Arthur Prior, Temporal and Modal Logic

1. STANFORD ENCYCLOPEDIA OF PHILOSOPHY
ARTHUR PRIOR. By Jack Copeland1
.
Arthur Prior (1914-1969) fue un pionero en lógica intensional en un tiempo en el que
los conceptos de modalidad e intensión estaban bajo sospecha. Fundó la lógica del
tiempo y fue el principal teórico del movimiento para aplicar la sintaxis modal a la
formalización de una amplia variedad de fenómenos. Prior y Carew Meredith divisaron
una versión de la semántica de mundos posibles antes de que Kripke publicara su primer
artículo en esta dirección. Un iconoclasta y un innovador ingenioso, inspiró muchos de
los primeros trabajos en lógica intensional.
TRABAJO EN LÓGICA TEMPORAL
El más significativo logro de Prior fue, indudablemente, la invención y desarrollo de la
lógica temporal. Su primera mención de una lógica que hace distinciones temporales se
encuentra en el penúltimo capítulo de The Craft of Formal Logic (1951). Siguiendo a
von Wright en lógica deóntica, advirtió que hay otras clases de predicados modales que
pueden colocarse junto a los ordinarios o modos “aléticos” de necesidad y posibilidad.
Prior se refiere a estas modalidades no-aléticas como “cuasi-modales”. Después, apunta
que Peter of Spain clasificó las distinciones adverbiales de tiempo como modos: “Que
podría haber allí una lógica modal de las distinciones temporales ha sido sugerido en
la actualidad por el profesor Findlay”. (p. 750).
El artículo de Findlay “Time: A treatment of Some Puzzles” apareció en el Australasian
Journal of Psycology and Philosophy en 1941. Prior se dio cuenta de esto como
resultado de su aparición en la colección de Flew Essays on Logic and Language de
1951, que llegó a Nueva Zelanda justo cuando Prior estaba escribiendo los capítulos
finales de The Craft. La sugerencia a la que Prior se refiere es apenas un comentario
“nuestras convenciones con respecto a los tiempos están bien hechas, de modo que
contamos, prácticamente, con materiales en ellos para un cálculo formal”, escribió
Findlay. Y en una nota a pie de página:
El cálculo de los tiempos debe ser incluido en el desarrollo moderno de la lógica modal. Éste
incluye proposiciones tan obvias como
x presente ≡ (x presente) presente
x futuro ≡ (x futuro) presente ≡ (x presente) futuro;
además de,
(x).(x pasado) futuro; esto es, todos los sucesos pasados, presentes y futuros serán pasado.
El primer artículo de Prior en lógica temporal, “Three-Valued Logic and Future
Contingents”, apareció en the Philosophical Quaterly de 1953. En 1949, aprendió del
estudio de Geach de Julius Weinberg Nocolaus of Autrecourt: A Study in Fourteenth
Century Thought que para los escolásticos una expresión como “Sócrates está sentado”
es completa en el sentido de ser verificable, verdad unas veces, falsa en otras. Prior sacó
a la luz esta idea -prevaleciente incluso hoy en día- que tal expresión es incompleta
hasta que damos un tiempo de referencia y que no podemos hablar del valor de verdad
1
1ª publicación el 7 de octubre de 1996. Última modificación el 29 de Noviembre de 1999. Traducción de
Manuel González Riquelme.
1

2. de la expresión como alterado por el paso del tiempo. Éste fue un descubrimiento
crucial: la idea que las proposiciones que se comportan como sujetos de inflexiones
temporales están vinculadas a un tiempo que las hace verdaderas unas veces y falsa en
otras, fue central para su filosofía. En un resumen de la madurez de sus ideas sobre
realismo temporal compuesto hace sólo dos décadas escribió: “Ciertamente hay
verdades inmutables pero también son mutables y es un pena que la lógica ignore esto
y deje… a los ‘dialécticos’ comparativamente, informales, el estudio de los aspectos de
la realidad más ‘dinámicos’”1
.
El estudio de Geach remitió a Prior a las fuentes y encontró que el ejemplo de “Sócrates
está sentado” no está sólo en los escolásticos sino en Aristóteles. No obstante, descubrió
que Aristóteles habla de unas proposiciones sobre el futuro –a saber, aquellas sobre los
sucesos que no están ya determinados- como no siendo ni verdaderas ni falsas cuando
son expresadas sobre la base un hecho no definido con el que podemos estar de acuerdo
o no. Prior cita el argumento de Aristóteles en la creencia de que existen tales sucesos:
si no fuera el caso “no sería necesario deliberar o cuestionar, en la suposición de que si
adoptamos un cierto curso de acción, algún resultado podría seguirse, mientras que si
no, el resultado no se seguiría (Prior 1953: 232-3; Aristóteles, De interpretatione, ch. 9).
Esto atrajo a Prior, una vez más al calvinista Barthian pero ahora del lado del
indeterminismo y de la libertad. No había duda que el interés de Prior en lógica
temporal estaba ligada a su creencia en una libertad real2
.
Treinta años antes, inspirado por los mismos pasajes de Aristóteles, £ukasiewicz ideó un
cálculo trivalente cuyo tercer valor ½, fue adjuntado a las proposiciones referidas a los
futuros contingentes (£ukasiewicz, 1920, 1930). El artículo de Prior de 1953 “Three
Valued Logic and Future Contingents” es una exposición y defensa del sistema de
£ukasiewicz (que leyó en el libro de Lewis y Langford Symbolic Logic y en el
monográfico de Jordan The Development of Mathematical Logic and Logical Positivism
in Poland between the Two Wars). Prior pensó, en esta fase que las proposiciones
temporales podrían ser trivalentes y que las proposiciones atemporales bivalentes (ver
1967: 16): “En resumen, la lógica trivalente parece darnos una nueva precisión en
nuestro manejo de las sentencias temporales (como opuestas, fundamentalmente, a las
proposiciones atemporales de los sistemas comunes); podemos decir que £ukasiewicz
hizo para el capítulo de Aristóteles sobre 'futuros contingentes' lo que él hizo para la
teoría del silogismo de Aristóteles" (Prior 1953: 325).
No obstante, el sistema de £ukasiewicz está lejos de ser el “cálculo temporal” que
Findlay había insinuado. El sistema contiene representaciones sintácticas explícitas de
las modalidades aléticas, pero no hay representaciones sintácticas del tiempo. En
cualquier caso, la adición simple de otro valor de verdad es apenas el medio por el cual
Prior hace justicia a su idea de que las proposiciones dotadas de inflexiones temporales
pueden cambiar el valor de verdad con el paso del tiempo: “Sócrates está sentado”
puede ser verdadera unas veces y falsa otras y el tercer valor de verdad no ayuda a
representar este cambio. Unos meses antes, Prior advirtió que el uso, fuera de lugar, de
la sintaxis modal fue todo lo que se requirió para la representación del rasgo dinámico
1
A. N. Prior, “A Statement of Temporal Realism”, publicado por primera vez en Jack Copeland (1996:
45-46, esp. 46).
2
A. N. Prior, “Some Free Thinking About Time”, publicado por primera vez en Jack Copeland (1996: 47-
51).
2

