1. Quelques élément très
généraux liés à la commande
des systèmes et au traitement
du signal

2. Signaux & Systèmes : notions
u
Σ y
Signaux Système
• Temps ? • Linéaire ?
• Déterministe ? • Invariant ?
Modèles
• Energie ? • Causal ?
• Puissance
Externes (unicité) Internes (non unicité)
liens

3. un cas particulièrement important
Signaux Système
• Déterministe Modèles • Linéaire
• Temps continu • Causal
• Invariant
Externes Internes
Equations différentielles Equations différentielles
a0 y  a1 y'  an y  b0u  b1u'  bmu
( n) ( m) 
 x  Ax  Bu

ai , bi  R, n  m  y  Cx  Du

Fonction de transfert ? Fonction de transfert

b0  b1s  bm s m

0
st
F (s)  f (t )e dt, G(s) 
a0  a1s  an s n
G ( s )  C ( sI  A) 1 B  D
Produit de convolution Produit de convolution



y (t ) 

0
y ( )u (t   ) d y (t ) 
0
Ce A( t  ) Bu ( ) d
CI=0 CI=0

4. autres cas
Signaux Système
• Déterministe • Linéaire
• Temps discret Modèles • Causal
• Invariant
Similaires au cas précédent
Signaux Système
• Déterministe • Non linéaire
• Temps discret Modèles • Causal
• Invariant
Externes Internes

g ( y, , y (n)
, u,, u (m)
)0 x  f ( x, u ), y  h( x, u )
Plus difficile

5. Problème de contrôle
Perturbation
ω
Monde réel
u
Σ y
Différences :
Responsables des problèmes dans les applications
Modèle
Monde du calcul
Pb : Soit ys, sortie souhaitée, trouver us tel que us ys
Minimisation des différences sur les résultats
• Boucle fermée (Automatique)
• Prise en compte des Incertitudes (Commande Robuste)

6. La chaîne de traitement de l’information et le TS
Signal électrique
+ bruit
Affichage
Canal
Système Physique
Capteur Récepteur Stockage
de transmission
Bruit
Extraction
Contrôle/régulation Traitement
de l’information
 En automatique, c’est le système qui est au cœur des préoccupations.
On cherche alors à le caractériser, corriger, …pour qu’il fournisse une
réponse (signal) satisfaisant certaines contraintes.
 En TS, c’est le signal qui nous intéresse en premier lieu. L’objectif
consiste alors à le caractériser, filtrer, …

7. TS / Automatique
Traitement du signal Automatique
– Conditionnement – Commande des systèmes
– Caractérisation (Commande linéaire, adaptative,
– Détection/Estimation optimale, …)
– Optimisation – Asservissement : système bouclé/
– Modélisation/Identification performances/ Correction
– Codage/décodage (Régulation, Poursuite automatique
– Synthèse du signal de trajectoire, …)
– Reconnaissance/Décision/
Compréhension/Interprétation
 Exemple (filtrage) : La terre est soumise  Exemple : Régulation de la température
depuis des millénaires à des fluctuations d’une salle
climatiques naturelles qu’il est nécessaire Analogique : la température est mesurée
à les gommer (filtrage) pour mettre en en permanence.
évidence les fluctuations artificielles dûes Numérique : la température est mesurée
à l’homme. à intervalles de temps réguliers.

8. Représentations Temporelles
Des Signaux
Plan du chapitre :
I. Introduction
II. Classification des signaux
III.Signaux élémentaires
IV. Définitions

9. I. Introduction
Un signal est une représentation physique d’une information à transmettre
• Représentation Temporelle
La forme la plus générale peut s’écrire :
x  f (v, w) Vecteur de dimension p faisant
Apparaître une dépendance
Vecteur de dimension n
statistique si le signal est aléatoire
distribution Vecteur de dimension m
 (t )   si t  0
Exemple de distribution : Impulsion de Dirac  f(t)
 (t )  0 sinon
Soit la fonction f(t)  (t )  lim f (t )
T 0
-T/2 0 T/2
• Signal à TC, àTD
 x : scalaire v  temps(t ),
,
Soit : 
 f : fonction w : fixé(signaldéterminis )
, te
x(t )  f (t ) Vecteur à TC ou à TD

