Con esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de intervalos de confianza para la media de una población conocida su desviación típica.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: INT. CONFIANZA
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Calcular el intervalo de confianza para la media de una distribución.
- Calcular el error máximo cometido.

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PROBLEMA RESUELTO: INT. CONFIANZA
ENUNCIADO:
Una panadería produce barras de pan cuya longitud, medida en centímetros, sigue una
distribución Normal con una desviación típica de 5 centímetros.
a) A partir de una muestra de 100 barras de pan se ha calculado el intervalo de confianza
para la media poblacional, resultando ser (31’2, 33’4). Halle la media muestral y el error
de estimación.
b) Para un nivel de confianza del 96%, halle el tamaño muestral mínimo necesario para que
el error de estimación máximo sea 1’5.

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PROBLEMA RESUELTO: INT. CONFIANZA
a) A partir de una muestra de 100 barras de pan se ha calculado el intervalo de confianza para la media poblacional,
resultando ser (31’2, 33’4). Halle la media muestral y el error de estimación.
Sabemos que para la media poblacional 𝜇 el estimador que se utiliza es la media muestral 𝑋 que sigue una distribución
𝑁 𝜇,
𝜎
𝑛
.
En nuestro caso denotaremos por:
X=“Longitud de las barras de pan”
Con lo cual 𝑋 representará la longitud media de las barras de pan.
Por lo comentado anteriormente, tenemos que 𝑋 → 𝑁 𝜇,
𝜎
𝑛
.
Los datos que nos da el problema son:
La desviación típica es 5, por lo tanto: 𝜎 = 5.
El tamaño de la muestra es 𝑛 = 100.

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El intervalo de confianza para la media viene determinado por:
𝑥 − 𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
, 𝑥 + 𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
Donde 𝑧1− 𝛼
2
es el valor crítico de la variable 𝑍 → 𝑁(0,1), es decir es el valor que cumple:
𝑝 𝑍 < 𝑧1− 𝛼
2
= 1 −
𝛼
2
Como nos dicen que el intervalo de confianza viene determinado por (31´2,33´4), entonces igualando ambos intervalos
se quedaría:
𝑥 − 𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
, 𝑥 + 𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
= (31´2,33´4)
Sustituyendo los valores que conocemos nos quedaría:

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𝑥 − 𝑧1− 𝛼
2
5
10
, 𝑥 + 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= (31´2,33´4)
Si denotamos por
𝑎 = 𝑥 − 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= 31´2 𝑏 = 𝑥 + 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= 33´4
Al sumar las dos expresiones, se tiene que:
𝑎 + 𝑏 = 2 𝑥 = 31´2 + 33´4
Por lo tanto tenemos que:
2 𝑥 = 64´6 𝑥 = 32´3

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A continuación debemos calcular el error cometido, para ello recordamos la fórmula:
𝐸 = 𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
Para hallar este error podemos proceder de dos maneras distintas.
Forma 1: En la fórmula anterior todos los datos son conocidos, salvo 𝑧1− 𝛼
2
. Por lo que en primer lugar hallamos este
valor, para ello recurrimos a la expresión:
32´3 − 𝑧1− 𝛼
2
5
10
, 32´3 + 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= (31´2,33´4)
Por lo tanto tenemos que:
32´3 − 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= 31´2 𝑧1− 𝛼
2
= 2´2

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Por lo tanto al tener este valor, podemos hallar el error cometido como sigue:
𝐸 = 𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
= 2´2
5
100
= 1´1
Forma 2: Si recordamos la expresión:
32´3 − 𝑧1− 𝛼
2
5
10
, 32´3 + 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= (31´2,33´4)
𝑎 = 𝑥 − 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= 31´2 𝑏 = 𝑥 + 𝑧1− 𝛼
2
5
10
= 33´4
Restando tenemos:
𝑏 − 𝑎 = 2𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
𝑧1− 𝛼
2
𝜎
𝑛
=
𝑏 − 𝑎
2
= 1´1 𝐸 = 1´1

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b) Para un nivel de confianza del 96%, halle el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación
máximo sea 1’5.
La fórmula que nos calcula el error máximo cometido viene dada por:
𝐸 ≤ 𝑧 𝛼
2
𝜎
𝑛
De donde despejando el tamaño muestral nos queda:
𝑛 ≥ 𝑧 𝛼
2
𝜎
𝐸
2
Nos indican que el nivel de confianza es del 96%, por lo tanto 𝛼 = 1 − 0´96 = 0´04
Entonces tenemos que 𝑧1−𝛼
2
vendrá dado por el valor que cumple:
𝑝 𝑍 < 𝑧1− 𝛼
2
= 1 −
𝛼
2

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Por lo tanto:
𝑝 𝑍 < 𝑧1− 𝛼
2
= 1 −
𝛼
2
𝑝 𝑍 < 𝑧1− 𝛼
2
= 0´98
De donde, buscando el valor de 𝑧1− 𝛼
2
en la tabla de la distribución normal, tenemos:
𝑧1− 𝛼
2
= 2´05
Nos indican también que el error máximo de estimación será 1´5.
Sustituyendo en la fórmula anterior nos queda:
𝑛 ≥ 𝑧 𝛼
2
𝜎
𝐸
2
= 2´05
5
1´5
2
= 46´694
Por lo tanto el tamaño mínimo de la población será de n=47 barras de pan.