Pêndulo simples júnior

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Pêndulo simples júnior

  1. 1. Pêndulo Simples Júnior – Lei do Isocronismo das Pequenas Oscilações Lei das Massas e das Substâncias – Lei dos Comprimentos. Engenharia Civil 1 N-E NGER120_003 - Física Experimental I Eldon Nery de Avelar 1301531-2 Elton Nery de Avelar 1301541-2 Márcio Fernando Vieiro 1304015-2 Fernando Freitas Azevedo 1301549-2 Edilson Gonzaga Pereira 1305857-2 UniCesumar – Centro Universitário de Maringá. Resumo: este relatório constitui o estudo do Movimento Oscilatório do Pêndulo Simples, que consiste em uma estrutura que segura um corpo através de um fio flexível, acoplado à um gancho, deixando o corpo se movimentar livremente sujeitando a massa do corpo à força da gravidade. a experiência descrita foi realizada em laboratório de física do Centro Universitário de Maringá – UniCesumar, sob orientação do Professor André Paixão, com o objetivo de interpretar o movimento do pêndulo simples, sua frequência (f), seu período (T) , fornecendo tabelas, gráficos e tirar conclusões sobre os fatores que influem no período de um pêndulo. Palavras-chave: pêndulo simples, movimento oscilatório, período, frequência. Introdução teórica Em Mecânica, um pêndulo simples é um instrumento ou uma montagem que consiste num objeto que oscila em torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos alternados em torno da posição central, chamada posição de equilíbrio. O pêndulo é muito utilizado em estudos da força peso e do movimento oscilatório. A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico). Derivada dessa grandeza existe a frequência (f), numericamente igual ao inverso do período e que, portanto se caracteriza pelo número de vezes (ciclos) que o objeto percorre a trajetória pendular num intervalo de tempo específico. A unidade da frequência no SI é o hertz, equivalente a um ciclo por segundo (1/s). O pêndulo simples consiste de um fio leve e inextensível de comprimento L, tendo na extremidade inferior, por exemplo, uma esfera de massa m; a extremidade superior é fixada em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente (resistência do ar desprezível), com amplitudes pequenas. Quando o pêndulo é deslocado de sua posição de equilíbrio, ele oscila sob a ação da força peso, apresentando um movimento periódico. Figura 1 - Representação esquemática de um pêndulo simples
  2. 2. Na Fig.1 temos os seguintes elementos: L é o comprimento do fio, θ é o ângulo formado entre a posição de equilíbrio e o ponto de máxima extensão, T é a força de tração na corda, P é a força peso, Px é a força restauradora e m é a massa do pêndulo. A componente tangencial do peso x P é a força restauradora do movimento oscilatório do pêndulo, cuja intensidade é dada por: Px = Psenθ=mgsenθ. Para ângulos pequenos (θ ≤ 15º ), temos que senθ ≈θ≈tgθ. O deslocamento x será ,então, aproximadamente igual ao comprimento do arco x = Lθ. Podemos fazer a aproximação da equação anterior por: Px= Pθ= mgx/L. O período T de um movimento oscilatório é definido por: T = 2π / ω, Sendo a frequência definida como ω =√g/L. Uma vez que a frequência angular é ω = 2 π / T, o período de oscilação do pêndulo é dado por: T= 2π√L/g O período de um pêndulo (T) é o tempo que ele leva para dar uma oscilação completa, ou seja, o tempo que leva para sair da sua posição inicial e voltar para a mesma posição. Para medir este tempo mede-se o tempo t que leva para dar um número determinado de oscilações, n: T = t / n A frequência é o número de oscilações, n, que o pêndulo executa em uma unidade de tempo, t. Para medir a frequência vamos