar que todos os pontos da mediatriz de um segmentosão eqüidistantes de seu extremos.AmBMPL → PM = PMA → PMA = PMBL → MA = MBΔ PMA = Δ PMB⇒⇒PA = PB
  11. 11. Prof. JorgeCaso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes umlado e dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulossão congruentes.A → A = A’L → AB = A’B’ ⇒A’ B’C’Δ ABC = Δ A’B’C’ACBA → B = B’
  12. 12. Prof. JorgeExemplo Na figura, AB = AD e BC // DE. Provar que AC = AE.B DAA → B = DL → AB = ADA → CAB = EADΔ ABC = Δ ADE⇒CE⇒AC = AE
  13. 13. Prof. JorgeCaso LAA (Lado, Ângulo, Ângulo) Se dois triângulos tem ordenadamente um lado, um ânguloe o ângulo oposto ao lado, então eles são congruentes.L → AB = A’B’A → A = A’ ⇒A’ B’C’Δ ABC = Δ A’B’C’ACBA → C = C’
  14. 14. Prof. JorgeExemplo Provar que todo ponto da bissetriz de um ângulo éeqüidistante de seus lados.L → OP = OPA → POA = POBA → A = BΔ PAO = Δ PBO⇒OABP⇒PA = PB
  15. 15. Prof. JorgeCaso LLL (Lado, Lado, Lado) Se dois triângulos tem os três lados ordenadamentecongruentes, então esses triângulos são congruentes.L → AB = A’B’L → AC = A’C’ ⇒A’ B’C’Δ ABC = Δ A’B’C’L → BC = B’C’ACB
  16. 16. Prof. JorgeExemplo No triângulo ABC da figura, AB = AC e AM é a medianarelativa a BC. Provar que AM é também bissetriz interna ealtura relativas a BC.L → AB = ACL → AM = AML → BM = CMΔ AMB = Δ AMC⇒⇒AM é bissetriz interna ealtura relativas a BC.BACM

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