3. de las proposiciones temporales. Fue una cuestión de adoptar, seriamente, la idea
discutida en The Craft: la temporalidad es una especie de modalidad.
En 1953 Prior leyó el trabajo del lógico megárico Diodoro Cronos en el libro Logia
Stoic de Benson Mates. Prior escribió después de Diodoro que “parece haber sido un
antiguo griego W. V. Quine, quién consideró a la lógica de Aristóteles de la posibilidad
y necesidad con escepticismo, pero ofreció, no obstante, un sentido inocuo que quizás
podía ser adjuntado a las palabras modales” (1967: 16). Diodoro definió lo posible
como lo que es o será verdadero: de acuerdo con Diodoro, lo que actualmente sucede es
todo lo que pude suceder. Prior encontró esta definición determinista incómoda y se fijó
la tarea de localizar una falacia en el argumento que Diodoro usó para apoyarlo, es el
llamado Argumento Maestro: “La pretensión del Argumento Maestro, como lo entiendo
yo, fue refutar la idea aristotélica que mientras está más allá del poder de hombres o
dioses afectar el pasado, hay alternativas futuras entre las que es posible elegir. En
contra de esto, Diodoro mantuvo que lo posible es, simplemente, lo que es o será
verdadero” (1962b: 138; ver además, 1967: 33).
La consideración del Argumento Maestro se unió a tres de los grandes intereses de
Prior: indeterminismo, lógica modal y lógica temporal. En el curso de estas reflexiones
sobre el argumento la nota a pie de página de Findlay le obsesionó de repente. Mary
Prior recuerda: “me despertó una noche, sentado en mi cama y leyéndome la nota del
artículo de John Findlay sobre el tiempo y diciendo que él pensó una forma de
formalizar la lógica temporal”. Sus primeras exploraciones de este cálculo apareció en
su artículo “Diodoran Modalities” (terminado al principio de 1954 y publicado en
1955)1
. En éste, escribió: “propongo hacer algo diferente, esto es, emplear las
variables proposicionales ordinarias 'p', 'q', 'r', etc., por 'proposiciones' en el sentido
diodorano [es decir, proposiciones que ‘quizás sean verdadera unas veces y falsas
otras’] y usar ciertos operadores que adoptarán tales proposiciones como argumentos
y que forman funciones de tales proposiciones como valores. Usaremos 'Fp' por 'será el
caso que p'". (Prior, 1955b: 205).
Los axiomas y reglas del cálculo que Prior presenta en este artículo deben mucho a la
axiomatización de von Wright del sistema modal de Lewis S4 (von Wirght 1951a, app.
II). Von Wright obtiene el S4 añadiendo los siguientes axiomas y reglas al cálculo
proposicional clásico (Lp es definida como ¬M¬p):
W1 p→Mp
W2 M(p∨q) ≡ (Mp)∨(Mq)
W3 MMp→Mp
RE si α ≡ β, es una tesis, tal que Mα ≡ Mβ
RL si α es una tesis, tal es Lα
Si sustituimos el operador F por M en los axiomas, de W1 se deriva una falsedad, en
cambio, parecen bastante obvios para W2 y W3. El resultado de sustituir F en RE le da
un buen sentido. Con respecto a RL, introdujo el prefijo G a través de una definición
paralela a la definición de L de von Wright, esto es, Gp = ¬F¬p; G, se lee como “será
siempre el caso que”. Por tanto, su cálculo de 1953-4 de los tiempos fue el sistema
producido por la adición del análogo-F de W2, W3 y RE, y el análogo-G de RL al
1
“Diodoran” es el término de Prior, “diodorean” es el de Mates. En 1958, Prior empleó este último.
3

4. cálculo proposicional clásico. (Prior observa que un operador P quizás pueda ser
introducido para “ha sido el caso que p”, pero no dispuso de ningún axioma o reglas
para el mismo). Mostró que si, siguiendo a Diodoro, Mp es definido como p∨Fp, los
axiomas trimodales de von Wright y las dos reglas son derivables en su cálculo.
En una artículo de inigualable reconstrucción filosófica, Prior expresa la conclusión del
Argumento Maestro, que lo que no es ni será verdadero no es posible como
(¬p&¬Fp)→¬Mp y lo deriva, en su cálculo, de las premisas de Diodoro, Pp→¬M¬p y
¬Mq→(L(p→q)→¬Mp), juntos con las dos “amplias asunciones sobre el tiempo,
probablemente adoptadas para garantizarlas por Diodoro y sus principales
oponentes”: p→HFp y (¬p&¬Fp)→P¬Fp. De forma que el Argumento Maestro es
válido. La falacia, señala Prior, la encontramos en la segunda “gran asunción”
(¬p&¬Fp)→P¬Fp (que dice: cuando nada es ni será, ha sido el caso que no sería). Esto
no es cierto si p se refiere a futuros contingentes (y, por tanto, tiene el valor de verdad
½, o “indeterminado”). Donde p es indeterminado, ambos Fp y ¬Fp son
indeterminados, de forma que el consecuente de la fórmula en disputa, P¬Fp es falso.
¬p debe ser además indeterminada (ya que si la negación de p fuera determinada, p no
podría ser indeterminada). Por tanto, el antecedente de dicha fórmula ¬p&¬Fp es
indeterminado, dado que los dos miembros de la conjunción son indeterminados. De
acuerdo con la tabla de verdad de £ukasiewicz, un condicional indicativo con un
consecuente falso y un antecedente indeterminado no es verdadero sino indeterminado.
→ 1 ½ 0
1 1 ½ 0
½ 1 1 ½
0 1 1 1
Por tanto, Prior es capaz de “negar que las proposiciones de la forma
[(¬p&¬Fp)→P¬Fp] son en todos los casos verdaderas”.
El razonamiento de Prior es persuasivo sólo si uno acepta la tabla de verdad de
£ukasiewicz. ¿No hay condicionales indicativos con consecuente falso y antecedente
indeterminado verdaderos? Por ejemplo, supongamos Fp “me suicidaré” y pongamos
que Fp es indeterminado (dado que no está todavía decidido). Por tanto, PFp es falso:
no ha sido dado todavía ningún tiempo en el cual Fp es verdadero. Parece difícil,
incluso, revelar el valor de verdad del condicional indicativo “Si Fp entonces PFp”
(difícil, dado que en todo caso, la sucesión temporal es transitiva y los instantes precisos
como el primero no están bajo nuestra consideración). La dificultad es que en la forma
condicional, una sentencia que es actualmente tiene un valor indeterminado, Fp es
supuesta verdadera. Si Fp es ahora verdad entonces el presente se encuentra en un
instante en el que la verdad futura de p es determinada. A menos que el momento de la
expresión sea el primer momento de este instante, hay momentos pasados en los que Fp
es verdad, de forma que la expresión PFp es ahora cierta, de igual modo. De modo que,
dada un asunción apropiada para estos momentos, que para las actuales intenciones es
elegida ad libitum (por ejemplo, será suficiente asumir que tales instantes son intervalos
abiertos en un tiempo lineal continuo), es el caso que si Fp es verdad entonces PFp es
verdad. La pretensión que el condicional “si Fp entonces PFp” es indeterminada
simplemente porque su antecedente lo sea (y su consecuente falso) no puede sostenerse
en el presente ya que lo que el razonamiento de arriba muestra es que (bajo esta
consideración) la combinación antecedente verdadero, consecuente falso no se sigue.
4

5. En el fondo, lo que esto indica, es que la equivalencia bivalente entre ¬p∨q y p→q no se
puede extender al caso trivalente. ¬p∨q quizás sea indeterminado e, incluso como en el
ejemplo, quizás no haya ninguna razón para retener el valor verdad de p→q. La idea de
£ukasiewicz que a las proposiciones sobre futuro se les puede asignar un tercer valor de
verdad no es tan sencilla como parece. El mismo Prior, vio, después que “La técnica
veritativo-funcional parece, simplemente, fuera de lugar” en lo que respecta a las
proposiciones indeterminadas” (1967: 135). Fue el tratamiento de la conjunción lo que,
particularmente, preocupó a Prior. De acuerdo con £ukasiewicz la tabla de valor de
verdad, p&q es indeterminada donde p y q son ambos indeterminados incluso, como
Prior observa, si q es la negación de una proposición indeterminada p, entonces p&q no
es indeterminada aunque sus dos constituyentes lo sean. La proposición “habrá y no
habrá una batalla naval mañana” es, según Prior, “plenamente falsa”.
El Argumento Maestro en relación al determinismo continuó ejercitando a Prior el resto
de su vida y algunos de las más útiles y, matemáticamente, interesantes partes de su
trabajo fueron inspiradas por sus pensamientos sobre el mismo. Para elegir un ejemplo,
el cálculo que Prior desarrolló en respuesta a la idea que el Argumento Maestro falla si
el tiempo es concebido como ramificado en el futuro se tornó útil para describir y
verificar la conducta de un sistema de procesamiento simultáneo y distribuido1
.
El cálculo temporal que Prior produjo en “Diodoran Modalitities” fue casi completo.
Salvo en un aspecto, no había axiomas y reglas para el operador de pasado P y, en otro
aspecto, el cálculo de dos axiomas FFp→Fp y F(p∨q) ≡ (Fp)∨(Fq) fue elegido de
forma fortuita, por la transformación de ciertos axiomas de un cálculo designado para
un diferente propósito. Prior, a su debido tiempo, preparó la expansión de su cálculo.
Trabajó rápido y en Agosto de 1954 presentó un sistema más sofisticado en su
Presentación Presidencial del Segundo Congreso de Filosofía de Nueva Zelanda
desarrollado en Wellington. (Prior también organizó el Primer Congreso en Chrischurch
el año anterior).
Su primer paso fue añadir dos axiomas de futuro Gp→Fp y Fp→FFp. El primero es el
análogo temporal de Lp→Mp, una tesis cuya derivación envuelve el axioma de von
Wright W1 (que es falso desde una interpretación lógica-temporal). El segundo axioma
es la inversa de uno de los axiomas originales. Prior observa que es sugerido por “las
comunes nociones sobre el tiempo”. Lo siguiente fue una simplificación que hizo de una
demostración reciente de Sobocinski consistente en que el sistema M más débil de von
Wright es equivalente al sistema T de Feys: tomando G como indefinido y definiendo F
como ¬G¬, fue capaz de sustituir el axioma difícil de manejar F(p∨q) ≡ (Fp)∨(Fq) por
G(p→q)→(Gp→Gq) (Sobocinski, 1953).
El cálculo de lo “porvenir” puede ser transformado en un cálculo de lo “pretérito”
sustituyendo F por P y G por H (“siempre ha sido el caso que”) por medio de los
axiomas, reglas y definiciones. (Charles Hamblin fue el último en describir este proceso
en su reverso como produciendo una “imagen especular” repentina). Como los sistemas
aléticos, los dos cálculos son monomodales. Esto es, cada uno contiene sólo un operador
1
Ver Dov Gabbay and Ian Hodkinson, “Temporal Logic in the Context of Databases” en Jack Copeland
(69-88) y Rita Rodríguez and Frank Anger, “Prior’ s Temporal Legacy in Computer Science”, en Jack
Copeland (1996: 89-109).
5

