1. El documento describe los conceptos de trabajo, energía, energía cinética, energía potencial, fuerzas conservativas y no conservativas, y cómo se relacionan entre sí. 2. Incluye ecuaciones para calcular el trabajo mecánico realizado por una fuerza, la energía cinética de un objeto, y la energía potencial. 3. Explica que la energía mecánica total de un sistema se conserva cuando sólo actúan fuerzas conservativas, pero no se conserva en sistemas con campos electromagnéticos u otros factores

1. 1
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA
ARMADA
NÚCLEO MIRANDA
EXTENSIÓN OCUMARE DEL TUY
Prof.: Participantes:
Edwin Díaz Freddy Franquiz 24.057.843
Karlenis
Sarmiento
23.654.204
Juan Rubin 24.283.815
AGRONOMÍA PRIMER SEMESTRE

2. 2
ÍNDICE
Introducción
Trabajo 04
Energía 04
Trabajo Mecánico 05
Calculo del trabajo Mecánico Efectuado por la Fuerza de Peso 05
Potencia 06
Energía Cinética 07
Fuerza Conservativa 08
Fuerza no Conservativa 08
Energía Potencial 09
Balance de Energía 10
Diagramas de energía 11
Equilibrio estable e inestable 13
Equilibrio inestable 15
Sistema de partículas 16
Momento Lineal 18
Momento lineal de una partícula 19
Momento Lineal de dos o más Partículas 20
Colisiones 21
Tipos de Colisiones 22
Colisiones en una dimensión 23
Colisiones en dos dimensiones 24
Centro de masa 25
Posición, Velocidad y Aceleración del Centro de Masa 28
Conclusión 31
Bibliografía 32

3. 3
INTRODUCCIÓN
El producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y del
desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza. Mientras se
realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía
al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en
movimiento. Las unidades de trabajo son las mismas que las de
energía. Cuando se levanta un objeto desde el suelo hasta la superficie
de una mesa, por ejemplo, se realiza trabajo al tener que vencer la
fuerza de la gravedad, dirigida hacia abajo; la energía comunicada al
cuerpo por este trabajo aumenta su energía potencial. También se
realiza trabajo cuando una fuerza aumenta la velocidad de un cuerpo,
como ocurre por ejemplo en la aceleración de un avión por el empuje de
sus reactores. La fuerza puede no ser mecánica, como ocurre en el
levantamiento de un cuerpo o en la aceleración de un avión de
reacción; también puede ser una fuerza electrostática, electrodinámica
o de tensión superficial (véase Electricidad). Por otra parte, si una
fuerza constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. Por
ejemplo, el sostener un libro con el brazo extendido no implica trabajo
alguno sobre el libro, independientemente del esfuerzo necesario.
Cuando un cuerpo, una partícula, o cualquier elemento que se
mueva en el espacio, este a su vez genera cálculos racionales sobre su
estado, fuerza, posición, entre muchos otros aspectos que,
relacionados a este objeto nos hace posible determinar desde la
cantidad, en medida diferentes como peso y fuerza, hasta predecir los
movimientos siguientes de este objeto.
Ecuaciones establecidas por profesionales en la materia nos
permiten estudiar estos elementos y así construir sistemas que nos
faciliten la utilización de los materiales en el espacio.
Los cálculos son precisos, para que un sistema funcione
correctamente debemos aplicar con exactitud el resultado.

4. 4
TRABAJO Y ENERGÍA:
TRABAJO
Una fuerza constante genera trabajo cuando, aplicada a un
cuerpo, lo desplaza a lo largo de una determinada distancia. Mientras
se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de
energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en
movimiento. Por otra parte, si una fuerza constante no produce
movimiento, no se realiza trabajo. Por ejemplo, el sostener un libro con
el brazo extendido no implica trabajo alguno sobre el libro,
independientemente del esfuerzo necesario. El trabajo se expresa en
Joules (J).
Cuando la fuerza tiene la dirección de movimiento.
L = F.d
L: Trabajo realizado por la fuerza.
Cuando la fuerza aplicada tiene una inclinación α con respecto al
movimiento.
L = F.cos α .d
Todas las fuerzas perpendiculares al movimiento no realizan
trabajo.
La fuerza puede no ser mecánica, como ocurre en el
levantamiento de un cuerpo o en la aceleración de un avión de
reacción; también puede ser una fuerza electrostática, electrodinámica
o de tensión superficial.
ENERGÍA
La magnitud denominada energía enlaza todas las ramas de la
física. En el ámbito de la física, debe suministrarse energía para realizar
trabajo. La energía se expresa en joules (J). Existen muchas formas de
energía: energía potencial eléctrica y magnética, energía cinética,
energía acumulada en resortes estirados, gases comprimidos o enlaces
moleculares, energía térmica e incluso la propia masa.

