Modelo matemático componentes não reparáveis

Módulo 5 – Página 1/8

MÓDULO 5

MODELO PARA COMPONENTES NÃO REPARÁVEIS

5.1 – Introdução

O objetivo deste módulo é apresentar o modelo matemático para componentes não reparáveis,
i.e. aqueles que, uma vez falhados, não podem sofrer uma ação de reparo, devendo ser substi-
tuídos por componentes novos.

Embora a maioria dos equipamentos de sistemas de potência seja do tipo reparável, o estudo
dos componentes não reparáveis é extremamente importante, pois sua formulação servirá de
base para o desenvolvimento de modelos um pouco mais sofisticados nos módulos seguintes.

5.2 – Modelo de Dois Estados para Componentes Não Reparáveis

Definições Importantes

A figura abaixo ilustra o modelo de um componente não reparável que pode ser encontrado
em dois estados distintos: (1) em funcionamento, designado por F e; (2) avariado, designado
por F . O componente pode transitar do Estado 1 para o Estado 2 uma única vez.

1 2
F F

O objetivo é calcular os valores das probabilidades dos Estados 1 e 2 ao longo do tempo, i.e.
P1 ( t ) e P2 ( t ) . A dependência destas probabilidades em relação ao tempo torna evidente a
necessidade de se considerar a variável tempo na modelagem. Considere o diagrama:

f(t)
S
1 2
F F

t tempo

T

Neste diagrama, T representa a variável aleatória “Tempo de funcionamento até a falha do
componente” e f(t) a função densidade de probabilidade correspondente.

Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI


Uma vez conhecida a função densidade de probabilidade f(t) podem-se calcular as seguintes
probabilidades:

t
• ∫
P2 ( t ) = P (T ≤ t ) = f ( τ)dτ = F( t ) . (1)
0

Essa probabilidade representa a chance de que, no instante t, o componente seja encontra-
do falhado. Note que ela corresponde à função de distribuição da variável T, pois, para o
componente estar falhado no instante t, basta que ele tenha falhado em qualquer instante
anterior a este.

∞
• P1 ( t ) = P (T > t ) = ∫ f ( τ)dτ = S( t ) . (2)
t

Essa probabilidade corresponde à chance de que, no instante t, o componente seja encon-
trado em funcionamento. Por isso, a função acima é também conhecida como Função So-
brevivência S(t). Note que, em qualquer instante, tem-se F( t ) + S( t ) = 1 .

t2
• P( t1 < T ≤ t 2 ) = ∫ f ( τ) d τ . (3)
t1

No caso de variáveis aleatórias contínuas, sabe-se que a integral acima representa a pro-
babilidade do componente falhar entre os instantes t1 e t2.

t2

∫ f ( τ) d τ
P ( t1 < T ≤ t 2 ) t 1
• P ( t1 < T ≤ t 2 | T > t1 ) = = . (4)
P (T > t 1 ) ∞

∫ f ( τ) d τ
t1

Interpretação:

Embora todas as probabilidades analisadas acima tenham sido expressas em termos da função
densidade de probabilidade f(t), esta não é a mais usual no que se refere aos dados obtidos
através do histórico de operação dos componentes, como será justificado a seguir.



A figura abaixo mostra o modelo de dois estados para componentes não reparáveis.

1 ? 2
F F

Neste modelo, deve-se caracterizar a passagem do estado de funcionamento (F) para o estado
de falha ( F ) através de uma função matemática que considere duas características:

i. A transição entre os dois estados deve ser instantânea.
ii. Deve-se considerar o tempo anterior de funcionamento do componente.

A primeira condição estabelecida acima impede a utilização da função densidade de probabi-
lidade, pois:

t

∫
P ( T = t ) = f ( τ) d τ = 0 . (5)
t

Observe então que é impossível prever, com exatidão, o instante exato ao fim do qual o com-
ponente irá falhar. Por outro lado, se for tomado um intervalo Δt tem-se uma probabilidade
não nula, i.e.

t + Δt
P ( t < T ≤ t + Δt ) = ∫ f ( τ)dτ ≠ 0 . (6)
t

Contudo, note que a expressão acima não incorpora a instantaneidade desejada nem a depen-
dência do tempo anterior de funcionamento. Considere então a função definida abaixo, que, se
existir elimina as restrições indicadas acima.

