Professor Ivan Zecchin 1
SUMÁRIO
1ª PARTE:...................................................................................
2 Professor Ivan Zecchin
Professor Ivan Zecchin 3
CONTEÚDO – 8 ENTRADAS
Números Inteiros
Múltiplos
Divisores
MMC e MDC
Números Racionais e Reais
Op...
4 Professor Ivan Zecchin
Onde Q é o conjunto dos números racionais.
Concluímos que:
a) Todo inteiro é racional (racional c...
Professor Ivan Zecchin
Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo,
teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja,
[4, 7] = {x...
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Calcular:
a) 132 + 34
b) 3
c) 234
d)
Propriedades da Adição
um número inteiro;
em Z.
Subtração de Números Inteiros
Subtr...
Professor Ivan Zecchin 7
Expressões Numéricas
Calcular:
a) 4 . (– 2) + 5 . (+ 3) – (– 7)
b) 14 – 2 . (– 6) + (– 4) . (+ 6)...
8 Professor Ivan Zecchin
Observe que todas as divisões não apresentam
restos nulos e na última, o quociente ficou menor
(p...
Professor Ivan Zecchin 9
2) Considere todos os múltiplos comuns de 18 e
24. O menor desses múltiplos que supera 500 é:
a) ...
10 Professor Ivan Zecchin
Multiplicação de Números Fracionários
- Numerador vezes numerador e denominador
vezes denominado...
Professor Ivan Zecchin 11
Multiplicação de Decimais
- Faz-se a multiplicação como se existissem as
vírgulas.
- O resultado...
12 Professor Ivan Zecchin
Como não há próxima casa para baixar,
acrescente um zero no resto e coloque vírgula no
quociente...
Professor Ivan Zecchin 13
1916300 / 2625
7880 730,0
5000
5000 por 2625 dá 1 e sobra 2375
1916300 / 2625
7880 730,01...
500...
14 Professor Ivan Zecchin
5. A jornada do soldado Saldanha é de 12 horas
de trabalho por 24 horas de folga e a de seu
sobr...
Professor Ivan Zecchin 15
11. (FCC) Para participar de um programa de
treinamento, todos os funcionários de uma
empresa se...
16
3ª PARTE:
Razões, Proporções e Regra de três.
O quociente entre dois números quaisquer, não
necessariamente inteiros, c...
Professor Ivan Zecchin 17
onde a e d são chamadas extremos e b e c são
chamados meios.
Exemplo:
A razão de 15 para 45 é , ...
18 Professor Ivan Zecchin
Resolução pelo raciocínio:
Na razão dada, 5 e 7 representam as idades.
Como sua soma é 12 e a so...
Professor Ivan Zecchin 19
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Para se dividir um certo valor em partes
proporcionais (ou em pa...
20 Professor Ivan Zecchin
Resolução:
O lucro é proporcional ao capital investido (assim
como prejuízo!)
assim:
então:
Resp...
Professor Ivan Zecchin 21
Questão Resolvida
No departamento de expedições de uma
empresa, 3 funcionários resolvem dividir ...
22 Professor Ivan Zecchin
2. Dois negociantes constituíram uma sociedade
com um capital de R$ 800.000,00, com o que
lucrar...
Professor Ivan Zecchin 23
2) Velocidade de um carro e o tempo gasto em
uma viagem.
mais velocidade, menos tempo
(proporcio...
24 Professor Ivan Zecchin
TESTES -1 (“C” OU “E”)
Uma empresa resolve distribuir um prêmio, em
dinheiro, entre seus 4 vende...
Professor Ivan Zecchin
4.
pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento
de processos. Eles decidiram dividir os pedidos
en...
26 Professor Ivan Zecchin
REGRAS DE TRÊS SIMPLES
As regras de três se constituem em um conjunto
de procedimentos para a mo...
Professor Ivan Zecchin 27
Consideração
Na grandeza competência estabelecemos “1” para
o primeiro grupo e, consequentemente...
28 Professor Ivan Zecchin
Regra de três....
1h.................................................................59/120
x......
Professor Ivan Zecchin 29
2. Uma granja possui 360 aves e cada uma
recebe, diariamente, a mesma quantidade de
ração. Nesse...
30 Professor Ivan Zecchin
7. Uma obra será executada por 14 operários (de
mesma capacidade de trabalho) trabalhando
durant...
Professor Ivan Zecchin 31
9. Uma pessoa resolve 30 questões de
Matemática em 4 horas. Outra pessoa resolveria o
mesmo n°em...
32
Exemplos:
a)
b)
c)
A conversão da taxa de uma forma para outra
deve ser imediata e não
problema, por isso o domínio des...
Professor Ivan Zecchin 33
PROPRIEDADE: PORCENTAGENS DE
UM MESMO NÚMERO
No estudo e na utilização da porcentagem, um
detalh...
34 Professor Ivan Zecchin
Resolução:
Há uma fórmula para os reajustes sucessivos, que
acumulam uma taxa total ( iacumulada...
Professor Ivan Zecchin 35
4. De todos os empregados de uma grande
empresa, 3% optaram por realizar um curso de
especializa...
36 Professor Ivan Zecchin
6. Suponha que em 2007 as mensalidades de
dois planos de saúde tinham valores iguais e que
nos t...
Professor Ivan Zecchin 37
I – O valor do IPVA desse veículo é de R$
375,00
II – Se o proprietário do veículo optar pelo
pa...
38 Professor Ivan Zecchin
07. (INSS) A falta de informações dos micros e
pequenos empresários ainda é o principal motivo
p...
Professor Ivan Zecchin 39
10. (FCC) Um comerciante comprou de um
agricultor um lote de 15 sacas de arroz, cada qual
com 60...
40 Professor Ivan Zecchin
15. (CESGRANRIO) Devido ao calor, o consumo
de energia de certa residência vem aumentando
10% ao...
Professor Ivan Zecchin
onde:
-
-
-
(constante)
Fórmula do Termo Geral em função de um termo
qualquer
Particularmente: a
Ma...
42 Professor Ivan Zecchin
EXERCÍCIOS PROPOSTOS / TESTES - PA
1. Seja A o conjunto dos 1993 primeiro números
inteiros estri...
