Fractales y análisis fractal

FFRRAACCTTAALLEESS YY AANNÁÁLLIISSIISS
FFRRAACCTTAALL

1
CONTENIDO
1 OBJETIVOS 2
2 JUSTIFICACIÓN 2
3 INTRODUCCIÓN 2
4 ANTECEDENTES 3
5 GEOMETRÍA FRACTAL 5
5.1 CONCEPTO DE FRACTAL 5
5.2 DIMENSIÓN FRACTAL 6
5.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOS 8
5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIA 10
5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT 12
5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTAL 13
5.5 CLASIFICACIÓN DE LOS FRACTALES 13
6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES 14
6.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA 14
6.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y TECNOLOGÍA 15
7 ANÁLISIS FRACTAL 17
7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING). 18
7.2 DIVISORES (MÉTODO DEL COMPÁS). 19
7.3 RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO. 20
7.4 MÉTODO “SLIT ISLAND” (SIM). 21
7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES. 22
7.6 ANÁLISIS DE FLUCTUACIÓN SIN TENDENCIA (DFA) 23
7.7 ANÁLISIS DE IMÁGENES Y TEXTURA. 24
7.8 ANÁLISIS MULTIFRACTAL. 24
7.9 SOFTWARE PARA EL ANÁLISIS FRACTAL 25
8 CONCLUSIONES 26
9 REFERENCIAS 26

2
1 OBJETIVOS
Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal.
Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal.
Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis
basados en esta técnica.
Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la
geometría fractal.
2 JUSTIFICACIÓN
Los métodos de análisis fractal han demostrado ser una herramienta con un gran potencial para el
estudio de datos y la obtención de información en distintas ramas del conocimiento.
3 INTRODUCCIÓN
Cuando intentamos comprender y describir el mundo que nos rodea o cuando atacamos un
problema por vez primera generalmente tendemos a hacer simplificaciones y desmenuzarlo en
componentes de menor complejidad. Esta forma de comenzar a entenderse con los fenómenos de
la naturaleza es muy útil tanto en la ciencia como en la vida cotidiana. Nos da en el mayor de los
casos modelos con una aproximación suficiente a la realidad con los cuales poder trabajar para
fines prácticos. Para qué complicarse más las cosas.
Sin embargo, poniéndonos más estrictos, las figuras comunes de la geometría clásica o euclidiana
no son las más adecuadas para generar formas complejas como la hoja de un helecho o el perfil de
una montaña (Figura 1). Su limitación se debe a que tienden a perder su estructura cuando son
ampliadas; un arco de círculo se transforma poco a poco en una recta, la superficie de una esfera
se hace cada vez más plana. Esto no es precisamente lo que sucede con las formas naturales. Por
ejemplo, la superficie rugosa de una roca mantiene prácticamente la misma complejidad a varios
niveles de amplificación con el microscopio. Si analizamos una parte de la roca, y dentro de ella
otra más pequeña, y así sucesivamente, no por ello nos parecerá cada vez más lisa [1]
.
Figura 1: Simplificación de la naturaleza.

3
“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y la corteza de los
árboles no es lisa, ni los relámpagos viajan en una línea recta”, reflexiona Benoît Mandelbrot,
padre de la geometría fractal, en su libro The Fractal Geometry of Nature [2]
.
Es entonces cuando nos preguntamos si hay otras formas de describir estas entidades. Y por qué
no describirlas por medio de cuerpos que lleven tal propiedad de detalle al extremo; que
mantengan sus propiedades y características a cualquier escala. Cuerpos que si bien son mucho
más complicados que las figuras geométricas tradicionales, su construcción no implica un
procedimiento muy complicado.
A este tipo de formas geométricas que, entre otras propiedades, contienen una imagen de sí
mismas en cada una de sus partes, se les llama ahora fractales y hace ya más de una década que
inundaron el mundo científico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de
conocer y describir la naturaleza [1]
.
4 ANTECEDENTES[3]
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897)
Definió la primera curva que es continua en todo punto y no es
derivable o diferenciable en ninguno: la función de Weierstrass. Está
definida en la recta y toma valores reales. De este modo, Weierstrass
mostró que era falsa la conjetura que circulaba en aquella época que
afirmaba que las funciones continuas eran diferenciables salvo en puntos
aislados [4]
. Es la primera curva que puede ser considerada como un
fractal.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Fue un matemático alemán inventor, con Dedekind y Frege, de la teoría
de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas [5]
. Estableció
una sucesión de segmentos conocida como polvo de Cantor, un ejemplo
sencillo de fractal, mismo que ha resultado ser de gran utilidad en el
modelado de distintos fenómenos en variadas áreas del conocimiento.
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918)
Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos. Elaboró la teoría
rigurosa moderna de la estabilidad de un sistema y la del movimiento de
un sistema mecánico a partir de un número finito de parámetros.
Partiendo de dicha teoría se construyen los denominados fractales de
Markus-Lyapunov mapeando las regiones de estabilidad y de
comportamiento caótico de un sistema dinámico.[6][7]