5. 5
TRABAJO MECÁNICO:
Es una magnitud escalar que depende del módulo de una fuerza
aplicada sobre un punto material y el desplazamiento que esta le
produce.
En el campo de la Física no se habla de trabajo simplemente, sino
de Trabajo Mecánico y se dice que una fuerza realiza trabajo cuando
desplaza su punto de aplicación en su misma dirección. El Trabajo
Mecánico se puede designar con la letra T o W.
Ejemplo: Cuando se levanta un objeto pesado contra la fuerza de
gravedad se hace trabajo. Cuanto más pesado sea el objeto, o cuanto
más alto se levante, mayor será el trabajo realizado. En todos los casos
en los que se realiza un trabajo intervienen dos factores: la aplicación
de una fuerza y el movimiento de un objeto, debido a la acción de dicha
fuerza.
Calculo de Trabajo Mecánico Efectuado por la Fuerza
de Peso:
Un cuerpo de 15 kg se deja caer desde una altura de 10 metros. Calcula
el trabajo realizado por el peso del cuerpo.
W=F P h=m g h=15 9,8 10=1470 Je      
Sobre un cuerpo de 10 kg de masa actúa una fuerza de 100N que
forma un ángulo de 30º con la horizontal que hace que se desplace 5 m. Si el
coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,2, calcula el trabajo
realizado por la normal, el peso, la fuerza de rozamiento y la fuerza aplicada
sobre el cuerpo.
La normal y el peso son perpendiculares a la dirección del
desplazamiento y, por tanto, no realizan trabajo. La fuerza de rozamiento se
opone al movimiento del cuerpo, por lo que realiza un trabajo negativo. Para
calcular la fuerza de rozamiento necesitamos conocer la normal “N”. De la
figura se deduce que N + FY=P, de donde: N=P-Fy.

6. 6
Aplicando la definición de seno y coseno de un ángulo se deduce que:
FY=F.sen30º y Fx=F.cos30º.
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento será igual a:
R yW=-F e=- N e=- (P-F ) e=- (m g-F sen30º) e=-0,2 (10 9,8-100 0,5) 5=-48 J              
Sólo realiza trabajo la componente FX de la fuerza aplicada sobre el
cuerpo:
XW=F e=F cos 30º e=100 0,866 5 433 J     
POTENCIA
(Símbolo P) es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de
tiempo.
Si W es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de
tiempo de duración Δt, la potencia media durante ese intervalo está
dada por la relación:
La potencia instantánea es el valor límite de la potencia media
cuando el intervalo de tiempo Δt se aproxima a cero. En el caso de un
cuerpo de pequeñas dimensiones:
Donde
P es la potencia,
W es el trabajo,
t es el tiempo.
r es el vector de posición.
F es la fuerza.
v es la velocidad.

7. 7
ENERGÍA CINÉTICA
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan
sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la
diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la
partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la
componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la
aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la
derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el
desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la
velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la
resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su
energía cinética.
Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de
atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia
constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y
su masa es de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

8. 8
La velocidad final v es
FUERZA CONSERVATIVA
En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total
realizado por el campo sobre una partícula que realiza un
desplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita de un
planeta) es nulo. El nombre conservativo se debe a que para una fuerza
de ese tipo existe una forma especialmente simple (en términos de
energía potencial) de la ley de conservación de la energía. Las fuerzas
que dependen sólo de la posición son típicamente conservativas. Un
ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza gravitatoria de la mecánica
newtoniana.
La ley de la gravitación universal formulada por Isaac Newton postula
que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa sobre otra
con masa es directamente proporcional al producto de las masas, e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:
Donde es el vector unitario que dirigido de la partícula 1 a la 2, esto
es, en la dirección del vector , y es la constante de
gravitación universal, siendo su valor aproximadamente 6,674 × 10−11
N·m2/kg2.
FUERZA NO CONSERVATIVA
Las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo
realizado por las mismas es distinto de cero a lo largo de un camino
cerrado. El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es
dependiente del camino tomado. A mayor recorrido, mayor trabajo
realizado. Ejemplo La Fuerza magnética.