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  1. 1. Professor Ivan Zecchin 1 SUMÁRIO 1ª PARTE:................................................................................................................................................. Números Inteiros................................................................................................................................... Múltiplos................................................................................................................................................ Divisores............................................................................................................................................... MMC e MDC......................................................................................................................................... 03 03 07 07 08 2ª PARTE: ................................................................................................................................................ Números Racionais e Reais................................................................................................................. Operações com frações, decimais e radicais....................................................................................... 09 09 09 3ª PARTE:................................................................................................................................................. Razões, Proporções e Regra de três.................................................................................................... 16 16 4ª PARTE:................................................................................................................................................. Porcentagem e taxas............................................................................................................................ 31 31 5ª PARTE:................................................................................................................................................. Sequências............................................................................................................................................ 40 40
  2. 2. 2 Professor Ivan Zecchin
  3. 3. Professor Ivan Zecchin 3 CONTEÚDO – 8 ENTRADAS Números Inteiros Múltiplos Divisores MMC e MDC Números Racionais e Reais Operações com frações e decimais. Razões, Proporções e Regra de três. Porcentagem e taxas. Sequências 1ª PARTE: Números Inteiros Múltiplos Divisores MMC e MDC NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS; PROBLEMAS DE CONTAGEM Naturais Chama-se conjunto dos naturais o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, … É indicado por N. Em N são definidas duas operações: adição e multiplicação. Outros conjuntos que serão apresentados são ampliações dos naturais e foram surgindo devido às “dificuldades” de se trabalhar em N. Inteiros Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto formado pelos números ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, É indicado por Z Reforçando o que foi comentado nos naturais, notem que o conjunto dos números inteiros veio sanar a dificuldade que tínhamos em relação à subtração em N. Os números inteiros podem ser apresentados graficamente através de uma rua, estabelecendo- se um sentido positivo, um ponto de origem O, que representa o inteiro zero, e adotando-se um segmento unitário cuja extremidade representará o número 1. Para cada inteiro positivo, marcamos um segmento no sentido positivo, cuja extremidade representará o inteiro mencionado, da mesma forma para os negativos, no sentido contrário. Observem que não é possível definir nos conjuntos anteriores a operação de divisão, dando significado à expressão , onde p e q são inteiros e q ≠ 0. O conjunto dos racionais vem superar esta dificuldade. Chama-se, então, números racionais a todo número do tipo , onde p, q ЄZ e q ≠0. Então: Q = {x | x = , p, q Є Z e q ≠ 0} q p q p q p CURSO EXTENSIVO DE MATEMÁTICA MAIO/JUNHO-2012
  4. 4. 4 Professor Ivan Zecchin Onde Q é o conjunto dos números racionais. Concluímos que: a) Todo inteiro é racional (racional com denominador unitário). b) Um número decimal exato é racional. Exemplos: c) Toda dízima periódica (número decimal não exato, mas periódico) é racional. Exemplos: REAIS Existem certos números que não se “encaixam” no conjunto anterior (Racionais). Exemplos: Não são decimais exatos, não são periódicos, portanto, não são racionais; são irracionais. O conjunto de todos os tipos de números definidos até agora, racionais ou irracionais, representa o conjunto dos números reais (R). Notações: Importante: N C Z C Q C R onde: N = conjunto dos naturais Z = conjunto dos inteiros Q = conjunto dos racionais R = conjunto dos reais INTERVALOS Introdução Vimos anteriormente que é possível representar graficamente os números inteiros (pontos de uma reta). O mesmo ocorre com os números racionais e irracionais. No entanto, esses conjuntos (racionais, irracionais e inteiros), isoladamente, não preenchem completamente a reta. Quando, no entanto, colocamos sobre a reta a união desses três conjuntos, a reta fica totalmente tomada por esses pontos; esta reta, que representa R, é chamada de reta real. Intervalos São subconjuntos dos números reais, determinados por desigualdades. Na reta real, os números compreendidos entre 4 e 7, incluindo 4 e 7, constituem o intervalo fechado [4, 7], ou seja, [4, 7] = {x ЄR | 4 ≤x≤ 7). Na reta real teríamos: 7182,2 ...141592,3 ...7320508,13 = = = e π }0{* −= RR }0|{ ≥∈=+ xRxR }0|{ * >∈=+ xRxR }0|{ ≤∈=− xRxR }0|{ * >∈=− xRxR 20 1 05,0; 100 37 37,0; 2 1 5,0 === 99 23 ...232323,0; 3 1 ...333,0 ==
  5. 5. Professor Ivan Zecchin Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo, teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja, [4, 7] = {x Na reta: No caso de encontrarmos [4, 7], seria direita e aberto à esquerda gráfica: Outras situações importantes: [- ∞ por: [3, Módulo de um Número Inteiro É à distância ou afastamento desse número até o zero, na reta O módulo de + 8 é 8 e indica O módulo de Números Inteiros Opostos ou Simétricos É o número que possui o mesmo módulo, mas sinal diferente. O oposto de 6 é | 6 | = | O oposto de |- Professor Ivan Zecchin Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo, teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja, [4, 7] = {x ЄR | 4 < x < 7). Na reta: No caso de encontrarmos [4, 7], seria direita e aberto à esquerda gráfica: Outras situações importantes: ∞, 2]= {x ЄR | x < 2}, que podemos representar por: [3, ∞[ = {x ЄR | x >3} Módulo de um Número Inteiro É à distância ou afastamento desse número até o zero, na reta inteira, se representa por | | O módulo de + 8 é 8 e indica O módulo de Números Inteiros Opostos ou Simétricos É o número que possui o mesmo módulo, mas sinal diferente. O oposto de 6 é | 6 | = |- 6| = 6 O oposto de – 9| = | 9 | = 9 Professor Ivan Zecchin Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo, teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja, ЄR | 4 < x < 7). No caso de encontrarmos [4, 7], seria direita e aberto à esquerda Outras situações importantes: ЄR | x < 2}, que podemos representar ЄR | x >3} NÚMEROS INTEIROS Módulo de um Número Inteiro É à distância ou afastamento desse número até o inteira, se representa por | | O módulo de + 8 é 8 e indica O módulo de - 3 é 3 e indica Números Inteiros Opostos ou Simétricos É o número que possui o mesmo módulo, mas sinal diferente. O oposto de 6 é – 6, ou seja 6| = 6 – 9 é 9, ou seja, 9| = | 9 | = 9 Professor Ivan Zecchin Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo, teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja, No caso de encontrarmos [4, 7], seria direita e aberto à esquerda e teria a representação Outras situações importantes: R | x < 2}, que podemos representar NÚMEROS INTEIROS Módulo de um Número Inteiro É à distância ou afastamento desse número até o inteira, se representa por | | O módulo de + 8 é 8 e indica-se por |+ 8| = 8 3 é 3 e indica-se por | Números Inteiros Opostos ou Simétricos É o número que possui o mesmo módulo, mas 6, ou seja, 9 é 9, ou seja, Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo, teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja, No caso de encontrarmos [4, 7], seria fechado à teria a representação R | x < 2}, que podemos representar É à distância ou afastamento desse número até o inteira, se representa por | | se por |+ 8| = 8 se por |- 3| = 3 Números Inteiros Opostos ou Simétricos É o número que possui o mesmo módulo, mas Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo, fechado à teria a representação R | x < 2}, que podemos representar É à distância ou afastamento desse número até o É o número que possui o mesmo módulo, mas Comparação de Números Inteiros Comparação de números no conjunto dos Números Inteiros (Z) pode ser representado por uma reta: Ao compararmos dois números inteiros, o maior será semp + 7 > + 3 + 5 > 0 - Adição de Números Inteiros Adição de Três ou mais Números Inteiros Consideremos os seguintes casos: 1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário. Se durante o dia ele deu um c e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu saldo no final do dia? 2º) (+ 4) + ( Somar as quantidades positivas Somar as quantidades negativas Somar os resultados obtidos Comparação de Números Inteiros Comparação de números no conjunto dos Números Inteiros (Z) pode ser representado por uma reta: Ao compararmos dois números inteiros, o maior será sempre o que estiver mais a direita na reta. + 7 > + 3 + 5 > 0 - 2 > - 6 Adição de Números Inteiros Adição de Três ou mais Números Inteiros Consideremos os seguintes casos: 1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário. Se durante o dia ele deu um c e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu saldo no final do dia? 2º) (+ 4) + (- 3) + ( Somar as quantidades positivas (+ 