10. II. Classification (1/4)
II.1. Classification morphologique
t varie continuellement ou par morceaux t est discret, noté n (nT)
x(t) signal à TC x(t) signal à TD
1 1
0.8 0.8
0.6 0.6
A
0.4 0.4
échantillonnage
0.2 0.2
0 0
M
-0.2 -0.2
-0.4 -0.4
-0.6 -0.6
-0.8 -0.8
P -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
Signal analogique
Signal échantillonné
L (ex: tension électrique)
T
Step Response
3
4.5
4 2.5
U
3.5
2
3
Amplitude
2.5 1.5
D
2
1
1.5
1
0.5
E
0.5
0
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 0.5 1 1.5
Signal quantifié
Time (sec)
Signal numérique
(ex: compte bancaire) (ex: notes d’un étudiant)
TEMPS

11. II. Classification (2/4)
II.2. Classification phénoménologie
• Signal déterministe : dont l’évolution temporelle est prévisible et dont
le comportement peut être régie par une formulation
mathématique ou graphique
Signal réel : c’est un signal représentant une grandeur physique. Sa
formulation mathématique est une fonction réelle
T / x(t)=x(t+kT) Support non borné Support borné
Signal périodique Signal apériodique Signal transitoire

12. II. Classification (3/4)
II.2. Classification phénoménologie
• Signal aléatoire (stochastique) : dont l’évolution temporelle est
imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t.
La description est alors basée sur les propriétés statistiques des
signaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …)
Signaux aléatoires stationnaires : La stationnarité suppose une
indépendance des propriétés statistiques par rapport à l’origine des temps
Stationnaire Non stationnaire

13. II. Classification (4/4)
II.3. Classification énergique
Puissance
 Signaux à énergie finie moyenne nulle
Cas des signaux transitoires à support borné
 
(TC ) E 


2
x(t ) dt (TD ) E  

x(n)
2
Puissance moyenne
 Signaux à énergie infinie non nulle
Cas des signaux périodiques
T / 2

k

1 2 1 2
(TC ) P  lim x(t ) dt (TD )  lim x ( n)
T  T k  2k  1
T / 2 k

14. III. Signaux usuels (1/2)
Signal TC TD
Échelon Г(t) Г(n)
(fonction de Heaviside, ou 1 1
fonction existence)
Représente un brusque 0 t -1 0 1 2 3 4 t
changement de régime de
fonctionnement Г(t)= 1 si t>0 Г(n)= 1 si t≥0
Notation : u ou Ф ou Г = 0 si t<0 = 0 si t<0
ΠT(t) ΠT(nTe)
Fenêtre ou porte ou
impulsion 1 1
Notation : ΠT -T/2 0 T/2 t -T/2 T/2 t
ΠT(t)= 1 si -T/2<t<T/2 ΠT(nTe)= 1 si
= 0 sinon -T/2<nTe<T/2
= 0 sinon

15. III. Signaux usuels (2/2)
Signal TC TD
1 1
Exponentielle 0.9
0.8
0.9
0.8
décroissante 0.7
0.6
0.7
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(t)=Г(t)exp(-a.t) y(n)=Г(n)exp(-a.n)
a>0 a>0
Impulsion de Dirac δ(t) δ(n)
Représente une brève 1
perturbation ou une « claque » 1
Notation : δ t t
δ(t) = ∞ si t=0 δ(n) = 1 si n=0
= 0 sinon = 0 sinon

16. IV. Définitions
IV.1. Produit de convolution
 k 

(TC ) x(t ) * y(t )  x( ) y(t   )d

(TD ) x(n) * y(n)   x( k ) y ( n  k )
k 
Propriétés : - le produit de convolution est commutatif,
associatif et distributif par rapport à l’addition
IV.2. Fonction d’intercorrélation
Elle permet la comparaison de deux signaux en traduisant la ressemblance entre eux.
pour les signaux à énergie finie :
 k 

