Este documento descreve um experimento sobre o movimento oscilatório de um pêndulo físico. Foram realizadas medidas do período de oscilação variando a distância do ponto de suspensão ao centro de massa. Os resultados mostraram que o período é menor quando o ponto de suspensão está na metade da distância, e que a energia mecânica total não é constante, indicando um movimento amortecido.

1. Movimento Oscilatório de um Pêndulo Físico
Acadêmicos:
Erick Soares Fernandes Oliveira¹, Fernanda Barreto, Vanessa Peter².
Prof. Pedro Dorneles
Universidade Federal do Pampa
Travessa 45, n°1650 - Bairro Malafaia - Bagé - RS - CEP: 96413-170
Email: erickfernandes@live.fr¹, vanessinha-peter@ibest.com.br².
Resumo: Esse experimento tem como objetivo estudar o Movimento Oscilatório de um
Pêndulo Físico para posterior constatação do comportamento dinâmico de um corpo
suspenso, bem como para a análise das medidas de grandezas físicas. Foram utilizados
dados obtidos pela vídeo análise e também pelo sensor Photogate, calculando à partir desses
a aceleração gravitacional local. A variação da Energia Mecânica total foi analisada,
percebendo que ela não é constante e tende a zero. Assim, o movimento de um Pêndulo
Físico comporta-se como uma oscilação amortecida.
Palavras chave: Movimento Harmônico, MHS, Pêndulo Físico, Aceleração da Gravidade.
Introdução de Inércia de qualquer formato. As demais
grandezas devem ser conhecidas ou
Seja um sistema em situação de equilibro medidas apropriadamente.
estável. Quando esse sistema é levemente
afastado dessa situação e liberado, passa a O momento de Inércia (I) em torno de um
executar um movimento periódico ou eixo passando por P, paralelo ao eixo que
oscilatório em torno da posição de equilíbrio, passa pelo cento de massa que, por sua vez,
chamado de Movimento Harmônico Simples é perpendicular à peça retangular, é dado
(MHS), se não existirem forças dissipativas. pelo Teorema do Eixo Paralelo, cuja equação
é:
Chama-se Pêndulo Físico, qualquer corpo
rígido suspenso por um ponto P, que realiza (2)
um movimento oscilatório num plano
vertical, em torno de um eixo horizontal Onde:
passando por P. Icm – momento de Inércia em torno de um
eixo perpendicular ao plano do objeto e que
Para pequenas oscilações um Pêndulo Físico passa pelo seu Centro de Massa;
realiza um movimento periódico. A M – massa da placa usada;
expressão abaixo mostra que o Período da x – distância entre o ponto de apoio e o
Oscilação (T) está relacionado como centro de massa.
movimento de Inércia (I) do corpo em
relação ao eixo de rotação, à massa total
(M) e a distância (d) entre o ponto de
suspensão e o centro de massa (CM).
(1)
O Pêndulo Físico é usado para medidas
precisas da Aceleração da Gravidade (g).
Figura 1 – Pêndulo Físico
A relação do período do pêndulo pode ser
usada também para determinar o momento
1