4) + (+ 8) = + 12 Somar as quantidades negativas (- 3) + (- Somar os resultados obtidos (+ 12) + ( Comparação de Números Inteiros Comparação de números no conjunto dos Números Inteiros (Z) pode ser representado por Ao compararmos dois números inteiros, o maior re o que estiver mais a direita na reta. Adição de Números Inteiros Adição de Três ou mais Números Inteiros Consideremos os seguintes casos: 1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário. Se durante o dia ele deu um c e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu saldo no final do dia? 3) + (- 5) + (+ 8) Somar as quantidades positivas (+ 4) + (+ 8) = + 12 Somar as quantidades negativas 5) = - 8 Somar os resultados obtidos (+ 12) + (- 8) = + 4 Comparação de Números Inteiros Comparação de números no conjunto dos Números Inteiros (Z) pode ser representado por Ao compararmos dois números inteiros, o maior re o que estiver mais a direita na reta. Adição de Números Inteiros Adição de Três ou mais Números Inteiros Consideremos os seguintes casos: 1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário. Se durante o dia ele deu um cheque de R$ 500,00 e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu 5) + (+ 8) Somar as quantidades positivas Somar as quantidades negativas Somar os resultados obtidos Comparação de números no conjunto dos Números Inteiros (Z) pode ser representado por Ao compararmos dois números inteiros, o maior re o que estiver mais a direita na reta. Adição de Três ou mais Números Inteiros 1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário. heque de R$ 500,00 e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu 5 Comparação de números no conjunto dos Números Inteiros (Z) pode ser representado por Ao compararmos dois números inteiros, o maior re o que estiver mais a direita na reta. 1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário. heque de R$ 500,00 e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu
  6. 6. 6 Calcular: a) 132 + 34 b) 3 c) 234 d) Propriedades da Adição um número inteiro; em Z. Subtração de Números Inteiros Subtrai ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”. (+ 6) (+ Adição Algébrica Toda expressão numérica que contém adição e subtração representa uma adição algébrica. – 6 + 45 + 6 + ( – 4 Calcular: (Adição/Subtração) Resolva primeiro o que está dentro dos parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois chaves( { } ). a) 34 + [ b) 4 Calcular: a) 132 + 34 – b) 3 – 56 + 75 c) 234 – 78 + 67 d) – 31 – 67 – Propriedades da Adição A adição de dois números inteiros é sempre um número inteiro; A adição de dois números inteiros é cumulativa; A adição de três números inteiros é associativa; O número 0 (zero) é elemento neutro da adição em Z. Subtração de Números Inteiros Subtrair dois números inteiros “a” e “b” nessa ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”. (+ 6) – (+ 5) = (+ 6) + ( (+ 4) – (- 2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6 Adição Algébrica Toda expressão numérica que contém adição e subtração representa uma adição algébrica. 6 + 45 – 67 + 34 = + 6 + 6 + (– 6 + 5) = + 6 4 – (– 2 + 6 Calcular: (Adição/Subtração) Resolva primeiro o que está dentro dos parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois chaves( { } ). a) 34 + [– 4 + ( b) 4 – {5 – [– 4 + (+ 4 78 + 5 56 + 75 78 + 67 – 45 56 + 45 Propriedades da Adição A adição de dois números inteiros é sempre um número inteiro; A adição de dois números inteiros é cumulativa; A adição de três números inteiros é associativa; O número 0 (zero) é elemento neutro da adição Subtração de Números Inteiros r dois números inteiros “a” e “b” nessa ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”. (+ 5) = (+ 6) + (- 2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6 Adição Algébrica Toda expressão numérica que contém adição e subtração representa uma adição algébrica. 67 + 34 = + 6 6 + 5) = + 6 – 6 + 5 = + 5 2 + 6 – 4) = – 4 + 2 Calcular: (Adição/Subtração) Resolva primeiro o que está dentro dos parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois 4 + (– 5 + 4) – 2] 4 + (+ 4 – 5)] + 8} A adição de dois números inteiros é sempre A adição de dois números inteiros é cumulativa; A adição de três números inteiros é associativa; O número 0 (zero) é elemento neutro da adição Subtração de Números Inteiros r dois números inteiros “a” e “b” nessa ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”. 5) = + 1 2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6 Toda expressão numérica que contém adição e subtração representa uma adição algébrica. 6 + 5 = + 5 4 + 2 – 6 + 4 = Calcular: (Adição/Subtração) Resolva primeiro o que está dentro dos parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois 2] 5)] + 8} A adição de dois números inteiros é sempre A adição de dois números inteiros é cumulativa; A adição de três números inteiros é associativa; O número 0 (zero) é elemento neutro da adição r dois números inteiros “a” e “b” nessa ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”. Toda expressão numérica que contém adição e subtração representa uma adição algébrica. 6 + 4 = – 4 Resolva primeiro o que está dentro dos parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois A adição de dois números inteiros é sempre A adição de dois números inteiros é cumulativa; A adição de três números inteiros é associativa; O número 0 (zero) é elemento neutro da adição r dois números inteiros “a” e “b” nessa Toda expressão numérica que contém adição e Resolva primeiro o que está dentro dos parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois c) (5 + 5) d) ( e) (5 + 4 a. 27 b. 2 c. 13 d. Multiplicação de Números Inteiros Sinais iguais, o produto é positivo (+ 3) . (+ 4) = + 12 ( Sinais diferentes, o produto é negativo (– (+ 5) . ( Multiplicação com mais de dois fatores (+ 6) . (+ 2) . ( (– Propriedades da Mu sempre um número inteiro; cumulativa; associativa; multiplicaçã Calcular: (Multiplicação de inteiros) a) ( b) (+ 7) . ( c) 12 . ( d) a. 64 b. c) (5 + 5) – (4 d) (– 4 + 3) + (4 e) (5 + 4 – 3) a. 27 b. 2 c. 13 d. Multiplicação de Números Inteiros Sinais iguais, o produto é positivo (+ 3) . (+ 4) = + 12 (– 5) . (– 6) = + 30 Sinais diferentes, o produto é negativo – 2) . (+ 8) à (+ 5) . (– 4) = Multiplicação com mais de dois fatores (+ 6) . (+ 2) . ( – 2) . (+ 3) . ( Propriedades da Mu A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro; A multiplicação de dois números inteiros é cumulativa; A multiplicação de três números inteiros é associativa; O número “+ 1” é elemento neutro da multiplicação de números inteiros. Calcular: (Multiplicação de inteiros) a) (– 4) . (– 2) . (+ 8) b) (+ 7) . (– 2) . (+ 4) c) 12 . (– 4) . (+ 2) d) – 54 . (– 2) . (+ 12) a. 64 b. -56 c. (4 – 6) + (– 3 + 4) 4 + 3) + (4 – 8) – (– 3) – (– 9 – 23 + 16) a. 27 b. 2 c. 13 d. -3 e. 16 Multiplicação de Números Inteiros Sinais iguais, o produto é positivo (+ 3) . (+ 4) = + 12 6) = + 30 Sinais diferentes, o produto é negativo 2) . (+ 8) à – (+ 2) . (+ 8) = 4) = – 20 Multiplicação com mais de dois fatores (+ 6) . (+ 2) . (– 3) = – 36 2) . (+ 3) . (– 4) = + 24 Propriedades da Multiplicação A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro; A multiplicação de dois números inteiros é A multiplicação de três números inteiros é O número “+ 1” é elemento neutro da o de números inteiros. Calcular: (Multiplicação de inteiros) 2) . (+ 8) 2) . (+ 4) 4) . (+ 2) 2) . (+ 12) 56 c. -96 d. 1296 Professor Ivan Zecchin 3 + 4) – 5 + 6 – 3) 23 + 16) – 6 3 e. 16 Multiplicação de Números Inteiros Sinais iguais, o produto é positivo Sinais diferentes, o produto é negativo (+ 2) . (+ 8) = – (+ 16) = Multiplicação com mais de dois fatores 36 4) = + 24 ltiplicação A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro; A multiplicação de dois números inteiros é A multiplicação de três números inteiros é O número “+ 1” é elemento neutro da o de números inteiros. Calcular: (Multiplicação de inteiros) 96 d. 1296 Professor Ivan Zecchin Sinais diferentes, o produto é negativo (+ 16) = – 16 Multiplicação com mais de dois fatores A multiplicação de dois números inteiros é A multiplicação de dois números inteiros é A multiplicação de três números inteiros é O número “+ 1” é elemento neutro da Professor Ivan Zecchin A multiplicação de dois números inteiros é A multiplicação de dois números inteiros é A multiplicação de três números inteiros é O número “+ 1” é elemento neutro da
  7. 7. Professor Ivan Zecchin 7 Expressões Numéricas Calcular: a) 4 . (– 2) + 5 . (+ 3) – (– 7) b) 14 – 2 . (– 6) + (– 4) . (+ 6) c) Dada a expressão 4a – 3b, determine o seu valor para a = – 2 e b = – 4. d) Sendo x = – 6, qual é o valor numérico da expressão 2x + 50? e) Determine o valor numérico da expressão 2x – 2xy – 6y, quando x = 8 e y = – 3. a. 14 b. 2 c. 4 d. 38 e. 82 Divisão de Números Inteiros Sinais iguais , o quociente é positivo (+ 4) : (+ 2) = + 2 (– 10) : (– 2) = + 5 Sinais diferentes, o quociente é negativo. (– 12) : (+ 2) = – (+ 12) . (+ 2) = – (+ 6) = – 6 (+ 16) : (– 4) = – 4 Expressões Numéricas Simples Calcular: a) 16 – (– 14) : 2 b) 100 – (+ 48) : 4 c) (– 32) : 4 + 6 a. 23 b. 88 c. -2 MÚLTIPLOS E DIVISORES 1.1. Múltiplos Sejam a, b e c números inteiros. Então: Se a = b . c ↓ a é múltiplo de b a é múltiplo de c 1.2. Divisor (em Z) Se a = b . c então b é divisor de a c é divisor de a 1.3. Decomposição de um número Utilizamos o dispositivo prático da seguinte forma: 60 = 22 . 3 . 5 (forma fatorada) 1.4. Divisores de um número 1. em IN Os divisores (IN) de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 Em Z, os divisores de 60 são: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20, -30 e -60, mais os divisores Naturais. 1.5. Números Primos Em IN para que um número seja primo só pode apresentar como divisores a unidade e ele próprio (2 divisores). Portanto, são primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... 1. Reconhecimento de um número primo. 31 é primo?