(TC )  xy (t )  x( ) y* (t   )d

(TD )  xy (n)  
k 
x( k ) y * (n  k )
xy (t )   yx (t )
Propriétés : (TC) (TD) xy (n)   yx (n)
IV.3. Fonction d’autocorrélation
Elle traduit la vitesse de variation du signal x(t) (respectivement x(n))
Propriétés : - la fonction d’autocorrélation est maximale pour t = 0
(resp. pour n=0) et elle est paire

17. IV. Définitions (1/2)
IV.4. Rapport Signal/bruit
Objectif : Déterminer la qualité d’un signal
Rapport RS/B quantifiant l’effet du bruit
RS/B = Puissance du signal/Puissance du bruit
RS/B(dB) =10log10(RS/B)

18. V. TD 1
Exercice 1  0 pour t  1
 0 pour n  1 
  4 pour  1  t  0
On donne x ( n)   1 et y (t )  
 2 n pour n  1
  4t  4 pour 0  t  1
 0 pour t  1

a) Représenter les graphes de ces deux signaux
b) Expliciter et représenter les deux signaux retardés, avancés, renversés,
avec offset et amplifiés
Exercice 2
Calculer, analytiquement et graphiquement, la convolution de deux portes
Exercice 3
a) Soit le signal porte, centré sur l’origine, d’amplitude A b) Le signal x(t)=Asin(2Πf0.t), A>0, f0>0
possède:
et de durée T. L’autocorrélation de ce signal est :
• une énergie totale infinie
• un sinus cardinal
• une énergie totale finie
• une fonction triangle
• une puissance totale nulle
• impaire et maximale à l’origine
• majorée par A2.T
Exercice 4
Calculer la fonction d’intercorrélation dans les cas suivants:
-a) x(t)=1 et y(t)=sin(wt) –b) x(t)=exp(-a|t|), a>0 et y(t) une impulsion de Dirac
–c) x(t)=sin(wt) et y(t)=cos(wt)

19. Transformation de Fourier
Représentation Fréquentielle
Des Signaux
1ère partie : Signaux périodiques à TC
I. Introduction
II. Théorème de Fourier: décomposition en série de
Fourier
III.Forme exponentielle
IV. Spectre bilatéral
V. Propriétés

20. I. Introduction
La radio – l’ouie – un radar – un téléphone portable – un réseau
Notion de contenu fréquentiel de l’information qu’elle véhicule ou qu’elle analyse
Analyse fréquentielle
des signaux

21. II. Théorème de Fourier
II.1. Décomposition en série de Fourier
Un signal x(t) périodique de période T, peut être sous certaines conditions,
mis sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales
Forme trigonométrique Harmonique d’ordre n

x(t )  a0   a n 1
n cos nt  bn sin nt 

2
T
 x(t )dt
T /2
1
a0 

T /2
2 2 T /2
T T / 2
Valeur moyenne du
an 
T
x (t ) cos nt dt bn 
T / 2 T T / 2 x(t ) sin nt dt
signal

x(t )  a0  c
n 1
n cos (nt   n )
bn
 n  arctg
cn  an  bn
2 2
an
L’harmonique d’ordre 1 est appelé Fondamental

22. II. Théorème de Fourier
II.2. Cas particuliers
 x(t) est pair 
x(t )  a0   a
n1
n cos nt  bn sin nt 

 x(t )  a0   a
n1
n cos nt  bn sin nt 
La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en
conclut que : bn =0 quel que soit n.
 x(t) est impair 
x(t )  a0   an cosnt  bn sin nt 
n 1

  x(t )   a0    an cosnt  bn sin nt 
n 1
La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en
conclut que : an =0 quel que soit n.

23. II. Théorème de Fourier
II.3. Spectres de fréquences
Spectre occupation en fréquence de x(t) densité spectrale de puissance
 spectre d’amplitude
c2
a0 En ordonnée : l’amplitude des harmoniques
c1 En abscisse : les pulsations correspondantes
c3
c4
c5
c6
c7
0  2 3 4 5 6 7
 spectre de phase
φ2
Π φ1 En ordonnée : la phase des harmoniques
φ3
En abscisse : les pulsations correspondantes
φ0 φ4
5 6 7
0  2 3 4 φ7
φ5
φ6
-Π