6. indefinido. Prior buscó un “completo cálculo temporal completo en F y en P: un sistema
lógico bimodal (por ejemplo, un sistema lógico con dos operadores indefinidos). Para
obtener el sistema bimodal no fue suficiente unir los axiomas de futuro y sus reglas con
sus imágenes especulares, ya que los dos operadores podrían quedar independientes uno
de otro. Se requirieron algunos axiomas interactivos, “leyes que establecen
interacciones entre pasado y futuro”. Prior eligió p→GPp y p→HFp. Encontró la
primera de las tesis en el Tractatus of Praedestinatione de William de Ockham y la
segunda fue una de las fórmulas empleadas por él mismo en la reconstrucción del
Argumento Maestro. Por tanto, Prior construyó el primer sistema multimodal1
.
Prior honró a Findlay por haber facilitado una de las proposiciones expuestas en su nota
a pie de página como el primer teorema de su cálculo temporal: todos los sucesos,
pasados, presentes y futuros, serán pasado. En la notación lógico-temporal
(p∨Pp∨Fp)→FPp, una fórmula a la que Prior, posteriormente, se referirá como la ley de
Findlay. (Prior describe la simbolización sugerida por el propio Findlay de la
proposición (x).(x past) future, como “desafortunada”, dado que “la fórmula sugiere
que Todo lo que será, ha sido el caso (fuente de permanentes falsedades)” (Prior 1967:
9).)
En “Diodoran Modalities” Prior se satisfizo con describir FFp→Fp como
“suficientemente obvia”. Por el tiempo del congreso de Wellington, su pensamiento
evolucionó considerablemente. En una sorprendentemente sección original de un
artículo notoriamente original, inició lo que llamó el Cálculo-l (con posterioridad,
prefirió el término ‘Cálculo-U”). En el Cálculo-l, las proposiciones de los cálculos
temporales son tratadas como predicados que expresan propiedades de fechas, las
últimas representadas por variables como nombres x, y, z. La concatenación “px”, se lee
como “p en x”. “l” es una relación binaria que toma fechas como argumentos y se lee
“después que”. Usando una fecha arbitraria z para representar el tiempo de expresión,
Fp es equiparada con ∃x(lxz&px) (‘p en un tiempo después que z’), y Pp con ∃x(lzx&px)
(‘p en un tiempo antes que z’). Gp y Hp son equiparados con los cuantificadores
universales ∀x(lxz&px) y ∀x(lzx&px), respectivamente. La idea principal de Prior fue
que condiciones análogas del cálculo temporal podían ser derivadas en el cálculo-l por
medio de la imposición de varias condiciones a la relación l. (Este es, claro está,
exactamente, el movimiento que Meredith y él experimentaron dos años después de
idear la semántica de mundos para la lógica modal).
Prior descubrió que FFp→Fp y su imagen especular requiere para su derivación la
condición lxy→(lyz→lxz), afirmando que la relación antes-después es transitiva.
Fp→FFp y su imagen especular requiere la condición lxz→∃y(lxy→lyz), afirmando que
‘entre dos fechas hay una tercera’. Gp→Fp se refiere a la existencia de una fecha
ulterior de la dada, ∃xlxz (mutatis mutandi para su imagen especular). Prior señaló que
ninguna de las condiciones se requieren para la derivación en el cálculo-l de los dos
axiomas interactivos p→GPp y p→HFp, ni para los axiomas G(p→q)→(Gp→Gq) y
H(p→q)→(Hp→Hq): para estas fórmulas, la maquinaria estándar de la lógica
veritativo-funcional y cuantificacional es suficiente para su derivación (ésta aplica
además las dos reglas del cálculo). Fueron estas últimas fórmulas que Lemmon,
1
Cf. Kit Fine and Gerhard Schurz, “Transfer Theorems for Multimodal Logics” en Jack Copeland (1996:
169-213). Como ellos explican, la lógica multimodal tiene importantes aplicaciones en la teoría de
programas.
6

7. posteriormente, adoptó como axiomas para su sistema mínimo de lógica temporal Kt, un
sistema que no hace ninguna atribución a las propiedades contingentes antes-después1
.
Prior cierra esta sección con una advertencia en contra de considerar esta interpretación
del cálculo temporal dentro del cálculo-l como ‘una explicación metafísica de lo que
podemos significar por es, ha sido y será’: el cálculo-l no es una ‘fundamentación
metafísica’. Su razón es que F(Sócrates está sentado) significa “Es ahora el caso que
será que Sócrates está sentado) y no hay ninguna forma de representar el indéxico
‘ahora’ en el cálculo-l (la variable libre z es ‘un completo engaño’). Y continua: “si no
hay ninguna “interpretación” de nuestro cálculo de forma metafísica, probablemente,
necesitará ser de otro modo; esto es, el cálculo podría ser mostrado como una
construcción lógica fuera del cálculo-PF antes que al contrario”. Esta idea de la
primacía del cálculo temporal sobre el cálculo-l –o, como posteriormente, puntualizó, de
las series-A de McTaggart sobre las series-B se tornó un principio distintivo de su
filosofía2
. La tesis de Prior es incluso más radical en su aplicación a la lógica modal: el
lenguaje de los mundos posibles tiene que ser interpretado en términos de un lenguaje
con operadores modales y no –como popularmente se entiende- al revés. Estas
cuestiones formar el tema de su último libro Worlds, Times and Selves (editado por Kit
Fine).
El texto de la presentación de Wellington no fue presentado hasta 1958 (en la
publicación Franciscan Studies, bajo el título “The Syntax of Time-Distinctions”). Fue
en 1956, durante las conferencias John Locke y su siguiente libro Time and Modality
(publicado en 1957) en el que Prior publicó sus descubrimientos en lógica modal y
temporal ante una gran audiencia. Un número de lógicos –en particular, Thomas, Geach,
Lemmon, Meredith y Kripke- mostraron un interés inmediato por la lógica modal de
Prior, concretamente, su Sistema Diodorano y su Sistema Q, una lógica polivalente que
admite la existencia de hechos contingentes. Menos atención inmediata tuvo su lógica
temporal. La bibliografía del tiempo en el volumen de 1968 de Prior Papers on Time
and Tense revela que hasta 1965 las publicaciones en este campo fueron las de Prior o
reseñas de su trabajo (principalmente de Time and Modality). Mas poco a poco fue
cobrando velocidad.
En el congreso de lógica modal y polivalente celebrado en Helsinki en 1962 (el primer
encuentro de Prior con Kripke), Hintikka propuso una interpretación de su semántica de
mundos posibles sosteniendo que “si no deseamos equiparar nuestra lógica con la
física antigua, somos, indudablemente, sabios si no requerimos más que una relación
alternativa (en este caso, podría denominarse “relación de futureidad”) efectuando
una ordenación lineal” (Hintikka, 1963: 76). (Prior, claro está, relacionó, felizmente, su
cálculo-l de 1954 a la “física antigua”). No pudo pensar demasiado en la idea del tiempo
dominante en la física del siglo XX3
. Un alumno de von Wright, Hintikka fue
estimulado por la última propuesta de las amplias aplicaciones en lógica modal y
apreció la posibilidad de aplicación de las nociones modales al estudio de la lógica del
tiempo antes de la lectura del sofisticado trabajo de Prior en Time and Modality (que
estudió en 1958). Hintikka fue quizás el primero en acentuar la importancia de una
aproximación semántica a los tiempos. En los primeros sesenta, Hintikka viajó
1
Cf. Jack Copeland, “Tree Formulations of Tense Logic, en Jack Copeland (1996: 53-67).
2
Cf. Richard Sylvan, op. cit. y Rom Harré, “There is No Time like Present”, en Jack Copeland (1996:
389-409).
3
Como pone de manifiesto en el segundo de los dos ensayos “Two Essays on Temporal Realism”,
concretamente “Some Thinking About Time”, op. cit.
7