2. Procedimento Experimental 3) Pendurou-se o pêndulo pelo furo mais
próximo ao centro de massa a oscilar
Lista de Equipamentos numa amplitude pequena.
4) Para cada furo, obteve-se um vídeo das
 Cano PVC com orifícios
oscilações
 Suporte para laboratório com rebite
5) Através dos vídeos, realizou-se a analise
 Rebite
dos dados com o auxílio do Software
 Sensor Fotoelétrico
Logger Pro.
 Cronômetro digital
6) Para a obtenção dos gráficos utilizou-se
 Paquímetro
o Software Origin.
 Trena Milimetrada
 Câmera Digital Dados
 Programa de Video Análise:
Logger Pró Simbolo Medida Unidade
 Programa de Análise de Dados: Raio Interno R1 0,0216 m
Origin 6.0 Raio Externo R2 0,0135 m
Comprimento da Haste L 1,01 m
 Calculadora Científica
Comprimento do CM até a extremidade CM 0,51 m
 Notebook Tabela 1 - Dados do Pêndulo Físico
Descrição do Procedimento A tabela 1 apresenta dos dados
experimentais obtidos a partir do Pêndulo
O equipamento utilizado nesse experimento
Físico; e assim foi realizado o cálculo do
é um suporte com eixo horizontal, no qual é
Momento de Inércia para cada um dos
pendurado um tubo de PVC, com 11 furos,
orifícios analisados, através da expressão:
sendo o centro de massa o 11º furo e tendo
entre eles uma distancia de
(3)
aproximadamente 5,0 cm cada furo. A
distância do CM até o primeiro furo
analisado é de 5,0 cm O momento de inércia mede a distribuição
da massa de um corpo em torno de um eixo
O tubo é levemente afastado de sua posição de rotação. Quanto maior for o momento de
de equilíbrio, formando um ângulo menor do inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo
que 5º, liberamos o mesmo para oscilar, o girar.
pêndulo foi solto no mesmo instante em que
acionamos o cronômetro manual, enquanto Com o cálculo do Momento de Inércia
o sensor fotoelétrico captava os tempos em realizado (3), utilizamos a expressão abaixo
10 oscilações, obtivemos o período de para calcular o valor experimental dos
oscilação, repetimos este procedimento para Períodos
cada orifício e então fizemos as médias dos
(4)
valores de Período encontrados para cada
orifício.
O Período é o intervalo de tempo decorrido
O procedimento experimental foi realizado
entre duas passagens consecutivas do
da seguinte forma:
móvel pelo mesmo ponto da trajetória, com
1) Com o auxílio de uma trena milímetrada as mesmas características, levando em
mediu-se o comprimento total do cano consideração o momento de Inércia de cada
e a distância entre cada orifício e o orifício em relação à força g que é aplicada
centro de massa. na extensão deste orifício até o CM.
2) Mediram-se os valores dos raios interno
e externo do cano.
2

3. Após o cálculo do período, foi necessário período; em contrapartida após este ponto
encontrar uma expressão para que fosse o período torna aumentar. Portanto, a
exercida sobre o Pêndulo Físico em cada disposição dos pontos tende a formar uma
Período de oscilação. parábola.
(5) Do mesmo modo, elaborou-se o gráfico 2
para que fosse possível a visualização do
Com a análise realizada, pode-se então comportamento do Período nos orifícios
montar uma tabela comparativa dos avaliados.
dados. (tabela 2).
Resultados e Discussões
Com a determinação da Aceleração da
Gravidade (g) através dos dados
experimentais, constatou-se que a partir
do valor teórico já conhecido que esta
medida é de 9,81 m/s² e que os desvios
padrão para as medidas foram:
Gráfico 2 – Período – Photogate - Logger Pro
 Vídeo Análise: 9,81 ± 0,38 m/s².
 Photogate: 9,81 ± 0,36 m/s². Obteve-se o gráfico 3, correlacionando os
Video Análise Photogate
valores dos Períodos obtidos na Vídeo
Centro de
Período Aceleração da Período Aceleração da
Análise e Photogate, com as respectivas
Massa Período Teórico
(m)
Video Análise Gravidade (cm/s²) Photogate Gravidade (cm/s²)
distâncias ao Centro de Massa.
0,05 2,6497 2,6564 8,785 2,669 9,185
0,10 1,9618 1,9570 9,872 1,972 8,748
0,15 1,6955 1,6996 9,784 1,7068 9,728
0,20 1,5901 1,5870 9,667 1,5957 9,704
0,25 1,5412 1,5418 9,965 1,5381 9,858
0,30 1,5335 1,5324 10,034 1,5267 9,890
0,35 1,5397 1,5453 9,974 1,5451 9,812
0,40 1,5663 1,5707 9,648 1,5623 9,914
0,45 1,5915 1,6039 9,731 1,599 9,871
0,50 1,6303 1,6425 9,822 1,6375 9,870
Médias 1,7301 1,73366 9,7282 1,73522 9,658
Tabela 2 – Dados do Período e Aceleração da Gravidade
O gráfico 1, foi obtido dispondo-se dos dados
referentes ao Período obtido pela vídeo análise,
e as respectivas distâncias ao Centro de Massa.
Gráfico 3 – Comparativo de Períodos – Logger Pro
Percebe-se neste gráfico que os pontos
referentes à Vídeo Análise e Photogate
ficaram bem próximos. Porém, há uma
margem de erros, devido a fatores
experimentais.
Através do gráfico 3, pode-se observar
ainda que o menor valor do Período (T) se
Gráfico 1 – Período - Vídeo Análise– Logger Pro dá quando o pivô está localizado na
metade da distância entre a extremidade e
A disposição dos pontos experimentais o Centro de Massa. Essa distância
neste gráfico já era esperada, pois em um corresponde a 30,0 (cm) e os períodos são
Pêndulo Físico quanto mais próximo o pivô 1,5324 segundos de acordo com a Vídeo
estiver do Centro de Massa, menor será o
3

