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Sistemas complexos, criticalidade e leis de potˆencia

  1. 1. Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 26, n. 2, p. 99 - 108, (2004) www.sbfisica.org.br Sistemas complexos, criticalidade e leis de potˆencia (Complex systems, criticality, and power laws) Iram Gleria1 , Raul Matsushita2 e Sergio Da Silva3 1 Departamento de F´ısica, Universidade Federal de Alagoas 2 Departamento de Estat´ıstica, Universidade de Bras´ılia, 3 Departamento de Economia, Universidade Federal de Santa Catarina Recebido em 23/02/04; Aceito em 13/05 Neste texto fazemos um apanhado inicial e geral das principais id´eias relacionadas `a teoria dos sistemas complexos. Palavras-chave: sistemas complexos, criticalidade, leis de potˆencia. We survey some notions related to complex systems theory. Keywords: complex systems, criticality, power laws. 1. Introduc¸˜ao Nas ´ultimas d´ecadas do s´eculo XX, parte da comunidade dos f´ısicos passou a se interessar pela dinˆamica de sistemas ditos com- plexos, cujas partes interagem de forma n˜ao-linear. Uma das pro- priedades marcantes de tais sistemas ´e a presenc¸a de leis de escala ou leis de potˆencia. Estas s˜ao observadas em diversos contextos, de biologia at´e o comportamento de bolsas de valores. A tentativa de se construir um esquema te´orico geral para esses fenˆomenos deu origem a novos ramos da f´ısica, como a teoria do caos e a f´ısica dos sistemas complexos. Conceitos como criticalidade auto- organizada, auto-similaridade, fractais e leis de potˆencia pas- saram a fazer parte da f´ısica contemporˆanea. Aqui poder´ıamos ter utilizado o termo f´ısica moderna, mas o evitamos porque tal denominac¸˜ao refere-se em geral `a mecˆanica quˆantica e `a teoria da relatividade. Um ramo da teoria dos sistemas complexos que vem recebendo cada vez mais atenc¸˜ao nos ´ultimos anos ´e a econof´ısica que, como o nome sugere, procura compreender o comportamento de mercados financeiros e de outros aspectos da economia. Um dos trabalhos pioneiros nessa ´area foi o estudo do ´ındice da bolsa norte- americana Standard & Poors 500 por Rosario Mantegna e Gene Stanley. Entretanto, as origens hist´oricas da econof´ısica podem ser remetidas aos anos de 1960, com os trabalhos do matem´atico Benoit Mandelbrot. Poder´ıamos at´e mesmo voltar mais no tempo e dizer que a tese de doutorado sobre especulac¸˜ao financeira de Bachelier, em 1900, j´a ´e um precursor da econof´ısica. Neste texto fazemos um apanhado inicial e geral das principais id´eias rela- cionadas `a teoria dos sistemas complexos. Na sec¸˜ao 2 discutimos o que se entende por fenˆomenos cr´ıticos em f´ısica. Na sec¸˜ao 3 dis- corremos um pouco sobre o conceito de criticalidade. Na sec¸˜ao 4 relacionamos a noc¸˜ao de leis de potˆencia com a normalidade gaus- siana. Na sec¸˜ao 5 apresentamos os conceitos de auto-similaridade e fractais. Na sec¸˜ao 6 introduzimos a noc¸˜ao de criticalidade auto- organizada. Na sec¸˜ao 7 fornecemos uma explicac¸˜ao f´ısica para a origem dos fractais. Na sec¸˜ao 8 especulamos sobre o papel do livre-arb´ıtrio diante da existˆencia de leis de potˆencia em sis- temas sociais. As sec¸˜oes seguintes s˜ao devotadas `a exemplificac¸˜ao de fenˆomenos complexos como avalanches (sec¸˜ao 9), terremotos (sec¸˜ao 10) e extinc¸˜ao de esp´ecies (sec¸˜ao 11). Na sec¸˜ao 12 esten- demos a exemplificac¸˜ao para a hist´oria humana, enquanto que na sec¸˜ao 13 esboc¸amos uma explicac¸˜ao, com base em nossos con- ceitos, para a hist´oria da ciˆencia. Finalmente, na sec¸˜ao 14 discuti- mos alguns t´opicos de econof´ısica. As conclus˜oes se encontram na sec¸˜ao 15. 2. Fenˆomenos cr´ıticos em F´ısica Fenˆomenos cr´ıticos ocorrem geralmente em sistemas que se encon- tram longe do equil´ıbrio, em processos nos quais a hist´oria ´e im- portante. Diversas grandezas termodinˆamicas, tais como calor es- pec´ıfico, compressibilidade e susceptibilidade magn´etica, apresen- tam comportamento singular na regi˜ao cr´ıtica, com divergˆencias assint´oticas caracterizadas por expoentes cr´ıticos. O comporta- mento dessas grandezas termodinˆamicas pr´oximas a um ponto cr´ıtico apresenta car´ater universal, caracterizado pelos mesmos valores de expoentes cr´ıticos. Teorias cl´assicas, como a de Van Der Waals para a an´alise de fluidos e a de Pierre Curie para o fer- romagnetismo, j´a apontavam para esta universalidade, fornecendo um conjunto de valores (hoje ditos cl´assicos) para os expoentes cr´ıticos. As teorias cl´assicas passaram por um processo mais s´erio de an´alise a partir de 1960, quando foram desenvolvidas t´ecnicas para a realizac¸˜ao de experiˆencias na vizinhanc¸a de pontos cr´ıticos. Os resultados das experiˆencias, bem como diversos outros resultados 1Enviar correspondˆencia para Sergio Da Silva. E-mail: drsergiodasilva@hotmail.com. Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ısica. Printed in Brazil.