8. regularmente entre Helsinki y California. Sus ideas sobre los tiempos influyó en
numerosos lógicos que trabajaban en California, concretamente en Dana Scott.
Además, en 1962 Scott dio unas conferencias sobre lógica temporal en Amsterdam1
.
Entre su audiencia se encontraba Hans Kamp, por entonces un estudiante universitario.
El trabajo de Scott en lógica temporal fue un aspecto de su estudio de la semántica del
lenguaje natural en estrecha colaboración con Richard Montague. Scott fue consciente
del trabajo de Prior y en su comprensión del tiempo estuvo también influida por
Reichenbach, quien fue una poderosa figura en la UCLA hasta su muerte en 19532
.
(Prior fue crítico con el análisis de Reichenbach de los tiempos y lo describió como
siendo un estorbo en lugar de una ayuda en lugar de la lógica temporal3
). La lógica
temporal de Scott difirió también en cuanto al estilo de la de Prior. Scott estableció la
completitud y la decidibilidad de varias axiomatizaciones de las lógicas temporales.
Además, mostró que el predicado temporal de los reales no es axiomatizable. Su trabajo
en lógica temporal es citado ampliamente pero permanece inédito. Prior se enteró de los
trabajos de Scott en una carta de Lemmon fechada en enero de 1964 (Lemmon dejó
Oxford en 1963 por Claremont, cerca de los Ángeles. Scott estaba entonces en
Stanford).
En 1965, Prior visitó California por varios meses, como Flint Professor de Filosofía en
UCLA. Al comienzo Prior se encontró entre un grupo de entusiastas de la lógica
temporal. Poco después de la visita escribió: “Supongo que California es el lugar más
maduro en lógica del mundo y ahora que la lógica temporal es cursada tan amplia y
fuertemente allí, sus duros comienzos pueden considerarse pasados”. (1967, p. vi).
Cuando Prior llegó a UCLA, Nino Cocchiarella acababa de completar su tesis doctoral
en lógica cuantificacional modal y temporal bajo la supervisión de Montague (“Tense
and Modal Logic: A Study in Topology of Temporal reference”). El mayor interés en
filosofía del tiempo se derivó, inicialmente, del trabajo de Reichenbach sobre el espacio
y el tiempo pero fue su conocimiento de Time and Modality lo que le atrajo para la
investigación en lógica temporal. (Sólo después conoció el trabajo de Scott). La visita
de Prior coincidió con la llegada de Hans Kamp a la UCLA como estudiante licenciado.
Kamp asistió a las conferencias de Prior en lógica temporal en su primer semestre y se
mostró profundamente interesado en esta materia. Estas conferencias llevaron
indirectamente al lugar de la tesis doctoral de Kamp, escrita bajo la supervisión de
Montague y titulada “On Tense Logic and Theory of Order” (1968). En el trabajo de
Kamp el desarrollo de la lógica temporal alcanzó un nuevo nivel en cuanto a
sofisticación formal. Segerberg, también llegó a California para estudiar bajo la
supervisión de Scott en Stanford. (Segerberg mostró interés en lógica temporal en
Finlandia en 1964 durante una serie de seminarios de verano dados por von Wright,
quien persiguió, independientemente, una lógica temporal derivada de su estudio de la
lógica de la acción que, con posterioridad, resultó ser equivalente a un sistema que Prior
discutió en Time and Modality (1957: 23-4; ver Segerberg 1967, 1989b; von Wright
1965; Clifford 1966). En diciembre de 1965, Scott pronunció sus famosas conferencias
en la Sociedad Humeana de Stanford titulaladas “The Logic of Tenses”. Muchos de los
apuntes de Scott sobre sus conferencias han circulado siempre entre los lógicos
temporales. Cuatro días después el propio Prior se dirigió a la Sociedad Humeana, una
vez más, en lógica temporal. Fue en esta fecunda atmósfera en la que Prior completó el
1
El recuerdo de la fecha es de Kamp.
2
Ver Jack Copeland “Tree Formulations of Tense Logic”, op. cit.
3
Prior (1967: 13). Reichenbach (1948).
8

9. manuscrito de su libro Past, Present and Future, que permanece hasta el día de hoy
como una de las más importantes referencias en este campo.
Los años 1965-7 vieron la publicación del trabajos en lógica temporal de Aqvist, Bull,
Clifford, Cocchiarella, Garson, Geach, Hamblin, Luce, Makinson, Rescher, Segerberg,
von Wright –y, claro está, Prior. En menos de una década la invención de Prior se
convirtió en una rama, internacionalmente, solicitada de la lógica.
Prior siempre creyó que su lógica temporal podría un día servir de utilidad a otras
disciplinas (posiblemente en física matemática). Cuando llegó la demanda exterior para
la lógica temporal fue del campo de la lógica computacional. Una primera influencia
recayó en Pnuelli, quién empleó la lógica temporal en el razonamiento formal de los
programas concurrentes1
. (Un programa concurrente es aquél que rige la conducta de un
número de procesadores, en paralelo). Pnuelli es, a veces, erróneamente acreditado
como habiendo dado lugar a la lógica temporal pero, de hecho, aprendió esto del
volumen clásico Temporal Logic de Rescher y Urquhart de 19712
. Este libro está
dedicado a Prior y es una elegante introducción a su trabajo.
Prior no se habría sorprendido al ser consciente de cuán útil es la lógica temporal para la
lógica computacional. Él mismo mostró algo de interés en computación, concretamente,
la teoría elemental de circuitos booleana en sus conferencias de estudiante pero un
número de lógicos con quiénes estuvo en contacto fue más profundamente involucrado
(por ejemplo, Dov Gabbay y Danna Scott). A través de otros, Prior conoció algo de su
potencial. Escribió “hay ganancias prácticas que deben ser tenidas en cuenta, por
ejemplo en la representación de la demora temporal en los circuitos
computacionales3
”. En Pasado, Presente y Futuro señaló, en relación con la lógica del
tiempo discreto, que su utilidad “no podía depender de ninguna asunción metafísica de
que el tiempo es discreto. [Las lógicas del tiempo discreto] son aplicables a campos
limitados del discurso en que lo que nos concierne es sólo lo que sucede en la próxima
secuencia de estados, esto es, en los resultados de un computador digital4
”. Otros
lógicos del grupo que von Wright y él iniciaron se encuentran en aplicaciones
computacionales, por ejemplo, en lógica epistémica en Inteligencia Artificial e
Ingeniería de conocimiento de base y en la lógica de acción en teorías de programas.
Es llamativo que dos de las mayores fuerzas en la génesis de las tecnologías del
software fueran un amor por los antiguos y los lógicos medievales y una preocupación
por hallar un lugar conceptual para la libertad y la decisión humanas. Sólo los que
conocen la pequeña historia de las ideas no encontrarán ninguna incongruencia aquí.
Ojalá que los que ahora controlan y administran la financiación de los recursos
universitarios fueran menos inconscientes de los sentidos oblicuos en los que unas ideas
se derivan de otras.
TRABAJO EN LÓGICA MODAL
El propio interés de Prior en la lógica modal se deriva principalmente de su estudio de
los antiguos. Sus escritos más tempranos en lógica modal, el penúltimo capítulo de The
1
A. Pnuelli (1977), “The Temporal Logic of Programs”. Proceedings of de Eighteen Annual Symposium
of Foundations of Computer Sicence, New York. Institute of Electrical and Electronics Enginers.
2
ØhrstrØm y Hasle (1995: 344).
3
A. N. Prior, “A Statement of Temporal Realism”, op. cit., en Jack Copeland (1996: 46).
4
Prior (1967: 67).
9

