Matemática Financeira
NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. Juros Simples
Definições:
JURO: remuneração do capital investido
...
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TAXA DE JURO (i) = é a razão entre rendimento e o principal:
i = R/P então R = P x i (2)
Como R = S ...
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Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ):
4) Calcular o rendimento obtido aplicando um principal de...
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1.3. Desconto simples
DESCONTO: é o abatimento que o devedor tem direito quando antecipa o pagamento...
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(12) em (13) ie = i/(1 - i x n) (14)
Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ):
14) Uma pessoa salda...
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- A juros simples: S = 1.000,00 .[1 + (5 x 0,02)] = $ 1.100,00
- A juros compostos:
1º mês: S1 = 1.0...
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Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ):
15) Qual o montante acumulado em 8 meses, a uma taxa de j...
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22) Uma pessoa dispõe de 2 alternativas no pagamento de uma compra. 1º alternativa:
pagamento à vist...
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24) Uma empresa recebe $30.000,00 pelo desconto de uma duplicata com valor de
resgate de $36.465,30 ...
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Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ):
27) Com os dados do exercício 26), mas supondo uma capita...
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30) Calcular as taxas nominais: 24% a.a. capitalizadas mensalmente; 48% a.a.
capitalizadas semestral...
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- Fluxo de rendas uniformes antecipadas: vencimentos no início de cada período.
0 1 2 3 4 período5
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4.3. Perpetuidades
Para um número de pagamentos muito grande, ele pode ser considerado infinito:
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4.5. Valor futuro ou montante de uma série de rendas uniformes
O valor de cada termo de uma série de...
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2006 02-08- apostila de matemtica financeira

  1. 1. Matemática Financeira NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. Juros Simples Definições: JURO: remuneração do capital investido P = PRINCIPAL: Capital aplicado S = MONTANTE: valor do PRINCIPAL capitalizado durante um período de TEMPO (n) R = RENDIMENTO: diferença entre o PRINCIPAL e o MONTANTE - R = S - P (1) FLUXO DE CAIXA: entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo Representação Gráfica do Fluxo de Caixa: P S . (1 + i) n S . (1 + i) -n S Seta para baixo: representa uma aplicação ou investimento, é o que entra no fluxo de caixa. Seta para cima: pode indicar um montante, valor capitalizado, valor futuro ou valor de resgate. É o que sai no fluxo de caixa Reta horizontal: representa a escala de tempo Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 1
  2. 2. Matemática Financeira TAXA DE JURO (i) = é a razão entre rendimento e o principal: i = R/P então R = P x i (2) Como R = S - P, então (1) em (2): P x i = S - P, Colocando P em evidência: S = P.(1 + i) (3) A taxa de juros pode ser representada de duas formas: Percentual ou Fracional. Sendo que a forma fracional é a que será usada na aplicação das fórmulas. Ex.: 10% (percentual) = 10/100 = 0,10 (fracional) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 1) Um capital de $3.000 é aplicado por um ano à taxa de juros de 25% a.a. Calcular o rendimento. 2) Qual a taxa de juros cobrada num financiamento de $1.000 a ser resgatado por $1.600 no final de um ano 3) Qual a taxa de juros que permite transformar uma aplicação de $4.500 em um montante de $8.100 no prazo de um ano 1.1. Rendimento a juros simples OBS: a capitalização a juros simples só será abordada por questões didáticas, pois os rendimentos são calculados sobre o mesmo principal, não considerando os rendimentos acumulados. Situação que praticamente não ocorre na prática. Para um único período de tempo aplica-se a fórmula (2) R = P x i Para n períodos de tempo, o rendimento será calculado com a seguinte fórmula: R = P x i x n (4) OBS: o período de tempo da taxa de juros tem que ter a mesma unidade do tempo de aplicação, isto é, se o período é apresentado em meses, a taxa de juros deve ser expressa em meses também. Exemplo: i = 12% a.a. e n = 6 meses => deve-se converter a taxa para a.m. Cálculo do rendimento em relação ao montante: (4) em (1) R = S - R/(i x n) => R = (S x i x n)/ (1 + i x n) (5) Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 2