9. 9
Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con
un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de
Lorentz sobre esa partícula viene dada por:
Donde es la velocidad de la carga, es el vector intensidad de
campo eléctrico y es el vector inducción magnética.
ENERGÍA POTENCIAL
Es la energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para
realizar un trabajo en función exclusivamente de su posición o
configuración. Puede pensarse como la energía almacenada en el
sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede
entregar. Suele abreviarse con la letra U o Ep.
La energía potencial puede presentarse como energía potencial
gravitatoria, energía potencial electrostática, y energía potencial
elástica.
Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar
asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo
tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un
campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos
puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier
recorrido entre B y A.
Ejemplo, Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima
energía potencial gravitacional en la parte más alta del recorrido. Al
descender, ésta es convertida en energía cinética, la que llega a ser
máxima en el fondo de la trayectoria (y la energía potencial mínima).
Luego, al volver a elevarse debido a la inercia del movimiento, el
traspaso de energías se invierte. Si se asume una fricción insignificante,
la energía total del sistema permanece constante.
ENERGÍA MECÁNICA
Se puede definir como la forma de energía que se puede
transformar en trabajo mecánico de modo directo mediante un
dispositivo mecánico como una turbina ideal. Las formas familiares de
energía mecánica son la cinética y la potencial.
Para sistemas abiertos formados por partículas que interactúan
mediante fuerzas puramente mecánicas o campos conservativos la
energía se mantiene constante con el tiempo:

10. 10
 , es la energía cinética del sistema.
 , es la energía potencial gravitacional del sistema.
 , es la energía potencial elástica del sistema.
Es importante notar que la energía mecánica así definida
permanece constante si únicamente actúan fuerzas conservativas sobre
las partículas. Sin embargo, existen ejemplos de sistemas de partículas
donde la energía mecánica no se conserva:
 Sistemas de partículas cargadas en movimiento. En ese
caso los campos magnéticos no derivan de un potencial y la
energía mecánica no se conserva, ya que parte de la energía
mecánica "se transforma" en energía del campo
electromagnético y viceversa.
 Sistemas termodinámicos que experimentan cambios de
estado. En estos sistemas la energía mecánica puede
transformarse en energía térmica o energía interna. Cuando
hay producción de energía térmica, en general, existirá
disipación y el sistema habrá experimentado un cambio
reversible (aunque no en todos los casos). Por lo que en
general estos sistemas aun pudiendo experimentar cambios
reversibles sin disipación tampoco conservarán la energía
mecánica debido a que la única variable conservada es la
energía interna.
 Mecánica de medios continuos disipativos que involucran
fluidos disipativos o sólidos anelásticos (plasticidad, visco
elasticidad, etc), que involucran la aparición de deformaciones
irreversibles y por tanto disipación, aparición de calor o
cambios internos irreversibles, donde la variación de entropía
no es nula.
BALANCE DE ENERGÍA
La energía total de un sistema corresponde a la sumatoria de tres
tipos de energía: Energía Cinética, Energía Potencial y Energía Interna
Recordemos que al estudiar balances de materia, definimos un
proceso cerrado como aquel proceso en el que no hay transferencia de
materia con los alrededores mientras el mismo se lleva a cabo. Sin
embargo, nada dice de la transferencia de energía o sea, en este

11. 11
sistema, la energía puede ser intecambiada con los alrededores (el
sistema puede recibirla o entregarla) y seguir siendo cerrado. Las dos
formas de energía en tránsito son calor y trabajo.
Definiremos el trabajo como positivo cuando es realizado por los
alrededores sobre el sistema (la convención opuesta también suele
emplearse; la elección es arbitraria siempre que se use de manera
consistente con el resto de las definiciones: sin embargo, para evitar
confusiones al leer referencias termodinámicas es fundamental
asegurarse la convención adoptada).
Los términos "trabajo" y "calor" se refieren sólo a energía que está
siendo transferida: es posible hablar de calor o trabajo agregado a un
sistema o transferido por él pero no tiene sentido hablar de calor o
trabajo poseído o contenido dentro de un sistema.
La energía, al igual que el trabajo tiene unidades de fuerza por
distancia, por ejemplo joules (N.m), erg (dina.cm) ó ft.lbf. También es
usual definir unidades de energía en términos de la cantidad de calor
que debe transferirse a una masa especificada de agua para aumentar
su temperatura en un intervalo especificado a una presión constante de
1 atmósfera. Las unidades de este tipo más comunes se tabulan a
continuación.
La conversión entre estas unidades y otras de unidades de
energía se realiza empleando las conversiones correspondientes.
1 Joule = 107
ergios = 0.23901 cal = 0.7376 ft-lbf = 9.486.10-4
Btu = 2.778.10-7
kW.h
DIAGRAMAS DE ENERGÍA
Un diagrama de energía potencial es una gráfica de energía vs
coordenada de reacción que informa de qué manera se lleva a cabo
una reacción en términos de energía de los reactivos, de los productos
y de los estados intermedios: complejos activados y estados de
transición. El siguiente es el diagrama de energía potencial para una
reacción bimolecular en un paso:

12. 12
Obsérvese que esta reacción tiene un solo estado de transición.
La energía libre que se requiere para llegar a él es la energía libre de
activación de la reacción. La reacción es exotérmica y el G en este
caso es negativo. Una reacción en dos pasos tiene el siguiente
diagrama:
En este caso, la reacción tiene dos estados de transición, de los
cuales el más energético es el primero, por lo tanto, la primera etapa es
la determinante de velocidad de la reacción. Entre los dos estados de
transición hay un valle en el que se ubica un intermediario C. A
diferencia de los estrados de transición que no son aislables, los
intermediarios sí pueden aislarse, tienen tiempos de vida media finitos y
son más estables que los estados de transición, pero menos que los
reactivos o productos.

13. 13
Los diagramas de energía potencial son útiles en la discusión
cualitativa de los mecanismos de reacción. Cada punto en la curva
significa la energía libre de todas las especies reaccionantes en ese
punto de avance de la reacción. Solo hay una vía entre reactivos y
productos que tiene menor energía que cualquier otra: esta es la vía
que sigue la reacción y representa una línea a través de una superficie
de energía potencial que describe la energía como función de un
arreglo espacial de los átomos involucrados en ese punto de la
reacción. La explicación de este hecho se hace a través del principio de
reversibilidad microscópica.
EQUILIBRIO ESTABLE E INESTABLE
Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio deben cumplirse al
mismo tiempo que la fuerza resultante y el momento resultante sea
nulo.
EQUILIBRIO ESTABLE
El equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su
posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la
gravedad. En este caso el centro de gravedad está debajo del punto de
suspensión.
Ejemplo: Un péndulo simple se define como una partícula de masa
m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de
masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a
una posición q0 (ángulo que hace
el hilo con la vertical) y luego se
suelta, el péndulo comienza a
oscilar.
El péndulo describe una
trayectoria circular, un arco de
una circunferencia de radio l.
Estudiaremos su movimiento en
la dirección tangencial y en la
dirección normal.
Las fuerzas que actúan
sobre la partícula de masa m son
dos

14. 14
 el peso mg
 La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos
componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la
dirección radial.
Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia
el centro de su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
man=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular
q podemos determinar la tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la
posición de equilibrio, T=mg+mv2/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad
es cero, T=mgcosq0
Principio de conservación de la energía
En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial,
que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la
posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del
péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la
energía es solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del
péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

15. 15
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la
posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo
pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor
mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
mat=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración
angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de
ecuación diferencial
EQUILIBRIO INESTABLE
El equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su
posición de equilibrio, se aleja por efecto de la gravedad. En este caso
el centro de gravedad está más arriba del punto o eje de suspensión.
Ejemplo puede ser una esfera en equilibrio en la cima de un
montículo, tal como la esfera 2 (verde) de la siguiente imagen.

16. 16
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Un sistema de partículas es un modelo de sistema físico formado
por partículas o cuerpos cuyas dimensiones y estado interno son
irrelevantes para el problema bajo estudio. Eso hace que en un sistema
de partículas conocidas las magnitudes cinemáticas de cada una de las
partículas y sus acciones a distancia toda la dinámica del sistema esté
completamente especificada a dinámica del punto material.
Muchos sistemas físicos reales pueden ser estudiados como
sistema de partículas: las moléculas de un gas encerrado en un
recipiente, el sistema solar, las estrellas de una galaxia, estructura
electrónica de un átomo, etc.
Supongamos que la partícula de masa m1 se desplaza dr1, y que
la partícula de masa m2 se desplaza dr2, como consecuencia de las
fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas.
El trabajo realizado por la resultante de
las fuerzas que actúan sobre la primera
partícula es igual al producto escalar
(F1+F12)·dr1
Del mismo modo, el trabajo realizado
por la resultante de las fuerzas que actúan
sobre la partícula de masa m2 será
(F2+F21)·dr2