  2. 2. 100 Gleria et al. te´oricos, apontavam para a existˆencia de classes de universalidade, definidas por alguns poucos expoentes cr´ıticos diferentes dos ex- poentes cl´assicos [41]. ´E interessante tamb´em notar que a teo- ria das perturbac¸˜oes, geralmente ´util na an´alise de problemas de muitos corpos, n˜ao funciona na vizinhanc¸a dos pontos cr´ıticos. Fora da criticalidade, um sistema contendo muitos corpos apre- senta correlac¸˜oes de curto alcance, com decaimento exponencial. Na criticalidade, no entanto, as correlac¸˜oes decaem lentamente, sem escala caracter´ıstica, temporal ou espacial. Na d´ecada de 1970 essas id´eias foram incorporadas pela teoria do grupo de renormalizac¸ ˜ao, proposta por Kenneth Wilson. Foram ent˜ao justificadas as leis de escala e a universalidade dos expoentes cr´ıticos, trabalho que rendeu um prˆemio Nobel a Wilson. Exemplifiquemos o conceito de expoente cr´ıtico a partir do chamado diagrama de fases de um fluido simples. Na Fig. 1 apre- sentamos o diagrama em termos de press˜ao p e temperatura T: Figura 1 - Diagrama de fases de um fluido simples Na Fig. 1 indicamos as regi˜oes em que o material se encon- tra em uma das fases: s´olida, l´ıquida ou gasosa. As linhas cheias indicam coexistˆencia de fases, onde as densidades s˜ao diferentes embora p e T n˜ao sejam. O ponto (pt, Tt) ´e chamado ponto triplo e nele coexistem as trˆes fases. O exemplo mais conhecido ´e a ´agua, cujo ponto triplo ocorre em pt = 4.58 mmHg , Tt = 273.16 K = 0 0 C. O ponto cr´ıtico ocorre em (pc, Tc) e representa o fim da linha de coexistˆencia das fases l´ıquida e gasosa. (Para a ´agua esta temperatura cr´ıtica ´e da ordem de 650 K ≈ 377 0 C). Acima da temperatura cr´ıtica, n˜ao h´a como liquefazer um g´as comprimindo-o isotermicamente. Por exemplo, para conseguirmos ´agua no estado l´ıquido acima de 100 0 C basta uma compress˜ao: isto ´e o que toda panela de press˜ao faz. Por´em h´a um limite, em cerca de 377 0 C, acima do qual nenhuma panela consegue manter a ´agua em estado l´ıquido. Percorrendo a curva de coexistˆencia entre as fases l´ıquida e gasosa, no diagrama p − T, a diferenc¸a de densidade entre o l´ıquido e o g´as ´e cada vez menor, at´e anular-se no ponto cr´ıtico, onde ocorre a identidade dessas duas fases. Nas vizinhanc¸as deste ponto cr´ıtico, determinadas derivadas termodinˆamicas, como a compressibilidade e o calor espec´ıfico, podem apresentar um com- portamento singular, caracterizando o estado cr´ıtico da mat´eria. In- troduzimos um expoente cr´ıtico para o fenˆomeno a partir do dia- grama p − v, onde v = V/N ´e o volume espec´ıfico, V ´e o volume total e N, o n´umero de mols (Fig. 2). Para temperaturas abaixo da cr´ıtica, onde h´a a coexistˆencia de fases, a fase l´ıquida possui densi- dade espec´ıfica vL e a gasosa, vG. `A medida em que a temperatura aproxima-se da temperatura cr´ıtica, a diferenc¸a vL − vG diminui, anulando-se em Tc. O expoente cr´ıtico ´e obtido a partir do com- portamento assint´otico de vL − vG quando T → Tc. Verifica-se que vL − vG ≈ Tc − T Tc β . A temperatura cr´ıtica depende do fluido considerado, mas o fa- tor β, obtido a partir de experimentos, ´e aproximadamente igual a 1/3 para qualquer fluido. Este ´e um expoente cr´ıtico que apresenta car´ater universal. Figura 2 - Isotermas nas vizinhanc¸as de um ponto cr´ıtico 3. Criticalidade Conforme vimos acima, a universalidade e o car´ater peculiar da criticalidade s˜ao fatos bem conhecidos da f´ısica h´a mais de um s´eculo, apesar de que somente as teorias mais recentes fornecem, em geral, valores corretos para os expoentes cr´ıticos. Em um estado cr´ıtico, n˜ao h´a raz˜ao para buscar causas espec´ıficas para grandes eventos. Pequenas forc¸as podem ter efeitos enormes e cat´astrofes s´ubitas parecem surgir do nada. Observe que o termo cat´astrofe ´e utilizado no sentido da ocorrˆencia de um evento raro, inesperado, mas n˜ao necessariamente devastador. Um exem- plo ´e o comportamento anˆomalo das derivadas termodinˆamicas. Flutuac¸˜oes no estado cr´ıtico n˜ao aparentam ser nem genuinamente aleat´orias nem previs´ıveis. A freq¨uˆencia de tais eventos raros pode ser estimada, mas n˜ao a sua intensidade ou a data de sua ocorrˆencia [6]. O mais interessante ´e que conceitos matem´aticos simples pare- cem ser comuns a uma ampla gama de fenˆomenos cr´ıticos, apon- tando para uma universalidade que vai muito al´em da de ter- modinˆamica. Veremos a seguir como o conceito de criticalidade
  3. 3. Sistemas complexos, criticalidade e leis de potˆencia 101 passou a figurar em v´arias disciplinas, como a geof´ısica, a biolo- gia, a economia e a hist´oria [1]. Trabalhos te´oricos em criticalidade utilizam modelos simples que podem ser estudados analiticamente ou via simulac¸˜oes de com- putador. Entender os estados cr´ıticos, em um sistema pertencente a determinada classe de fenˆomenos, leva-nos `a compreens˜ao de todos os demais sistemas dessa classe. Assim, de modo geral, os conceitos s˜ao mais metaf´oricos do que em outras ´areas da f´ısica te´orica. O princ´ıpio da universalidade (ou ubiquidade, como prefere Buchanan) significa que devemos selecionar os modelos matem´aticos mais simples poss´ıveis, que consigam abranger uma classe universal de fenˆomenos. Os detalhes n˜ao s˜ao, aqui, cruciais para decidirmos o resultado, pois os fenˆomenos em estado cr´ıtico n˜ao possuem uma escala t´ıpica, seja no espac¸o ou no tempo. Este fato se apresenta sob a forma das leis de escala. Estas leis reve- lam ordem e simplicidade por tr´as da complexidade, e tamb´em sig- nificam que nenhuma diferenc¸a qualitativa existe entre pequenas e grandes flutuac¸˜oes. Eventos raros n˜ao precisam ter causa espec´ıfica e podem aparecer a qualquer momento. O que causa um pequeno efeito em uma ocasi˜ao pode iniciar uma mudanc¸a devastadora em outra situac¸˜ao. Al´em disso, nenhuma an´alise das condic¸˜oes iniciais ser´a suficiente para predizer o evento. 