1. D S R B S P I S N
Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd
2. Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,
ditemukan oleh S.D. Poisson (1781 – 1841), seorang ahli matematika bangsa
Prancis. Distribusi poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel
random diskrit. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu
variabel random X(X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi
dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.
3. Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau
suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan
yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.
b. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang
singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang
interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada
banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah
tersebut.
c. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval
waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.
4. Contoh:
Peristiwa datangnya kendaraan yang lewat dalam suatu interval waktu di suatu
ruas jalan. Dari peristiwa tersebut, dapat diamati hal-hal berikut.
1) Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan dapat dihitung berdasarkan data
masa lalu.
2) Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan per satuan waktu adalah konstan.
3) Banyaknya kedatangan kendaraan dalam suatu interval waktu tertentu
merupakan peristiwa independen (bebas).
4) Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan itu dalam suatu interval waktu
adalah sangat kecil, dan dapat dikatakan mendekati nol.
5. Distribusi Poisson banyak digunakan dalam hal berikut.
a. Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi,
luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari:
1) banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat
selama 5 menit di suatu ruas jalan;
2) banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air;
3) banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku;
4) banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama bulan
Oktober.
b. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p < 0,1)
6. a. Rumus probabilitas Poisson suatu peristiwa
Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝜆 𝑥 𝑒−𝜆
𝑥!
Keterangan:
𝜆 = rata-rata terjadinya suatu peristiwa (𝜆 = 𝑛 × 𝑝)
𝑒 = bilangan alam = bilangan natural = bilangan euler = 2,71828
7. Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜆𝑡
𝜆𝑡 𝑥
𝑥!
Keterangan:
𝜆 = tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu
𝑡 = banyaknya satuan waktu
𝑥 = banyaknya kedatangan dalam 𝑡 satuan waktu
𝑒 = bilangan alam = 2,71828
8. Contoh soal:
1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5
buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson, berapa
probabilitas untuk penjualan berikut?
a. 0 lampu TL
b. 3 lampu TL
Penyelesaian:
𝜆 = 5; 𝑒−5
= 2,71828−5
= 0,00674
a. 0 lampu TL (𝑥 = 0)
𝑃 𝑋 = 0 =
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!
=
50
𝑒−5
0!
=
1(0,00674)
1
= 0,00674
b. 3 lampu TL (𝑥 = 3)
𝑃 𝑋 = 3 =
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!
=
53
𝑒−5
3!
=
125(0,00674)
6
= 0,14
9. 2. Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan
berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas,
seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka:
a. tidak terdapat salah cetak,
b. 4 kata yang salah cetak!
Penyelesaian:
𝑛 = 80; 𝑝 =
1
120
𝜆 = 𝑛 × 𝑝 = 80 ×
1
120
= 0,67
a. tidak terdapat salah cetak (𝑥 = 0)
𝑃 𝑋 = 0 =
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!
=
0,67 0
𝑒−0,67
0!
=
1 × (2,71828)−0,67
1
=
1 × 0,512
1
= 0,512
b. 4 kata yang salah cetak (𝑥 = 4)
𝑃 𝑋 = 4 =
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!
=
0,67 4
𝑒−0,67
4!
=
0,202 × (2,71828)−0,67
24
=
0,202 × 0,512
24
= 0,004
10. 3. Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien
sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson.
a. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?
b. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien sampai pada siang hari saja?
Penyelesaian:
𝑡 = 1; 𝜆 = 4; 𝑥 = 2
a. 2 pasien per hari (𝑥 = 2)
𝑃 𝑋 = 2 =
𝑒−𝜆𝑡
𝜆𝑡 𝑥
𝑥!
=
𝑒−4×1
4 × 1 2
2!
=
2,71828 −4
× 4 2
2
=
0,018 × 16
2
= 0,1465
b. 2 pasien sampai pada siang hari(𝑥 = 2) berarti 𝑡 =
12
24
=
1
2
𝑃 𝑋 = 2 =
𝑒−𝜆𝑡
𝜆𝑡 𝑥
𝑥!
=
𝑒−4×
1
2 4 ×
1
2
2
2!
=
2,71828 −2
× 2 2
2
=
0,135 × 4
2
= 0,271
11. b. Probabilitas distribusi Poisson kumulatif
Probabilitas Poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson
lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan
rumus:
𝑃𝑃𝐾 =
𝑥=0
𝑛
𝜆 𝑥 𝑒−𝜆
𝑥!
=
𝑥=0
𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑥)
= 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + … + 𝑃(𝑋 = 𝑛)
12. Contoh soal:
1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah.
Permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson.
a. Tentukan probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu!
b. Andaikan persediaan (stock) lampu sisa 3, berapa probabilitas permintaan lebih dari 3
lampu?
Penyelesaian:
𝜆 = 5; 𝑒−5
= 2,71828−5
= 0,00674
a. Paling banyak 2 lampu (𝑥 = 0, 1, 2)
𝑃 𝑋 = 0, 1, 2 =
𝑥=0
2
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 = 0,125
b. Permintaan lebih dari 3 lampu (𝑥 ≥ 3)
𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 −
𝑥=0
𝑛
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 = 0,735
13. 2. Suatu mesin diturunkan untuk diperbaiki rata-rata 2 kali sebulan. Penurunan mesin lebih
dari 4 kali menyebabkan rencana produksi tidak tercapai. Jika penurunan mesin
mengikuti proses Poisson, berapa probabilitas rencana produksi tidak tercapai?
Penyelesaian:
𝜆 = 2 𝑒−2 = 2,71828−2 = 0,135
𝑃 𝑋 ≥ 4 = 1 −
𝑥=0
𝑛
𝑃 𝑋 = 𝑥
= 1 − (𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4 )
= 1 − 0,947
= 0,053
15. Contoh soal:
Sebuah konveksi pakaian menggunakan 20 mesin jahit. Probabilitas sebuah mesin jahit
mengalami dan memerlukan perbaikan adalah 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin yang
akan mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan, gunakan pendekatan Poisson dan
binomial!
Penyelesaian:
a. Pendekatan Poisson
𝑛 = 20; 𝑝 = 0,02; 𝑥 = 3
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛𝑝 𝑥
× 𝑒−𝑛𝑝
𝑥!
𝑃 𝑋 = 3 =
20 × 0,02 3 × 2,71828 − 20×0,02
3!
=
0,4 3 × 2,71828 −0,4
6
=
0,064 × 0,67032
6
= 0,0072
17. Distribusi Poisson memiliki rata-rata (mean), varians, dan simpangan baku
sebagai berikut:
a. Rata-rata
𝐸 𝑋 = 𝜇 = 𝜆 = 𝑛 × 𝑝
b. Varians
𝐸 𝑋 − 𝜆 2
= 𝜎2
= 𝑛 × 𝑝
c. Simpangan baku
𝜎 = 𝜆 = 𝑛 × 𝑝
