En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de ecuaciones diofánticas. Aprenderás a calcular la solución particular de una ecuación diofántica y a partir de ella a obtener la ecuación general de la ecuación. Finalmente obtendremos la solución al problema a partir de la solución general de la ecuación.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: ecuaciones diofánticas
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En este vídeo vas a aprender a resolver un problema
mediante ecuaciones diofánticas.

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Enunciado:
Enviamos por correo dos tipos de paquetes A y B. Por un paquete del tipo A nos
cobran 15 céntimos de euro más que por uno del tipo B.
Si hemos enviado más paquetes de tipo B que de tipo A y en total hemos enviado
12 paquetes por los que hemos pagado un total de 13,20 euros.
a) ¿Cuántos paquetes hemos enviado de cada tipo ?
b) ¿Cuánto nos han cobrado por enviar un paquete de tipo A y de tipo B?

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En primer lugar vamos a denotar por x el número de paquetes de tipo B.
Por lo tanto el número de paquetes de tipo A será 12-x, ya que en total envía 12
paquetes entre los del tipo A y los del tipo B.
A continuación denotaremos por p a la cantidad de dinero en céntimos que cuesta
enviar un paquete del tipo B.
Por lo tanto un paquete del tipo A costará p+15 ya que nos indica el enunciado que
un paquete del tipo A cuesta 15 céntimos más que uno del tipo B.
Por lo tanto tendremos que:
𝑝𝑥 + 𝑝 + 15 12 − 𝑥 = 1320
Obsérvese que al denotar por p a lo que cuesta enviar un paquete tipo B en
céntimos, tenemos que poner en céntimos la cantidad total que pagamos.

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A continuación desarrollamos la expresión anterior
𝑝𝑥 + 12𝑝 − 𝑝𝑥 + 180 − 15𝑥 = 1320
Al simplificar nos queda la siguiente ecuación diofántica:
12𝑝 − 15𝑥 = 1140
Observamos que es una ecuación diofántica ya que tanto p como x tienen que ser
valores enteros positivos.
En primer lugar vamos a estudiar si la ecuación anterior tiene solución, para ello
comprobamos que el máximo común divisor de 12 y 15 divida a 1140.
En efecto , MCD(12,15)=3
Y se tiene que 3 divide a 1140, ya que 1140=3.380

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Por tanto tenemos que la ecuación diofántica tiene solución.
Procedemos a continuación a resolver la ecuación anterior.
En primer lugar buscamos valores u y v, tales que
12𝑢 − 15𝑣 = 3
Estos valores de u y v los podemos buscar por tanteo o mediante la identidad de
Bezout. En este caso es fácil observar que:
12 −1 − 15 −1 = 3
Por tanto podemos tomar u=-1, v=-1
A continuación multiplicamos la expresión anterior por 380 y obtenemos:
Ya que 1140=3.380

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12 −380 − 15 −380 = 3.380
Es decir se tiene que:
12 −380 − 15 −380 = 1140
De esta manera tenemos una solución particular de la ecuación diofántica.
La solución viene determinada por:
𝑝0 = −380
𝑥0 = −380
A continuación buscamos la solución general de la ecuación. Para ello recordamos
que si Ap+Bx=C es una ecuación diofántica, de la cual conocemos una solución
particular 𝑝0, 𝑥0, entonces la solución general viene determinada por:
𝑝 = 𝑝0 +
𝐵
𝑑
𝑘 𝑥 = 𝑥0 −
𝐴
𝑑
𝑘

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Por lo tanto, en nuestra ecuación tenemos:
𝑝 = −380 +
−15
3
𝑑
𝑥 = −380 −
12
3
𝑑
𝑝 = −380 − 5𝑘
𝑥 = −380 − 4𝑘
Ya tenemos la de la ecuación diofántica asociada al problema planteado. Vamos ahora a
calcular la solución del problema.
Observamos que 𝑥 > 0
Por lo tanto, sustituyendo el valor de x, por la solución obtenida se tiene:
−380 − 45𝑘 > 0 𝑘 <
−380
4
= −95

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Por otro lado tenemos que 12 − 𝑥 > 0
De donde al sustituir el valor de x, por el obtenido en la solución, se tiene que:
12 − −380 − 4𝑘 > 0 𝑘 >
−392
4
= −98
Por tanto tenemos que −98 < 𝑘 < −95
De aquí obtenemos que hay sólo dos posibles valores para k, k=-96 ó k=-97.
Distinguimos por tanto dos casos:
• Si k=-96
Al sustituir en p y x, tenemos que

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𝑝 = −380 − 5 −96 = 100
𝑥 = −380 − 4 −96 = 4
Según este resultado ha enviado 4 paquetes del tipo B, y por tanto 12-4=8 del tipo A,
pero este resultado no es posible, ya que el enunciado nos dice que envía más
paquetes del tipo B que del tipo A.
• Si k=-97
En este caso:
𝑝 = −380 − 5 −97 = 105
𝑥 = −380 − 4 −97 = 8
Por lo tanto ha enviado 8 paquetes del tipo B y 12-8=4 paquetes del tipo A.
Un paquete del tipo B ha costado 105 céntimos, y por lo tanto un paquete del tipo A ha
costado 105+15=120 céntimos.