24. II. Théorème de Fourier
II.3. Spectres de fréquences : exemples de décomposition
x(t) Représentation Spectre d’amplitude
fréquentielle
car(t) an  0, n
4A/π
+A car (t )  bn 
4A
, n  1,3,5,...
 n
-A
T/2 T
t 4A
 
n 0
sin(2n  1)t
2n  1 4A/3π
bn  0, n  2,4,6,...
4A/5π
0  2 3 4 5 6
tri(t) 8B
8B/π2 an   , n  1,3,5,...
+B tri(t )  n 2
an  0, n  0,2,4,6,...

 cos(2n  1)t
T 8B bn  0, n
t
T/2

2 (2n  1) 2 8B/9π2
-B n 0
0  2 3 4 5

25. II. Théorème de Fourier
II.5. Définitions 
a) Facteur de forme : est défini par le rapport entre
A0 
2 1
2  n1
cn
2
la valeur efficace et la valeur moyenne F
A0
b) Taux d’ondulation :

• L’ondulation est la variation du signal x(t) autour de
sa valeur moyenne A0. Elle est égale à
 cn cos(nt  n )
n1
1  2
• Le taux d’ondulation est le rapport entre la valeur  cn
2 n1
efficace de l’ondulation et la valeur moyenne de x(t) 
A0
et on a F 2  1   2
c) Taux de distorsion harmonique : est défini par le
rapport entre la valeur efficace de l’ensemble des
c2  c3    cn
2 2 2
harmoniques d’ordre >1 et la valeur efficace du 
fondamental (il permet de chiffrer la pureté d’un c1
signal sinusoïdal)

26. III. Forme exponentielle
La décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écrite
sous forme suivante (facilement démontrable) :

x(t )  a0   cn cos(nt  n )
n1
 2
T / 2
T T/ 2
cn 
 x(t )e  jnt dt
avec 
c  c et  n  arg cn
 n
 n
Application : calculer et représenter les spectres d’amplitude de :
1. Un signal rectangulaire de rapport cyclique a
2. Un peigne de Dirac

27. IV. Spectre bilatéral (1/2)
A l’aide des relations d’Euler, la décomposition en série de Fourier
d’un signal périodique, peut être écrite sous la forme d’inversion :
 t0 T
1
x(t )   X ne jnt avec Xn 
T  x(t )e jnt dt
n t0
Il apparaît, dans cette expression, des harmoniques pour les fréquences s’étendant
de -∞ à +∞, d’où le nom de : spectre bilatéral
Remarques
a) Dans les transformations précédentes:
• x(t) est resté le signal périodique réel
• Xn et X-n sont des nombres complexes et n’ont pas d’existence réelle, mais
2 X n  X n  X n  an  bn , correspond à l'amplitudede l' harmoniquen
2 2
bn
arg X n  arctg   - n , correspond à la phase de l' harmonique n
an

28. IV. Spectre bilatéral (2/2)
Remarques
b) Si le signal x(t) est sinusoïdal : x(t )  cos(t   )
on peut écrire
e jt e j  e  jt e  j
x(t ) 
2
on peut écrire e j et e  j
X1  X 1 
2 2
d’où le spectre bilatéral du signal sinusoïdal :
1/2
 

29. V. Propriétés (1/2)
(P1) Symétrie Hermitique : k : X k  X *k (* : conjuguéde X * )
Pour un signal réel, |Xk| est pair et arg(Xk) est pair
(P2) Le spectre d’un signal périodique de période T, est discret
t0 T 
(P3) Puissance d’un signal périodique : 1
  Xk
2 2
P x(t ) dt 
Théorème de Perseval T k 
t0
La puissance temporelle est égale à la puissance spectrale
(P4) Parité : PAIR IMPAIR
x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur
Xk
(P5) Linéarité
(P6) Xk est généralement complexe même si x(t) est réel

30. V. Propriétés (2/2)
(P7) correspondance bi-univoque
Opérations Représentation Temporelle Représentation Fréquentielle
Combinaison linéaire u (t )  a x(t )  b y(t ) U k  a X k  bYk
Renversement du temps y(t )  x(t ) Yk  X k
Retard y(t )  x(t   ) Yk  X k e jk
offset y(t )  x(t )  c Yk  X k  c k