4
Giuseppe Peano (1858-1932)
Fue un matemático y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a
la Teoría de conjuntos. Diseñó en 1890 una curva que, al desarrollarse,
pasa por todos los puntos del plano (curva de Peano) como un
contraejemplo que usó para mostrar que una curva continua no puede
ser encerrada en una región arbitrariamente pequeña. Éste fue un
ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.[8]
Waclaw Sierpinski (1882-1969)
Matemático polaco con notables aportaciones a la teoría de conjuntos,
la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. Tres
conocidos fractales llevan su nombre: el triángulo de Sierpinski, la
alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski.[9]
Niels Fabian Helge von Koch (1815-1897)
Fue un matemático sueco que escribió muchos artículos sobre teoría de
números y cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva llamada
copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales en ser
descritas, en un artículo del año 1904 titulado Acerca de una curva
continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la
geometría elemental.[10]
Gaston Maurice Julia (1893-1978)
Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el
primero en estudiar el tema, y explicar cómo a partir de cualquier
función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida
por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso.
Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo informe sobre la
iteración de las funciones racionales en la revista francesa de
matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. [11]
Benoît Mandelbrot (1924-2010)
Principal creador de la Geometría Fractal (término que él mismo acuñó),
al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e
interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En
1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus
investigaciones en este campo.
Supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época,
el ordenador, para trazar los más conocidos ejemplos de geometría
fractal: el conjunto de Mandelbrot por supuesto, así como los conjuntos
de Julia descubiertos por Gaston Julia quien inventó las matemáticas de
los fractales, desarrollados luego por Mandelbrot. [12]

5
5 GEOMETRÍA FRACTAL
5.1 CONCEPTO DE FRACTAL
Como se mencionó anteriormente, el término fractal fue introducido por primera vez por el
matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus que significa quebrado o
fracturado. [13]
Un fractal, según Mandelbrot, es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o
irregular, se repite a diferentes escalas. [2]
Se dice que es semigeométrico pues resulta ser más
complicado que un cuerpo geométrico regular. A simple vista es un ente con bordes altamente
irregulares y que a distintas escalas de observación, parece conservar el mismo patrón, lo que le
confiere la propiedad de autosimilitud, la cual es una de las más importantes a la hora de definir
estas estructuras.
Es por esto que, adelantándonos un poco a definir puntualmente las propiedades de los fractales,
es necesario hablar sobre la autosimilitud. Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o
autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden
presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. [13]
Esta propiedad puede
vislumbrarse muy claramente al observar uno de los fractales más famosos: el triángulo de
Sierpinski (Figura 2).
Figura 2: Triángulo de Sierpinski.
Como se puede notar, el triángulo de Sierpinski presenta una estructura aparentemente simple,
un triángulo compuesto por triángulos más pequeños; pero pronto descubrimos que tanto si se
observa en su escala total (cuadro negro) como si disminuimos la escala y observamos cada una de
las partes que lo componen (cuadro azul), esta construcción sigue manteniéndose. Aún
disminuyendo la escala (cuadros verde y púrpura) descubrimos triángulos que a su vez están
formados por triángulos más pequeños y que son exactamente iguales al original. Y esto,

6
teóricamente, podría seguir infinitamente al disminuir la escala. Cada porción del objeto tiene las
mismas características del objeto completo.
5.2 DIMENSIÓN FRACTAL
Establecer la dimensión de un objeto regular "a ojo" parece ser cosa fácil y requiere tan sólo de un
poco de sentido común. De esta forma decimos que un punto es adimensional, un segmento de
recta es unidimensional, que un cuadrado es bidimensional y un cubo es tridimensional. Estamos
acostumbrados a ver la dimensión de un objeto como un número entero que indica la cantidad de
direcciones independientes o grados de libertad sobre los que uno se puede mover en el espacio
que contiene a dicho objeto, es decir, su dimensión topológica. Sin embargo, a fin de estudiar los
fractales, es necesario encontrar una expresión matemática que nos permita caracterizar la
dimensión de un objeto de forma general.
Para tal fin, consideremos un segmento de recta de una unidad de longitud. Si triplicamos su
tamaño, esto es, lo expandimos con un factor de escala igual a tres, obtenemos un segmento de
recta de longitud tres el cual obviamente contiene tres componentes congruentes, es decir, tres
copias del segmento original de longitud uno (Figura 3). Por razones que serán más claras
posteriormente, notamos que 1
3 3 .
Ahora hacemos lo mismo con un cuadrado de área unitaria. Si lo expandimos por un factor de
escala tres, esto es, triplicamos la longitud de sus lados, obtenemos un cuadrado cuya área es
nueve veces mayor. En esta ocasión tenemos nueve copias del cuadrado unitario original.
Observemos que
2
9 3 .
Finalmente expandimos un cubo de volumen unitario con un factor de escala tres y obtenemos un
cubo que consiste de 27 componentes congruentes. En este caso, 3
27 3 .
Figura 3: Concepto de dimensión.