10. Craft of Formal Logic (completado en 1951) es en gran parte histórico, con discusiones
sobre Aristóteles, Peter of Spain, John Wallis, The Port Royal Logic, la Logick de Isaac
Watt, Hume y Mill respecto de la necesidad natural, de Morgan, Whately, Aldrich. Una
de sus conclusiones es que “es todo lo que se dijo… sobre la idea… que quizás usemos
recursos desarrollados en el estudio de la cantidad para arrojar luz sobre la modalidad
y viceversa”. (p. 747). Una de las características más llamativas en filosofía fue la idea
que la cuantificación sobre posibles mundos e instantes debía ser interpretada en
términos de modalidad y tiempo que constituyen nociones básicas –una punto que se
mantuvo en tándem con la creencia de que el estudio de tales cuantificaciones podría
iluminar, completamente, el estudio de la modalidad y el tiempo (como en su propio
cálculo-U, descrito abajo). El capítulo contiene comparaciones breves de las notaciones
simbólicas de £ukasiewicz, Feys y Lewis, pero Prior hace poco uso de los símbolos que
describe. En un momento, explica que la notación simbólica puede ser usada como
ventaja para clarificar la diferencia entre “todo suceso tiene algo que es F para él” y
“hay algo que es F para todo”. Probablemente, Prior está empezando a apreciar el poder
del nuevo simbolismo para expresar la sutil distinción demandada por su tema.
Al comienzo de 1951, Prior lee a von Wright (1951b) el artículo “Deontic Logic” y el
penúltimo capítulo de The Craft que contiene un discusión detallada de este tópico. La
influencia de von Wright es bastante patente en el artículo que Prior lee en Agosto del
mismo año en la Conferencia de la Sociedad Australiana de Filosofía en Sydney titulado
“The Ethical Copula”. Aquí, discute y defiende el paralelismo establecido por von
Wright en Lógica Deóntica entre palabras morales y modales. Sin duda, Prior encuentra
en la lógica deóntica una conexión importante entre su interés manifiesto en ética y su
rápido giro en lógica modal.
La lectura de Prior de von Wright le refuerza en la idea que el tiene a través de Peter of
Spain, Isaac Watts y la Port Royal Logic, una idea que fue de una importancia
considerable para su trabajo futuro. Lo que von Wright llama “modalidades aléticas” –
necesidad, posibilidad, imposibilidad y contingencia- son miembros de un grupo
extendido de conceptos que incluyen modos epistémicos (“es sabido que”, “es sabido
que es falso que”, etc…), modos doxáticos (por ejemplo, “se cree que”) y los modos
deónticos (“está permitido que”, y “es obligatorio que”). En The Craft, Prior enumera
los modos “está escrito que” y “se ha dicho que” de Watt, destacando que “podríamos
pensar en muchos otros” (p. 749). Después von Wright llamó la atención de los que
quizás puedan llamarse los modos agentivos: “el agente da lugar a”, “el agente
considera verdadero que”, de igual modo (von Wright 1963). Prior introduce el término
colectivo “cuasi-modales” para los modos no-aléticos (p. 749) y advierte, acertadamente
que “hay un indicio de un enorme campo aquí”. Con posterioridad, se refiere a sus
propios operadores temporales como “cuasi-modales” (ver Prior 1968: 138). Por el
momento, escribió Formal Logic y defendió el estudio de “la forma modal general ‘es
Φ que p”…. como una forma proposicional distinta” observando que “este campo no
ha sido muy cultivado” (1955a: 218). Prior y von Wright abonaron el campo, tan
investigado en la actualidad, de la lógica intensional, como es llamada en la que la
sintaxis y posteriormente la semántica, prepararon el estudio de las modalidades aléticas
como son utilizadas en un amplio rango de conceptos cuasi-modales. La lógica deóntica
de Von Wright y la lógica temporal de Prior fueron las primeras en este campo. Otras
han sido la lógica de la acción y la lógica de los modos agentivos.
10

11. Prior se convenció que ningún análisis metalingüístico satisfactorio podría ser dado para
las sentencias de la forma “es Φ que p”. En Formal Logic escribió “es evidente, por
ejemplo que no hablo sobre la sentencia ‘Sócrates está muerto’ cuando digo ‘quisiera
que Sócrates estuviera muerto’” (1955a: 219). En Time and Modality, reitera el punto
que está en conexión con los tiempos “el profesor Carnap está volando a la luna… es,
obviamente, una sentencia sobre el profesor Carnap y, obviamente, no una sentencia
sobre la sentencia ‘el profesor Carnap está volando a la luna’” (1957: 8). ¿En qué
consiste el valor semántico de una expresión reemplazando p en una sentencia de la
forma modal general “es Φ que p”? Ciertamente, no es un valor de verdad, como es el
caso del extensional cálculo proposicional estándar, pues sustituir una expresión
diferente con el mismo valor de verdad en la sentencia de la forma “es Φ que p” puede
alterar el valor de verdad de la última expresión. La respuesta de Prior –en un sentido
equivale al rechazo de la cuestión- es que las funciones modales adoptan proposiciones
como argumentos, pero tales proposiciones son construcciones lógicas. Todas las
sentencias que contienen la palabra “proposición”, incluidas las sentencias como “un
operador modal expresa una función desde las proposiciones a los valores de verdad”-
significa más o menos que las sentencias no contienen ni esta palabra ni una
equivalente. En esencia, la idea de Prior es que hay allí un contexto intensional no
intensiones1
. Los últimos seis años en la vida de Prior trabajó en un libro que pretendía
dar una expresión sistemática de sus ideas sobre las proposiciones. El manuscrito
completo, que Prior tituló “Objects of Thought”, fue publicado póstumamente en 1971.
De los cuatro artículos que marcaron el comienzo explosivo de la carrera de Prior como
lógico formal en 1952, dos conciernen a la lógica modal. “Modality De Dicto and
Modality De Re” es una discusión de esta distinción tal y como aparece en Aristóteles,
Ockham y Peter of Spain junto a una comparación de estas primeras ideas con aquellos
de von Wright en An Essay on Modal Logic. En “In What Sense is Modal Logic Many-
Valued?”, propone una interpretación de las matrices de cuatro valores de £ukasiewicz
para la lógica modal. Este artículo marca el comienzo del estudio de Prior del trabajo de
£ukasiewicz en modalidad. Poco después lee a £ukasiewicz, ampliamente –incluso
material en polaco-, del cual dijo “los símbolos son tan iluminadores que el hecho de
que el texto sea tan incomprensible no importa mucho”. En el prefacio a Time and
Modality, escribió: “mientras difiero, radicalmente, del profesor £ukasiewicz en
relación a la lógica modal, mi deuda con él, será puesta de manifiesto en casi todas las
páginas”.
Las detalladas contribuciones de Prior al desarrollo de la lógica modal son ingentes. Al
menos, en un aspecto, su trabajo no es recibido con el reconocimiento que se merece.
Prior y su colaborador Carew Meredith inventaron los elementos principales de la
semántica de mundos posibles para la lógica modal proposicional muchos años antes de
Kripke, incluyendo la importante relación binaria que abre el camino a las diferentes
extensiones de los sistemas de modelos. (Meredith fue un lector en Matemáticas en el
Trinity Collage Dublín, cuyo interés en lógica fue estimulado por la llegada de
£ukasiewicz a Dublín poco después de la guerra.
La invención es prefigurada en el penúltimo capítulo de The Craft (completado en
1951).
1
Ver Mark Richard, “Propositional Quantification”, en Jack Copeland (1996: 437-460).
11

12. Dada la similaridad en el comportamiento de los signos de modalidad y los signos de cantidad,
podemos decir varias cosas. Quizás, por ejemplo, sea que los signos de la modalidad actúan
como cuantificadores ordinarios sobre un tema particular, a saber, como posibles descripciones
de estado… No podría ser acertado describir las teorías de esta clase como ‘reduciendo la
modalidad a la cantidad’. Ellas podrían reducir las distinciones modales a distinciones de
cantidad, pero las variables que los cuantificadores adjuntan retienen algo de su modal
significación –significan ‘posibilidades’, ‘casualidades’, ‘descripciones de estado posibles’,
‘posibles combinaciones de valores de verdad”, de igual modo. (pp. 736-7).
Como fuentes para esta idea Prior cita a John Wallis (un lógico del siglo diecisiete) y la
explicación de las proposiciones lógicamente necesarias e imposibles dadas por
Wittgenstein en el Tractatus (p. 737). De forma interesante, menciona a Carnap sólo en
una nota a pie de página. Dice, simplemente: “el profesor Carnap tiene una definición
similar de necesidad lógica en términos de lo que llama ‘descripciones de
estado’”(ibid.). Prior defiende esta explicación de la modalidad en contra de varias
alternativas, por ejemplo, la explicación andersoniana, de acuerdo con la cual “toda
mesa aquí es necesariamente marrón” significa “hay una propiedad que toda mesa posee
de hecho aquí y es cierto que todo aquello que la posea es, de hecho, marrón”. (John
Anderson, profesor de la Universidad de Sydney, fue una figura clave para el desarrollo
de la filosofía en Australia).
En 1956, Prior redactó junto con Meredith lo que posteriormente será descrito (1962b:
40) como la “lógica de la accesibilidad del mundo” en un artículo titulado
“Interpretations of Different Modal Logics in the ‘Property Calculus’” (Meredith y
Prior: 1996). Lleva la atribución “C.A.M., Agosto de 1956; grabado y ampliado por
A.N.P.” Prior menciona este artículo en Past, Present and Future (Prior 1967: 42-5) y
en su artículo de 1962 “Posible Worlds” y “Tense-Logic and the Continuity of Time”.
Este artículo es uno de los primeros en emplear una relación binaria entre posibles
descripciones de estado con el fin de distinguir entre S5 y los sistemas más débiles. El
artículo de Carnap de 1946 sólo se refiere al S5 y no contiene tal relación.
El cálculo de propiedades es, esencialmente, una variación del cálculo-l de Prior del año
1954 en los que las proposiciones modales-temporales son tratadas como predicados
que expresan propiedades de datos. En la versión modal del cálculo, las sentencias de
lógica modal son tratadas como si expresaran propiedades de ciertos objetos a, b, c, etc.
Los objetos están vinculados por una relación binaria U, (Prior y Meredith no facilitan
ninguna explicación de qué tipo es la fórmula ‘Uab’). A continuación, se dan las
definiciones de necesidad L y posibilidad M (‘pa’ indica que le objeto a tiene la
propiedad expresada en la sentencia p):
(Lp)a=∀b(Uab→pb)
(Mp)a=∃b(Uab&pb).
El cálculo consiste en la teoría de la cuantificación ordinaria facilitada por estas
definiciones, junto a una serie de axiomas que rigen la relación U y las siguientes
cláusulas:
(¬p)a = ¬(pa)
(p→q)a = (pa)→(qa)
12

