Modulo ii

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Modulo ii

  1. 1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SI11 LÓGICA MÓDULO II Tabelas-VerdadeProfessor Newton Marquez Alcantara 1
  2. 2. 1. Estrutura e Preenchimento Inicial de uma Tabela-Verdade1.1. O que é uma tabela-verdade? – Como já falamos no módulo anterior, uma tabela verdade éuma maneira organizada de representarmos todas as possibilidades de valores verdade e devalores falsidade de uma proposição. Como observação, já vimos vários exemplos de tabelas-verdade quando definimos os conectivos.1.2. O número de linhas de uma tabela-verdade. O número de linhas de uma tabela-verdade édeterminado pelo número de proposições simples presentes na proposição a ser representada na ntabela-verdade. O número de linhas é dado pela expressão 2 , onde n é o número deproposições simples:Número de Proposições Simples (n) Número de linhas da tabela-verdade 1 21 = 2 2 22 = 4 3 23 = 8 4 24 = 16 5 25 = 32 6 26 = 64 : :Ex: A proposição P (p) = p + p’ é formada de uma única proposição simples e, portanto, a suatabela verdade terá duas linhas.A proposição P (p, q) = (p + q)’ q é formada por duas proposições simples e, portanto, asua tabela verdade terá quatro linhas.A proposição P (p, q, r) = (p . r) q é formada por três proposições simples e, portanto, a suatabela verdade terá oito linhas. O raciocínio para proposições com mais de três proposiçõessimples é idêntico.1.3. Preenchimento inicial de uma tabela-verdadeA construção de uma tabela-verdade começa como o preenchimento das colunas iniciais, quesão aquelas colunas que fornecem a combinação de todos os valores verdade entre asproposições simples que formam a proposição composta. A técnica de preenchimento éilustrada abaixo.1.3.1. Proposições com uma única proposição simples – P (p). Na notação V/F p Resto da tabela-verdade V F 2
  3. 3. Na notação 1/0 p Resto da tabela-verdade 1 01.3.2. Proposições com duas proposições simples – P (p, q).Dividimos a primeira coluna em 2 e preenchemos a primeira metade com “V” e a segundametade com “F”. Em seguida dividimos a segunda coluna em 4 e preenchemos alternadamentecom “V” e “F” (lembrando se sempre começar com “V”). O preenchimento na notação “1/0” éidêntico, como mostrado abaixo. Na notação V/F Resto da tabela- p q verdade V V V F F V F F Na notação 1/0 p q Resto da tabela-verdade 1 1 1 0 0 1 0 01.3.3. Proposições com três proposições simples – P (p, q, r).Dividimos a primeira coluna em 2 e preenchemos a primeira metade com “V” e a segundametade com “F”. Em seguida dividimos a segunda coluna em 4 e preenchemos alternadamentecom “V” e “F” (lembrando se sempre começar com “V”). Finalmente, dividiremos a terceiracoluna em 8 e também preencheremos alternadamente com “V” e “F”. O preenchimento nanotação “1/0” é idêntico, como mostrado abaixo. 3
  4. 4. Na notação V/F p q r Resto da tabela-verdade V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Na notação 1/0 p q r Resto da tabela-verdade 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 01.3.4. Proposições com quatro ou mais proposições simples – P (p, q, r, s) ; Q (p, q , r, s, t) etc.O procedimento é idêntico ao ilustrado acima.2. Construção de uma Tabela-VerdadeOs passos a serem seguidos são os seguintes: a) Determinação do padrão de representação a ser seguido b) Determinação do número de linhas da tabela verdade c) Preenchimento inicial da tabela-verdade d) O cálculo propriamente ditoObservação: Nesta primeira parte do curso utilizaremos o padrão “1/0”. 4
  5. 5. Exemplo 1: Considere a proposição P (p, q) = (p + q) . (p → q)a) A notação é a “1/0”b) Como a proposição tem duas proposições simples, a tabela-verdade terá quatro linhasc) Preenchimento inicial: p q 1 1 1 0 0 1 0 0d) Cálculo da tabela-verdade.A tabela-verdade será calculada de maneira semelhante às operações que executávamos para oscálculos algébricos. Cada termo é calculado em separado, sempre respeitando a ordem indicadapelos parênteses. Neste caso, em primeiro lugar calcularemos (p + q) e (p → q). Os cálculosdeverão ser efetuados segundo a definição de cada conectivo (Módulo I). p q p+q (p → q) 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1Finalmente, poderemos calcular a proposição completa utilizando as duas colunas recémcalculadas. p q p+q (p → q) (p + q) . (p → q) Esta coluna é o resultado final. 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0P(p, q) = (p + q) . (p → q) é verdadeira ou falsa. Por exemplo, P (p, q) é verdadeira quandop = 1 e q = 1 ou quando p = 0 e q = 1. P (p, q) é falsa quando p = 1 e q = 0 ou quando p = 0 eq=0. 5
  6. 6. Exemplo 2: Considere a proposição P (p, q) = (p  q) ↔ (p . q)’a) A notação é a “1/0”b) Como a proposição tem duas proposições simples, a tabela-verdade terá quatro linhasc) Preenchimento inicial: p q 1 1 1 0 0 1 0 0d) Cálculo da tabela-verdade.Em primeiro lugar calcularemos (p  q) e (p . q) p q (p  q) (p . q) 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0Em seguida calcularemos (p . q)’ , ou seja, a negação de “(p . q)”. p q (p  q) (p . q) (p . q)’ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1Finalmente, poderemos calcular o resultado final. p q (p  q) (p . q) (p . q)’ (p  q) ↔ (p . q)’ Esta coluna é o resultado 1 1 0 1 0 1 final. 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0Portanto, podemos concluir que a proposição P (p, q) = (p  q) ↔ (p . q)’ somente é falsaquando p = 0 e q = 0, sendo verdadeira em qualquer outra situação. 6
  7. 7. Exercício 1: Calcule a tabela-verdade para a proposição P(p, q, r) = (q → p)’ ↔ (p  r). Apóso cálculo, compare a sua resposta com a solução abaixo.SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.a) A notação é a “1/0”b) Como a proposição tem três proposições simples, a tabela-verdade terá oito linhasc) Preenchimento inicial: p q r 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0d) Cálculo da tabela-verdade (q → (p  r) (q → p)’ ↔ (p  r) p q r q→p p)’ Esta coluna é o 1 1 1 1 0 0 1 resultado final. 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 7
  8. 8. Exercício 2: Calcule a tabela-verdade para a proposição P(p, q) = (q . p’) + (p → q’). Após ocálculo, compare a sua resposta com a solução abaixo.SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.a) A notação é a “1/0”b) Como a proposição tem duas proposições simples, a tabela-verdade terá quatro linhasc) Preenchimento inicial: p q 1 1 1 0 0 1 0 0d) Cálculo da tabela-verdade P(p, q) = (q . p’) + (p → q’) q’ (p → (q . p’) + (p → q’) p q p’ q . p’ q’) Esta coluna é o 1 1 0 0 0 0 0 resultado final. 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1Exercício 3: Calcule a tabela-verdade para a proposição P(p, q, r) = [(p → r)  q’] . (p + r).Após o cálculo, compare a sua resposta com a solução abaixo.SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.a) A notação é a “1/0”b) Como a proposição tem três proposições simples, a tabela-verdade terá oito linhasc) Preenchimento inicial: p q r 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 8
  9. 9. d) Cálculo da tabela-verdade p→ q’ (p → r)  (p  r) [(p → r)  q’] . (p + r) p q r r q’ Esta coluna é o 1 1 1 1 0 1 1 1 resultado final. 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 9

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