7
Obsérvese que en cada uno de los tres casos mencionados, tenemos una dimensión D, un factor
de escala r y un número de componentes N, que satisfacen la ecuación D
N r . Otros ejemplos
de la validez de esta regla se muestran en la Figura 4, en donde un triángulo es expandido por un
factor de escala de 2, un cuadrado por un factor de 2.5 y un segmento de recta por uno de 2 .
Figura 4: Ejemplos de escalamiento.
Como se demuestra en la Figura 4, ni N ni r necesitan ser estrictamente números enteros para que
la ecuación D
N r sea válida. La dimensión D, en cambio, esperaríamos que fuese siempre
entera.
Despejando D de la ecuación anterior obtenemos la expresión general que estábamos buscando,
misma que se conoce como dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
log
log
N
D
r
Ahora veamos si es posible producir un objeto geométrico cuya expansión por un factor r pueda
ser dividida en N componentes de tal forma que su dimensión no sea un número entero.
Nuestro primer ejemplo de dimensión fraccionaria puede ser hallado en la arquitectura de un
interesante objeto ideado en 1904 por el matemático sueco Helge von Koch y que recibe el
nombre de “copo de nieve de Koch”. Su construcción empieza con un triángulo equilátero de lado
unitario. Cada lado se divide en tres partes iguales y se remplaza la parte central por dos
segmentos de igual longitud formando un ángulo de 60 grados. Luego, con la figura resultante se
procede de la misma manera en cada uno de sus lados y así sucesivamente (Figura 5).
En este caso, a toda escala sobre la figura, cada lado de longitud L es dividido en secciones de un
tercio de extensión, l=L/3 (r=3), y en el proceso se generan cuatro particiones de tamaño similar
(N=4). Entonces, usando la fórmula de Hausdorff-Besicovitch para caracterizar la dimensión de
este peculiar objeto obtenemos:

8
log4
1.2619
log3
D ¡Un objeto con dimensión fraccional!
El resultado es desconcertante pero indiscutible, y es una evidencia más de la singularidad de la
forma geométrica que estudiamos. La dimensión de Hausdorff definida de esta manera es una
medida de la complejidad y rugosidad del cuerpo, y nos da una idea de su extensión real en el
espacio. El copo de nieve de Koch cubre más espacio que una recta (D=1), pero menos que un
plano (D=2). Incluso se puede demostrar que su perímetro es infinito aunque está confinado en
un área bien determinada.
Figura 5: Construcción del “copo de nieve de Koch”.
5.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOS
Otros "monstruos" matemáticos como la curva de Koch exhiben dimensiones fraccionales distintas
y cada uno de ellos tiene una dimensión de Hausdorff que lo caracteriza.
Tal es el caso, por ejemplo, del triángulo de Sierpinski que es el resultado de seccionar a toda
escala un triángulo equilátero en cuatro particiones similares cuyos lados son tan sólo la mitad de
los de la figura original (r=2). Una vez hecho esto se extrae la sección central, de forma que
queden las tres partes de los vértices (N=3), y sobre éstas se actúa de la misma manera, como se
muestra en la Figura 6.
Su dimensión de Hausdorff es entonces:
log3
1.585
log2
D
De forma análoga puede construirse la carpeta de Sierpinski (Figura 6) si la iteración consiste en
dividir a todos los niveles un cuadrado en secciones de un noveno de área (r=3), eliminando la

9
participación del centro (N=8). Entiéndase por iteración a la repetición de la misma operación o
transformación a toda escala.
La dimensión de esta figura es:
log8
1.893
log3
D
Figura 6: Construcción del triángulo y la carpeta de Sierpinski.
Comparando los resultados obtenidos para las tres figuras estudiadas se hace evidente que la
dimensión de Hausdorff cuantifica hasta qué punto el objeto cubre el espacio en el que se
encuentra inscrito. Mientras la curva de Koch malcubre el plano, D=1.263, la carpeta de Sierpinski,
D=1.893, lo logra casi completamente. [1]
De esta misma forma, aplicando una operación repetidamente sobre alguna figura podemos
obtener un sinnúmero de formas con dimensiones fractales. Como ejemplos tenemos la greca
fractal cuya construcción puede vislumbrarse en la Figura 7 o el polvo de Cantor (Figura 8), mismo
que es particularmente útil como se verá más tarde.
log8
1.5
log4
D
Figura 7: Greca fractal.
La construcción de éste último fractal, también llamado conjunto de Cantor, resulta sencilla.
Tomemos una línea recta de longitud uno. Dividamos ahora esta línea en tres partes iguales y
quitemos la parte central. Cada segmento tiene ahora longitud de un tercio. Enseguida repetimos
el mismo procedimiento con cada uno de los segmentos restantes. Cada uno de los segmentos
tiene ahora una longitud de un noveno. Si se llevara a cabo este procedimiento un número muy
grande de veces, se llegaría a obtener un "polvo" formado de un número extraordinariamente
grande de segmentos, cada uno de longitud pequeñísima.