P ( t < T ≤ t + Δt | T > t )
λ ( t ) = Lim . (7)
Δt → 0 Δt

A referida função é denominada taxa instantânea de falha. Trata-se de um limite com Δt → 0
(instantaneidade) do quociente entre uma probabilidade condicional e o intervalo de tempo Δt.
Neste caso, o numerador corresponde à probabilidade do componente falhar entre t e t + Δt,
condicionada ao fato de que este sobreviveu até t (dependência de t). Observe que λ(t) é uma
“probabilidade de falha por unidade de tempo”. Assim, o modelo para componentes não repa-
ráveis será representado como na figura a seguir.

1 λ(t) 2
F F



Desenvolvimento Matemático do Modelo

A partir da expressão de λ(t) é possível determinar a relação entre a taxa de falha e as funções
densidade, distribuição e sobrevivência, i.e. f(t), F(t) e S(t). Observe:

P ( t < T ≤ t + Δt | T > t ) P ( t < T ≤ t + Δt )
λ ( t ) = Lim = Lim =
Δt → 0 Δt Δt → 0 P (T > t ) Δt

1 P( t < T ≤ t + Δt ) 1 F( t + Δt ) − F( t ) f ( t )
= Lim = Lim = . (8)
P ( T > t ) Δt → 0 Δt S( t ) Δt → 0 Δt S( t )

Logo, tem-se a primeira relação:

f (t)
λ(t ) = ou ainda f ( t ) = λ ( t ) × S( t ) . (9)
S( t )

Por outro lado, sabe-se que:

F( t ) + S( t ) = 1 . (10)

Se esta última for derivada em relação ao tempo:

dF( t ) dS( t )
+ = 0. Assim:
dt dt

&
f ( t ) = −S( t ) . (11)

Igualando (9) e (11):

&
S( t )
&
λ ( t ) × S( t ) = −S( t ) ou seja λ( t ) = − . (12)
S( t )

Esta última equação pode ser resolvida através de integração, resultando em:

t

∫
− λ ( τ ) dτ
S( t ) = e 0 . (13)

Agora, por (9), tem-se:

t

∫
− λ ( τ ) dτ
f ( t) = λ( t ) e 0 . (14)



Ainda, combinando (10) e (13), tem-se:

t

∫
− λ ( τ ) dτ
F( t ) = 1 − e 0 . (15)

Observe então que as funções densidade, distribuição e sobrevivência foram expressas em
termos da taxa de falha. Assim, se a taxa de falha for conhecida, podem-se determinar todas
as outras funções que caracterizam o tempo até a falha do componente.

Determinação Experimental da Taxa de Falha

Com a finalidade de determinar a taxa de falha instantânea, considere a realização do seguinte
experimento:

Em t = 0, colocam-se em funcionamento N0 componentes idênticos. A cada intervalo de tem-
po Δt, anota-se o número de componentes já falhados NF(t) e ainda em funcionamento NS(t).

Esse experimento deve continuar até o instante em que todos os N0 componentes já tiverem
falhado. Observe que a cada instante de tempo, a soma entre NF(t) e NS(t) resulta em N0.

As funções f(t), F(t), S(t) e λ(t) podem ser estimadas numericamente através das expressões
abaixo:

N F (t)
F( t ) = . (16)
N0

N S (t)
S( t ) = . (17)
N0

dF( t ) F( t + Δt ) − F( t ) N F ( t + Δt ) − N F ( t ) ΔN F ( t )
f (t) = ≅ = = . (18)
dt Δt N 0 Δt N 0 Δt

Observe que a função densidade de probabilidade pode ser interpretada como a quantidade de
componentes que falham por unidade de tempo, normalizada em relação ao número total de
componentes colocados em funcionamento.