17. 17
Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas
que actúan sobre una partícula modifica la energía cinética de la
partícula, es decir, la diferencia entre la energía cinética final y la inicial.
Sumando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como
suma del trabajo de las fuerzas exteriores más el trabajo de las fuerza
interiores o de interacción mutua. Se tiene en cuenta que las fuerzas
interiores F12=-F21 son iguales y de sentido contrario
Las fuerzas interiores F12 y F21 realizan trabajo siempre que haya
un desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto de la 2, ya que
dr1-dr2=d(r1-r2)=dr12
Normalmente, la fuerza F12 es conservativa (es de tipo gravitatorio,
eléctrico, muelle elástico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es
igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y final.
Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma
Tendremos
Entre paréntesis tenemos una cantidad que es la suma de la
energía cinética de las dos partículas que forman el sistema y de la

18. 18
energía potencial que describe la interacción entre las dos partículas. A
esta cantidad la denominamos energía U del sistema de partículas.
Wext=Uf-Ui
El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la
energía del sistema de partículas en el estado final y la energía del
sistema de partículas en el estado inicial.
Para un sistema de dos partículas, hay una sola interacción de la
partícula 1 con la 2 descrita por la fuerza interna conservativa F12 o por
la energía potencial Ep12. La energía del sistema U se escribe
Para un sistema formado por tres
partículas hay tres interacciones, de la
partícula 1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2 con la
3, descritas por las fuerzas internas
conservativas F12, F23, F13 o por sus
correspondientes energías potenciales. La
energía del sistema es
MOMENTO LINEAL
El momento lineal o cantidad
de movimiento se representa por la
letra p y se define como el producto
de la masa de un cuerpo por su
velocidad, es decir:
p = m · v
Por tanto, cuando un cuerpo
está en movimiento tiene un
momento distinto de cero. Si está en

19. 19
reposo su momento es cero. En el Sistema Internacional se mide en
Kg·m/s.
Ejemplo de colisión elástica (m1 = 4 kg, u1 = 5 m/s, m2 = 4 kg, u2 =
0 m/s) de dos cuerpos de la misma masa: todo el momento lineal es
transferido del primero al segundo.
MOMENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA
El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con
una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad
p=mv
Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal
respecto del tiempo
La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de
fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.
Despejando dp en la definición de fuerza e integrando
A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la
derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el
intervalo que va de ti a tf.
Para el movimiento en una dimensión,
cuando una partícula se mueve bajo la
acción de una fuerza F, la integral es el área
sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.

20. 20
En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del
impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que
actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración.
Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques,
por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de
colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de
segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de
varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la
gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso.
Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los
momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después
de la colisión, respectivamente.
MOMENTO LINEAL DE DOS O MAS
PARTÍCULAS
Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la
partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula
2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que
ejerce la partícula 1, F21.
Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la
Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el
resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas
interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.
Para cada una de las partículas se cumple que la razón de la
variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las
fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el
movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas
interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula.
Sumando miembro a miembro y
teniendo en cuenta la tercera Ley de
Newton, F12=-F21, tenemos que

21. 21
Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la
resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de
partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado
solamente por las fuerzas exteriores.
Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero
que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo
su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema.
La partícula 1 se mueve bajo la acción
de la fuerza F12 que ejerce la partícula 2. La
partícula 2 se mueve bajo la acción de la
fuerza F21 que ejerce la partícula 1. La
tercera ley de Newton o Principio de Acción
y Reacción establece que ambas fuerzas
tendrán que ser iguales y de signo contrario.
F12 +F21 =0
Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas
El principio de conservación del momento lineal afirma que el
momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si
el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las
partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal
es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre
las partículas del sistema aislado
m1u1+m2u2=m1v1+m2v2
Donde u1 y u2 son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2
y v1 y v2 las velocidades finales de dichas partículas.
COLISIONES
Se emplea el término de colisión para representar la situación en
la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto.

22. 22
Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho
más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.
El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin
embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la
energía cinética se transforma en energía térmica y en energía
potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la
colisión.
TIPOS DE COLISIONES
Colisión Inelástica
Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se
conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se
quedan juntos después del choque se dice que la colisión es
perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la
Tierra.
Colisión Elástica
En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por
ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente
elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente
elásticas.
La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y
antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones
perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el
choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o
puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas
después de la colisión es mayor
que la inicial, por ejemplo, en la
explosión de una granada o en la
desintegración radiactiva, parte
de la energía química o energía
nuclear se convierte en energía
cinética de los productos.