13. esto implica que una proposición modal A es considerada un teorema del calculo si y
sólo si Aa es probable para un objeto a arbitrariamente elegido.
Los axiomas para U son seleccionados de una lista que contiene (entre otros):
1. Uaa (U es reflexiva)
2. Uab→(Ubc→Uac) (U es transitiva)
3. Uab→Uba (U es simétrica).
El axioma 2 está además presente en el cálculo-l. Prior y Meredith establecen que el
principio de distribución L(p→q)→(Lp→Lq) es un teorema en ausencia de axiomas
especiales para U; tal que Lp→p es un teorema si el axioma 1 es impuesto; el axioma 2
proporciona el principio de S4 Lp→LLp; y el axioma 2 junto con el axioma 3
proporciona el principio de S5 MLp→Lp. (Su aproximación pertenece a la teoría de la
argumentación en su orientación básica y no da ningún resultado en cuanto a su
completitud). En 1962b y 1962a , Prior extiende la aproximación a los sistemas entre S4
y S5 y los sistemas independientes de S4 entre T y S5.
Como vemos, la idea que las variables de cuantificación del cálculo deben extenderse
sobre las posibles descripciones de estado o mundos posibles está presente en The Craft.
En 1960, Geach sugirió a Prior que la relación U sea interpretada como relación de
accesibilidad entre mundos. Prior nos dijo que Geach puso en marcha la noción de
“alcance” de un mundo por otro en términos de lo que Prior describe como “el salto a
una dimensión de un vehículo ideado por la ciencia ficción” (Prior 1962a: 36; ver,
además, 1962b: 140). Con esta interpretación de U, el cálculo de propiedades puede ser
visto como tratando (Lp)a –o “Necesariamente-p en el mundo a” –como abreviatura de
“p es verdad en todos los mundos accesibles a a”. A través de las diferentes asunciones
sobre “saltos entre mundos”, diferentes versiones de la lógica de la necesidad y la
posibilidad se obtienen. (Lemmon, en un borrador de un material pensado para el libro
proyectado junto a Danna Scott “Intensional Logic”, erróneamente acreditado a Geach,
con la idea de que la relación binaria “sea, intuitivamente, pensada como una relación
entre posibles mundos”. En una carta a scott, escrita después de la muerte de Lemmon
en 1966, Prior advirtió: “La contribución de Geach no fue la interpretación de [U]
como una relación entre mundos (Dios sabe cuando ésta comenzó) sino la
interpretación de [U] como una relación de accesibilidad”. La carta es citada por
Segerberg en su introducción a Lemmon (1977). Cuando Prior dice “Dios conoce
cuando esto comenzó”, presumiblemente, se refiera a la idea que los “objetos” del
cálculo son considerados como mundos posibles. Prior pensó correctamente que la
historia de esta idea es un enredo. Su prioridad es asignada a menudo a Leibniz pero los
escolásticos retrotrajeron la idea de Duns Scoto a William of Ockham. (Knuuttila,
1993).
Parece que la relación binaria aparece por primera vez en Jónsson y Tarski (1951),
“Boolean Algebras with Operators”. En su teorema 3.14 establece que toda álgebra
cerrada es isomórfica con un sistema algebraico formado por una relación fija, reflexiva
y transitiva entre sus elementos; su teorema 3.5 considera además una condición
simétrica. En perspectiva, estos teoremas (que tienen que ver explícitamente con
álgebras) pueden ser considerados, en efecto, como un tratamiento de todos los axiomas
13

14. y propiedades de toda la lógica modal así como de sus relaciones de accesibilidad. Con
respecto a este artículo, Saul Kripke ha destacado:
Fueron conscientes que había que hacer una lógica modal, podían tener el problema de la
completitud para muchos de los sistemas modales proposicionales envueltos y para algunos
potentes teoremas. Matemáticamente, no hicieron esto sino que se presentó como un álgebra sin
mencionar la semántica, la lógica modal o los mundos posibles supuestos sólo como
cuantificadores. Cuando presenté mi artículo en la conferencia de Finlandia en 1962, enfaticé la
importancia del mismo. Tarski estuvo presente y dijo que ¡fue incapaz de ver ninguna conexión
con lo que estaba haciendo!
Durante los siguientes ocho años, la relación binaria fue reinventada por un número de
lógicos. Prior, en su presentación a la conferencia de Wellington de 1954 parece haber
sido el primero en usar la relación binaria en un explícito contexto modal-temporal.
Otros lugares fueron una presentación por Montague de una conferencia en la UCLA en
1945, el propio cálculo de Prior y Meredith de 1956 y Kanger (1957), Hintikka (1957b,
1961) y Kripke (1959a, 1959b, 1963b). Kripke se mostró cordial con los resultados de
Kanger que implicaban una relación binaria, al tiempo que él obtenía sus propios
resultados. El mismo Kanger leyó el artículo de 1951 de Jonsson y Tarski y descubrió
sus resultados como idéntico al de éllos1
.
Fue a través de la lectura del artículo de Prior “Modality and Quantification en S5” de
1956 lo que llevó a Kripke a interesarse por la lógica modal. Por aquel entonces, era un
escolar, trabajando en lógica en completo aislamiento en Omaha, Nebraska. En 1958,
leyó Time and Modality y fue impresionado por el paralelismo establecido por Prior
entre las modalidades aléticas y las temporales. (Casi, al mismo tiempo, Prior leyó el
primer artículo de Kripke “A Completeness Theorem in Modal Logic” en la referencia
de The Journal of Symbolic Logic). Kripke sospechó que fue su lectura de Time and
Modality lo que primero le interesó en el problema del tratamiento de las variables
implicadas (un constante dominio es llevado a cabo en “A Completeness Theorem in
Modal Logic”). Kripke trabajó en la idea de Prior que las variables implicadas quizás
llevaran a huecos en los valores de verdad incluso al nivel de la lógica proposicional,
aunque no siguió esta línea en su material publicado (ver Kripke 1959b, 1963a). (De
esta idea surgió el sistema Q de Prior). Kripke piensa que es probable que fue el trabajo
de Prior en las matrices polivalentes en Time and Modality lo que le dio la idea que un
modelo de posibles mundos podía convertirse en una matriz polivalente (una idea
desarrollada en 1963b).
Kripke escribió a Prior (el 3 de septiembre de 1958) subrayando un error en Time and
Modality: contrariamente a la pretensión de Prior, la matriz diodoriana (1957: 23) no es
característica de S4. En su última carta, concede una característica a la matriz de S4, la
idea que un universo indeterminista ramifica al futuro. Kripke escribe:
En un sistema indeterminado, quizás no deberíamos considerar el tiempo como una serie lineal,
como usted ha hecho. En el presente, hay muchas posibilidades que pueden darse –y para cada
instante, se dan muchas posibilidades para el siguiente. Por tanto, la forma adopta la forma no de
una secuencia lineal sino de un “árbol”.
1
Kanger (1957: 39). Para más información ver Jack Copeland “The Genesis of Posible Worlds
Semantics” Journal of Philosophical Logic, vol. 31 (2002), pp. 99-137, éste contiene una información
más extensa de la anticipación Prior-Meredith de la semántica de mundos posibles.
14