Dérivation Yk  jk. X k
y (t )  x(t )
Intégration t0 t
Xk
y (t )   x(u )du Yk 
jk
(k  0)
t0
Dérivation y (t )  x ( p ) (t ) Yk  ( jk) p .X k
Conjugaison complexe y (t )  x * (t ) Yk  X *k
Convolution u(t )  x(t ) * y(t ) U k  X k .Yk
Produit u(t )  x(t ). y(t ) U k  X k * Yk

31. Transformation de Fourier
Représentation Fréquentielle
Des Signaux
2ère partie : Signaux non périodiques à TC
I. Transformation de Fourier
II. Propriétés
III. TF d’un signal périodique à TC
IV. Transformation de Laplace

32. I. Transformation de Fourier
La transformée de Fourier (TF) d’un signal x(t) s’écrit :
  j 2ft
X ( f )  TF ( x(t ))   x(t ) e dt

f est la fréquence
X(f) est la représentation fréquentielle de x(t).
Elle est généralement complexe même si x(t) est réel.
Formule d’inversion :
 j 2ft
x(t )  TF 1 ( X ( f ))   X ( f )e df


33. II. Propriétés (1/3)
(P1) Symétrie Hermitique : si x(t)est réel, on a : X ( f )  X ( f )
 Pour un signal réel, on a : X ( f ) est pair et Arg(X ( f )) est impair
(P2) Le spectre d’un signal non périodique est continu (à fréquences continus)
 
(P3) Théorème de Perseval
P  x(t ) y(t )dt   X ( f )Y ( f )df
 
 
(P4) Energie du signal
 
2 2
E x(t ) dt  X ( f ) df
(en utilisantle théorème de Perseval)
 

34. II. Propriétés (2/3)
(P5) Parité : PAIR IMPAIR
x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur
X(f)
(P6) Linéarité
(P7) X(f) est généralement complexe même si x(t) est réel
(P8) TF de la fonction de corrélation
TF[xy (t )]  X ( f )Y ( f )

35. II. Propriétés (3/3)
Opérations Représentation Temporelle Représentation Fréquentielle
Combinaison linéaire u (t )  a x(t )  b y(t ) U ( f )  a X ( f )  bY ( f )
Renversement du temps y(t )  x(t ) Y ( f )  X ( f )
Retard y(t )  x(t   ) Y ( f )  X ( f )e  j 2f
offset y(t )  x(t )  c Y ( f )  X ( f )  c ( f )
Dérivation d’ordre p y (t )  x ( p ) (t ) Y ( f )  ( j 2f ) p . X ( f )
Intégration t0 t
X( f )
 C ( f )
y (t )   x(u )du Y( f ) 
j 2f
t0 C : cte à déterm iner
Conjugaison complexe y(t )  x(t ) Y( f ) X ( f )
Convolution u(t )  x(t ) * y(t ) U ( f )  X ( f ).Y ( f )
Produit u(t )  x(t ). y(t ) U ( f )  X ( f ) *Y ( f )
Multiplication par tp 1 d pX( f )
y (t )  t x (t )
p
U( f )  
j 2f df p
Modulation
y (t )  e j 2f0t x (t ) Y ( f )  X ( f  f0 )
exponentielle

36. III. TF d’un signal périodique à TC
x(t) signal périodique de période 1/f0

  
  X n e jn2f0t e  j 2ft dt
TF ( x(t ))    
 n 
 X n  e dt   X TF [1]
   
  j 2 ( f nf0 ) t
n var iable ( f nf0 )   X n ( f  nf0 )
n  n n

TF( x(t ))   X n ( f  nf0 )
n
les coefficien ts de la série de Fourier multipliés par un peigne de Dirac
Xn X(f)
X f0 ( f )
Série de Fourier TF