medir o número de oscilações que daria em um determinado tempo, t: f = n / t Observando as expressões do período e da frequência, temos que o período é o inverso da frequência e vice-versa, sendo assim concluímos que: T = 1 / f e f = 1 / T Procedimento experimental Material necessário Para a realização do experimento foi necessário os seguintes materiais:  Pêndulo com fio flexível de comprimento variável (de 0 cm à 100 cm)  Três corpos com massas distintas  Trena  Balança (para distinção das massas dos corpos)  Régua graduada (para calculo do ângulo de lançamento do corpo)  Cronometro 1 2 3 6 4 5 Figuras 2 – Componentes para experimento pêndulo simples
  3. 3. Procedimento I. Construa o pêndulo fixando uma altura máxima para ele. Determine o comprimento L do fio II. Meça o peso m das massas. III. Desloque o pêndulo da posição de equilíbrio para uma amplitude de 10 cm e o abandone. IV. Anote os dados e faça análises e discuta os dados obtidos. Resultados e Discussões Após o abandono do pêndulo a 10 cm de amplitude de seu ponto de equilíbrio foi determinado o intervalo de tempo gasto para executar uma oscilação completa que foi de 1,10 s, Tornando a repetir por 6 (seis) vezes abandono aos mesmos 10cm de amplitude, obtivemos tempos de uma oscilação completa para cada tempo conforme mostra a tabela 1 a seguir. Tempo p/ 1(uma) Oscilação completa Ordem /repetições Tempo t(s) 01 0,97 02 0,95 03 1,00 04 0,94 05 0,98 06 1,10 Observa-se que os valores para os intervalos de tempo obtidos na tabela 1 são distintos a cada repetição para mesma 1(uma) oscilação completa do pêndulo, isso é devido ao erro de tempo de reação da que a pessoa tem ao cronometrar o instante de inicio e fim do movimento oscilatório. Elevando o número de oscilações de uma para 20 obtivemos o intervalo de tempo t = 22,3 s. Com esses dados podemos então calcular o tempo que o pêndulo levou para executar uma oscilação completa, chamado de Período e representado pela letra T, e a frequência representada pela letra f onde f = no oscilaçoes/tempo e T=1/f onde; No oscilações = 20 Tempo = 22,3 s Substituindo na fórmula temos que: f = 20/22,3 f = 0,90 Hz Substituindo o valor da frequência na formula do período temos que: T = 1/0,90 T = 1,11 s Deslocando agora o pêndulo sucessivamente de 5, 10, 15, 20,e 25 de sua posição de equilíbrio podemos determinar o tempo médio gasto em 5 (cinco) oscilações completas em cada caso. após a coleta dos dados para as 5 amplitudes distintas geramos a tabela 2 a seguir. Tempo deslocamentos distintos Deslocamento (cm) Rept.01 t(s) Rept.02 t(s) Rept.03 t(s) Rept.04 t(s) Rept.05 t(s) Tempo médio (s) 05 6,10 6,06 6,13 6,17 6,19 6,130 10 6,15 6,23 6,33 6,23 6,20 6,228 15 6,22 6,17 6,15 6,10 6,14 6,156 20 6,30 6,30 6,34 6,39 6,32 6,292 25 6,56 6,72 6,40 6,45 6,51 6,528 Tabela 1 – Tempos p/ 06 repetições Tabela 2 – tempo em deslocamentos distintos
  4. 4. Através dos dados coletados na tabela 2, usaremos os intervalos de tempo médio das 05 oscilações nos 05 deslocamentos distintos para montar a tabela 3 de período e frequência. A partir dos dados tabelados podemos esboçar o gráfico Período versus Amplitude deste pêndulo. Podemos observar que para oscilações de pequena amplitude, o período do pêndulo simples não depende da amplitude. Esse fato foi verificado experimentalmente por Galileu. Essa propriedade é conhecida como isocronismo do pêndulo. Período e frequência Deslocamento (cm) Tempo 5 oscilações Período (s) Frequência (Hz) 05 6,130 1,226 0,815 10 6,228 1,246 0,802 15 6,156 1,231 0,812 20 6,292 1,259 0,794 25 6,528 1,322 0,765 Tabela 3 – Período e frequência para deslocamentos distintos 0oscilações Período(s) Amplitude (cm)25201510050 1,0 2,0 1,226 1,231 1,246 1,259 1,322 Gráfico 1 – Período versus Amplitude