Do equacionamento anterior, tem-se que:

f (t)
λ( t ) = . (19)
S( t )

Assim:

N F ( t + Δt ) − N F ( t ) ΔN F ( t )
λ(t ) = = . (20)
N S ( t ) Δt N S ( t ) Δt



Interpretação:

Atividade Proposta – Experimento

Considere a tabela abaixo, onde foram colocados N0 = 1000 componentes em funcionamento.
O número de componentes falhados NF(t) foi anotado em intervalos iguais de tempo Δt = 100
horas. Calcule as colunas restantes e faça os gráficos correspondentes.

t NF(t) NS(t) ΔNF(t) F(t) S(t) f(t) λ(t)
0 0 1000
100 140 860
200 225 775
300 300 700
400 368 632
500 428 572
600 481 519
700 529 471
800 572 428
900 610 390
1000 644 356
1100 675 325
1200 703 297
1300 743 257
1400 803 197
1500 878 122
1600 938 62
1700 980 20
1800 995 5
1900 1000 0 - - -

Uma vez feitos os gráficos, pode-se verificar, em especial, o comportamento da taxa instantâ-
nea de falha na figura a seguir.



Taxa de Falha

0,012000

0,010000

0,008000

Região de Vida útil Região de
0,006000 mortalidade envelhecimento
infantil

0,004000
I II III
0,002000

0,000000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
t (horas)

Observe que o gráfico da taxa de falha apresenta três regiões típicas:

• Região de mortalidade infantil;
• Região de vida útil;
• Região de envelhecimento.

O comportamento descrito acima é particularmente verdadeiro para componentes de sistemas
elétricos e eletrônicos. Como se vê na figura, a taxa de falha se mantém aproximadamente
constante no tempo durante a região de vida útil. Admitindo uma taxa constante, i.e.

λ ( t ) = λ = constante. (21)

Neste caso, as equações (14), (13) e (15) tornam-se, respectivamente:

f ( t ) = λ e − λt . (22)

S( t ) = e − λt . (23)

F( t ) = 1 − e − λ t . (24)

Note então que quando a taxa de fala de um equipamento é constante, os tempos de funcio-
namento do mesmo se distribuem de forma exponencial. Este fato simplifica bastante o cálcu-
lo da confiabilidade. Assim, o modelo utilizado para o tratamento dos componentes não repa-
ráveis é apresentado na figura abaixo:

1 λ 2
F F



É possível afirmar que os equipamentos que integram um sistema elétrico podem ser manti-
dos em sua região de vida útil através da aplicação de uma política cuidadosa de manutenção
preventiva. Por outro lado, se os componentes estiverem operando em sua região de envelhe-
cimento, os cálculos de confiabilidade através do modelo acima serão bastante otimistas.

5.3 – Exercícios Propostos

1) Considere um componente não reparável operando em sua região de vida útil. Neste caso,
determine uma expressão para a probabilidade do mesmo falhar entre o instante t e o ins-
tante t+Δt, sabendo que o mesmo encontrava-se em funcionamento no início do intervalo.
Analise criticamente o resultado obtido.

2) Partindo da definição de taxa de falha dada na equação (7) e considerando um componen-
te não reparável em sua região de vida útil, interprete o significado do produto λ × Δt, on-
de Δt é um intervalo de tempo pequeno.

3) Considerando o resultado obtido no item anterior, obtenha os parâmetros do modelo para
componentes não reparáveis (mostrado na figura a seguir) em tempo discreto, i.e. P11(Δt) e
P12(Δt).

Obs: É muito importante interpretar o significado dessas duas probabilidades.

1 P 12(Δt) 2
P 11(Δt)
F F

4) Considere um componente não reparável com taxa de falha λ = 10–4 falhas/hora. Determi-
ne a probabilidade do componente estar em funcionamento ao fim de 400 horas nas se-
guintes situações:

a) Em tempo contínuo.
b) Em tempo discreto utilizando o modelo concebido no item anterior, com Δt = 200 h.
c) Em tempo discreto utilizando o modelo concebido no item anterior, com Δt = 100 h.

Respostas

1) –
2) –
3) –
4) 0,9608, 0,9604, 0,9606.


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