37. IV. Transformation de Laplace
La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle

X ( p)  TL ( x(t ))   x(t )e  pt dt p    j 2f ,  et f réels

p variable (complexe) de Laplace, notée aussi s

Si   0, X ( p)   x(t )e  pt dt s' utilise pour les signaux x(t)causaux
0

38. TD 2
Exercice 1
On considèrent les signaux périodiques suivants :
x(t) y(t)
-a a T 2a T
a. Calculer le développement en série de Fourier complexe du signal x(t) et tracer son spectre en
amplitude pour a=T/4 et a=T/8 .
b. En déduire ceux de y(t).
Exercice 2
On considère les signaux :
x(t )  eat , a  0, t  0 ; y(t )  cos(2f0t ) ; z(t )  x(t ). y(t )
a. Tracer les allures de ces signaux, pour a=1 et f0 = 1Hz
b. Déterminer la transformée de Fourier de y(t) et tracer l’allure de son spectre
c. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer l’allure de son spectre en supposant que f0>>a.

39. TD 2
Exercice 3
Soit les signaux suivants (y(t) est périodique de période 2T )
x(t) y(t) z(t)
A A A
T-T/2 T+T/2
-T/2 T/2 -T/2 T/2 2T-T/2 2T+T/2
-A
a. Déterminer la puissance totale et l’énergie totale des signaux x(t) et y(t).
b. Déterminer la transformée de Fourier de x(t). Tracer le spectre en module de x pour A=3 et T=2.
c. En déduire la transformée de Fourier de y(t).
d. Développer y(t) en série de Fourier à coefficients complexes. Comparer avec le résultat précédent
e. Tracer le spectre en module de y. Faire apparaître l’allure du spectre de x et les valeurs des
coefficients du développement en séries de Fourier
f. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer son spectre en module
g. Tracer l’allure de s(t)=cos(2πf0t)x(t). Quel phénomène physique est modélisé via la multiplication
par x(t)
h. Déterminer S(f) et racer le spectre en module de s(t).

40. Caractérisations
Temporelles et Fréquentielles
Des Systèmes linéaires à TC
I. Introduction : Définition et classification
II. Caractérisation temporelle
II.1. Relation Entrée/sortie
II.2. Réponse impulsionnelle
III. Caractérisation fréquentielle
III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI
III.2. Système LTI et transformée de Fourier
III.3. Représentation fréquentielle de Laplace

41. I. Introduction (1/3)
Perturbations  Définition : Un système est un ensemble
d’éléments fonctionnels interagissant entre eux
x
Signaux Système Signaux
y
D’entrée de sortie et qui établit un lien de cause à effet entre
Σ ses signaux d’entrées et ses signaux de sortie
Exemples
Système électrique
Entrée : tension u(t)
Sortie : tension y(t)
Circuit RC intégrateur
Système mécanique
k : coeff. de frottement
élastique
Entrée : force f(t)
a : coeff. de frottement
visqueux Sortie : position x(t) % x0
x0 : position d’équilibre
Intégrateur mécanique

42. I. Introduction (2/3)
 Caractéristiques
• Système statique / dynamique :
• statique : la réponse à une excitation est instantanée
u (t )
- Entrée: tension u (t ) - Sortie : courant i(t ) 
R
• dynamique : la réponse à une excitation est fonction des réponses passées
-Entrée: tension u (t ) - Sortie : tension Vc (t )
dVc (t )
RC Vc (t )  u (t )
dt
• Système monovariable / multivariable :
- système monovariable : une entrée et une sortie
- système multivariable : nbre d’entrées et de sorties > 2
• Système linéaire : tel que les effets sont proportionnels aux causes
si x(t )  1 x1 (t )  2 x2 (t ) alors y(t )  1 [ x1 (t )]  2 [ x2 (t )]

43. I. Introduction (3/3)
 Caractéristiques
• Système causal : La réponse du système ne peut pas se produire avant
l’excitation qui l’engendre
si x(t )  0 pour t  0, alors y(t )  [ x(t )]  0 pour t  0
• Système invariant ou stationnaire : un décalage temporel en entrée induit le
même décalage en sortie
si y (t )  [ x(t )] alors y (t  t0 )  [ x(t  t0 )]
• Système stable :
• Si à une entrée bornée répond par une sortie bornée (stabilité au sens large)
• perturbé, il revient à son état initial après disparition de la perturbation
(stabilité asymptotique au sens de Lyapunov)
Dans la suite, on considère les systèmes monovariables LTI
(Linéaire Invariant dans le Temps)

