A continuacion se presentan una series de ejercicios los cuales contemplan el tema de ecuaciones diferenciales, sus diferentes metodos para la resolucion de las mismas

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERECTORADO ACADEMICO
DECANATO DE INGENIERIA
FERNANDO RAMIREZ

2. 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.
a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x
1 1
b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx
2 2
c) y  C1e  x  C2e x  C3e  2 x  C4e 2 x ; y 4   5 y ,,  4 y  0
2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método
correspondiente.
a.) e y sen2 xdx  cos x e 2 y  y dy  0  
b.) xy  y  x dx  x dy  0
2 2 2
c) y cos x dx  4  5 ysenx dy  0
2
2
d) y  y  x 2 cos x
,
x
3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.
a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e  x  10 cos 3x
b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0

3. Solución: para poder solucionar las partes a, b y c debemos derivar la función
y, luego sustituir en la ED y si la igualdad coincide entonces si es solución:
Veamos:
a.) y  3sen2 x  e  x ; y ,,  4 y  5e  x .
Para este primer problema debemos derivar 2 veces la función y luego
sustituirla en la ecuación diferencial y realizamos los cálculos
correspondientes.
y = 3xsen2 x  e  x  y = 6 x cos 2 x  e x
 y   12sen2 x  e  x
Entonces:
y” + 4y = 12sen2 x  e  x  43sen2 x  e  x 
=  12sen2x  e x  12sen2x  4e x
y”+ 4y = 5e  x
5e  x = 5e  x
La función es solución de la ecuación diferencial

4. 1 1
b.) y  senx  cos x  10e  x ; y ,  y  senx
2 2
Para esta ecuación se deriva la función y solo una vez y luego se sustituye en
la ecuación diferencial.
1 1 1 1
y= senx  cos x  10e  x  y '  cos x  senx  10e  x
2 2 2 2
Entonces:
1 1 1 1
y’ +y = cos x  senx  10e  x  senx  cos x  10e  x
2 2 2 2
y’ +y = senx
La función es solución de la ecuación diferencial
c) y  C1e x  C2e x  C3e2 x  C4e2 x ; y  4   5 y ,,  4 y  0
Para este problema debemos derivar la función cuatro veces y luego se
sustituye en la ED, de esta manera:
y’ =  c1e  x  c2 e x  2c3e 2 x  2c4 e 2 x
y” = c1e x  c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x
y’’’ = c1e x  c2e x  8c3e2 x  8c4e2 x
y(4) = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x

5. Entonces:
y(4) - 5 y” +4y = c1e  x  c2 e x  16c3e 2 x  16c4 e 2 x
 
c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  5 c1e x  c2e x  4c3e2 x  c4e2 x +
 
4 c1e x  c2e x  c3e2 x  c4e2 x = c1e  x  c2 e x  16c3 e 2 x  16c4 e 2 x  0
c1e x  c2e x  16c3e2 x  16c4e2 x  5c1e x  5c2e x  20c3e2 x  20c4e2 x
4c1e x  4c2e x  4c3e2 x  4c4e2 x = 0
00
La función es solución de la ecuación diferencial.
2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de
acuerdo al método correspondiente.

a.) e y sen2 xdx  cos x e2 y  y dy  0
La ecuación diferencial mostrada se resuelve por el método de variable separables,
ya que como se puede notar las variables x y Y se pueden separar de igualdad a
igualdad, una vez que se separen las variables se integra para poder eliminar los
diferenciales y nos quede la ecuación general de dicha función.
 
e y .sen2 x.dx  cos x e2 y  y dy  0

e y .sen2 x.dx   cos x e2 y  y dy  Usando variables separables

6. sen2 x e2 y 
dx   y dy
cos x e
2senx cos x  e2y y 
dx   y  y dy
e
cos x  c 

2senxdx   e y  ye  y dy 
Integrando tenemos que:
 2 cos x  e y  e y  y  1  c Solución general
 
b.) xy  y 2  x 2 dx  x 2 dy  0
La siguiente ecuación diferencial posee la forma de una ED homogénea ahora
bien veremos si se cumple con la condición de las ED homogéneas:
xy  y 2

 x 2 dx  x 2 dy
dy xy  y 2  x 2

dx x2
Con lo cual:
xy  y 2  x 2 t 2 xy  t 2 y 2  t 2 x 2
f x, y    f x, ty  
x2 t2x
 f tx, ty  

t 2 xy  y 2  x 2 
t 2 x2

7. xy  y 2  x 2
 f tx, ty  
x2
f tx, ty   f x, y 
Como f tx, ty   f x, y   la ecuación diferencial es homogénea, con lo vual
podemos hacer el cambio de variable y  vx Así:
dy dv
y  vx   .x  v
dx dx
Sustituyendo y separando variables tenemos:
dv xvx  v 2 x 2  x 2
.x  v 
dx x2
dv
.x 

x2 v  v2 1 
dx x2
dv
.x  v 2  v  1
dx
dx dv
 2
x v  v 1
Integrando:
Ln x = 2 tg 1  2 y  1 +c