4. Distribuic¸˜oes gaussianas e leis de potˆencia Quando um estat´ıstico estuda certos dados, tais como o prec¸o de certa mercadoria, ele utiliza uma ferramenta indispens´avel: um gr´afico em forma de sino que representa a distribuic¸˜ao gaussiana ou normal dos dados (Fig. 3). Esta curva mostra, por exemplo, a variac¸˜ao nos prec¸os de certo produto em um certo per´ıodo de tempo. A maioria dos valores discretos dos prec¸os situa-se na parte central da curva, ou seja, na m´edia, enquanto que, nos la- dos, a curva cai rapidamente, como uma exponencial. Isto cor- responde ao fato de que grandes flutuac¸˜oes s˜ao estatisticamente pouco prov´aveis e, depois de certo ponto, imposs´ıveis. Figura 3 - Distribuic¸˜ao gaussiana. As distribuic¸˜oes gaussianas s˜ao definidas a partir de uma func¸˜ao densidade de probabilidades que se escreve da seguinte forma: P(x) = 1 √ 2πσ e − (x−µ)2 2σ2 onde x´e a vari´avel estoc´astica em quest˜ao, µ ≡ x ´e a m´edia da distribuic¸˜ao, e σ = x2 − x 2denomina-se desvio-padr˜ao. Por exemplo, suponha que desejemos medir o comprimento de uma mesa, que ser´a nossa vari´avel estoc´astica x. Ao realizarmos N medidas sucessivas obtemos uma estimativa do valor m´edio por ¯x = N i=1 xi N , sendo que N i=1 xi N → µ `a medida que N tende para infinito. E, ignorando quaisquer fontes de erro sistem´atico, expres- samos o resultado de nossa experiˆencia na forma µ = ¯x±kσ, onde k ´e uma constante associada `a distribuic¸˜ao gaussiana e N. Ou seja, o desvio-padr˜ao d´a-nos uma boa aproximac¸˜ao do erro cometido na estimac¸˜ao da m´edia. A probabilidade de encontrarmos a x b ´e dada por b a P(x)dx. Al´em disso, ∞ −∞ P(x)dx = 1, ou seja, a probabilidade de encontrarmos um valor qualquer de x´e, obviamente, igual a 1. Distribuic¸˜oes gaussianas s˜ao, supostamente, a norma da na- tureza, cuja larga aplicabilidade resulta do teorema do limite central: em qualquer caso onde um grande n´umero de eventos aleat´orios independentes contribuem para um determinado resul- tado, este seguir´a a distribuic¸˜ao normal. Em outras palavras, suponha que nossa vari´avel estoc´astica, xi, seja o cl´assico passeio aleat´orio (random walk) onde xi pode assumir aleatoriamente os valores ±s. A posic¸˜ao da vari´avel ap´os N passos ´e dada por SN = N i=1 xi. O teorema do limite central diz que, se os passos xi s˜ao inde- pendentes uns dos outros e possuem desvio-padr˜ao finito, a func¸˜ao densidade de probabilidade da seguinte vari´avel ∼ S N = N i=1 xi/σ √ N ser´a gaussiana `a medida que N → ∞, mesmo que cada xi n˜ao obedec¸a `a distribuic¸˜ao normal. Mas nem tudo na natureza segue uma curva normal. Por´em, mesmo eventos n˜ao-gaussianos podem ainda apresentar um tipo de regularidade na forma de leis de potˆencia n˜ao-gaussianas. E estas s˜ao incompat´ıveis com a noc¸˜ao de que a m´edia representa a es- cala caracter´ıstica. Os sistemas com escala descrevem quase tudo na natureza, `as vezes at´e sistemas desordenados. A distribuic¸˜ao de gotas de chuva na calc¸ada tem uma escala caracter´ıstica: basta focalizarmos cada vez mais para encontrar que o diˆametro m´edio ´e uma gota. Mas existem os sistemas que n˜ao possuem escala
  4. 4. 102 Gleria et al. caracter´ıstica, descritos por leis de potˆencia, que s˜ao soluc¸˜oes de equac¸˜oes funcionais da forma f(λx) = λp f(x) (1) Quando f´ısicos analisam um fenˆomeno, acabam resolvendo al- gum tipo de equac¸˜ao diferencial, onde as func¸˜oes possuem alguma escala caracter´ıstica. Em geral, podemos expressar as func¸˜oes em termos de exponenciais, em que aparece um parˆametro que deter- mina a escala do problema. Tomemos como exemplo a lei do decaimento exponencial de n´ucleos radioativos. Sendo R a probabilidade de emiss˜ao de radiac¸˜ao por segundo e supondo que N n´ucleos n˜ao deca´ıram no instante t. Ap´os o intervalo dt, um n´umero dN de n´ucleos ir´a de- cair. Uma vez que R ´e a probabilidade de que um n´ucleo particular decaia em um segundo, Rdt ´e a probabilidade de que qualquer um dos n´ucleos do sistema decaia nesse intervalo de tempo. Assim, o n´umero m´edio de n´ucleos que decaem ´e dN = −NRdt que, depois de resolvida, nos fornece N(t) = N(0)e−Rt . Nesta express˜ao, N(0) ´e o n´umero de n´ucleos que n˜ao tinham deca´ıdo no instante inicial. A partir da express˜ao acima, podemos demonstrar que o intervalo de tempo necess´ario para que o n´umero de n´ucleos, que ainda n˜ao deca´ıram, diminua por um fator igual a dois, ´e dado por T1/2 = ln 2/R. Esta ´e a chamada meia-vida do n´ucleo radioativo, e representa a escala de tempo caracter´ıstica do processo. Note que `a medida que t → ∞ teremos N(t) → 0. Isto corresponde ao fato de que encontrar um n´ucleo que n˜ao decaiu torna-se um evento extrema- mente raro. Na f´ısica dos fenˆomenos cr´ıticos, a express˜ao 1 acima ´e conhe- cida por hip´otese de escala ou de homogeneidade. Esta forma a base da teoria do grupo de renormalizac¸˜ao. Por exemplo, nas vizinhanc¸as de um ponto cr´ıtico, a func¸˜ao energia livre por spin g(T, H) de um ferromagneto ´e escrita como a soma de uma parte regular, g0(T, H), e de uma parte singular, gS(T, H). ´E na parte singular que as peculiaridades da criticalidade ocorrem e, de acordo com a hip´otese de escala, sup˜oe-se que ela obedec¸a `a equac¸˜ao 1. [41] Leis de potˆencia tamb´em surgem em casos como a distribuic¸˜ao de terremotos, extinc¸˜ao de esp´ecies e crashes de bolsas de valores, e o sentido do termo universalidade, para os fenˆomenos cr´ıticos, ganha dimens˜oes inesperadas mesmo para os pioneiros da ´area. 5. Auto-similaridade e fractais Prec¸os de mercadorias parecem se comportar desordenadamente no curto prazo, embora tendˆencias sejam comuns quando o hori- zonte de tempo observado ´e o longo prazo. Diante disso, um certo economista de Harvard, chamado Hendrik Houtahkker, recorreu a uma distribuic¸˜ao gaussiana para estudar oito anos de variac¸˜oes no prec¸o do algod˜ao. Ele constatou que a curva n˜ao se ajusta perfeita- mente `a distribuic¸˜ao normal. Estranhamente, a curva se alonga em vez de cair rapidamente. Como vimos no exemplo dos n´ucleos ra- dioativos, processos gaussianos apresentam, de fato, decaimento exponencial. Quando o jovem matem´atico Benoit Mandelbrot apresentou um semin´ario no Departamento de Economia de Harvard, ele apareceu com uma figura bastante parecida com a de Houtahkker, que foi logo reconhecida por este. Mandelbrot resolveu ent˜ao es- tudar a mesma base de dados. Havia dados para mais de um s´eculo do prec¸o do algod˜ao. Mandelbrot usou os computadores da IBM, de onde era funcion´ario, para processar os dados. Ele confirmou que os dados n˜ao se ajustam a uma distribuic¸˜ao normal. Mas Mandelbrot percebeu mais. Havia certa ordem oculta. Havia simetria em pequenas e grandes escalas. Variac¸˜oes di´arias assemelhavam-se a variac¸˜oes mensais. Isto sugeria que as seq¨uˆencias de variac¸˜oes independem da escala, indicando a presenc¸a de leis