  3. 3. Matemática Financeira Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 4) Calcular o rendimento obtido aplicando um principal de $12.000 durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40 % a.a.. 5) Aplicando $23.000 à taxa de juros simples de 2,5% a.m. po r 14 dias, qual será o rendimento obtido? 6) Ao aplicar $18.000 pelo prazo de 7 meses, recebemos $4.000 de rendimento. Qual é a taxa anual de juros simples aplicada? 7) Uma aplicação de $5.000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $1.200. Qual a taxa de juros simples correspondente a essa aplicação? 8) Um capital, após 4 meses e 18 dias aplicado a juros simples de 12% a.m., transformou-se em $23.000. Qual é o rendimento auferido nessa aplicação? 9) Um título foi resgatado por $3.000. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% a.a. e o rendimento auferido na operação foi de $1.636,36, quantos meses durou a aplicação nesse título? 1.2. Montante e Principal a juros simples (4) em (1) => S = P.(1 + i x n) (6) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 10) Qual é o investimento necessário para produzir um montante de $8.000 daqui a 3 meses a uma taxa de juros simples de 20% a.m.? 11) Um capital de $1000.000 transformou-se, após 105 dias, em $145.000. Calcule a taxa mensal de juros simples aplicada. 12) Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 200% a.a.? 13) Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $2.000 daqui a 3 meses e $2.500 daqui a 8 meses. Deseja trocar esses débitos por dois outros iguais, um a ser pago daqui a 10 meses e outro a ser pago daqui a 15 meses. Qual será o valor desses pagamentos se a taxa de juros simples for de 10% a.m.? OBS: Em juros simples, capitais equivalentes em uma determinada data, não serão em outra, pois a data de referência (data focal) influencia no resultado final. (exemplo do exercício 13, caso considere a data focal como "0" ou como "10") Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 3
  4. 4. Matemática Financeira 1.3. Desconto simples DESCONTO: é o abatimento que o devedor tem direito quando antecipa o pagamento de uma dívida. Ou seja, a diferença entre o valor de resgate (nominal) e o seu valor atual. O desconto se divide dois tipos: Desconto Racional Simples e Desconto Comercial Simples - Desconto Racional Simples (Dr) : também chamado "por dentro". A taxa incide sobre o Valor Atual do Título (valor descontado). Dr = Vr x i x n (7) Vr = Valor descontado do título (valor atual) i = taxa de desconto n = nº de períodos até o vencimento do título Dr = N - Vr (8) Onde N = valor nominal do título, ou de resgate (7) em (8) Dr = (N x i x n)/ (1 + i x n) (9) - Desconto Comercial Simples (Dc): também chamado "por fora". A taxa incide sobre o Valor do Título Dc = N x i x n (10) N = Valor nominal do título (de resgate) i = taxa de desconto n = nº de períodos até o vencimento do título Dc = N - Vc (11) (10) em (11) Vc = N.(1 - i x n) (12) - Taxa de Desconto Efetiva: ie : Taxa que, ao ser aplicada sobre o valor descontado, gera um montante igual ao valor nominal, dentro do mesmo período. Vc.(1 + ie x n) = N (13) Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 4
  5. 5. Matemática Financeira (12) em (13) ie = i/(1 - i x n) (14) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 14) Uma pessoa salda uma duplicata de 5.500 três meses antes de seu vencimento. Se a taxa simples de desconto do título for de 40% a.a., qual será o desconto racional e comercial simples e qual o valor descontado da duplicata? Qual a taxa de desconto efetiva? OBS: O desconto comercial simples tem aplicação limitada na prática, enquanto o desconto racional praticamente não existe no Brasil. Na maioria das operações são aplicados juros compostos. 2. Juros Compostos 2.1. Montante a juro composto No regime de juros simples somente o CAPITAL INICIAL rende juros, mas no regime de juros compostos o rendimento é sobre o rendimento acumulado. Exemplo de juros compostos: P S . (1 + i) n S . (1 + i) -n S Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 5