3  3
Devolviendo el cambio de variable:

8. Ln x = 2 tg 1  2 y / x  x +c

3  3
Ln x = 2 tg 1  2 y  x
 +c solución general
3  3x
c) y 2

cos x dx  4  5 ysenx dy  0
Para poder resolver esta ecuación diferencial, en primer lugar notamos que
posee la forma de un ED exacta, primero lo comprobamos:
y 2 cos xdx  (4  5 ysenx)dy  0
Verifiquemos si es exacta:
M
M ( x, y)  y 2 cos x   2 y cos x
y
N
N ( x, y)  4  5 ysenx   5 y cos x
x
M N
Como   no es exacta, sin embargo podemos buscar el factor
y x
integrante (FI) y luego multiplicar la ED por ese factor integrante y asi poder
resolver la misma.
 N M 
  x  y 
 
 ( y)  e  

9. 5 y cos x  2 y cos x
 dy
e y 2 cos x
dy
3 y
 e3 Lnly  y 3
3
=e
Entonces
 ( y)  y 3 es el factor inteligente, multipliquemos ± por  (y) = y
3
Y5 cosxdx + (4 y3 + 5 y4 senx) dy = 0
La cual debe ser ahora exacta
aM
M = y5 cosx  = 5 y4 cosx
ay
aN
N = 4 y3 + 5 y4 senx  = 5 y4 cosx
ax
aM aN
Como =  es exacta y resolvemos usando
ay ax
x y

a
M ( xb)dx   N  ( xy )  0
b
x y
b cos xdx   (ay 4  5 y 4 senx)dy  0
5
a b
x y
b5senx   (y  y 5 senx)   0
4
a b
b5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0

10. y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4
2
d ) y,  y  x 2 cos x
x
La Ed posee la Forma de la ecuación de Ricatti, por lo que la resolvemos por
ese método así:
2
y´ - y = x2 cosx
x
La ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cual
Q(x) = x2 cosx
2 dx
P(x) = -   P( x)dx  2  2 ln x
x x
Así la solución es de la forma
Buscamos el factor integrante;
 P ( x ) dx   P ( x ) dxdx  c
Y=e    Q ( x )e 
 
Sustituyendo  P( x)dx , tenemos
y=e 2 Ln x
 x cos xe
2  2 Ln x
dx  c 

11. 2 Ln x 2  x 2 cos xe 1n x2 dx  c

y=e 
 
y = x2  x cos x.x
2 2
dx  c 
y = x2  cos xdx  c
y  x 2 senx  c
3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método
correspondiente.
a.) y ,,  3 y ,  2 y  3e x  10 cos 3x
Para esta Ed utilizamos el método del anulador ya que la ecuación es no lineal
y no Homogenea.
y” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3x
Usaremos el método del anulador, entonces
R(x) = 3e-x -10cos3x
L(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)
A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)
Entonces la ecuación anterior se puede escribir como

12. (D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3x
Multiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)
(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x)
(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinômios característicos
D -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0
D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3
La solución tiene forma
Y = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3x
Sustituyendo nos queda:
(D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3x
Desarrollando tenemos que
2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x
-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)
+ c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex
- 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x

13. 6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
Igualando coeficientes
6 c3 = 3  c3 = ½
-7 c4 9 c5 = 0  c4 = 9/7 c5
9
9 c4 + 7 c5 = 10  9 c5 + 7 c5 = 10  130 c5 = 70
7
 c5 = 7/13  c4 = 9/13
Por lo tanto la solución es
1 -x 7 9
y = c, ex + c2 e2x e + sen 3x + cos 3x
2 13 13
b.) y 6   5 y 4   16 y ,,,  36 y ,,  16 y ,  32 y  0
Esta Ed la resolvemos
y(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0
el polinomio característico nos queda:
Buscamos las raíces nos dan:
( )( )( )( )

14. La solución es
y = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x