de potˆencia. Era isto o que Mandelbrot procurava: um padr˜ao onde se pensava existir apenas aleatoriedade. Ele logo associou o fenˆomeno aos problemas que a IBM en- frentava nas suas linhas telefˆonicas. `As vezes, surgiam ru´ıdos que provocavam erro nos dados transmitidos. Mandelbrot sabia que os ru´ıdos, apesar de aleat´orios, apresentavam caracter´ısticas pecu- liares: em certos per´ıodos, praticamente n˜ao havia ru´ıdos, enquanto que em outros apareciam v´arios erros de transmiss˜ao. Al´em disso, dentro de per´ıodos de erro havia per´ıodos de transmiss˜ao perfeita. A previs˜ao dos ru´ıdos era praticamente imposs´ıvel. Grac¸as `a sua forte intuic¸˜ao geom´etrica, Mandelbrot associou os dois fenˆomenos a uma construc¸˜ao matem´atica chamada con- junto de Cantor. Comec¸ando com uma linha de certo tamanho, podemos tirar o terc¸o m´edio. Em seguida, tiramos o terc¸o m´edio das duas linhas restantes. Se repetirmos o processo v´arias vezes, o que sobra s˜ao as linhas finas da Fig. 4. Figura 4 - Poeira de Cantor Mandelbrot concluiu que algo como a Fig. 4 poderia cap- turar o que estava ocorrendo com o prec¸o do algod˜ao e com o ru´ıdo das transmiss˜oes telefˆonicas. A poeira de Cantor mostra que n˜ao h´a escala caracter´ıstica. Era at´e ent˜ao incomum obser- var a poeira levando em conta a dimens˜ao. Na vis˜ao euclidiana, um cubo tem dimens˜ao 3 porque apresenta largura, comprimento e altura; uma folha de papel possui dimens˜ao 2 porque tem largura e comprimento; um fio tem dimens˜ao 1 por apenas ter compri- mento; e um ponto tem dimens˜ao 0 pois n˜ao apresenta nenhuma dessas caracter´ısticas. Mas quando se pensa em outras formas da
  5. 5. Sistemas complexos, criticalidade e leis de potˆencia 103 natureza como o contorno de uma folha de ´arvore, do litoral, de uma montanha, de um fragmento de rocha, a geometria euclidiana n˜ao parece ser boa descritivamente. Afinal, como Mandelbrot [29] observa, “nuvens n˜ao s˜ao esferas e montanhas n˜ao s˜ao cones”. Em um artigo intitulado “Que Extens˜ao Tem o Litoral da Gr˜a- Bretanha?”, Mandelbrot discute como mensurar formas irregulares como o litoral. Ele foi al´em das dimens˜oes inteiras 0, 1, 2 e 3, e utilizou dimens˜oes fracion´arias. Da´ı surgiu o conceito de fractal, um termo emprestado do latim fractus, que est´a associado a que- brar ou fraturar. Dimens˜oes n˜ao inteiras como 2.73 poderiam dizer respeito ao grau de fragmentac¸˜ao. Mandelbrot descobriu que esse grau de irregularidade per- manecia constante, no litoral britˆanico, qualquer que fosse a escala utilizada. Isto significa que, seja de perto ou de longe, os padr˜oes de forma s˜ao os mesmos. Exatamente como nos prec¸os do algod˜ao. Havia um padr˜ao na irregularidade. Esta ´e uma das principais ca- racter´ısticas dos fractais: a auto-semelhanc¸a. Vocˆe vˆe isto sempre que corta um pedac¸o de couve-flor e percebe que este pedac¸o ´e semelhante `a verdura inteira. De fato, um ”pedac¸o” da poeira de Cantor ´e semelhante ao conjunto inteiro. Como as distribuic¸˜oes gaussianas s˜ao inadequadas para des- crever os problemas estudados por Mandelbrot, ele recorreu `as chamadas distribuic¸˜oes de L´evy, que de certo modo generalizam a de Gauss e obedecem a um tipo de teorema do limite central generalizado [28]. Uma distribuic¸˜ao de L´evy sim´etrica e de m´edia zero ´e escrita como: PL(x) = 1 π ∞ 0 e−γqα cos(qx)dq e possui a propriedade de que, para valores grandes de |x|, PL(|x|) ≈ |x|−α , ou seja, h´a uma lei de potˆencia, indicando que as distribuic¸˜oes de L´evy n˜ao apresentam escala caracter´ıstica. Era exatamente isto o que Mandelbrot procurava. A regularidade de qualquer lei de potˆencia implica ausˆencia de escala t´ıpica, cuja geometria ´e ent˜ao fractal. Fractais podem aparecer por diversas raz˜oes. Por dinˆamicas ca´oticas, processos de crescimento ou evoluc¸˜ao, e assim por diante. O ponto-de-vista de Mandelbrot n˜ao teve aceitac¸˜ao imedia- ta principalmente porque as distribuic¸˜oes de L´evy possuem a incˆomoda propriedade de ter desvio-padr˜ao infinito. Mais precisa- mente, todos os momentos de ordem maior que dois s˜ao infini- tos. Em financ¸as, o desvio-padr˜ao ´e uma medida da volatilidade da vari´avel, e torna-se complicado dar significado a essa grandeza se ela for infinita. Somente a partir dos trabalhos de Gene Stanley e Rosario Mantegna ´e que volta-se a considerar a possibilidade de que as distribuic¸˜oes de L´evy descrevam apropriadamente proble- mas em economia. Mercados financeiros, em particular, possuem diversas das propriedades t´ıpicas de sistemas complexos. Al´em disso, eles s˜ao sistemas ditos abertos, em que subunidades interagem de modo n˜ao-linear. N˜ao-linearidade ocorre, por exemplo, em potˆencias como X2 e Y 1/3 ou em termos multiplicados como XY , √ XY e X √ Y . Sistemas n˜ao-lineares apresentam propriedades bem dife- rentes daquelas de sistemas lineares. Por exemplo, se A e B forem soluc¸˜oes de um sistema de equac¸˜oes diferenciais, ent˜ao A+B ser´a uma soluc¸˜ao tamb´em. Esta regra de superposic¸˜ao n˜ao se aplica a sistemas n˜ao-lineares. Sistemas lineares geralmente possuem soluc¸˜oes anal´ıticas, mas sistemas n˜ao-lineares, em geral, precisam ser resolvidos numericamente. As primeiras tentativas de se usar a teoria do caos na descric¸˜ao de mercados financeiros foi decepcionante (h´a um apanhado em [9]). Caos aqui refere-se ao determinismo de um pequeno n´umero de equac¸ ˜oes diferenciais ou em diferenc¸as capazes de exibir uma dinˆamica extremamente complexa. Ou seja, apenas aparentemente h´a aleatoriedade. Embora a hip´otese de que mercados financeiros s˜ao de fato ca´oticos ainda n˜ao possa ser descartada, os trabalhos em econof´ısica (que discutiremos abaixo) pressup˜oem que a dinˆamica dos prec¸os ´e estoc´astica, por´em governada por leis de potˆencia. 