44. II. Caractérisation temporelle (1/4)
II.1. Relation Entrée / Sortie d’un système LTI
généralement, c’est une équation différentielle à coefficients constants
d n y (t ) dy(t ) x m x(t ) dx(t )
an n
   a1  a0 y (t )  bm m
   b1  b0 x(t )
dt dt dt dt
Généraleme nt, m  n
 connaissance des coefficients caractérisation complète du système
 connaissance de l’entrée sortie calculable
Exemple : Circuit RLC
Entrée du système: u(t)
Sortie du système: Vc(t)
d 2Vc (t ) dVc (t )
LC 2
 RC  Vc (t )  u (t )
dt dt

45. II. Caractérisation temporelle (2/4)
II.2. Réponse impulsionelle (RI)
La RI d’un système est sa réponse pour une entrée impulsion de Dirac
x(t )   (t ) Système y (t ) : h(t )
h(t )  [ (t )]
Σ
Propriétés :
 La RI Caractérise complètement un système LTI
La seule connaissance de h(t) permet de prédire la réponse du SLTI
à n’importe quelle entrée x(t)
 Un système est stable ssi sa RI est absolument intégrable :

 h( ) d  

Il en découle que la RI d’un système causal stable vérifie:
lim h(t )  0
t 

46. II. Caractérisation temporelle (3/4)
Démonstration de la relation fondamentale des SLTI
x (t ) Système y(t )  ?
Σ
 (t ) est l'élément neutre   
y (t )  x(t )     x( ) (t   )d 
de la convolutio
n   
 

x(t )  x(t ) *  (t ) Σ : linéaire y(t )   x( )  (t   )d

 
  x( ) (t   )d Σ : invariant y(t )   x( )h(t   ) d


y (t )  x(t ) * h(t )
La réponse d’un SLTI à une entrée quelconque est
la convolution de cette entrée avec la RI de ce système

47. II. Caractérisation temporelle (4/4)
Convolution : Rappel
 
Cas de signaux
x(t ) * y(t )   x( ) y(t   )d x(t ) * y (t )   x( ) y(t   )d
 causaux 0
Commutativité f (t ) * g (t )  g (t ) * f (t )
associativité e(t ) * f (t ) * g (t )  e(t ) * ( f (t ) * g (t ))
 (e(t ) * f (t )) * g (t )
Distributivité par rapport à l’addition e(t ) * ( f (t )  g (t ))  e(t ) * f (t )  e(t ) * g (t )
Élément neutre : impulsion de Dirac f (t )  f (t ) *  (t )
Translation temporelle f (t  t 0 )  f (t ) *  (t  t 0 )
 
Convolution avec f (t ) *  T (t )   f (t ) * (t  nT )   f (t  nT )
un peigne de Dirac n n
Exemple :

48. III. Caractérisation fréquentielle (1/9)
III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI
Soit: x (t ) Système y (t )
x(t )  Ae j 2ft Σ
 
 h( ) Ae 
j 2ft j 2ft j 2f ( t  ) j 2ft
[ Ae ]  h(t ) * Ae  d  Ae h( )e  j 2f d
 
TF de la RI := H(f)
Donc : [ Ae j 2ft ]  Ae j 2ft H ( f )
La réponse d’un système lTI à une exponentielle (resp. à un signal sinusoïdal)
est égale au produit de cette exponentielle (resp. du signal sinusoïdal)
par le gain complexe H(f)

49. III. Caractérisation fréquentielle (2/9)
III.2. Système LTI et TF
Le signal d’entrée est quelque : 
On peut l’exprimer à l’aide de la TF inverse x(t )   X ( f ) e j 2ft df

 
y(t )  [ x(t )]  [  X ( f ) e j 2ft
df ]   [ X ( f ) e j 2ft ] df (ppté de linéarité)
 
Forme exponentielle
OR [ X ( f )e j 2ft ]  X ( f )e j 2ft H ( f )

y(t )   H ( f ) X ( f ) e j 2ft df : TF inverse

Y ( f )  TF y(t)
y (t )  h(t ) * x(t ) Y ( f )  H ( f ). X ( f )
H ( f ) : Fonction de Transfert