  6. 6. Matemática Financeira - A juros simples: S = 1.000,00 .[1 + (5 x 0,02)] = $ 1.100,00 - A juros compostos: 1º mês: S1 = 1.000,00 .(1 + 0,02) = 1020,00 2º mês: S2 = 1.020,00 .(1 + 0,02) = 1040,40 3º mês: S3 = 1.040,40 .(1 + 0,02) = 1061,208 4º mês: S4 = 1061,208 .(1 + 0,02) = 1082,43216 5º mês: S5 = 1082,43216 .(1 + 0,02) = 1104,0808032 => S = $1.104,08 >$ 1.100,00 OBS: a juros compostos o rendimento sempre será maior que a juros simples. Situação mais vantajosa para quem empresta e menos vantajosa para quem pega emprestado. Observa-se que no exemplo anterior que o valor poderia ser calculado como: S = 1.000,00 x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) x (1 + 0,02) = = 1.000,00 x (1 + 0,02)5 = $1.104,08 Generalizando, a fórmula para juros compostos é: S = P.(1 + i)n (15) 2.2. Principal a juro composto Para cálculo do Principal, tendo-se o Montante, basta ajustar a fórmula (15): P = S/ (1 + i)n = S . (1 + i)-n (16) Sendo assim, o fator (1 + i)n desloca as grandezas para o futuro (fator de valor futuro), e o fator (1 + i)-n desloca as grandezas para o presente (fator de valor presente). Esquematicamente funciona da seguinte forma: P S . (1 + i) n S . (1 + i) -n S Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 6
  7. 7. Matemática Financeira Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 15) Qual o montante acumulado em 8 meses, a uma taxa de juros de 10% a.m. no regime de juros compostos, a partir de um principal de $3.500,00? 16) Um capital aplicado durante 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a. transformou-se em $14.000. Encontrar o capital inicialmente aplicado. 17) Em que prazo um empréstimo de $55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de $110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.? 18) Uma pessoa abre uma poupança depositando $2.000,00. Daqui a 2 meses a pessoa deve fazer um depósito de $2.500,00 e daqui a 4 meses pretende sacar da poupança $1.300,00. Qual deverá ser o saldo da poupança ao final do 5º mês se a taxa de juros compostos ganha for de 15% a.m.? 19) A que taxa de juros compostos um capital de $13.200,00 transforma-se em $ 35.112,26 se o período de aplicação for de 7 meses? 2.3. Equivalência de capitais a juros compostos Quando se tem 02 conjuntos capitais, aplicados ou resgatados em datas diferentes, mas ao serem transportados para uma única data focal forem iguais, diz-se que esses dois conjuntos de capitais são EQUIVALENTES. OBS1: Se dois conjuntos de capital, a juros compostos, forem equivalentes em uma determinada data, serão também equivalentes em qualquer outra data. SEMPRE. OBS2: Essa equivalência NÃO ocorre a juros simples. Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 20) Verifique se os dois conjuntos de capitais abaixo são equivalentes (i = 10%): Montante A Data Montante B Data $ 2.000 1 $ 2.100 1 $ 2.200 2 $ 2.000 2 $ 2.420 3 $ 2.300 3 $ 2.662 4 $ 2.903 4 21) Uma pessoa deve $ 3.000,00 com vencimento em 2 anos e $ 4.500,00 com vencimento em 6 anos. Pretende pagar seus débitos por meio de um pagamento único a ser realizado no final de 4 anos. Se a taxa de juros compostos for de 10% a.a., qual será o valor desse pagamento único? Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 7
  8. 8. Matemática Financeira 22) Uma pessoa dispõe de 2 alternativas no pagamento de uma compra. 1º alternativa: pagamento à vista de $ 4.800,00; na 2º alternativa: paga-se 20% de entrada e dois pagamentos mensais iguais. a) Qual o valor destes pagamentos se a taxa de juros compostos cobrada for de 20% a.m.? Se houver uma 3º alternativa em que o valor à vista é aumentado em 30% e, deste valor acrescido, 20% forem pagos como entrada e o saldo em 2 pagamentos mensais iguais, calcular a taxa de juros cobrada no financiamento. 2.4. Desconto Composto - Desconto Composto comercial "por fora" Não é utilizado na prática no Brasil. O valor descontado é dado por: V = N.(1 - i)n (17) D = N.[1 - (1 - i)n ] (18) Onde: N = valor nominal ou de resgate do título i - taxa de desconto n = nº de períodos até o vencimento - Desconto composto racional "por dentro" D = N - N/(1 + i)n = N.[(1 + i)n - 1]/(1 + i)n (19) O valor descontado é o valor de resgate menos o desconto: V = N - D = N - N.[(1 + i)n - 1]/(1 + i)n = N/(1 + i)n (20) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 23) Calcular o valor de desconto composto racional de uma promissória com valor de resgate de $ 35.000,00 a vencer no prazo de 6 meses. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de 5% ao mês, qual é o valor descontado da promissória? Se o banco cobra uma taxa de serviço bancário de 2% (sobre o valor de resgate), calcular a taxa de desconto efetivamente paga. Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 8