23. 23
COLISIONES EN UNA DIMENSIÓN
Como en una colisión las fuerzas externas son despreciables
comparadas con las fuerzas internas de la colisión, el momentum lineal
del sistema se conserva.
Dos partículas pueden moverse en el espacio de tal forma que se
encuentren en algún lugar y choquen. Un caso de tal evento es el de
dos esferas de masas m1 y m2 que ruedan sobre una superficie
horizontal en sentido opuesto y en dirección del eje x, con velocidades
V1 y V2.
Las dos esferas chocan frontalmente y luego se dispersan en
sentidos opuestos con V'1 y V'2.
En estas condiciones se cumple que:
P (antes) = P (después), Es decir, m1 V1 + m2 V2 = m1 V'1 + m2
V'2
Como el movimiento es unidimensional, en la ecuación anterior se
puede prescindir del carácter vectorial de las velocidades, teniendo en
cuenta solamente el sentido de las mismas.

24. 24
COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
Ya hemos visto que la cantidad de movimiento de un sistema es
constante cuando el sistema está aislado. Para cualquier colisión de
dos partículas en el plano, este resultado implica que la cantidad de
movimiento en cada una de las direcciones X e Y es constante.
El juego de billar es un ejemplo muy familiar en el que se
producen múltiples choques entre partículas en dos dimensiones. Para
este caso las ecuaciones de la conservación de la cantidad de
movimiento para cada eje son:
Conservación de la cantidad de
movimiento
pantes = pdespués
En el
eje X
m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx
En el
eje Y
m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy
A la hora de resolver problemas debes sustituir los valores
conocidos y resolver este sistema de ecuaciones.
Vamos a considerar el caso de un choque en dos direcciones en
el que una partícula de masa m1 choca con otra de masa m2 que está
inicialmente en reposo.
Después de la colisión, la bola 1 se mueve con un ángulo α
respecto a la horizontal y la bola 2 se mueve con un ángulo β con
respecto a la horizontal. En el siguiente esquema puedes ver la
situación antes y después del choque:

25. 25
Si aplicamos la ley de conservación del momento a cada eje, y
teniendo en cuenta que la cantidad de movimiento inicial de la bola 2 es
cero, tenemos:
Conservación de la cantidad de
movimiento
pantes = pdespués
En el
eje X
m1v1i = m1v1fcosα + m2v2fcosβ
En el
eje Y
0 = m1v1fsenα + m2v2fsenβ
CENTRO DE MASA
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto
geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera

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aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera
análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa
concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al
original. Normalmente se abrevia como c.m.
En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de
masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada
toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en
los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por
ejemplo, en las órbitas de los planetas.
En la Física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de
masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos
casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque
designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente
geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas
depende de la distribución de materia, mientras que el centro de
gravedad depende también del campo gravitatorio. Así tendremos que:
 El centro de masas coincide con el centroide cuando la
densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el
sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.
 El centro de masas coincide con el centro de gravedad,
cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio
uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad
son constantes).
Distribución discreta de materia
Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de
masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:
, masa de la partícula i-ésima.
, vector de posición de la masa i-ésima respecto al
sistema de referencia supuesto.

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Distribución cuasi discreta de materia
En el caso de un sistema de cuerpos cuasi puntúales, o cuerpos
que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los
cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.
Distribución continua de materia
Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de
materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo
que la expresión anterior se escribe en la forma:
 Distribución de masa homogénea: Si la masa está
distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo
que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la
relación siguiente:
Siendo V el volumen total.
Para cuerpos bidimensionales (superficies) o mono dimensionales
(líneas) se trabajará con densidades superficiales y longitudinales
respectivamente.
Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidirá
con el centroide del cuerpo.
 Distribución de masa no homogénea: Los centros de
masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se
conoce la función de densidad . En este caso se calcula el
centro de masas de la siguiente forma.
Para calcular la integral hay que conocer la función de
densidad.