6. Criticalidade auto-organizada ´E natural pensar que, para se atingir pontos cr´ıticos, seja necess´aria alguma intervenc¸˜ao externa. Por´em, `as vezes essa criticalidade ´e atingida espontaneamente pela natureza, fenˆomeno denominado criticalidade auto-organizada. A criticalidade auto-organizada parece surgir quando as partes de um sistema afastam-se lenta- mente do estado de equil´ıbrio, e onde as ac¸˜oes de cada parte in- dividual s˜ao dominadas pelas interac¸˜oes com as demais partes do sistema. Florestas s˜ao um bom exemplo de criticalidade auto- organizada. A rede de ´arvores forma um estado cr´ıtico onde, por exemplo, uma pequena fa´ısca pode se alastrar de modo a de- struir toda a floresta. Ou destruir apenas um pequeno n´umero de ´arvores. Ou n˜ao ter efeito algum. Aqui tamb´em, uma lei de potˆencia para a distribuic¸˜ao de incˆendios foi observada: dobrando a ´area coberta pelo fogo, o incˆendio fica 2.48 vezes mais dif´ıcil de acontecer [27]. Ainda, o modelo proposto para a propagac¸˜ao dos incˆendios pode tamb´em ser usado no estudo da propagac¸˜ao de doenc¸as em populac¸ ˜oes humanas, bastando trocar “´arvores” por “pessoas” e “fogo” por “v´ırus”. De fato, Rhodes e Anderson [40] explicam desta forma a distribuic¸˜ao de epidemias nas ilhas Faroe do Atlˆantico Norte. 7. Explicac¸˜ao f´ısica para os fractais e o ru´ıdo 1/f H´a um tipo de ru´ıdo oscilante que segue uma lei de potˆencia que o relaciona inversamente com sua frequˆencia f: o ru´ıdo 1/f. Este pode ser encontrado em uma grande variedade de sistemas, desde resistores e ampulhetas at´e o fluxo do rio Nilo e a luminosidade das estrelas. Bak et alli (1987) formularam uma teoria geral para o ru´ıdo 1/f e acabaram explicando a raz˜ao f´ısica para o surgimento dos fractais e, principalmente, para o aparecimento da criticalidade auto-organizada. Pela sua teoria, tanto o ru´ıdo 1/f como os fractais podem surgir na natureza sem a necessidade de intervenc¸˜ao externa (fine tuning). Bak e colegas comec¸aram estudando a dinˆamica de um con- junto de pˆendulos e conclu´ıram que o ru´ıdo 1/f e os fractais s˜ao estados ”minimamente est´aveis” que se originam de processos
  6. 6. 104 Gleria et al. dinˆamicos que param precisamente no ponto cr´ıtico. Eles especu- laram que essa conclus˜ao n˜ao dependia do sistema f´ısico espec´ıfico dos pˆendulos: ela seria robusta se fosse escolhido outro sistema. Para mostrar isso, eles voltaram `a ampulheta, onde o ru´ıdo 1/f atua. Eles pensaram, mais especificamente, em uma pilha de areia. Como este experimento ´e de dif´ıcil realizac¸˜ao, eles o estilizaram em um modelo de ”autˆomatos celulares” [46]. Mais tarde, ou- tros autores mostraram que o experimento pode ser feito, de fato, com gr˜aos de arroz [14]. A explicac¸˜ao de Bak e colegas para as avalanches na pilha de areia ser´a descrita em seguida. 8. O Papel do livre-arb´ıtrio A liberdade individual n˜ao oferece escapat´oria para a inevitabi- lidade da criticalidade. Mesmo que as pessoas interajam umas com as outras atrav´es de suas escolhas pessoais, existem, no en- tanto, padr˜oes matem´aticos definidos nas atividades do grupo. Tais padr˜oes n˜ao podem nos auxiliar na previs˜ao do que determinada pessoa ir´a fazer, mas podem ser capazes de dizer o que podemos es- perar do aglomerado de pessoas. A teoria da psico-hist´oria de Isaac Asimov, descrita, em 1950, no seu romance de ficc¸˜ao cient´ıfica Fundac¸˜ao, captura a essˆencia do que estamos discutindo aqui. O modo como pessoas se agregam em cidades e os padr˜oes populacionais dentro destas podem ser explicados recorrendo a simples conceitos de teoria das transic¸˜oes de fase [47]. Cidades s˜ao possivelmente fractais. Se assim forem, n˜ao h´a um tamanho t´ıpico de cidade. Tamb´em n˜ao h´a necessidade de se recorrer `a hist´oria ou geografia para explicar o surgimento das maiores cidades do mundo, por exemplo. 9. Avalanches Pegue um punhado de arroz e deposite os gr˜aos, um por um, em cima de uma mesa, de modo a formar uma pilha. A pilha n˜ao crescer´a para sempre. A adic¸˜ao de um gr˜ao a mais, cedo ou tarde, provocar´a uma avalanche. Mas este gr˜ao ser´a especial ape- nas porque caiu no lugar certo e na hora certa. A adic¸˜ao de um gr˜ao poderia n˜ao ter tido nenhum efeito, ou ent˜ao precipitado uma pequena avalanche. Mas poderia ter derrubado toda a estrutura. Podemos prever a freq¨uˆencia das avalanches, mas n˜ao quando ela ir´a ocorrer ou seu tamanho. N˜ao ´e surpreendente que as avalanches maiores ocorrer˜ao com menor freq¨uˆencia que as menores. O que ´e surpreendente ´e que temos novamente uma lei de potˆencia: do- brando o tamanho da avalanche de gr˜aos, estas se tornam duas vezes menos freq¨uentes [3], [14]. A aparente complexidade de uma pilha de gr˜aos colapsa na simplicidade e na ordem oculta de uma lei de potˆencia. 10. Terremotos Se a crosta terrestre estiver em estado cr´ıtico, torna-se praticamente imposs´ıvel prever quando ocorrer´a um terremoto e, al´em disso, qu˜ao destrutivo ele ser´a. A previs˜ao de terremotos vem sendo feita h´a pelo menos 100 anos com sucesso limitado [16]. As placas continentais podem se movimentar lentamente. Isto n˜ao necessariamente acarreta a reorganizac¸˜ao da crosta, j´a que os atritos mantˆem as placas em seus lugares. Mas os pequenos movi- mentos colocam as placas sob estresse. Quando esse estresse ultra- passa certo valor, o ch˜ao se move e se reorganiza de modo s´ubito e violento. Os terremotos distribuem-se em func¸˜ao da energia liberada, de acordo com a lei de potˆencia conhecida como lei de Gutenberg- Richter: N ∝ 1 E2 onde N ´e o n´umero de terremotos e E, a energia. Dobrando a ener- gia de um terremoto, ele se torna quatro vezes menos freq¨uente. A distribuic¸˜ao dos terremotos ´e fractal, logo invariante na escala. O que provoca pequenos terremotos ´e o mesmo que provoca grandes terremotos, se os considerarmos um fenˆomeno cr´ıtico. Figura 5. Terremotos na Calif´ornia em junho de 2003. Fonte: http://quake.wr.usgs.gov/. 11. Extinc¸˜ao de esp´ecies A vida na Terra sofre de espor´adicos e catastr´oficos epis´odios de colapso. Houve pelo menos cinco grandes extinc¸˜oes de esp´ecies na hist´oria terrestre [45]. Muitos bi´ologos n˜ao acreditam que apenas a selec¸˜ao natural seja capaz de provocar extinc¸˜oes, devendo existir fatores ex´ogenos em ac¸˜ao. No entanto, ´e poss´ıvel que extinc¸˜oes em massa possam resultar da pr´opria dinˆamica da evoluc¸˜ao, como um fenˆomeno cr´ıtico. Uma lei de potˆencia foi, de fato, observada na an´alise de f´osseis [43]. Curiosamente, ela ´e idˆentica `a lei de potˆencia da distribuic¸˜ao de terremotos: dobrando o tamanho da extinc¸˜ao (medida pelo n´umero de fam´ılias extintas), ela torna-se quatro vezes mais dif´ıcil de ocorrer. Talvez n˜ao seja necess´ario que ocorram choques ex´ogenos, como a conhecida tese do mete- oro que caiu no M´exico e provocou a extinc¸˜ao dos dinossauros. Talvez pequenos eventos end´ogenos (similares `a queda do gr˜ao de areia ”especial” que provoca a avalanche) expliquem as extinc¸˜oes em massa.