4. Análise e 1,5267 com o Photogate. ao Centro de Massa aproximadamente
Para confirmar este resultado vamos
derivar a expressão do Período em função em 29,18 cm (0,2918m), ou Período
de x, que corresponde à distância.
igual à 1,5354 (segundos) de acordo
com a Video Análise e 1,5276
(6)
(segundos) de acordo com o Photogate,
respectivamente.
1) Consideremos:
2) A derivada ficará
3) A partir daí, é extraído o valor de x
Gráfico 4 – Velocidade – Logger Pro
O gráfico 4 mostra a velocidade em função
do tempo quando o centro de massa é
igual a 15,0 cm. A partir desse gráfico é
possível fazer uma análise da Energia
Mecânica Total. Sabe-se que:
E igualando a equação a 0, temos Energia Total = Cinética + Potencial.
A Energia Mecânica Total E é relacionada
com a amplitude A do movimento. Quando
o corpo atinge o ponto x=A (deslocamento
máximo a partir da posição de equilíbrio),
(7) ele para momentaneamente e depois
retorna para o seu ponto de equilíbrio.
Então, quando x=A (ou x=-A), v=0. Para
4) Resolvendo a equação este ponto não há Energia Cinética e a
Energia Total é inteiramente Potencial.
Como x refere-se ao valor do Centro de Nesses pontos a partícula para e muda de
sentido. Esses pontos são chamados de
Massa, a expressão acima confirma que Pontos de Inversão e podem ser
identificados no gráfico da velocidade em
o menor valor do Período diz respeito
4

5. função do tempo (gráfico 3), quando a curva passa pela origem.
Uma oscilação amortecida é aquela na qual comparado ao desvio dos dados do
ocorre uma diminuição da amplitude Photogate, pois essa técnica é mais
provocada por uma força dissipativa. Um suscetível a erros experimentais.
pêndulo é um Oscilador Harmônico Simples
e comporta-se como uma Oscilação O gráfico da velocidade em função do
Amortecida, porque há uma força de atrito tempo foi analisado também, a partir dele
proporcional a velocidade do corpo que foi possível chegar à conclusão de que a
oscila. Energia Mecânica Total não é constante,
pois há forças dissipativas.
Nas oscilações amortecidas, a força do Concluímos assim, que o Movimento
amortecimento não é conservativa, a Oscilatório de um Pêndulo aponta para a
energia mecânica do sistema não é realidade de um movimento amortecido.
constante e diminui continuamente,
tendendo a zero depois de um tempo. Referências Bibliográficas
Conclusão Young, Hung, D., Física II:
Termodinâmica e Ondas/ Hung D. Young.,
A partir da realização deste experimento Roger A Freedman; tradução e revisão
foi possível calcular o valor local da técnica: Adir Moysés Luiz; 10ª edição –
aceleração da gravidade. Com a análise São Paulo; Person Addison Wesley, 2003.
dos dados experimentais e dos gráficos
construídos foi possível observar que há Tipler, Paul Allan, Física para
uma variação do Período em relação ao cientistas e engenheiros, V.2: Eletricidade
Centro de Massa. Quanto mais próximo o e Magnetismo/ Paul A Tipler, Gene Mosca;
pivô estiver da metade da distância entre a Rio de Janeiro, LTC, 2006.
extremidade e o centro de massa, menor
www.physik.uzh.ch/~matthias/espace-
será o Período; ao passar esse ponto o
assistant/anleitung-ev_e.pdf
Período torna a aumentar.
Acessado em 17/05/2011 às 01:28h.
Notou-se, também, que p desvio padrão
dos dados do Vídeo Análise foi maior se
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