10
Su dimensión de Hausdorff, que de ahora en adelante llamaremos dimensión fractal, es:
log2
0.631
log3
D
Figura 8: Polvo de Cantor.
En otras palabras, es más que una colección de puntos, pero menos que una línea.
5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIA
Los fractales también pueden ser generados en base a un número sobre el que se hace una
operación de forma recursiva. Esta operación puede ser, por ejemplo, el elevar al cuadrado un
número real lo cual se denotaría por la expresión:
2
1n nZ Z
Así, tomando un número inicial 0 2Z , como ejemplo, se tendría la secuencia: 2, 4, 16, 256,
65536, … , en la que cada elemento de la serie es el cuadrado de su antecesor. A esta secuencia
de números que se genera se le denomina la órbita de la iteración, y el punto al que se tiende a
llegar (infinito, en este caso) se le llama su atractor.
Por ejemplo, si escogemos como punto inicial 0 0.5Z , obtenemos la órbita: 0.5, 0.25, 0.0625,
0.00390625, … , 0, en la que el atractor es cero.
Los conjuntos de Julia son una familia de fractales, que se obtienen al estudiar el comportamiento
de los números complejos al ser iterados por una función de este tipo. Este trabajo fue
desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, a principios de nuestro
siglo. Sus resultados fueron la base sobre la que se construyó la revolución fractal de los ochenta.
En particular, Benoît Mandelbrot recuperó su análisis sobre el comportamiento de los números
complejos cuando la iteración consiste en elevarlos al cuadrado y sumar una constante al
resultado, esto es:
2
1n nZ Z c
Donde c también es un número complejo.
Las órbitas que ahora se generan son secuencias de números complejos y sus características
dependen fundamentalmente de los valores del punto inicial Z0 del que se parte y la constante c
seleccionada.
Desde 1906, Fatou había demostrado que para cada valor de c, la aplicación de esta iteración
sobre todos los puntos del plano complejo genera órbitas que en su mayoría terminan en

11
atractores que tienden a infinito, salvo para un conjunto bien definido de puntos. En estos casos,
la iteración tiende a órbitas periódicas donde se repite la misma secuencia de números después de
cierto número de iteraciones o puntos que convergen hacia atractores finitos. A estos puntos,
cuya iteración no escapa a infinito, se les llama prisioneros, mientras los otros son escapistas. El
conjunto de todos los puntos prisioneros pertenecen a lo que llamaremos el cuerpo de un
conjunto de Julia.
Para localizar los puntos que conforman el conjunto de Julia para una constante c dada, hay que
recorrer el plano complejo buscando la frontera donde se pasa de tener órbitas que se disparan a
infinito, a la región donde esto ya no sucede. Al efectuar este procedimiento con la ayuda de un
ordenador y colorear los puntos del plano de acuerdo con la velocidad con la que escapan o
convergen, se obtienen figuras de gran complejidad y belleza, como las que se muestran en la
Figura 9.
c = 0.32+0.043i c = 0.194+0.6557i
c = -0.12+ 0.66i c = -0.1565+1.0322i
c = 0.12+ 0.74i c = -0.1565+1.0322i
Figura 9: Conjuntos de Julia para distintos valores de la constante c.

12
5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT
Del análisis de la Figura 9 se hace evidente que existen dos clases principales de conjuntos de Julia;
aquellos para los cuales el cuerpo está formado por una sola pieza (el área del cuerpo se dice que
es conexa) y otros en los que el cuerpo está desmembrado en infinitas colecciones de puntos más
o menos aisladas (disconexa).
Benoît Mandelbrot, en la década de los setenta, fue el primero en localizar los valores de la
constante c que dan lugar a conjuntos de Julia conexos. Al hacerlo se encontró con que esta
colección de valores de c, que en su honor tiene el nombre de conjunto de Mandelbrot, también
tenía una estructura sorprendente cuando se representaba en el plano complejo. [1]
Este conjunto se define así:[14]
0
2
1
0 (término inicial)
,
(relación de inducción)n n
z
c
z z c

Existe otra manera de definir este conjunto: Es el conjunto de los complejos c para los que el
conjunto de Julia asociado a fc(z) = z² + c es conexo.
Figura 10: Conjunto de Mandelbrot. Cada imagen es una ampliación de la anterior.

13
Si representamos en negro los puntos para los que la órbita de las iteraciones permanece acotada,
y los puntos para los que esta órbita escapa se representan de diferentes colores según la
velocidad con que la órbita se va a infinito, se obtienen las representaciones usuales del conjunto
de Mandelbrot (Figura 10).
Estas representaciones sugieren que su estructura es altamente compleja y nos muestran la
autosimilaridad a diferentes escalas de observación que si bien no es exacta, se puede demostrar
que sigue siendo isomorfa a la inicial. Además de esta característica, el conjunto de Mandelbrot
presenta otras propiedades.
Es compacto, conexo y su complemento también es conexo.
Su interior consta de un conjunto numerable de componentes.
Su frontera tiene dimensión topológica 1 pero dimensión de Hausdorff 2, la máxima
posible al ser subconjunto del plano.
Los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentes regiones del conjunto
de Mandelbrot.
5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTAL
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: [13]
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión
topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No es diferenciable en ningún punto.
Es preciso mencionar que no basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por
ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar, carece
del resto de las características exigidas.
5.5 CLASIFICACIÓN DE LOS FRACTALES
Por su autosimilitud se pueden clasificar en: [13]
Fractales con autosimilitud exacta. Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud. Exige
que el fractal sea idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales
definidos por sistemas de funciones iteradas.
Fractales con cuasiautosimilitud. Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de
sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar

14
a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de
recurrencia son normalmente de este tipo.
Fractales con autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud; se exige que
el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de
escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.
También se pueden clasificar según el método con el cual se generan o su construcción como:
Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su
imagen bajo un sistema de reglas. El conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el
triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o
la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.
Fractales de algoritmos de Escape. Definidos por una relación de recurrencia en cada
punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo). Dentro de este tipo de fractales
encontramos el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia y el fractal de Lyapunov.
Fractales aleatorios. Generados por procesos estocásticos, no deterministas. Como
ejemplo están el movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los
árboles brownianos.
6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES
6.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA
Mandelbrot asegura que en la naturaleza existen muchos fenómenos de carácter fractal, de
hecho, muchos más de los que podemos imaginar: la trayectoria que sigue una partícula que
realiza movimiento browniano; la forma de las cadenas montañosas, en las que si uno intentara
medir su superficie, encontraría valores infinitos; el perímetro de las costas que, al ir
disminuyendo la escala escogida para medirlo, su longitud tiende a infinito; la configuración de los
sistemas respiratorio, nervioso y circulatorio en los vertebrados; la morfología de algunas plantas y
animales (Figura 11). [15]
Figura 11: Fractales naturales. Izquierda: Brócoli romanescu. Derecha: Hoja de helecho.

15
En general, parece ser que dondequiera que un proceso irregular y caótico ha dado forma al
ambiente, se han generado geometrías fractales como las costas, ríos, montañas, nubes, rocas,
etc. que por su redundancia y falta de regularidad poseen propiedades estructurales particulares.
Es importante señalar que los fractales que existen en la naturaleza tienden a ser irregulares y son
autosimilares sólo en sentido estadístico. Además, cuando se amplifica una de las partes de un
fractal natural, la propiedad de generar la misma figura, o alguna similar, tiene límites inferiores y
superiores. Por ejemplo, al observar el perfil de una montaña, el tamaño de los objetos más
grandes está determinado por la fuerza de gravedad, mientras que la menor escala de observación
a la cual todavía se detectan los mismos detalles depende de la acción de la erosión y, por
supuesto, del tamaño de los átomos. Los fractales son, en ese sentido, sólo una buena
aproximación de la estructura de las formas naturales.
6.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA
Los fractales mostraron su utilidad por primera vez cuando se generó con ellos un modelo simple
para la aparición de ruido en ciertas líneas de transmisión en sistemas de comunicación digital,
esto es, la presencia de breves interrupciones eléctricas que confunden y dificultan la
comunicación, del tipo de las que estamos acostumbrados a oír cuando hablamos por teléfono o
escuchamos el radio. [1]
El análisis de las señales demostró que las interrupciones aparecían por
paquetes, pero dentro de estos paquetes se distinguía una estructura intermitente, y dentro de
ésta, más interrupciones recurrentes, etc. Un registro gráfico de las interrupciones dio lugar a un
patrón fractal similar al conjunto de Cantor (Figura 8).
El polvo de Cantor es uno de los más famosos, a pesar de no ser tan atractivo visualmente. Su
estructura está detrás de varias cosas en el mundo real y así se ha utilizado como modelo para
representar desde la distribución de los anillos de Saturno y las fluctuaciones en el precio del
algodón a partir del siglo pasado, hasta las variaciones que el nivel de las aguas del río Nilo ha
experimentado desde hace 2000 años. Más aún, cuando la idea que subyace en la construcción de
este conjunto se extiende a tres dimensiones, el patrón que se genera coincide
sorprendentemente con la distribución de estrellas y galaxias en el universo.
En el área de las telecomunicaciones, los fractales han tenido también grandes aportaciones. En
los sistemas móviles de comunicaciones es de vital importancia el uso racional del espacio. Sin
embargo un elemento crucial del sistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena. Una
solución inesperada para este problema fue construir antenas fractales, las cuales son más
compactas y tienen ciertas propiedades que las hacen preferibles a las antenas tradicionales. [16]
Las propiedades de los fractales se aprovechan en la construcción de antenas que pueden obtener
anchos de banda de 10 a 40% de la frecuencia central superiores a las antenas clásicas, que van de
10% a 20%, patrones de radiación estables y gran número de bandas determinado por el número
de iteraciones del fractal. [17]
Las primeras antenas diseñadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractales delgados,
organizando los elementos en un patrón Fractal para reducir el número de elementos en el arreglo
y obtener antenas de banda ancha o desempeño en múltiples bandas. Actualmente se está

16
trabajando con curvas y objetos fractales como los triángulos de Sierpinski, árboles fractales,
curvas e islas de Koch, entre otras (Figura 12) que minimicen el área de la antena, aprovechando
su capacidad natural multibanda.
Figura 12: Antenas fractales. De izquierda a derecha: Antena fractal para teléfono móvil inspirada en la
distribución de Cantor; respuesta en frecuencia de dicha antena; antena fractal inspirada en la curva de
Koch.
Se han utilizado técnicas derivadas de la teoría de fractales en la compresión de imágenes, música,
video y datos en general.[13]
Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la Figura 13 no es difícil.
Haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS o conjunto de transformaciones
que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul
celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación
reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.
Figura 13: Imagen autosemenjante de un helecho.