  7. 7. Sistemas complexos, criticalidade e leis de potˆencia 105 12. A F´ısica da Hist´oria O conceito de criticalidade pode ser ´util na compreens˜ao de fatos hist´oricos. A hist´oria ´e cheia de fatos tidos como inexplic´aveis e imprevis´ıveis. Tomemos como exemplo a Primeira Guerra Mundial, um caso cl´assico de cat´astrofe n˜ao antecipada [6]. Hegel e Marx pensaram que a hist´oria fosse como o crescimento de uma ´arvore, que progride em direc¸˜ao a uma maturidade est´avel. Nessa linha, alguns autores [15] chegam at´e a especular que estamos nos aproximando do fim da hist´oria, visto que o mundo parece estar atingindo um equil´ıbrio final na universalizac¸˜ao da democracia e do capitalismo. Outros, como Toynbee, acham que existem ci- clos regulares de crescimento e decl´ınio em todas as civilizac¸˜oes. Outra hip´otese ´e a hist´oria ser completamente aleat´oria, sem ne- nhum padr˜ao percept´ıvel. A este respeito, H. A. L. Fisher observou (citado por Buchanan [7]) que h´a apenas uma regra segura para o historiador: aceitar que o desenvolvimento humano ´e governado pela contingˆencia e pelo acaso. Figura 6. Lei de potˆencia para guerras. Fonte: Buchanan [7]. Entretanto, ainda parece haver padr˜oes indiscut´ıveis na hist´oria, sendo um exemplo ´obvio o aumento de nosso conheci- mento cient´ıfico e tecnol´ogico. Talvez a hist´oria seja ca´otica, no sentido dado pela teoria dos sistemas dinˆamicos: aparenta ser dada pelo acaso em seu funcionamento, embora n˜ao seja genuinamente estoc´astica. Ferguson [11] argumentou que este ponto-de-vista re- concilia as noc¸˜oes de causalidade e contingˆencia. A hist´oria pode ser ainda um sistema em estado cr´ıtico. Em uma ”hist´oria cr´ıtica”, eventos locais e imediatos controlam um su- posto destino. A contingˆencia adquire um papel muito importante. De fato, a contingˆencia ´e a marca do estado cr´ıtico [1]. Nessa linha, Kennedy [20] sugeriu que o ritmo hist´orico das interac¸˜oes entre grandes potˆencias ´e governado pela quantidade de estresse acumu- lado nos interesses nacionais em jogo. Isto forc¸a a alterac¸˜ao do equil´ıbrio geopol´ıtico. Comumente o estresse ´e ”aliviado” atrav´es de conflitos armados, ap´os os quais a influˆencia de cada nac¸˜ao chega a novo equil´ıbrio de acordo com o poder econˆomico real de cada uma. As guerras surgem, ent˜ao, de acordo com os mesmos padr˜oes estat´ısticos de avalanches e terremotos. Estat´ısticas dos ´ultimos cinco s´eculos revelam uma lei de potˆencia na distribuic¸˜ao de guerras [24]. Sempre que o n´umero de mortes dobra, guerras deste tamanho s˜ao 2.62 vezes menos comuns (Fig. 6). Outro aspecto interessante aqui ´e que, quando um conflito ´e iniciado, n˜ao h´a como prever o seu tamanho. Aparentemente n˜ao h´a nada especial que torne um conflito em uma grande guerra. Tem sido sugerido que o mesmo modelo matem´atico utilizado na descric¸˜ao de incˆendios florestais consegue explicar os elemen- tos cruciais de como um conflito se espalha [44]. Uma guerra comec¸aria de modo similar a um incˆendio florestal. 13. Sobre a Hist´oria da Ciˆencia Um dos maiores feitos de Thomas Khun [23] foi mostrar que a ciˆencia ´e capaz de funcionar apesar do fato de os cientistas serem humanos, e n˜ao ”anjos”. Pode-se at´e argumentar que ele desco- briu um padr˜ao de mudanc¸a universal ainda mais profundo do que ele mesmo pensava. Khun viu a ciˆencia como um sistema de ac´umulo e al´ıvio de estresse que influencia sua pr´opria hist´oria. Um trabalho cient´ıfico revela inconsistˆencias e gera certo estresse no mainstream. Quando este desajuste atinge certo n´ıvel, a ciˆencia em vigor pode desabar: ocorre uma revoluc¸˜ao no sistema. As novas id´eias s˜ao incorporadas e as outras abandonadas, de modo an´alogo ao deslocamento das placas continentais. Revoluc¸˜oes cient´ıficas seriam parecidas com os terremotos. Toda nova id´eia em ciˆencia ´e como um gr˜ao caindo sobre a pilha de conhecimento. Cada artigo cient´ıfico ´e um pacote de id´eias que, quando colocado na rede de conhecimento, provoca um certo rearranjo. Para verificar quanto ”terremoto” um determinado artigo provoca, podemos checar o n´umero de vezes que este ´e citado por outros. Novamente, n˜ao iremos encontrar nenhuma escala t´ıpica de citac¸˜oes para um artigo. A distribuic¸˜ao de citac¸˜oes segue uma lei de potˆencia [39]: toda vez que o n´umero de citac¸˜oes dobra, o n´umero de artigos que recebem citac¸˜oes diminui em oito vezes (Fig. 7). Figura 7. Lei de potˆencia no n´umero de artigos citados por outros. Se a hist´oria da ciˆencia estiver em estado cr´ıtico, as con- seq¨uˆencias de uma nova id´eia qualquer podem n˜ao depender muito de sua profundidade, mas apenas de onde ela cair sobre a pilha de conhecimento.