  8. 8. 8 Professor Ivan Zecchin Observe que todas as divisões não apresentam restos nulos e na última, o quociente ficou menor (pode ser igual) que o divisor, portanto, 31 é primo. Outro exemplo: 33 é primo? Como a 2ª divisão apresenta resto nulo, 33 não é primo. 1.6. Máximo Divisor Comum (MDC) O MDC de dois ou mais números é o produto dos fatores primos comuns, elevando-se cada um dos fatores ao menor expoente. 1.7. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Tomamos como MMC de dois ou mais números o produto dos fatores comuns e não comuns com o maior dentre seus expoentes. Obs.: Propriedade: 1) Dados os números 60 e 45, temos que o seu MDC e MMC, serão: MDC (45, 60) = 3 . 5 = 15 MMC (45, 60) = 32 . 22 . 5 = 180 Observe a validade da propriedade acima 15 . 180 = 60 . 45 Questões Resolvidas: 1) A editora do livro COMO SER APROVADO NO CONCURSO PÚBLICO recebeu os seguintes pedidos, de três livrarias: Livrarias Número de exemplares A 1800 B 2250 C 3150 A editora deseja remeter os três pedidos, em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível. O valor de n é: a) 14 b) 12 c) 15 d) 18 e) 16 RESOL.: O número de livros em cada pacote deve ser o mesmo, então deverá ser um DIVISOR de 1800, 2250 e 3150. Como ele deseja o menor número possível de pacotes, então o nº de livros por pacote deverá ser o MAIOR possível. Juntando as duas idéias acima, temos que o nº e livros por pacote deve ser o MAIOR DIVISOR COMUM das 3 quantidades. MDC (1800, 2250, 3150) = 450 Logo, irão 450 livros por pacote. Mas, ele pede o nº de pacotes, daí... livraria A.................1800/450 = 4 livraria B.................2250/450 = 5 livraria C.................3150/450 = 7 TOTAL de pacotes .......................................... 16
  9. 9. Professor Ivan Zecchin 9 2) Considere todos os múltiplos comuns de 18 e 24. O menor desses múltiplos que supera 500 é: a) 504 b) 518 c) 572 d) 524 Resolução: O menor múltiplo comum de 18 e 24 [ mmc(18,24)] é: 18, 24 | 2 9 12 | 2 9 6 | 2 9 3 | 3 3 1 | 3 1 1.................MMC = 2.2.2.3.3 = 72 Os próximos múltiplos comuns serão obtidos somando-se 72 Múltiplos comuns de 18 e 24: 72....144...216....288....360....432....504...... O menor deles, acima de 500 é o 504. 2ª PARTE: Números Racionais e Reais Operações com frações, decimais e radicais. NÚMEROS RACIONAIS Adição e Subtração Algébrica de Números Fracionários: - Somente podemos somar ou subtrair frações de MESMO DENOMINADOR - Caso não tenham mesmo denominador devemos escrevê-las com denominadores iguais; -- Acha-se o MMC -- Divide-se o MMC pelo denominador e multiplica- se pelo numerador, de cada fração. Ex: 3/8 + 1/12 = ? O MMC de 8 e 12 é 24. 24 : 8 = 3.....3 x 3 = 9 ( novo numerador da 1ª fração ) 24 : 12 = 2....2 x 1 = 2 ( novo numerador da 2ª fração ) Fica, então......9/24 + 2/24 = 11/24 ( Resposta ) Calcular: a) b) c) d) 0,27 – 1,46 e) + + 1,19 f) g) 4 7 6 4 +− 4,0 5 2 +− 3 8 7 +− 46,127,0 − 4 2 5 3 1,0 −− 5 1 4 3 6 4 −+− 2 1 6 5 14 +−
  10. 10. 10 Professor Ivan Zecchin Multiplicação de Números Fracionários - Numerador vezes numerador e denominador vezes denominador, simplificando antes, sempre que possível, qualquer numerador com qualquer denominador, pelo mesmo número. Ex: 3/8 x 12/5 = ? - observe que 8 e 12 são divisíveis por 4, ficando 2 e 3, respectivamente. Fica, então......3/2 x 3/5 = 9/10 ( Resposta ) a) b) c) d) (+ 2,5) . (– 4,7) e) f) g) Divisão de Números Fracionários - Conserva-se a 1ª fração e Multiplica-se pelo inverso da 2ª fração. - Procede-se, a seguir, como no tópico anterior. Ex.......5/12 : 1/3 = ? 5/12 x 3/1 = 5/4 x 1/1 = 5/4 a) b) (– 8,25) : (– 3,5) c) d) e) Simplificação de Frações Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo número e obter termos menores que os iniciais. Adição e Subtração de números DECIMAIS. - Coloca-se vírgula debaixo de vírgula e iguale o número de casas acrescentando-se zeros e opera-se “normalmente”. Ex........31,256 + 4, 48 = ? 31, 256 + 04, 480 ---------------------- 35, 736 Calcular; a) 2, 3 + 13, 21 b) 4, 58 – 12, 2 c) 500,008 – 19,0006 d) 0, 234 + 80,3 – 100 Respostas: a) 15,51 b) – 7,62 c) 481,0074 d) – 19,466 2 1 4: 8 4 =      −     + 6 4 : 4 3 2 8 4 6 −      ++ 4 2 :)5,2(      −     + 6 4 : 4 3     +    −− 18 4. 6 2 ).8(     −−    + 2 3)6.(5 4     −    +−+    − 4 3. 7 8)1,3.(2 3 )4,0.(3 6 +    +      −     − 5 3 . 2 8      −     + 7 8 . 4 3
  11. 11. Professor Ivan Zecchin 11 Multiplicação de Decimais - Faz-se a multiplicação como se existissem as vírgulas. - O resultado terá tantas casas decimais quantas forem as casas decimais dos números. Ex....... 2,32 x 12,9 = ? (observe que há um total de 3 casas decimais) 232 x 129 = 29928 Coloca-se a vírgula, com as 3 casas decimais.......29,928 Calcular: a) 12,5 x 32,8 b) 0,345 x 86,3 c) 35,35 x 45,4 d) 6,999 x 1,56 Respostas: a) 410 b) 29,7735 c) 1604,89 d) 10,91844 Divisão de Decimais - Iguala-se o nº de casas decimais dos dois números, acrescentando-se zeros onde houver menos casas e.....vamos a exemplos ! 13483,29 / 3,1836 Divisão de decimais: 1ª passo: iguale o número de casas decimais (casas à direita da vírgula) colocando zeros do lado que tiver menos casas. 13483,2900 / 3,1836 2ª passo: Elimine as vírgulas 134.832.900 / 31.836 3ª passo: Faça a conta "normalmente" 134.832 dá para dividir por 31.836......dá 4........sobra 7488 134.832.900 / 31.836 7488 4 Abaixe o próximo número (9) 134.832.900 / 31.836 74889 4 Continue a divisão..........dá 2 e sobra..11217 134.832.900 / 31.836 74889 42 11217 Abaixe a próxima casa ( 0 ) 134.832.900 / 31.836 74889 42 112170 Continue.......dá 3 e sobra...16662 134.832.900 / 31.836 74889 423 112170 16662 Abaixe a próxima casa ( 0 ) 134.832.900 / 31.836 74889 4235 112170 166620 Continue.....dá 5 e sobra...7740 134.832.900 / 31.836 74889 4235 112170 166620 7740
  12. 12. 12 Professor Ivan Zecchin Como não há próxima casa para baixar, acrescente um zero no resto e coloque vírgula no quociente. 134.832.900 / 31.836 74889 4235, 112170 166620 74400 Continue.....dá 2 e sobra...10728 134.832.900 / 31.836 74889 4235, 2 112170 166620 74400 10728 Continue, acrescente 0 no resto (depois de colocada a vírgula, acrescenta-se UM zero em cada resto. Se não for suficiente, acrescente um segundo zero, mas a partir desse, coloca-se zero no quociente também ). Dá 3 e sobra 11772... 134.832.900 / 31.836 74889 4235, 23 112170 166620 74400 107280 11772 Etc..etc...etc......até o resto dar zero ou...... perceber que o resultado será uma DÍZIMA OUTRA “CONTA” Divisão 1916300 / 2625 1º passo: iguale o n[úmero de casas decimais (casas à direita da vírgula) colocando "zeros" do lado que tiver menos casas. 191,6300 / 0,2625 2º passo: Elimine as vírgulas. 1916300 / 2625 3º passo: faça a conta normalmente.. 19163 é suficiente para dividir por 2625........dá 7 e sobra 788 1916300 / 2625 788 7 Abaixe a próxima casa ( 0 ) 1916300 / 2625 7880 7 7880 por 2625.......dá 3 e sobra...5 1916300 / 2625 7880 73 5 Atenção agora!! abaixe a próxima casa ( 0 ) e faça a conta normalmente, Se não der para dividir ( e não dá, pois fica 50 por 2625) acrescente zero no resultado e abaixe a próxima casa. 1916300 / 2625 7880 730 50 Como não há próxima casa para baixar, acrescente zero ao resto e coloque vírgula 1916300 / 2625 7880 730, 500 Como ainda não dá para dividir, acrescente outro zero ao resto, mas lembre-se; à partir do segundo zero colocado no resto, coloca-se zero no resultado também !