50. III. Caractérisation fréquentielle (3/9)
 Représentation fréquentielle d’un SLTI
Cette représentation fréquentielle illustre l’aptitude du système à faire passer une composante
fréquentielle présente dans le signal d’entrée
X(f ) Système Y ( f ) 
H(f) H ( f ). X ( f )
H ( f ) : module
H ( f ) : Fonction de Transfert
Représentation fréquentielle
arg H ( f ) : argument
 Relation E/S fréquentielle
La relation entrée/sortie dans le domaine fréquentiel est caractérisée par sa simplicité
Y ( f )  H ( f ). X ( f )
• Module : Y( f )  H( f ). X ( f )
• Argument : arg Y ( f )   arg H ( f )   arg  X ( f ) 
• Densité spectrale d’énergie : S yy ( f )  S xx ( f ).Shh ( f )

51. III. Caractérisation fréquentielle (4/9)
III.3. Représentation fréquentielle de Laplace
III.3. 1. De la TF à la TL
La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle. En effet :

TF x(t )   x(t ) e  j 2ft dt Cette TF existe si l’intégrale converge

Dans le cas contraire, le signal est multiplié par une exponentielle décroissante telle que :
 
TF
 x(t )e t dt   avec   0 X ( f , )   x(t )e t e  j 2ft dt

 
En posant s    j 2f , on obtient:
  x(t )e (  j 2f )t dt


X ( s)   x(t )est dt  TL( x(t ))

Définition de la Transformée de Laplace

52. III. Caractérisation fréquentielle (5/9)
III.3. 2. Propriétés de la TL
Linéarité TLax(t )  b y(t )  a.TLx(t ) b.TLy(t )  aX ( s)  bY ( s)
Convolution TLx(t ) *y (t )  X ( s).Y ( s)
Translation temporelle TLx(t   )  e  s X ( s )
Translation fréquentielle  
TL e at x(t )  X ( s  a )
Dérivation  dx(t )  
TL   sX (s)  x(0 )
 dt 
Intégration t
  X (s)

TL  x( )d  
0
 
 s
Théorème le la valeur initiale x(0  )  lim x(t )  lim sX ( s )
t 0 s 
Théorème le la valeur finale x()  lim x(t )  lim sX ( s)
t  s0

53. III. Caractérisation fréquentielle (6/9)
III.3. 3. TL de quelques signaux usuels
Impulsion de Dirac
TL (t )  1

Rampe ou Échelon de vitesse
TL (t )  2
1

s
Échelon unité
TL (t ) 
1
s

54. III. Caractérisation fréquentielle (7/9)
III.3. 4. Dualité temps/fréquence
Temps Fréquence
 Réponse Indicielle (RI) : h(t )  Fonction de transfert (FT) : H (s)
 Système invariant (STI)  Filtre
 Système linéaire invariant (SLTI)  Filtre linéaire
 Relation E/S : convolution  Relation E/S : produit
 Relation E/S d’un SLTI  Fraction rationnelle en s
Eq. diff. à coeff. Constants: Quotient rationnelle en s
les conditions initiales (CI) de deux polynômes en s
supposées nulles Transmittancen
n
d (i ) x(t ) m d (i ) y(t ) TL Y (s)
 ai s i
 ai dti   bi dti H (s) 
X (s)
 i 0
m
, (CI  0)
i 0 i 0
 bi s i
i 0

55. III. Caractérisation fréquentielle (8/9)
III.3. 5. Notions de pôles et de zéros
N (s) an s n  an1s n1    a1s  a0
H ( s)  
D(s) bm s m  bm1s m1    b1s  b0
 Les pôles, notés i , i  1,..., n sont les racines de l’équation caractéristique:
D( s )  0
 Les racines, notés zi , i  1,..., m sont les racines de l’équation N ( s)  0
Un système est stable ssi tous ses pôles sont à parties réelles strictement négatives
Exemple : dans chaque cas, dire si le système est stable ou non
s s2 5
H (s)  H ( s)  H ( s) 
s 1 ( s  1)( s  1) s 2  5s  6

56. III. Caractérisation fréquentielle (9/9)
III.3. 6. Application