  8. 8. 106 Gleria et al. 14. Econof´ısica Se os mercados financeiros forem tamb´em criticamente organiza- dos, crashes em bolsas de valores n˜ao seriam anomalias, mas even- tos ordin´arios (embora raros). Quando oferta e demanda se encon- tram em mercados eficientes, o prec¸o expressa o valor compat´ıvel com os ”fundamentos” estruturais da economia. Na ausˆencia de grandes choques de demanda e oferta, teremos que esperar ape- nas a ocorrˆencia de pequenas flutuac¸˜oes para ajustar excessos de demanda e oferta. Grandes variac¸˜oes de prec¸os seriam altamente improv´aveis. Em outras palavras, as variac¸˜oes do prec¸o teriam que se comportar de acordo com uma distribuic¸˜ao gaussiana. Seriam um random walk, na linguagem da f´ısica estat´ıstica. N˜ao houve nenhum grande choque justificando bruscas alterac¸˜oes nos fundamentos em 19 de outubro de 1987. Mas este foi o dia de um crash financeiro quase duas vezes mais severo do que o colapso de 1929. O ´ındice Dow Jones caiu 22% neste dia, que ficou conhecido como Black Monday (Fig. 8). Figura 8. Black Monday. ´E impens´avel atribuir ao evento uma s´ubita alterac¸˜ao nos fun- damentos da economia que levou, em poucas horas, a uma queda de mais de 20% nos retornos das ac¸˜oes. Embora haja explicac¸˜oes a posteriori que apontam para alterac¸˜oes dos fundamentos, estas s˜ao pouco convincentes, dada a magnitude do crash. H´a ainda a explicac¸˜ao pitoresca de que o crash foi provocado por erros em programas de computador, que venderam ac¸˜oes ininterruptamente assim que os prec¸os comec¸aram a cair. Quando Mandelbrot [28] descobriu que n˜ao havia distribuic¸˜ao gaussiana nem escala t´ıpica nas variac¸˜oes do prec¸o do algod˜ao, isto possibilitou encararmos grandes flutuac¸˜oes de prec¸o como re- sultado de um arranjo ”natural” no funcionamento dos mercados. Ou seja, estes podem oscilar ferozmente de tempos em tempos mesmo que nada de excepcional ocorra nos fundamentos da econo- mia (veja tamb´em [30] e [2]). As func¸˜oes de distribuic¸˜ao mais adequadas para a an´alise do problema n˜ao podem ent˜ao decair exponencialmente, como a gaus- siana. Eles devem decair seguindo uma lei de potˆencia, caracteri- zando ausˆencia de escala. As distribuic¸˜oes usadas por Mandelbrot foram as distribuic¸˜oes de L´evy, como observamos anteriormente. Cada vez mais leis de potˆencia s˜ao descobertas, em mercados financeiros, pelos econof´ısicos. Para enumerar apenas algumas, as flutuac¸˜oes no ´ındice S&P 500 mostraram ser dezesseis vezes menos freq¨uentes cada vez que dobramos seu valor [19]. Leis de escala neste ´ındice tamb´em foram observadas por Mantegna e Stan- ley [32]. Uma lei de potˆencia similar vale para os prec¸os de ac¸˜oes de companhias individuais [38]. Leis de potˆencia foram observadas na bolsa de Mil˜ao [31] e, por n´os, na bolsa de S˜ao Paulo [17], bem como em taxas de cˆambio [12], [36]. Leis de potˆencia foram ainda observadas na volatilidade dos mercados, sugerindo a inexistˆencia de um tamanho t´ıpico para os ”pˆanicos financeiros” [25]. A lei de Pareto ´e uma lei de potˆencia cl´assica. Grac¸as a isto, algumas vezes as distribuic¸˜oes de L´evy s˜ao chamadas de Pareto- L´evy. Bouchaud e Mezard [4] revisitaram a lei de Pareto para observar que, se levarmos em conta o n´umero de pessoas nos Es- tados Unidos que possuem 1 bilh˜ao de d´olares, encontraremos que um n´umero quatro vezes maior de pessoas possuir´a meio bilh˜ao, e um n´umero quatro vezes maior que esse possuir´a um quarto de bilh˜ao, e assim por diante. As leis de potˆencia podem conviver pacificamente com a teo- ria financeira vigente. De fato, os econof´ısicos prop˜oem uma certa conciliac¸˜ao. Uma vez que n˜ao descartam a hip´otese de mercados eficientes, eles apenas reduzem a sua significˆancia a um caso limi- te. Os economistas da ´area de financ¸as internacionais est˜ao en- tre aqueles que tˆem mais chance de tratar os mercados financeiros como um sistema cr´ıtico. Afinal, como Krugman [21] observa, a maioria dos economistas de hoje acha que os mercados inter- nacionais est˜ao mais para a irracionalidade e instabilidade, des- critas por Keynes, do que para o modelo de mercados eficientes de financ¸as. Ali´as, o pr´oprio Krugman j´a tentou aplicar os conceitos de criticalidade na economia [22]. Resta-nos observar que, se a macroeconomia for um sistema criticamente organizado, um certo choque n˜ao pode ser culpado por desestabiliz´a-la. A maneira como a economia e suas instituic¸˜oes est˜ao desenhadas para responder aos choques seria o fator mais importante. 15. Conclus˜ao Em que sentido terremotos, incˆendios florestais, extinc¸˜oes de esp´ecies e crashes de bolsas de valores s˜ao eventos similares? Como um evento tumultuoso como o crash de 1987 chegou sem aviso? Todos esses eventos podem ser grandes flutuac¸˜oes que surgem universalmente em sistemas que se encontram fora do equil´ıbrio em um estado cr´ıtico. A organizac¸˜ao destes sistemas n˜ao depende da natureza precisa das coisas envolvidas, mas so- mente da maneira como as influˆencias se propagam de um lugar a outro. Aqui, eventos raros surgem a partir do mero ac´umulo e posterior liberac¸˜ao de estresse. Assim como ´e tentador buscar grandes causas por tr´as de terr´ıveis terremotos ou extinc¸˜oes em massa, ´e tamb´em tentador buscar grandes pessoas por tr´as dos grandes eventos hist´oricos. En- tretanto ´e poss´ıvel que a ´unica causa geral para tais eventos seja a organizac¸˜ao interna de um estado cr´ıtico, que faz com que eventos raros sejam n˜ao apenas poss´ıveis mas inevit´aveis. Os fundamen- tos de um estado cr´ıtico refletem-se em leis estat´ısticas simples: leis de potˆencia, que n˜ao possuem escala caracter´ıstica, revelando a ausˆencia de um ”tamanho” esperado para o pr´oximo evento.
