Problema de dinámica de rotación con acoplamiento de poleas y cuerpos suspendidos donde se calculará la aceleración angular del conjunto, las tensiones de cada cuerda y la aceleración relativa de cada cuerpo.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: Dinámica
¿Qué aprenderás en este tutorial?
- Cálculo del momento de inercia de poleas acopladas
en un mismo eje
- Cálculo de la aceleración angular del conjunto
- Cálculo de la aceleración lineal de cada cuerpo
suspendido
- Cálculo de la tensión de cada cuerda
Javier Luque
Área de ingeniería industrial

2. ENUNCIADO:
Se tiene un sistema con dos poleas montadas en un único eje cuyas masas respectivas son
𝑚1 = 3000 g y 𝑚2 = 200 g. Los radios de las poleas son, respectivamente, 𝑅1 = 300 mm
y 𝑅2 = 60 mm. La masa se supone distribuida homogéneamente por el volumen de las
poleas y éstas se encuentran acopladas solidariamente. Los cuerpos 1 y 2 se cuelgan de las
poleas como se indica en la figura. En un instante dado, el sistema se abandona libremente
sin velocidad inicial solicitándose al lector que calcule:
a) Aceleración angular de las poleas
b) Aceleraciones lineales de cada cuerpo
c) Tensiones en los hilos de los que cuelga cada masa
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a) Aceleración angular de las poleas
𝑅1
𝑅2
𝑀1
𝑀2
Comenzaremos calculando el momento de inercia de ambas
poleas acopladas y solidarias recordando que el
correspondiente a una sola polea es 𝐼 = 𝑀 · 𝑅2 donde I es
el momento de inercia, M la masa y R el radio.
𝐼 = 𝑀1 𝑅1
2
+𝑀2 𝑅2
2
= 3 · 0,32
+ 0,2 · 0,062
= 0,27 𝑘𝑔 · 𝑚2
Aplicando el principio fundamental de la dinámica a cada una de
las masas como si de un sólido libre se tratara, resulta:
𝑀1 · 𝑔 - 𝑇1 = 𝑀1·𝑎1
𝑀2 · 𝑔 - 𝑇2 = 𝑀2·𝑎2
Cuerpo 1
Cuerpo 2
(1)
(2)

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Es el momento de aislar el conjunto formado por ambas poleas para sacar una tercera
ecuación a partir del principio fundamental de la dinámica de rotación:
𝑇1
𝑇2
𝑅1
𝑅2
𝑇1·𝑅1 + 𝑇2·𝑅2 = 𝐼 · 𝛼
Dos cuerpos que están unidos giran a la misma velocidad
angular, es decir, en un mismo tiempo recorren un mismo
ángulo, pero sus velocidades lineales serán distintas ya que se
ven afectadas por la distancia desde donde se encuentran hasta
el punto de giro. Con las aceleraciones ocurre de forma idéntica.
𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔
𝛼 = 𝛼1 = 𝛼2 =
𝑎1
𝑅1
=
𝑎2
𝑅2
(3)
Procedemos a incluir estos valores en las ecuaciones (1) y (2) y resolvemos el
sistema de donde obtendremos la aceleración angular en rad/𝑠2

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𝑀1 · 𝑔 - 𝑇1 = 𝑀1·𝑎1
𝑀2 · 𝑔 - 𝑇2 = 𝑀2·𝑎2
Cuerpo 1
Cuerpo 2
(1)
(2)
𝑇1·𝑅1 + 𝑇2·𝑅2 = 𝐼 · 𝛼 (3)Poleas
Recordando las ecuaciones que forman nuestro sistema tenemos:
𝑇1 = 𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝑎1 = 𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝛼 · 𝑅1
𝑇2 = 𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝑎2 = 𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝛼 · 𝑅2
Sustituyendo en (3) tenemos:
(𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝛼 · 𝑅1)·𝑅1 + (𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝛼 · 𝑅2)·𝑅2 = 𝐼 · 𝛼
𝛼 =
𝑀1 · 𝑅1 + 𝑀2 · 𝑅2
𝑀1 · 𝑅1
2
+ 𝑀2 · 𝑅2
2
+ 𝐼
=
3 · 0,3 + 0,2 · 0,06
3 · 0,32 + 0,2 · 0,062 + 0,27
= 1,687rad/𝑠2

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b) Aceleraciones lineales de cada cuerpo
𝛼 = 𝛼1 = 𝛼2 =
𝑎1
𝑅1
=
𝑎2
𝑅2
𝑎1= 𝛼 · 𝑅1 = 1,687 · 0,3 = 0,506 𝑚/𝑠2
𝑎2= 𝛼 · 𝑅2 = 1,687 · 0,06 = 0,101 𝑚/𝑠2
Recordando que
c) Tensiones en los hilos de los que cuelga cada masa
𝑇1 = 𝑀1 · 𝑔 − 𝑀1·𝛼 · 𝑅1 = 3·9,8 – 3·0,27·0,3 = 29,157 N
𝑇2 = 𝑀2 · 𝑔 − 𝑀2·𝛼 · 𝑅2 = 0,2·9,8 – 0,2·0,27·0,06 = 1,957 N

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