  13. 13. Professor Ivan Zecchin 13 1916300 / 2625 7880 730,0 5000 5000 por 2625 dá 1 e sobra 2375 1916300 / 2625 7880 730,01... 5000 2375 E por aí vai... Calcular: a) 6,25 / 0,2 b) 0,444 / 12,3 c) 21,8 / 2,5 d) 3,0309 / 1,5 e) 2400,024 / 8 Respostas: a) 31,25 b) 0,03097.. c) 8,72 d) 2,0206 e) 300,003 TESTES 1. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por: a) 1/125 b) 1/8 c) 8 d) 12,5 e) 80 2. A expressão a seguir é igual a: a) 28 /5 b) 29 /5 c) 28 d) 29 3. Sejam X e y dois números reais não nulos e distintos entre si. Das alternativas a seguir, a única necessariamente verdadeira é: a) x < y b)x < x + y c)y < xy d) x2 ≠ y2 e)x2 - 2xy + y2 > 0 4. A soma de três números naturais consecutivos é um número: a) par b) ímpar c) primo d) quadrado perfeito e) múltiplo de 3 3 3028 10 22 +
  14. 14. 14 Professor Ivan Zecchin 5. A jornada do soldado Saldanha é de 12 horas de trabalho por 24 horas de folga e a de seu sobrinho, Sardinha, que é motorista de transporte coletivo, é de 9 horas de trabalho por 18 horas de folga. Se, em certo dia, os dois iniciarem suas jornadas de trabalho em um mesmo momento, então essa coincidência voltaria a ocorrer em: a) 96 horas b) 108 horas c) 132 horas d) 144 horas e) 156 horas 6. Duas peças de madeira de 4m e 6m serão cortadas em pedaços iguais de maior comprimento possível, sem haver sobras. Quantos pedaços serão, assim obtidos: a) 8 b) 5 c) 4 d) 9 7. Considerando os conjuntos A = {1, 3, 5, 15} e B = {2, 6, 10, 30}, é FALSO afirmar que: a) Para todo a, b Є A, o mmc (a, b) Є A. b) Qualquer que seja y ЄB, temos que y = 2x, para algum x Є A. c) Os números 5 e 15 são primos entre si. d) A = {x ЄN | x é divisor de 15} 8. Se um retângulo de lados 12 cm e 30 cm for dividido em quadrados iguais de maior lado possível, serão obtidos quantos quadrados? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 20 9. Se em duas ruas paralelas forem instalados postes, do início ao fim de cada uma (que medem 112 m e 154 m, respectivamente), separados pela mesma distância entre si, de modo que esta distância seja máxima, então serão colocados, ao todo quantos postes? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 10. Paulo e seu amigo José jogam sinuca em um dia em que os dois estão de folga em seus trabalhos. Combinaram, então, que jogariam novamente na próxima folga dos dois. Se Paulo tem folga a cada 15 dias e José a cada 12, então quantos dias depois jogarão sinuca juntos, novamente? a) 45 b) 50 c) 60 d) 75 e) 90
  15. 15. Professor Ivan Zecchin 15 11. (FCC) Para participar de um programa de treinamento, todos os funcionários de uma empresa serão divididos em grupos, obedecendo ao seguinte critério: - Todos os grupos deverão ter o mesmo numero de componentes. - Em cada grupo, os componentes deverão ser do mesmo sexo. Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108 mulheres, a menor quantidade de grupos que poderão ser formados é: a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 26 12. Para participar de um programa de treinamento, todos os funcionários de uma empresa serão divididos em grupos, obedecendo ao seguinte critério: - Todos os grupos deverão ter o mesmo número de componentes. - Em cada grupo, os componentes deverão ser do mesmo sexo. Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108 mulheres, a menor quantidade de grupos que poderão ser formados é: a) 15 b) 18 c) 26 d) 24 e) 20 13. Dispondo de 3 bobinas de papel de, respectivamente, 135m, 225m e 360m, todos com 12cm de largura, deseja-se obter folhas de 12cm de largura e de comprimento máximo. Assim sendo, o comprimento de cada folha e o número de folhas que podem ser obtidas, nas condições citadas, serão: a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23 14. Em um corredor há 30 armários numerados de 1 a 30, inicialmente todos fechados. Suponha que 30 pessoas, numeradas de 1 a 30 passem sucessivamente por esse corredor, comportando- se da seguinte maneira: a pessoa de número K reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de K. Por exemplo; a de número 3, reverte o estado dos armários de números 3, 6, 9, 12.......30, abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Nessas condições, após todas as pessoas passarem uma única vez pelo corredor, o número de armários que estarão abertos, é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
  16. 16. 16 3ª PARTE: Razões, Proporções e Regra de três. O quociente entre dois números quaisquer, não necessariamente inteiros, chama razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas grandezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de conseqüente. Razão quociente de a por b, isto é: Exemplos: 1) 2) 2,5. (ou A soma de dois números é 28 e a é 75%. Qual o maior? X/Y = 75/100 X+Y = 28 Isolando x na primeira.....x = 3Y/4 Substituindo na segunda......3Y/4 + Y = 28 3Y + 4Y = 112 7Y = 112 Y = 112/7.................Y = 16 Substituindo Y por 16 em X Resposta: o maior é 16. 3ª PARTE: Razões, Proporções e Regra de três. O quociente entre dois números quaisquer, não necessariamente inteiros, chama razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas randezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de conseqüente. Razão do número a para o número b (b quociente de a por b, isto é: ou a: b Exemplos: 1) A razão de 8 para 2 é A razão de 50 para 20 é 2,5. (ou ) A soma de dois números é 28 e a é 75%. Qual o maior? X/Y = 75/100 X+Y = 28 Isolando x na primeira.....x = 3Y/4 Substituindo na segunda......3Y/4 + Y = 28 3Y + 4Y = 112 7Y = 112 Y = 112/7.................Y = 16 Substituindo Y por 16 em X Resposta: o maior é 16. b a 2 5 Razões, Proporções e Regra de três. RAZÕES O quociente entre dois números quaisquer, não necessariamente inteiros, chama razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas randezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de do número a para o número b (b quociente de a por b, isto é: ou a: b A razão de 8 para 2 é A razão de 50 para 20 é Questão Resolvida A soma de dois números é 28 e a é 75%. Qual o maior? X/Y = 75/100 (que simplificados....3/4) Isolando x na primeira.....x = 3Y/4 Substituindo na segunda......3Y/4 + Y = 28 3Y + 4Y = 112 Y = 112/7.................Y = 16 Substituindo Y por 16 em X Resposta: o maior é 16. Razões, Proporções e Regra de três. RAZÕES O quociente entre dois números