17
Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales ya que no esperamos,
por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo.
Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas
particionadas. En él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante
se busca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas. El esquema
resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente
aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una
vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos
factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG.
Algunos otros ejemplos de las numerosas aplicaciones que se le ha dado a los fractales se
muestran en la Tabla 1.
Tabla 1:Aplicaciones de los fractales.
Área del
conocimiento
Aplicación
Comunicaciones Modelado del tráfico en redes.
Informática Técnicas de compresión (imágenes, audio y vídeo).
Robótica Robots fractales.
Infografía y artes
plásticas
Paisajes fractales y otros objetos.
Biología Crecimiento tejidos, organización celular, evolución de poblaciones.
Música Composición musical.
Física Transiciones de fase en magnetismo, modelado de sistemas
dinámicos.
Química Agregación por difusión limitada.
Geología Análisis de patrones sísmicos. Fenómenos de erosión. Modelos de
formaciones geológicas.
Economía Análisis bursátil y de mercado. Filosofía de la fábrica fractal.
7 ANÁLISIS FRACTAL
Derivados de la matemática fractal, han surgido un gran número de métodos para analizar las
propiedades fractales de fenómenos naturales, resultados de experimentos, imágenes y en
general datos en los que se investiga si tienen o no, y si lo tienen, en qué medida, el
comportamiento de un fractal, es decir, se analiza su dimensión fractal. Algunos de estos métodos,
mismos que se presentan en este trabajo, son:[18]
Conteo de cajas (Box-Counting).
Divisores (método del compás).
Relación área-perímetro.
Método “slit island” (SIM).
Autosimilaridad en series temporales o espaciales.
Análisis de fluctuación sin tendencia (DFA)
Análisis de imágenes y textura.
Análisis multifractal.

18
7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING).
Este es uno de los métodos más utilizados para calcular la dimensión fractal de objetos en una
imagen por su sencillez y fácil implementación en un ordenador.
Para calcular la dimensión de un objeto fractal, que bien puede ser la imagen de una costa,
imaginemos que sobre la imagen se extiende una malla uniformemente espaciada y contemos
cuántas cajas se requieren para cubrir el conjunto[19]
, como se muestra en la Figura 14. La
dimensión fractal de éste objeto se calcula viendo cómo cambia éste número al ir haciendo la
malla más y más fina.
Figura 14: Método de conteo de cajas aplicado para calcular la dimensión fractal de la costa de Inglaterra.
De esta forma, suponga que N es el número de cajas de longitud requeridas para cubrir el
conjunto, entonces su dimensión fractal se define conforme a la fórmula de Minkowski–Bouligand
como sigue:
0
log
lim
log 1/
N
D
N 1/ log[N] log[1/ ]
12 3 1.0792 0.477121255
28 6 1.4472 0.77815125
77 12 1.8865 1.079181246
157 24 2.1959 1.380211242
374 48 2.5729 1.681241237
D= 1.241
Figura 15: Cálculo de la dimensión fractal de la costa de Inglaterra.
y = 1.241x + 0.496
R² = 0.997
0.0000
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.0000
0 0.5 1 1.5 2
log[N]
log [r]
Costa de Inglaterra

19
Así, para la imagen de la Figura 14, se registra el número de cajas que contienen una parte de la
costa de Inglaterra (N) y la longitud de las cajas ( ), al ir haciendo estas últimas cada vez más
pequeñas. Se calcula el logaritmo de estos dos valores y se puede observar que guarda una
relación lineal, como se aprecia en la Figura 15. La pendiente de la recta será la dimensión fractal
buscada. En este caso y en muchos más en los que no se forma una recta perfecta, se toma la
pendiente de la recta que más se acerca a los puntos obtenidos, ya sea por mínimos cuadrados o
cualquier otro criterio.
Cabe notar que existen otras variantes de este método que utilizan en lugar de cajas, el máximo
número de discos de radio r centrados en el conjunto, en este caso, cuyo centro se encuentra
sobre la costa (Figura 16-centro), o el mínimo número de discos que cubren el conjunto (Figura 16-
izquierda).
Figura 16: Otras variantes del método de conteo de cajas.
7.2 DIVISORES (MÉTODO DEL COMPÁS).
Otro método muy extendido y claramente emparentado con el conteo de cajas es el método de
divisores o del compás (Compass o ruler method). Se utiliza habitualmente para medir la
dimensión fractal de perímetros.[20]
Mandelbrot hizo popular los fractales utilizando este método
en un artículo titulado ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Figura 17: Método del compás aplicado para calcular la dimensión fractal de la costa de Inglaterra.