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POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DEL
CENTRO DE MASA
Vector de posición del centro de masas
El vector de posición del centro de masas se define como:
Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición
del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de
ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el
espacio.
Velocidad del centro de masas
La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de
posición:
El segundo miembro de la ecuación anterior es el momento lineal
total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por
lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de
masas:
Este último resultado significa que el momento lineal total de un
sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa
total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de

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traslación del sistema de partículas está representado por el de su
centro de masas.
Si el sistema de partículas está aislado, su momento lineal será
constante, por lo que la velocidad de su centro de masas también lo
será.
Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de
un sistema de partículas aislado, dicho sistema de referencia (llamado
sistema-C) es inercial. Resulta particularmente útil para estudiar las
colisiones.
Aceleración del centro de masas
Cuando un sistema de partículas no está aislado, sobre él
actuarán fuerzas internas y externas, representadas respectivamente
en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partículas de
dicho sistema tendrán en general aceleración, y el centro de masas
también estará acelerado.
Sistema constituído por dos partículas. Sobre él actúan fuerzas
internas y externas. En la parte (b) de la figura, se observan las fuerzas
externas aplicadas en el centro de masas.
Para calcular la aceleración del centro de masas del sistema,
vamos a aplicar la segunda ley de Newton a cada una de las partículas
del sistema:

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Masa 1:
Masa 2:
Sumando ambas,
En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total
del sistema (igual al momento de su centro de masas), y en el segundo
miembro la suma de las fuerzas internas se anula puesto que
cumplen la tercera ley de Newton.
La expresión anterior queda entonces:
Para un sistema constituido por N partículas, el segundo miembro
es la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y por
tanto:
Que no es más que la segunda ley de Newton para el centro de
masas de un sistema de partículas. En la parte (b) de la figura anterior
se observa el centro de masas del sistema con las fuerzas externas
aplicadas en él.
La aceleración del centro de masas de un sistema de partículas es
debida únicamente a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

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CONCLUSIÓN
Se produce un trabajo mecánico (motor o resistente), cuando una
fuerza se desplaza y ocasiona un movimiento. Las unidades de trabajo
son variadas; entre ellas el ergio, el julio (Joul) y kilogámetro son los
más usados. Se denomina Potencia al trabajo realizado en la unidad de
tiempo y se mide con el Watio, el kilowatio, el kilográmetro segundo y
caballo vapor entre otras.
Energía (cinética y potencial) es la capacidad para producir un
trabajo. El trabajo en los seres vivos, resulta de la aplicación de la
energía consumida a los múltiplos de los movimientos.
Gran parte de la energía se convierte en calor que eleva la
temperatura del cuerpo en unos animales, o se pierde casi todo en los
demás y en las plantas.
Hay trabajo siempre que se aplica una fuerza que vence una
resistencia y produce un movimiento. Los elementos del trabajo son la
fuerza, la resistencia que hay que vencer y el movimiento que se
produce.
La unidad de trabajo es el ergio, y corresponde al trabajo realizado
por la fuerza de una dina, al desplazar su punto de aplicación un
centímetro. Como es muy pequeña se usa el Joul (10.000.000 de
ergios) y el kilojoul.
Hablamos de potencia cuando relacionamos trabajo realizado con
tiempo empleado. Siendo W la potencia, T el trabajo y t el tiempo.
Cuando dos o más cuerpos se aproximan entre sí, entre ellos
actúan fuerzas internas que hacen que su momento lineal y su energía
varíen, produciéndose un intercambio entre ellos de ambas magnitudes.
En este caso se dice que entre los cuerpos se ha producido una colisión
o choque. Es preciso recalcar que, para que se produzca una colisión,
no es necesario que los cuerpos hayan estado físicamente en contacto
en un sentido microscópico; basta que se aproximen lo suficiente como
para que haya habido interacción entre ellos.

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BIBLIOGRAFÍA
 WIKIPEDIA ENCICLOPEDIA LIBRE (Wikipedia.com).
 Monografias.com
 Física complentaria.com
 Básica: Física, Vol. 1, R. Resnick, D. Halliday and K. Krane
(CECSA, 3era. edición en castellano de la 4ta. edición en inglés,
ISBN 968-26-1230-6)
 Física Universitaria, Vol 1, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H.D.
Young, R. A.
 Freedman, (Pearson, 11va edición, ISBN 970-26-0511-3).
 Complementaria: Física, Vol. 1, P.A. Tipler, (Reverté, 3ra.
edición, ISBN 84-291-4367-X)
 Física, Vol. 1, R. Serway (McGraw Hill, 3ra. edición, ISBN 0-03-
031353-8)