quaisquer, não necessariamente inteiros, chama-se razão. A razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas randezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de do número a para o número b (b quociente de a por b, isto é: A razão de 8 para 2 é , que é igual a 4. A razão de 50 para 20 é , que é igual a Questão Resolvida A soma de dois números é 28 e a razão entre eles (que simplificados....3/4) Isolando x na primeira.....x = 3Y/4 Substituindo na segunda......3Y/4 + Y = 28 Y = 112/7.................Y = 16 Substituindo Y por 16 em X+Y=28............X = 12 2 8 Razões, Proporções e Regra de três. O quociente entre dois números quaisquer, não se razão. A razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas randezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de do número a para o número b (b ≠ 0) é o , que é igual a 4. , que é igual a razão entre eles (que simplificados....3/4) Substituindo na segunda......3Y/4 + Y = 28 +Y=28............X = 12 O quociente entre dois números quaisquer, não se razão. A razão entre duas grandezas é uma generalização do conceito de fração. Sendo a e b as duas randezas anotamos a razão de a para b como a:b. a é chamado também de antecedente e b de 0) é o , que é igual a razão entre eles Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. Note que: Então Exemplo: As razõ Note que: inverso multiplicativo da outra. Obs.: O produto de duas razões inversas é, sempre, igual a 1. Uma igualdade entre duas razões é dita “proporção” exprimem mesmo quociente, então dizemos que essas razões formam uma proporção. Lemos: 3 está para 4, assim como, 9 está para 12. Genericamente: Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nessa ordem uma somente se, a razão Essa proporção é indicada por: b a Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. Note que: se a e b são números reais não Então são razões inversas; Exemplo: As razões Note que: inverso multiplicativo da outra. Obs.: O produto de duas razões inversas é, sempre, igual a 1. Uma igualdade entre duas razões é dita “proporção” observe: A razão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12 exprimem mesmo quociente, então dizemos que essas razões formam uma proporção. Lemos: 3 está para 4, assim como, 9 está para 12. Genericamente: Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nessa ordem uma somente se, a razão é igual à razão Essa proporção é indicada por: a b e b a 1=⋅ a b b a 4 8 e 4 8 b a d c b a = RAZÕES INVERSAS Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. se a e b são números reais não são razões inversas; são chamadas inversas entre si. ,isto é,uma das razões é igual ao inverso multiplicativo da outra. O produto de duas razões inversas é, sempre, PROPORÇÕES Uma igualdade entre duas razões é dita observe: zão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12 exprimem mesmo quociente, então dizemos que essas razões formam uma proporção. 3 está para 4, assim como, 9 está para 12. Genericamente: Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nessa ordem uma é igual à razão Essa proporção é indicada por: 8 4 e 8 4 1 = Professor Ivan Zecchin RAZÕES INVERSAS Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. se a e b são números reais não são razões inversas; são chamadas inversas entre si. ,isto é,uma das razões é igual ao inverso multiplicativo da outra. O produto de duas razões inversas é, sempre, PROPORÇÕES Uma igualdade entre duas razões é dita zão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12 exprimem mesmo quociente, então dizemos que essas razões formam uma proporção. 3 está para 4, assim como, 9 está para 12. Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nessa ordem uma proporção se, e é igual à razão . Essa proporção é indicada por: d c Professor Ivan Zecchin RAZÕES INVERSAS Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. se a e b são números reais não-nulos, são chamadas inversas entre si. ,isto é,uma das razões é igual ao O produto de duas razões inversas é, sempre, Uma igualdade entre duas razões é dita zão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12 exprimem mesmo quociente, então dizemos que essas razões formam uma proporção. 3 está para 4, assim como, 9 está para 12. Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, proporção se, e Professor Ivan Zecchin Duas razões são inversas entre si quando uma é são chamadas inversas entre si. ,isto é,uma das razões é igual ao O produto de duas razões inversas é, sempre, Uma igualdade entre duas razões é dita zão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12 exprimem mesmo quociente, então dizemos que Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, proporção se, e
  17. 17. Professor Ivan Zecchin 17 onde a e d são chamadas extremos e b e c são chamados meios. Exemplo: A razão de 15 para 45 é , que é igual a ; A razão entre 10 e 30 é , que é igual a . Logo, . Portanto, os números 15, 45, 10 e 30 formam, nessa ordem, uma proporção. Propriedade Fundamental das Proporções Exemplo: formam uma proporção, pois 10 . 3 = 15 . 2 Propriedade das Proporções Múltiplas Somando-se ou subtraindo-se os numeradores de uma proporção, em qualquer ordem, e fazendo o mesmo com os respectivos denominadores, a proporção se manterá: Exemplo: Se , obteremos uma nova razão fazendo ou ou ainda que guarda evidente proporção com as razões anteriores. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Em uma sala há 30 mulheres e 40 homens. Qual a razão entre o nº de mulheres e o nº de pessoas, na sala? Solução: Resposta: (três para sete) 2. Qual o valor de “x” abaixo? Resolução pelo raciocínio: Se 6 é a 5ª parte de 30, então x é a 5ª parte de 5, logo x = 1. Resolução algébrica: Pela propriedade fundamental, temos: 30 . x = 5 . 6 X = x = 1 Resposta: 1 3. As idades de Pedro e Luís formam, nessa ordem, uma razão, igual a . A soma de suas idades é 48 anos. Qual a idade dessas pessoas? 45 15 3 1 30 10 3 1 30 10 45 15 = 3 2 15 10 e 10 4 5 2 = 105 42 + + 105 42 10 4 5 2 + + == 15 6 10 4 5 2 == 7 3 70 30 4030 30 == + = pessoas mulheres 7 3 30 6 5 = x 30 30 7 5