20
Obsérvese la isla de la Figura 17. En el caso de la izquierda se ha medido la longitud de la costa
utilizando una medida o regla de menor tamaño con respecto del caso del centro y éste último
con respecto del caso de la derecha. La longitud medida depende obviamente del tamaño de la
regla.
El método del compás consiste en mover una regla de longitud a lo largo de la curva. La longitud
estimada de dicha curva será el producto del número de pasos N de tamaño delta necesarios para
cubrir la costa, esto es, L N . Valores de delta inferiores darán longitudes mayores; a medida
que nuestra regla se hace más y más pequeña, añadimos más detalles y la longitud medida de la
costa crece.
La dimensión fractal es estimada midiendo la longitud L a diferentes valores de escala mediante
la siguiente relación:
0
log
lim
log 1/
L
D
7.3 RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO.
El método de área-perímetro es utilizado generalmente para estimar la dimensión fractal de
objetos completos, y no sólo su perímetro. Dependiendo de los objetivos del análisis, existen tres
enfoques posibles: el método basado en el perímetro, para determinar la medida en que el
perímetro de la isla, es decir, del objeto a analizar, llena el plano; basado en el área, para
determinar la medida en que la propia isla llena el plano; y basada en el paisaje (islas divididas en
diferentes tipos), para comparar la complejidad de las islas. Estos métodos se pueden utilizar para
determinar la dimensión fractal de un conjunto de islas o para cada isla.[18]
El enfoque de la dimensión fractal perimetral mide el grado en el que el perímetro de la o las islas
llenan el plano. La relación perímetro-área de un conjunto de islas está dada por:
2
D
P kA
Donde el área A es el número de pixeles que conforman el objeto dado, el perímetro P es el
número de pixeles en la frontera de la isla, k es una constante de escalamiento y D es la dimensión
fractal, misma que se determina mediante la pendiente de la gráfica de los logaritmos del área
contra perímetro.
El enfoque de la dimensión fractal del área cuantifica la proporción del plano que es ocupada por
un objeto. Esta dimensión puede ser medida como:
log
log
A
D
L
Donde L es la longitud máxima horizontal o vertical de la isla en pixeles, y A es el número total de
pixeles que conforman la isla. Así, una isla cuadrada de n n (A=n2
, L=n), llena completamente el
plano bidimensional ( 2
log /log 2D n n ), mientras que para una isla rectangular de longitud n
y ancho unitario (A=n 1, L=n), es decir, una línea recta, log /log 1D n n .

21
7.4 MÉTODO “SLIT ISLAND” (SIM).
El método slit-island o método de las islas emplea una relación de perímetro-área para determinar
la dimensión fractal de imágenes en las que se distinguen múltiples islas u objetos fracturados. Se
ha utilizado en gran medida en la evaluación de la dimensión fractal de superficies fracturadas en
metales como el acero y otros materiales como las cerámicas.[21]
Los perímetros y áreas de las islas son medidos con cajas de longitud E de forma muy parecida al
método del conteo de cajas, contando cuántas cajas son necesarias para cubrir la isla en su
totalidad, en el caso del área, y cuántas cajas tocan el contorno de la misma, en el caso del
perímetro. Como se puede prever, el tamaño de la caja de conteo E se va haciendo cada vez más
pequeño pero en este caso la dimensión fractal se determina mediante la siguiente ecuación que
relaciona el área de la isla con su perímetro:
2 2
/ / 0.5 /A E I E P E
Donde el término 2
/A E corresponde al área de la isla, 2
/I E es el número de cajas dentro de la
frontera y 0.5 /P E es la mitad del número de cajas sobre la frontera del objeto a analizar. E,
como ya se mencionó, es el tamaño de la caja en pixeles usada para contar.
De esta forma se tiene que:
1 12 2
/ / DA E P E
Así, la dimensión fractal D puede ser obtenida con la pendiente de la recta resultante al graficar el
logaritmo de 2
/A E contra el logaritmo de /P E, a distintos tamaños de E, como se ilustra en la
Figura 18.
Figura 18: Estimación de la dimensión fractal con el método SIM para fracturas en una aleción metálica HS-
21.

22
7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES.
El concepto de un objeto fractal, que carece de una escala de longitud característica, se puede
extender al análisis de los complejos procesos temporales. Sin embargo, un reto en la detección y
cuantificación de la dimensión fractal en las series temporales es que a pesar de que este tipo de
series se suelen representar en un plano bidimensional, en realidad dependen de dos variables
físicas distintas. Por ejemplo, en la Figura 19-a, el eje horizontal representa el tiempo, mientras
que el eje vertical representa el valor de la variable que cambia con el tiempo, en este caso, la
frecuencia cardíaca. Estos dos ejes tienen unidades físicas independientes: minutos y latidos por
minuto, respectivamente. Incluso en los casos en los que los dos ejes de una serie en el tiempo
tienen las mismas unidades, su significado físico sigue siendo diferente. Esta situación es diferente
a la de las curvas geométricas tales como las costas y cordilleras, donde ambos ejes representan
una misma magnitud física.[22]
Figura 19: Autosimilaridad en series temporales.
Para determinar si una curva dependiente del tiempo es auto-similar, podemos hacer la siguiente
prueba: tomemos un subconjunto del objeto y escalémoslo al mismo tamaño del objeto original,
utilizando el mismo factor de aumento, tanto para el ancho como para el alto, y luego
comparemos las propiedades estadísticas del objeto escalado con las del objeto original (media,
varianza, desviación estándar, etc.).
En la práctica, para determinar la dimensión fractal de una serie temporal para un intervalo de
tiempo dado, éste se divide en subconjuntos del mismo tamaño, es decir, en ventanas de
observación más pequeñas a las que se les analiza alguna propiedad estadística, que generalmente
es la desviación estándar. Para obtener una buena aproximación de la característica estadística a
ésta escala de la ventana, se promedian todos los valores individuales de la propiedad en cuestión
para cada subconjunto. Este procedimiento se repite para diferentes tamaños de la ventana y la