  9. 9. Matemática Financeira 24) Uma empresa recebe $30.000,00 pelo desconto de uma duplicata com valor de resgate de $36.465,30 e com prazo de vencimento em 4 meses. Qual é a taxa de desconto composto aplicada pelo banco que descontou a duplicata? 3. Taxas de Juros 3.1. Taxa nominal e efetiva A taxa de juros nominal é quando a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Muito utilizada no mercado, porém deve- se calcular sua taxa efetiva para fins de cálculo, dividindo a taxa nominal pelo número de unidades do período de capitalização. Exemplo: 24% a.a. capitalizado mensalmente => iefetiva= 24/12 = 2% a.m. = (1 + 0,02)12 -1 = 26,82% a.a. 30% a.m. capitalizado diariamente => iefetiva= 30/30 = 1% a.d = (1 + 0,01)30 -1 = 34,78% a.m.  iefetiva = (1 + inominal/k)k -1, onde k = número de capitalizações (21) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 25) Um capital de $2.500,00 é aplicado à taxa nominal de 90% a.a. com capitalização semestral. Qual é o montante após: a) Um ano de aplicação; b) 03 anos de aplicação? Calcular a taxa efetiva anual. 26) Calcular o montante e a taxa efetiva anual ganha por um investimento de $ 20,00 após 02 anos de aplicação, se rendeu juros nominais de 9% a.a. com as seguintes hipóteses de capitalização: a) Anual; b) Semestral; c) Trimestral; d) Diária. 3.2. Capitalização contínua Quando o número de capitalizações (k) da taxa nominal (i) for muito grande, considera-se k → ∞, logo a fórmula o montante é: S = lim k→∞ [P.(1 + i/k) k x m ] = P x e i x m (22) Onde e = base dos logaritmos naturais = 2,7182818 m = no de períodos de aplicação Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 9
  10. 10. Matemática Financeira Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 27) Com os dados do exercício 26), mas supondo uma capitalização contínua, qual será o montante ao final de 20 anos. 3.3. Taxas equivalentes Taxas efetivas equivalentes são aquelas que geram o mesmo montante ao final de um determinado período de investimento, para um mesmo capital inicial. Ia = taxa de juros anual Is = taxa de juros semestral It = taxa de juros trimestral Im = taxa de juros mensal Id = taxa de juros diária (1 + Ia)1 = (1 + Is)2 = (1 + It)4 = (1 + Im)12 = (1 + Id)360 (23) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 28) Dada a taxa de juros efetiva de 30% a.a., determinar a taxa de juros equivalente mensal. 3.4. Taxa de juros real e aparente Num ambiente inflacionário, a taxa de juros real considera os efeitos da inflação: (1 + i) = (1 + ir) x (1 + I) => ir = [(1 + i)/ (1 + I)] - 1 (24) Onde: 1 = taxa efetiva de juros ir = taxa real I = taxa de inflação Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 29) Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros efetiva anual ganha pela aplicação e qual a taxa de rendimento anual real se a taxa de inflação foi de 5,5% a.a.? Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 10
  11. 11. Matemática Financeira 30) Calcular as taxas nominais: 24% a.a. capitalizadas mensalmente; 48% a.a. capitalizadas semestralmente; 60 % a.a. capitalizadas trimestralmente. 31) Calcular as taxas efetivas anuais do exercício 30). 32) Estimar as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa de 40% a.a. capitalizadas diária, mensal, trimestral, semestral e anualmente. 33) Uma pessoa toma emprestados $ 3.000,00 para devolver $ 3.500,00 daqui a um ano. Paga a um intermediário uma comissão de 15% sobre o valor emprestado. Estimar a taxa de juros efetiva paga pelo tomador do empréstimo. 34) Uma empresa toma emprestado $ 23.000,00 em um banco. Este empréstimo deve ser devolvido em um único pagamento de $ 28.000,00 no final de 03 meses. O banco exige que o cliente mantenha 10% do valor recebido como saldo médio aplicado em CDB's que pagam juros de 12% a.m.. Calcular a taxa nominal e efetiva paga pela empresa. 35) Um capital aplicado durante 02 anos à taxa nominal aparente de 180% a.a. com capitalização mensal teve um rendimento de $ 15.000,00. Calcular o capital aplicado e a rentabilidade real efetiva se a inflação do período fosse de 2.600%.A que taxa nominal anual capitalizada semestralmente $1.000,00 montarão $ 2.400,00 em 04 anos? 36) Em quantos meses uma aplicação de $ 5.000,00 transforma-se em $ 11.789,75 se a taxa de juros fosse nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente? 37) Um banco cobra juros efetivos de 20% a.a. Quanto cobrará por uma operação de 150 dias? 38) Em 120 dias uma aplicação rendeu uma taxa efetiva de 124%. Calcular as taxas mensal e anual equivalentes. 4. Rendas 4.1. Rendas uniformes É uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais, efetuados a intervalos de tempo iguais. - Fluxo de rendas uniformes postecipadas: vencimentos no final de cada período. 1 2 3 4 5 período RRRRR 0 Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 11