  18. 18. 18 Professor Ivan Zecchin Resolução pelo raciocínio: Na razão dada, 5 e 7 representam as idades. Como sua soma é 12 e a soma real é 48, temos que o “real” é 4 vezes maior que a soma dos n°s dados, então as idades “reais” serão 4 x 5 e 4 x 7 respectivamente. Assim: idade de Pedro: 4 x 5 = 20 anos idade de Luis: 4 x 7 = 28 anos Resolução algébrica: P: idade de Pedro P + L = 48 (I) e (II) L: idade de Luis Observe que (II) pode ser escrito : aplicando-se a propriedades das proporções múltiplas Temos , então: e dai P = 20 e L = 28 Resposta: Pedro tem 20 anos e Luis 28 Obs: O problema poderia ser resolvido como um “sistema de Equações” EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Meu filho é 21 anos mais novo que eu. A razão entre nossas idades dele e a minha, se tenho hoje 63 anos? 2. Qual os valores de x e y, abaixo: a) b) c) e x + y = 18 d) e x + y = 3. Quatro n°s são proporcionais a 2, 5, 6 e 8 respectivamente. A soma do maior com o menor é 50. Qual o menor desses n°s ? 4. Um pai distribui R$ 150,00 entre seu três filhos de maneira proporcional às suas idades, que são 8,10 e 12 anos. Quanto recebe o caçula? 5. Numa indústria química, uma certa solução contém ao todo 350g de 3 substâncias em quantidades diretamente proporcionais ao números 2, 5 e 7. Quantos gramas de cada substância contém a solução? 6. Três municípios paulistas receberam, do Ministério da Saúde, um lote de medicamentos contendo um milhão de unidades, que deve ser repartido proporcionalmente ao número de habitantes de cada um desses municípios: 50 mil, 70 mil e 80 mil. Achar a quantidade de medicamentos que cada município recebeu. 7 5 = L P 75 LP = 4 12 48 7575 == + + == LPLP 4 5 = P 4 7 = L 21 12 5 = x 8 3 4 5 + = x 4 5 = y x 93 2 yx = 2 1
  19. 19. Professor Ivan Zecchin 19 DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS Para se dividir um certo valor em partes proporcionais (ou em partes DIRETAMENTE PROPORCIONAIS) basta escrever a proporção, como fizemos até agora. Exemplo: Dividir o nº 180 em três partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Partes: a, b e c a + b + c = 180 (Prop.múltiplas) então: Resposta: as partes são 36, 54 e 90. Assim: DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Consideremos, agora, o inverso dos números dados. No restante, mantém-se o que foi visto. Exemplo: Dividir o nº 370 em partes inversamente proporcionais a 8, 10 e 12. Partes: a, b e c, então a + b + c = 370 370 . 1200 então: Resposta: as partes são: 150, 120 e 100, respectivamente. Obs.: Veja que nas divisões diretas, “ao maior cabe a maior parte”, e nas inversas, ocorre o contrário! REGRA DE SOCIEDADE Temos agora, apenas, uma aplicação prática das divisões proporcionais. Não há, portanto, diferenças nas resoluções dos problemas, mas somente um contexto diferente. Exemplo: Em uma sociedade há os capitais de R$ 12.000,00 e R$ 18.000,00, investidos por dois sócios A e B. Havendo, ao final de um período, lucro de R$ 6.000,00, que parte cabe a cada um? 18 10 180 532532 == ++ ++ === cbacba 3618 2 =→= a a 5418 3 =→= b b 1200 37 120 .370 120 37 370 12 1 10 1 8 1 12 1 10 1 8 1 =⇒ ⇒= ++ ++ === cbacba 150a1200. 8 1 1200 8 1 =→=→= a a 1201200. 10 1 1200 10 1 =→=→= bb b 1001200. 12 1 1200 12 1 =→=→= ac c
  20. 20. 20 Professor Ivan Zecchin Resolução: O lucro é proporcional ao capital investido (assim como prejuízo!) assim: então: Resposta: A cada um coube R$ 2.400,00 e R$ 3.600,00 respectivamente. CONSIDERAÇÃO: Todas as proporções têm um “Coeficiente de Proporcionalidade” (CP), que é o número que simplificou o numerador e o denominador da fração. Para descobrir o CP, basta dividir a informação dada sobre os números originais (a soma deles, a diferença entre eles, etc) pela respectiva informação extraída dos números aos quais a divisão será proporcional. Para se obter os valores originais, multiplica-se o CP pelos números aos quais a divisão é. No exemplo anterior, teríamos; A soma dos lucros é 6000 Como os lucros foram somados, somamos os valores aos quais a divisão é proporcional, 12000 e 18000, obtendo 30000. O CP será, então, 6000/30000 = 1/5. Os lucros serão: 1ºsócio......1/5 x 12000 = 2400 2º sócio.....1/5 x 18000 = 3600 Se a divisão for INVERSA, procede-se da mesma forma, invertendo antes os números dados. DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Quando a divisão é feita levando-se em consideração mais de uma sequência de valores. Nesses casos devemos converter para uma só sequência e fazer de maneira DIRETAMENTE Proporcional a ela. Procedimento; mantenha os números aos quais a divisão é Direta e inverta os números aos quais a divisão é Inversa, multiplicando-os a seguir, respectivamente. Por exemplo, se uma divisão de R$ 500,00 é feita de forma D.P. aos nº 6 e 15 e I.P. a 3 e 5, mantemos 6 e 15 e invertemos 3 e 5 (ficando 1/3 e 1/5). Agora, multiplicamos respectivamente, ou seja, o 1º com o 1º e o 2º com o 2º. Ficando: 6 x 1/3 = 2 15 x 1/5 = 3 Pronto! A divisão será feita de maneira D.P. aos números 2 e 3. CP = 500/ (2+3) = 500/5 = 100 Caberá à 1ª pessoa........100 x 2 = R$ 200 Caberá à 2ª pessoa........100 x 3 = R$ 300 5 1 30000 6000 300001800012000 == + == BABA 2400 5 1 .1200 5 1 12000 =→=→= AA A 3600 5 1 .1800 5 1 18000 =→=→= BB B
  21. 21. Professor Ivan Zecchin 21 Questão Resolvida No departamento de expedições de uma empresa, 3 funcionários resolvem dividir a confecção de "X" pacotes, de maneira proporcional ao número de filhos de cada um e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional aos seus salários, que são R$ 1500,00, R$ 1800,00 e R$ 2400,00, respectivamente. A Paulo, o primeiro deles, que tem 5 filhos, coube a confecção de 60 pacotes. Sabendo-se que Pedro, o 2º, tem 4 filhos e Miguel tem 6 filhos. "X", é, então, um valor entre... “X” será dividido em partes: (Paulo, Pedro e Miguel) D.P. a .........5...4.....6 (mantenha, pois é DP) E I.P. a.........1500....1800.....2400.... (inverta, pois é IP) .................1/1500...1/1800....1/2400 Multiplique respectivamente; Nº de Paulo.......5 x 1/1500 = 5/1500 = 1/300 Nº de Pedro......4 x 1/1800 = 4/1800 = 1/450 Nº de Miguel....6 x 1/2400 = 6/2400 = 1/400 Não podemos achar o CP da forma tradicional, pois não conhecemos o valor (nº total de pacotes) a ser distribuído (X), mas sabemos que cada número acima será multiplicado pelo CP para dar a quantidade que caberá a cada um. Ocorre que sabemos a quantidade que cabe a Paulo......60 pacotes. Daí: 1/300 x CP = 60...........CP = 300 x 60.......CP = 1800 Conhecendo o CP podemos achar as outras quantidades, multiplicando os nºs de cada um por ele. Pedro: 1/450 x 1800 = 40 pacotes Miguel: 1/400 x 1800 = 45 pacotes “X” é o total de pacotes, portanto a soma das 3 quantidades; X = 60 + 40 + 45 X = 145 pacotes Obs: para agilizar os cálculos, os números 1500, 1800 e 2400 poderiam ter sido simplificados (por um mesmo nº). Daria na mesma, afinal...........o assunto é “Proporções”. EXERCÍCIOS - TESTES 1. A sociedade criada por Pedro, Paulo e Padilha não durou muito. Padilha permaneceu na sociedade por 15 meses e Paulo, 21. Pedro, único sócio que nunca deixara a sociedade, extinguiu a empresa 28 meses após a sua criação, por causa do prejuízo acumulado de R$ 32.000,00. Sabendo que esse prejuízo foi dividido entre os sócios proporcionalmente ao tempo de permanência de cada sócio na sociedade, assinale a opção correta. a) Pedro arcou com 50% do prejuízo. b) Paulo arcou com 30% do prejuízo. c) Padilha arcou com 20% de prejuízo. d) A soma dos prejuízos de Paulo e de Padilha corresponde a mais de 50% do prejuízo total. e) A diferença entre os prejuízos de Pedro e de Padilha corresponde a menos de 20% do prejuízo total.