15. Esto es, esencialmente, nada más que una interpretación temporal de la semántica
relacional de Kripke para la matriz S4 como él mismo indica en su carta. Prior quedó
sorprendido por la carta y la envió a Ivo Thomas y John Lemmon2
. No fue hasta 1962
que Prior y Kripke se conocieron en una conferencia importante sobre lógica modal y
polivalente en Helsinki.
VIDA DE PRIOR
En 1932, a los 18, Arthur Prior abandonó su casa natal en Masterton al norte de la isla
de Nueva Zelanda e ingresó en la Universidad de Otago. Hijo de doctor, sus intenciones
eran estudiar medicina. Pronto fue seducido por la filosofía, para la que ganó un BA en
1935. Fue John Findlay, entonces profesor de filosofía en Otago, quién introdujo a Prior
en la lógica. Un contemporáneo de Gilbert Ryle y William Kneale, el propio Findlay
estudió en Graz y en Oxford; su influyente libro Meinong´s Theory of Objects fue
publicado durante el segundo año de Prior en Otago. Bajo la dirección de Findlay, Prior
maduró con el texto clásico de W. E. Johnson y estudió los moralistas británicos del
siglo dieciocho. Fue Findlay quien primeramente despertó el interés de Prior por la
historia de la lógica. En 1949, Prior le escribió: “Debo a su enseñanzas, directa o
indirectamente, casi todo lo que sé de Lógica o Ética” y, posteriormente, le describirá,
generosamente, como “el padre fundador de la moderna lógica temporal”. (Prior,
1949, p. xi; 1967: 1).
La tesis MA de Prior en la que criticó las aproximaciones formalista y subjetivista a la
lógica fue premiada, en segundo lugar, por un examinador externo. Afortunadamente,
Findlay conoció a un lógico incipiente cuando lo vio y aseguró a Prior como un
asistente de lector en Otago. Durante 1937, Prior asistió a cursos de lógica, ética y teoría
de la probabilidad. En diciembre de aquel año apareció su primer artículo señalando que
una nación es una construcción lógica de individuos, aparecido en el Australasian
Journal of Psycology and Philosophy.
En este punto, Prior abandonó, temporalmente, su carrera académica y anduvo durante
tres años en plan bohemio por Gran Bretaña y Europa. Regresó a Nueva Zelanda al final
de 1940 y salió de las Fuerzas Aéreas en 1945, consiguió una vacante de lector en
Canterbury University College en Christchurch. Por ahora, escribió tres nuevos
artículos en el Australasian Journal of Psychology and Philosophy (“Can Religión be
Discussed?”, “The Meaning of Good” y “The Subject of Ethics”) y por una
recomendación firme de Findlay, obtuvo su primer trabajo en 1946. (La vacante de
Prior fue creada por la ausencia de Popper de Nueva Zelanda. Prior y Popper no fueron
nunca colegas. Aparte de alguna asistencia a las lecturas de la Asociación de los
Partidarios de Popper en 1943 no hubo ningún contacto entre los dos).
En Canterbury, Prior fue dejado a sus propios recursos como él se consideró “el único
filósofo del lugar”. Llevó la responsabilidad de proporcionarse un currículo amplio y
equilibrado, después de nueve años de sequía filosófica. La única manera de hacer
frente al aislamiento fue leer todo lo que pudo. En lógica, comenzó por volver a W. E.
Johnson. El siguiente fue Studies and Exercises in Formal Logic de J. N. Keynes,
entonces fijó su atención en los Principia Matemática. Aprendió mucho sobre la
historia de la lógica desde Peirce a quien encontró “magnífico”. Un importante
2
Kripke escribió de nuevo el 13 de octubre de 1958. Estas cartas son discutidas en Øhrstrom y Hasle
(1993, 1995).
15

16. descubrimiento de 1950 fue Précis de logique mathématique de Bochénski. Prior quedó
fascinado por la “clara notación simbólica” de £ukasiewicz frente a la notación más
usual de Peano-Rusell1
que había seguido con anterioridad. Pronto siguieron Aristotle´s
Syllogistic de £ukasiewicz y la Introduction to Logic de Tarski. Prior fue consciente de
los polacos que la precisión formal es posible en filosofía y esto le reconfortó. El
resultado de las lecturas de Prior para el currículum de filosofía en Canterbury fue que
sus estudiantes aprendieron lógica aristotélica y medieval usando la notación polaca,
con el libro de Bochénski como manual. “A pesar de su lenguaje difícil, lo descubrí
como libro de texto de primera clase para acompañar las lecturas de los estudiantes
neozelandeses” (1952: 35).
Una exuberante, de apariencia agradable e incansable vitalidad. Prior es un excelente
profesor. No tiene trazas de pomposidad o pretensión. Sus estudiantes aprecian la
amistosa bienvenida cuando son recibidos en su casa, sin mencionar su actitud relajada
hacia la parafernalia administrativa. En aquellos días, Canterbury University College era
un lugar muy anticuado y formal, Prior fue una brisa fresca para sus estudiantes. En un
entorno donde la chaqueta y la corbata eran la norma, incluso en el asfixiante verano
neocelandés, Prior daba clase en pantalones cortos de color caqui y sandalias romanas.
Jim Wilson recuerda la amistosa informalidad de Prior en sus primeros años de clases:
La extraña precisión de un reloj le era ajena, llegaba a menudo tarde a sus clases (nadie más
como él a este respecto –fue tan igualitario). Casi siempre, tenía una pinta, escaso de pelo,
engominado verticalmente, en bicicleta cuando el tiempo se le echaba encima. A parte de esto,
su cartera podría llevar… una berza, un manojo de zanahorias, una hogaza de pan con
mantequilla, una botella de leche… hasta que, siempre en el fondo, aparecía el libro que buscaba.
De vuelta a la bolsa, el resto de provisiones, podría mirarnos, disculparse por el retraso si fue
más de lo habitual y preguntar “bien, ¿por dónde nos quedamos la última vez? Alguien de la
primera fila podría consultar sus notas –Arthur podría no haber tenido ninguna- y decir
“estábamos con tal y cual”. “¡Ah!, sí, gracias”, Arthur respondería y acto seguido caería dentro
de una exposición improvisada en relación con las clases anteriores y estructurada
maravillosamente, clara, incluso, si la acaba de pensar con nosotros. Por supuesto, nosotros
podríamos interrumpirle y preguntar dudas en cualquier momento, sin afectar para nada el
conjunto y la dirección de sus pensamientos.
Poco después de su descubrimiento de Précis de logique mahématique, Prior escribió a
Bochénski en Friburgo y después a £ukasiewicz en Dublín. Se emocionó al recibir
respuestas. “Estamos muy aislados, siendo pocos y dispersos”, escribió Bochénski.“Es
un placer oír a un colega de tan lejos estar interesado en los mismos problemas en los
que usted está trabajando y que encuentra que los pequeños escritos pueden ser de
utilidad”. Por tanto, comenzó la profusa correspondencia de Prior con lógicos de todo el
mundo. Fue un remedio para que su aislamiento se redujera. En 1951 se encontró y
entabló amistad con John Mackie y Jack Smart, en una conferencia en Sydney. Fue la
primera experiencia de estar en una reunión numerosa de filósofos y su esposa Mary
describe la conferencia como su “entrada al ancho mundo”. El mismo año, George
Hughes fue nombrado para la Victoria University de Wellington. Prior y Hughes
hablaban hasta el alba. Prior fue afortunado en contar con numerosos excelentes
alumnos durante sus primeros años, entre los que estaban Jonathan Bennett, Ronald
Butler y (poco después) Robert Bull. Para Prior fue un oasis en el desierto. En 1952
consiguió un asistente de lector, Sandy Anderson. Al año siguiente, la facultad de
filosofía consiguió un departamento y Prior fue nombrado profesor.
1
En la notación libre de paréntesis de £ukasiewicz Cpq se escribe por “si p entonces q”, Kpq por “p y q”,
Apq, por “o p o q”, Epq por “si y sólo si p entonces q”, Np por “no p”.
16

17. El año 1949 vio la publicación del primer libro de Prior, un delgado pero potente
volumen titulado Logic and the Basis of Ethics. Fue publicado por Clarendon Press y
pronto alcanzó importancia en Oxford. A Austin le gustó y Ryle aprobó de Prior “su
completa carencia de neutralidad”. En la introducción, Prior explica que por “lógica de
la ética” “no entiende un especial tipo de lógica, ni una especial rama de la lógica sino
una aplicación de la misma”. El libro constituye un examen vigoroso de los argumentos
a cada lado del debate naturalista y antinaturalista.
Logic and the Basis of Ethics no contiene ningún simbolismo y la frase de Prior “la
lógica de la ética” es menos que un grito de guerra. Los pocos conceptos técnicos que
introduce pertenecen a la lógica silogística. No fue hasta 1952 que Prior comenzó a
publicar artículos de lógica simbólica –cuatro de ellos, repentinamente, el mismo año. A
la edad inusualmente tardía de 38, Prior se convierte en un lógico formal. Escribió estos
artículos mientras completaba lo que estaba destinado a ser su segundo libro The Craft
of Formal Logic1
. Éste se inició en 1949 como un diccionario de lógica formal pero con
el asesoramiento de Clarendon Press, Prior pronto cambió a un formato más ortodoxo.
Su interés lógico viró mientras escribía The Craft. A los dieciséis capítulos de la lógica
de las categorías, hipotéticos, términos y relaciones sumó uno de lógica modal y otro del
método axiomático. Prior terminó el manuscrito en Diciembre de 1951 y lo envió a
Clarendon Press; catorce meses después escribieron que estaban de acuerdo con
publicar el libro si Prior lo acortaba y daba más énfasis a la lógica moderna. Emprendió
los cambios, pero acabó por escribir un libro diferente. Éste fue, finalmente, publicado
en 1955 con el título de Formal Logic; hubo una segunda edición en 1962. Las partes de
The Craft que no fueron absorbidas en su trabajo posterior fueron publicadas
póstumamente bajo el título The Doctrine of Propositions and Terms.
Embebido por la notación polaca y el método axiomático, Formal Logic tipificó la
madurez del trabajo de Prior. Enseñó, entusiásticamente, sin esfuerzo que allí estuvo su
vida –vida fascinante- antes del aquí y ahora de la lógica. Lo que Prior escribió una vez
de £ukasiewicz no es menos verdadero de él mismo: “habiéndose distinguido como un
lógico matemático al estilo moderno, al mismo tiempo, se interesó por la historia de la
materia… contribuyendo ambos aspectos al uso de técnicas modernas para producir
más claramente lo que los antiguos quisieron decir, así como para aprender de los
mismos los útiles mecanismos lógicos que los modernos han, en líneas generales,
olvidado”. (Prior, 1952: 37).
Después de Findlay, £ukasiewicz fue la más grande influencia en el desarrollo de Prior
como lógico. El artículo de Prior de 1952 “£ukasiewicz´s Symbolic Logic” es uno de
los primeros que hace extensivo el uso del simbolismo. (Discute el libro de £ukasiewicz
Aristotle´s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic (publicado en 1951)
y dos artículos, “The Shortest Axiom of the Implicational Calculus of Propositions” y
“On Variable Functions of the Propositional Argument’s). Prior parece haber aprendido
primero del trabajo de £ukasiewicz a través de los escritos de Bochénski (Bochénski fue
un alumno de £ukasiewicz). £ukasiewicz ha tramado un tratamiento axiomático de la
reducción aristotélica de las formas imperfectas de la silogística a la figura primera que
Prior encuentra en el libro de Bochénski Precis de logique mathématique (publicado en
1949). Éste sedujo a Prior. Lo adoptó para sus estudiantes a través de sus derivaciones
ya en 1951 y resume el sistema de £ukasiewicz al final del capítulo de The Craft. A
1
La MS de The Craft of Formal Logic está depositado en la Bodleian Library de Oxford.
17