  5. 5. Também com os dados da tabela 3 podemos esboçar o gráfico da frequência versus a Amplitude deste pêndulo. Observando os gráficos acima podemos observar que o período é o inverso da frequência e vice-versa, conforme podemos analisar em suas fórmulas onde T = 1 / f e f = 1 / T. Foi verificado o comportamento do período e da frequência de um pêndulo simples, mantendo o comprimento L do fio e variando as massas oscilantes com a média de 05 oscilações para cada massa. Os dados coletados fornecemos a tabela 4 abaixo. Podemos observar que o período e a frequência do pêndulo simples não depende da variação da massa oscilante. Mantendo a massa m e variando agora o comprimento L do fio inextensível do pêndulo com a média de 05 (cinco) oscilações, coletando os dados podemos calcular e analisar o comportamento do período e a frequência do movimento oscilatório, conforme mostra a tabela 5 a seguir. Variação de massa m Massa (g) Tempo médio Período (s) Frequência (Hz) ±50 5,80 1,160 0,862 ±100 5,88 1,176 0,850 ±150 5,97 1,194 0,837 Frequência(Hz) Amplitude (cm)25201510050 1,0 0,765 0,794 0,802 0,812 0,815 Gráfico 2– Frequência versus Amplitude Tabela 4– variação de massa
  6. 6. A partir dos dados tabelados esboçamos e analisamos o gráfico Período versus Comprimento do pêndulo, mostrado a seguir. O período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar o período T de um pêndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado. Variação do comprimento do fio L Comprimento (cm) Tempo médio Período (s) Frequência (Hz) 35 6,35 1,270 0,787 30 5,78 1,156 0,865 20 5,03 1,006 0,994 15 4,28 0,856 1,168 Tabela 5– variação do comprimento Comprimento (cm) Período(s) 353020150 1,000 0,856 1,006 1,156 1,270 Gráfico 3– Período versus Comprimento
  7. 7. Sabendo que e T = 1 / f observamos que se aumentarmos o comprimento L do pendo a frequência diminui uma vez que ela é inversamente proporcional ao período T O cálculo do Período de um pêndulo simples em função do seu comprimento L e da aceleração gravitacional g, é dada pela seguinte fórmula matemática: T= 2π√L/g Conclusão Os dados do experimento nos levaram a resultados bem próximos do real, comprovando assim as Leis do Pêndulo Simples: Lei do isocronismo: As oscilações de pequena amplitude são isócronas (têm mesma duração); Lei da massa e da substância: O período é independente da massa e da substância de que é constituída a partícula oscilante; Lei do comprimento: O período é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento do pêndulo. Na linearização das grandezas físicas e na construção dos gráficos encontra-se erro, pois o experimento não foi feito sobre condições controladas, podendo ser influenciado pelos erros de leitura das medidas, leitura de tempo, assim como as aproximações nos cálculos. Erro nos cálculos deve-se a fatores que podem ter comprometido a exatidão do resultado da experiência como:  A percepção visual na hora de definir o valor do comprimento do fio do pêndulo.  A habilidade psicomotora de cada integrante do grupo para soltar o bloco metálico da mesma altura.  O paralelismo do fio que provavelmente não foi mantido, uma vez que ele não deveria oscilar pros lados. Bibliografia: 1. http://www.fisica.ucb.br 2. http://www.fisica.ufs.br 3. http://fisicomaluco.com/experimentos/category/determinar-a-gravidade-local-utilizando-pendulo-simples/ 4. HALLIDAY, D. RESNICK, R. e KRANE, K.S. Física 2. Rio de Janeiro, LTC, 1996.

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