  9. 9. Sistemas complexos, criticalidade e leis de potˆencia 107 Agradecimentos Agradecemos a Martha Scherer (bolsista do CNPq, UFRGS) pelo apoio log´ıstico. Referˆencias [1] Per Bak, New Scientist 11 November, 56 (2000). [2] Per Bak, K. Chen, Jos´e A. Scheinkman e Michael Woodford, Ricerche Economiche 47, 30 (1993). [3] Per Bak, Chao Tang e Kurt Wiesenfeld, Physics Review Let- ters 59, 381 (1987). [4] Jean-Philippe Bouchaud Marc Mezard, Physica A 282, 536 (2000). Dispon´ıvel em http://xxx.lanl.gov/abs/ cond-mat/0002374. [5] Mark Buchanan, New Scientist 19 August, 22 (2000a). [6] Mark Buchanan, Ubiquity: The Science of History... Or Why the World is Simpler than we Think (Weidenfeld & Nicolson, London, 2000b). Dispon´ıvel em http://www.amazon. com/exec/obidos/ASIN/060960810X/qid= 1003852427/sr=2-1/ref=sr_2_11_1/ 103-5772439-9275016. [7] Mark Buchanan, New Statesman 9 October (2000c). [8] P. Cootner, The Random Character of Stock Market Prices (The MIT Press, Cambridge, 1964) . [9] Sergio Da Silva, Estudos Empresariais 6, 9 (2001). Dispon´ıvel em http://www.angelfire. com/id/SergioDaSilva/chaosandexch.html. [10] J. Doyne Farmer e Andrew W. Lo, Frontiers of Finance: Evolution and Efficient Markets (Santa Fe Institute Working Paper # 99-06-039 1999). Dispon´ıvel em http://www. santafe.edu/sfi/publications/ Working-Papers/99-06-039E.pdf. [11] Niall Ferguson, in Virtual History: Towards a ”Chaotic” Theory of the Past, editado por Niall Ferguson Virtual His- tory (Picador, London, 1997). [12] Annibal Figueiredo, Iram Gleria, Raul Matsushita, e Sergio Da Silva, Physica A 323, 601 (2003a). [13] Annibal Figueiredo, Iram Gleria, Raul Matsushita e Sergio Da Silva, Physics Letters A 315, 51 (2003b). [14] V. Frette, K. Christensen, A.M. Sorenssen, J. Feder, T. Jos- sang e P. Meakin, Nature 379, 49 (1996). [15] Francis Fukuyama, The End of History and the Last Man (Penguin, London, 1992). [16] Robert J Geller, Geophysical Journal International 131, 425 (1997). [17] Iram Gleria, Raul Matsushita e Sergio Da Silva, Economics Bulletin 7, 1 (2002) . [18] Marvin Goodfriend e Robert G. King, NBER Macroeco- nomics Annual 231 (1997). [19] Parameswaran Gopikrishnan, Martin Meyer, Luis A.N. Ama- ral e H. Eugene Stanley, The European Physical Journal B 3, 139 (1998). [20] Paul Kennedy, The Rise and Fall of the Great Powers (Ran- dom House, Inc New York, 1987). [21] Paul R. Krugman, Oxford Review of Economic Policy 5, 61 (1989). [22] Paul R. Krugman, The Self-Organizing Economy (Blackwell, Oxford, 1996). [23] Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions (The University of Chicago Press, Chicago, 1996). [24] Jack S. Levy, War in the Modern Great Power System 1495- 1975 (University of Kentucky Press, Lexington, 1983). [25] Yanhui Liu, Parameswaran Gopikrishnan, Pierre Cizeau, Martin Meyer, Chung-Kang Peng e H. Eugene Stanley, Phys- ical Review E 60, 1390 (1999). [26] Thomas Lux, e Michele Marchesi, Nature 397, 498 (1999). [27] Bruce Malamud, Gleb Morein, e Donald Turcotte, Science 281, 1840 (1998). [28] Benoit B. Mandelbrot, Journal of Business 36, 394 (1963). [29] Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (W.H. Freeman and Co, New York, 1982). [30] Benoit B. Mandelbrot, Fractals and Scaling in Finance (Springer-Verlag, New York, 1997) . [31] Rosario N. Mantegna, Physica A 179, 232 (1991). [32] Rosario N. Mantegna, e H. Eugene Stanley, Nature 376, 46 (1995). [33] Rosario N. Mantegna, e H. Eugene Stanley, An In- troduction to Econophysics: Correlations and Com- plexity in Finance (Cambridge University Press, Cam- bridge, 2000). Dispon´ıvel em http://www.amazon. com/exec/obidos/ASIN/0521620082/qid= 992110313/104-4526059-4459158. [34] Raul Matsushita, Pushpa Rathie e Sergio Da Silva, Physica A 326, 544 (2003). [35] Raul Matsushita, Iram Gleria, Annibal Figueiredo e Sergio Da Silva, Economics Bulletin 7, 1 (2003). [36] Ulrich A. M¨uller, Michel M. Dacorogna, Richard B. Olsen, Olivier V. Pictet, Matthias Schwarz e Claude Morgenegg, Journal of Banking & Finance 14, 1189 (1990). [37] Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens e Dietmar Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (Springer- Verlag, New York, 1992). [38] Vasiliki Plerou, Parameswaran Gopikrishnan, Luis A.N. Amaral, Martin Meyer e H. Eu- gene Stanley, Los Alamos E-Print cond-mat/9907161, 11 July (1999). Dispon´ıvel em http://arxiv.org/PS_ cache/cond-mat/pdf/9907/9907161.pdf. [39] Sidney Redner, The European Physical Journal B 4, 131 (1998).
  10. 10. 108 Gleria et al. [40] Rhodes, Chris J. e Anderson, Roy M. (1996) ’Power laws governing epidemics in isolated populations’, Nature 381: 600-2. [41] S.R.A. Salinas, Introduc¸˜ao `a F´ısica Estat´ıstica (Edusp, S˜ao Paulo, 1999). [42] Robert Skidelsky, The Economist 25 November, 83 (2000). Dispon´ıvel em http://www.economist.com/ opinion/displayStory.cfm?Story_ID=431717. [43] Ricard V. Sol´e e Susanna C. Manrubia, Physical Review E 54, R42-5 (1996). [44] Donald L. Turcotte, Reports on Progress in Physics 62, 1377 (1999). [45] Gail Vines, New Scientist 11 December, 1 (1999). [46] Stephen Wolfram, A New Kind of Science (Wolfram Media Inc, Champaign, 2002). [47] Damian Zannete e Susanna Manrubia, Physics Review Let- ters 79, 523 (1997).

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