23
dimensión fractal se estima mediante la pendiente de la curva resultante de graficar el logaritmo
de la propiedad estadística contra el logaritmo del factor de escala de la ventana, como se puede
apreciar en la Figura 19-d.
Para este caso en particular, log /logD s n donde s es la desviación estándar y n es el
tamaño del subintervalo de tiempo de la ventana de observación.
7.6 ANÁLISIS DE FLUCTUACIÓN SIN TENDENCIA (DFA)
Una definición simplificada y general caracteriza a una serie en el tiempo como estacionaria si su
media, desviación estándar, funciones de correlación u otras propiedades permanecen invariantes
bajo una traslación en el tiempo. Las señales que no obedecen estas condiciones se denominan no
estacionarias.[22]
Para éste último tipo de señales, el análisis expuesto en el apartado 7.5 obviamente no funciona.
Es por esto que se desarrolló el análisis de fluctuación sin tendencia o DFA, por sus siglas en inglés
(detrended fluctuation analysis).
Figura 20: Algoritmo del método DFA.
En éste método se divide la señal original en cajas o ventanas de longitud n. Para cada ventana se
dibuja la recta que más se ajusta a los valores de la curva por el método de mínimos cuadrados.
Ésta recta representa la tendencia de los valores dentro de la ventana (Figura 20). Posteriormente
se calcula la magnitud de la fluctuación de los valores dentro de dicha ventana mediante la
siguiente ecuación:
2
1
1 N
n
k
F n y k y k
N
Este cálculo se repite en todas las escalas temporales (diferentes tamaños de la ventana) para
proporcionar una relación entre F(n) y el tamaño del intervalo n. Típicamente esta relación nos da
la dimensión fractal, misma que está dada por:

24
log
log
F n
D
n
7.7 ANÁLISIS DE IMÁGENES Y TEXTURA.
En éste método una imagen, la cual se supone tiene una textura, es interpretada como un terreno
en tres dimensiones, en donde cada coordenada x,y de la imagen tiene una tercera dimensión
asociada z que representa la intensidad de color del pixel.[18]
Posteriormente se realiza un procedimiento muy similar al del método de conteo de cajas,
descrito en el apartado 7.1, sólo que en este caso en lugar de dividir la imagen con cajas
bidimensionales, se tendrá que el terreno tridimensional es dividido en cubos de tamaño (Figura
21). Se cuentan el número de cubos N que engloban el terreno a analizar y se relaciona el
logaritmo de ésta cantidad con el logaritmo del tamaño de los cubos. De igual forma, la magnitud
se hace variar. La dimensión fractal se estima con la ecuación de Minkowski–Bouligand.
Figura 21: Método de conteo de cajas modificado para imágenes con textura.
7.8 ANÁLISIS MULTIFRACTAL.
Cuando se aplica la caracterización fractal a imágenes, suele ocurrir que la entidad a estudiar
presenta las intensidades que la forman distribuidas en un intervalo de nivel de grises
suficientemente amplio para no poder ser caracterizado adecuadamente con una única dimensión
fractal. Para poder analizar correctamente esta situación se dispone de la caracterización
multifractal.[23][24]
Esta metodología de análisis divide el intervalo de intensidades a analizar en diferentes
subintervalos, para cada uno de estos se realiza la correspondiente caracterización fractal

25
utilizando el método del conteo de cajas. Ahora se obtiene como resultado una representación de
las dimensiones fractales obtenidas frente a las intensidades correspondientes.
En esta caracterización se pueden realizar múltiples análisis, pero es primordial asignar un
significado a la intensidad observada en la imagen. Puede representar densidad, temperatura,
altura, módulo de la velocidad o cualquier parámetro físico de interés relacionado con la
estructura espacial autosimilar de la imagen. Para cada una de estas situaciones podemos hablar
de la complejidad observada en función de la intensidad de la magnitud caracterizada y usar la
dimensión fractal para describir la geometría reflejada en la imagen por los procesos físicos
inherentes.
Figura 22: Cálculo de la dimensión multifractal mediante el software especializado ImaCalc de la imagen
satelital de un vórtice oceánico.
7.9 SOFTWARE PARA EL ANÁLISIS FRACTAL
Existen un gran número de programas computacionales para el análisis de imágenes y datos que
incluyen herramientas o están destinados para el estudio de su dimensión fractal por diversos
métodos como los comentados en los apartados anteriores.
Algunos de estos programas se enlistan a continuación:
HarFA
FracLab
Fractalyse
FracTop
Fractal3e
ImaCalc

26
Kindratenko
SimuLab
FracLac (módulos para ImageJ)
8 CONCLUSIONES
El estudio de los fractales así como de los métodos de análisis fractal sigue en desarrollo y
aplicándose cada vez en un mayor número de ramas del conocimiento.
Al igual que con otras técnicas de análisis de datos tales como el análisis en frecuencia por
transformada de Fourier, Wavelets o análisis estadísticos, es importante conocer este tipo de
herramientas para tener un panorama más amplio a la hora de enfrentarnos a la resolución de un
problema.
9 REFERENCIAS
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Económica. México, 1996.
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[12]Benoît Mandelbrot. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de
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[13]Fractal. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal.
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[28]Santiago, M.; Yannibelli, V.; Pacheco, Y.; Senor, P.; Pecelis, M.; Caselli, E. Diagnóstico de
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