  12. 12. Matemática Financeira - Fluxo de rendas uniformes antecipadas: vencimentos no início de cada período. 0 1 2 3 4 período5 R RR R R - Fluxo de rendas uniformes diferidas: vencimentos com período de carência. período0 1 2 3 4 5 R R R R R 6 período de carência - No curso as séries de rendas uniformes serão tratadas como séries de rendas uniformes postecipadas, adaptando-se os problemas a esta situação para facilitar o entendimento e evitar a memorização excessiva de fórmulas. 4.2. Valor atual de uma série de rendas uniformes 0 1 32 período R R R P R n(...) P = R/(1 +i) + R/(1 +i)2 + R/(1 +i)3 + (...) + R/(1 +i)n = R.[(1 + i)n -1]/[(1 + i)n .i] (25) Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 12
  13. 13. Matemática Financeira 4.3. Perpetuidades Para um número de pagamentos muito grande, ele pode ser considerado infinito: => P = R. lim n→∞ .[(1 + i)n -1]/[(1 + i)n .i] = R/i (26) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 39) Um empréstimo será pago em 8 prestações mensais de $ 60.000,00. Se a taxa de juros composta for de 15% a.m., qual será o valor desse empréstimo? 40) Quanto devemos aplicar hoje num investimento, de forma a podermos retirar $100.000,00 no final de todo mês, durante os próximos 20 meses, se a taxa de juros nominal paga pelo investimento for de 120% a.a. capitalizada mensalmente? 41) Um financiamento de $450.000,00 foi contratado a uma taxa de juros de 20% a.m. e deve ser pago em 12 prestações mensais iguais. Qual é o valor dessas prestações? 42) Determinar o valor de cada uma das seis prestações mensais e iguais, que liquidam um débito de $200.000,00, sendo a taxa de juros composta de 18% a.m. para os três primeiros meses e 20% a.m. para os demais. 43) Um financiamento de $20.000,00 deve ser pago em 8 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros cobrada pela financeira for de 8% a.m., calcular o valor de uma “comissão de abertura de crédito”, cobrada ao cliente, que permita à empresa financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação. 44) Uma instituição financeira financia veículos de transporte em 18 prestações mensais de $100.000,00 cada uma. Se o valor do financiamento for de $875.563,00, qual será a taxa de juros mensal cobrada? 45) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de $1.895.395,00, pagando prestações mensais de $500,00, se a taxa de juros for de 10% a.m.? 46) Qual a taxa de juros anual efetiva à qual foi tomado um financiamento de $300.000,00, que será liquidado em 18 prestações mensais e $37.758,88? 4.4. Taxa de juros exata O processo de interpolação fornece respostas aproximadas. O valor da taxa de juros pode ser encontrado por métodos numéricos, que são utilizados nas calculadoras financeiras e pelo Excel. Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 13
  14. 14. Matemática Financeira 4.5. Valor futuro ou montante de uma série de rendas uniformes O valor de cada termo de uma série de rendas uniformes é conhecido e deve-se encontrar o seu valor futuro ou montante (S): S = R .[(1+i)n – 1]/i (27) Exercícios (extraído do Livro do SAMANEZ): 47) Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês $ 350,00 em uma caderneta de poupança que paga juros de 5% a.m.? 48) Um financiamento de $12.000,00 será pago em 15 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros for de 10% a.m., calcular o valor das prestações e o montante respectivo. 49) No exercício anterior, se as prestações fossem pagas antecipadamente (no início de cada mês), qual seria o seu valor e o montante no final do 14o mês correspondente a essas prestações? 50) Uma pessoa deve pagar pela compra de um eletrodoméstico, nos próximos 4 meses, prestações de $80,00 e, a partir do quinto mês, mais 3 prestações de $60,00. A loja oferece trocar esse esquema de pagamento por outro em que o cliente faria um único pagamento no final do 5o mês. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 6% a.m., qual será o valor desse pagamento único? Eng. André Kuhn - M Sc aikuhn@yahoo.com.br 14 0 421 3 n período RRR R S R ...

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