18. través de este capítulo hace extensivo el uso de la notación simbólica de £ukasiewicz.
Fue el tratamiento axiomático de la lógica tradicional de £ukasiewicz que trajo a Prior el
poder del método simbólico moderno. No obstante, fue probablemente sus lecturas de
£ukasiewicz las que le hicieron ver claro la importancia fundamental de la lógica
proposicional. “Parece que Aristóteles no sospechó la existencia de otro sistema de
lógica junto a su teoría del silogismo”, £ukasiewicz escribió “incluso, usó
intuitivamente las leyes de la lógica proposicional …” (1951: 49). (La axiomatización
de £ukasiewicz de la silogística incorpora su propia formalización tri-axiomática de la
lógica proposicional (£ukasiewicz 1951: 80)). En su estudio, Prior cita con aprobación
la afirmación de £ukasiewicz que “la lógica de los estoicos, los inventores de la
antigua forma del cálculo proposicional, fue mucho más importante que el silogismo de
Aristóteles” (Lukasieweicz 1951: 131). En The Craft la lógica proposicional es apenas
mencionada hasta el final del capítulo, mientras que la Formal Logic comienza con una
introducción minuciosa a la materia. En la página 3 de Formal Logic Prior afirma que la
lógica de las proposiciones es “básica, y el resto de la lógica se construye encima”. El
interés de Prior en las bases económicas para las implicaciones lógicas, inicialmente,
deriva del estudio de Peirce, fue estimulado por el artículo de £ukasiewicz “The
Shortest Axiom of the Implicational Calculus of Propositions” y los capítulos de
Formal Logic representan el trabajo de £ukasiewicz en esta área.
En 1954 Gilber Ryle visitó Nueva Zelanda. Llevó a Prior una invitación para visitar
Oxford y pronunciar las Conferencias John Locke. Prior arregló sus cosas en
Canterbury y llegó a Oxford al comienzo de 1956. Rápidamente, un pequeño grupo
comenzó a formarse en torno suyo: Ivo Thomas, John Lemmon, Peter Geach (de estos
encuentros con Prior surgió la primera introducción a la lógica modal de Lemmon).
Hughes resume las noticias que llegan a casa de él: “este colono salvaje acaba de
llegar a Oxford y comienza a reunir en torno suyo los mejores lógicos y organiza un
montón de grupos para trabajar en lógica”. Prior equipa su pequeño piso alquilado con
una pizarra de juguete y mantuvo abierta su casa. Los lunes, durante los trimestres
Hilary y Trinity, da conferencias sobre lógica modal, su gran pasión, y sobre lógica
temporal, su invención. Las conferencias fueron publicadas al año siguiente bajo el
título de Time and Modality.
Al terminar el verano, después de las Conferencias John Locke, Prior organiza un
coloquio lógico en Oxford. En el Reino Unido en los 50, la lógica estaba muy pasada de
moda y los lógicos estaban aislados y algo desmoralizados. Como Prior escribió poco
después del coloquio, “Hay lógicos de Inglaterra e Irlanda; pero se debe admitir que
están algo dispersos y hasta donde puedo decir, nunca han estado tan cerca como
hasta ahora” (Prior, 1956: 186). El coloquio de Prior reunió a Lemmon, Thomas,
Geach, Kneale, Lewy, Smiley, Bennett, Lejewski, Faris, Nidditch, Carew Meredith,
David Meredith y algunos más. Fue un evento singular y el coloquio se convirtió en un
encuentro regular. Por medio de las Conferencias John Locke, el coloquio y los
numerosos visitantes llegados al país, Prior ayudó a revitalizar la lógica británica. El
grupo compartía similaridades entre el grupo de investigadores que hubo en Varsovia
antes de 1939.
Quizás el corazón de Prior haya sufrido duro de regreso a Nueva Zelanda. Después de
trece meses de confraternización lógica a gran escala, la vida en Canterbury debe
haberle parecido con escasas perspectivas. Estaba rendido con entusiasmo por la causa
de la lógica y lanzó de nuevo una correspondencia masiva pero no le satisfizo
18

19. suficientemente. Prior entristeció. Cuando la oferta llegó, nuevamente, de la
Universidad de Manchester. Prior abandonó Nueva Zelanda en Diciembre de 1958.
Estuvo en Manchester siete años. En 1966, Anthony Kenny le recomendó para una beca
de investigación en Balliol. Esto supuso una rebaja en estatus y salario, sin mencionar el
aumento en las horas de docencia, pero Prior no dudo. Su año sabático en Oxford fue de
los más felices. “Esta es la buena vida”, le comentó a George Hughes una vez se
estableció en Balliol. Estaba integrado. Pronto ganó una reputación como el mejor de
los profesores en Oxford –aunque, a veces, sus estudiantes se sorprendían por estudiar a
los moralistas del siglo XVIII en lugar de libros de actualidad.
Justo antes de su partida de Manchester, Prior dijo a Tom Richards, un visitante
neocelandés, que iba a ir a Oxford con una misión. El propio trabajo de Prior era una
fusión ejemplar de filosofía y lógica y fue a Oxford con la intención de interesar a los
lógicos matemáticos en filosofía y a los filósofos en lógica matemática. Era una buena
oportunidad y Prior no reservó energía en predicar su mensaje
La lógica formal y la filosofía en general tienen que imbricarse una con otra más de lo que
hemos supuesto. No quiero subestimar el trabajo de quienes han explorado las propiedades del
cálculo simbólico sin ninguna preocupación sobre lo que puede ser usado para significar… No
quiero subestimar lo que los filósofos han hecho en el sentido de explorar la lógica intricada y
embebida en el discurso común, incluso cuando no derivamos o buscamos derivar nada parecido
a un cálculo desde éste… pero estas actividades son o pueden ser, relacionadas unas con otras
como la teoría y la observación lo están en la ciencia física; debo confesar que anhelo teorías
bien construidas que mucha de la filosofía contemporánea dista de satisfacer. (Prior, 1957, p.
vii).
Prior no vivió para disfrutar de la entente cordial entre la filosofía y la lógica que el
ayudó a crear. Su salud empezó a fallarle durante su segundo año en Balliol. Se le
encontró una angina de pecho y un reumatismo polimiálgico. Durante el otoño de 1969
el reumatismo creció a velocidad constante. Estuvo todo este tiempo sabático en la
Universidad de Oslo. El daño no le quitó el entusiasmo por el trabajo. Cumplidamente
daba sus seminarios semanales y empleaba el resto del tiempo en pensar cómo cosas tan
elementales como colocarse un abrigo podían doler tanto. Su anfitrión le concertó una
cita con un reumatólogo quién le prescribió cortisona. En una carta escrita pocos días
después y poco antes de su ataque cardíaco, Prior se describió como uno de los milagros
de la moderna medicina. “He dormido bien… andando, subido y bajado escaleras…
puedo estar sobre una rodilla y poner un calcetín sobre otro (por primera vez en
meses)…me han curado, me encuentro bien”.
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