  22. 22. 22 Professor Ivan Zecchin 2. Dois negociantes constituíram uma sociedade com um capital de R$ 800.000,00, com o que lucraram R$ 150.000,00. Encerrando-se a sociedade, o primeiro recebeu R$ 570.000,00 entre capital e lucro. Determine o capital do segundo negociante. (em R$) a) 60.000 b) 90.000 c) 320.000 d) 480.000 e) 500.000 3. Para estimular a assiduidade, uma professora primária promete distribuir 600 figurinhas aos alunos de suas três classes. A distribuição será feita de modo inversamente proporcional ao número de faltas de cada classe durante 1 mês. Após esse tempo, as faltas foram: 8, 12 e 24. Achar a quantidade de figurinhas que cada classe recebeu: a) 100, 200, 300 b) 100, 300, 200 c) 200, 300, 100 d) 300, 200, 100 e) 300, 100, 200 4. Os números 2a + b e a + b formam, entre si uma razão de . Pode-se afirmar que, se a e b não são nulos, então: a) a = b b) a = c) a = d) a = e) a = 4b 5. O proprietário de uma pequena empresa de transporte resolveu distribuir R$ 6.000,00 entre seus 3 motoristas, em partes inversamente proporcionais à quantidade de multas de trânsito que tiveram durante 1 ano. Quanto coube a cada motorista, sabendo que 2 deles foram multados 2 vezes cada um e o outro, 5 vezes? (em R$) a) 2.000, 2.000 e 2.000 b) 1.500, 1.500 e 3.000 c) 1.800, 1.800 e 2.400 d) 2.800, 2.800 e 400 e) 2.500, 2.500 e 1.000 GRANDEZAS PROPORCIONAIS, DIRETA E INVERSAMENTE Grandezas são os aspectos que variam no decorrer de uma situação (nº de pessoas, preços, idades, força, etc.), sendo que uma pode, ou não, ter relação com outra. Se o aumento de grandeza “A” implicar no aumento PROPORCIONAL de grandeza “B” diremos que essas são entre si, DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, porém se isso implicar no decrescimento PROPORCIONAL de “B, então serão INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Exemplos: 1) A quantidade de dinheiro e nº de bens que se pode adquirir com ela. mais dinheiro, mais bens (proporcionalmente) - grandezas diretamente proporcionais - 5 6 2 b 3 b 4 b
  23. 23. Professor Ivan Zecchin 23 2) Velocidade de um carro e o tempo gasto em uma viagem. mais velocidade, menos tempo (proporcionalmente) - grandezas inversamente proporcionais - Obs.: Não basta o crescimento mútuo, é necessário que haja proporcionalidade Exemplo: A idade de um pai e a idade do seu filho não são grandezas diretamente proporcionais, pois apesar de haver um crescimento das duas num mesmo período, a proporção não se mantém EXERCÍCIOS 1. Classificar em Direta (D) ou inversa (I) a relação entre as grandezas. a) ( ) nº de operários e quantidade de trabalho feito b) ( ) dificuldade para fazer o trabalho e o tempo preciso para executá-lo c) ( ) o nº de páginas de um livro e a quantidade de linhas por página, do mesmo livro d) ( ) o tamanho do lado de um quadrado e a sua área TESTES 1. É comum em nosso cotidiano surgirem situações-problema que envolvem relações entre grandezas. Por exemplo, ao se decidir a quantidade de tempero que deve ser usada na comida, a quantidade de pó necessária para o café, a velocidade com que se deve caminhar ao atravessar uma rua, etc,. está-se relacionando, mentalmente, grandezas entre si, por meio de uma proporção. Em relação às proporções, julgue os itens abaixo. a) A quantidade de tinta necessária para fazer uma pintura depende diretamente da área da região a ser pintada. b) O número de pintores e o tempo que eles gastam para pintar um prédio são grandezas inversamente proporcionais. c) A medida do lado de um triângulo eqüilátero e seu perímetro são grandezas diretamente proporcionais. d) O número de ganhadores de um único prêmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhador são grandezas inversamente proporcionais. e) A velocidade desenvolvida por um automóvel e o tempo gasto para percorrer certa distância são grandezas diretamente proporcionais. 2. Em uma viagem foi levada certa quantidade de alimentos para um nº fixo de participantes. Durante a viagem ocorrem imprevistos que antecipam o fim da mesma. Em relação às grandezas envolvidas no problema (alimentos x participantes) e à situação em questão, podemos dizer que: a) são inversamente proporcionais e faltará alimento b) são inversamente proporcionais e sobrará alimento c) são diretamente proporcionais e sobrará alimento d) são diretamente proporcionais e faltará alimento e) são diretamente proporcionais e não sobrará alimento
  24. 24. 24 Professor Ivan Zecchin TESTES -1 (“C” OU “E”) Uma empresa resolve distribuir um prêmio, em dinheiro, entre seus 4 vendedores, de forma proporcional ao n°de produtos vendidos por cada um. Considerando que os vendedores são x, y, z, e w e que o número de produtos vendidos são, respectivamente, 8, 10, 10 e 12. Julgue os itens. 1) “W” vendeu 50% a mais que “x” e, por isso, recebe 50% a mais que “x” 2) Se “y” e “z” recebem juntos R$ 800,00 então a quantia distribuída foi superior a R$ 1.800,00 3) Se “w” recebe R$ 300,00 a mais que “y” então “z” recebe R$ 600,00 a mais que “x”. 4) Se “x” recebe R$ 1.000,00 então “y” recebe R$ 1 250,00. 5) “x” recebe 20% a menos que “y” e “y” 20% a mais que “x” TESTES – 2 (Alternativas) 1. Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de serviço de três soldados na corporação, que devem dividir entre si um certo número de fichas cadastrais para verificação. Nome dos soldados: Abel, Daniel, Manoel. Idade, em anos: 20, 24, 30. Tempo de serviço, em anos: 3, 4, 5. Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na corporação, o número de fichas que caberá a “ a) Daniel é 180. b) Manoel é 176. c) Daniel é 170. d) Manoel é 160. e) Daniel é 162. 2. Ao se dividir um certo valor entre três pessoas, de forma proporcional às suas idades – 20, 30 e 45 anos, observa-se estar correto que, exceto: a) O mais velho receberá mais de 45% da quantia a ser distribuída. b) Um deles receberá, exatamente, 50% a mais que outro deles. c) Um deles receberá, exatamente, 50% a menos que outro deles. d) O mais velho receberá menos que os outros dois,juntos. e) Se o mais novo receber R$ 1000,00, então o mais velho receberá R$ 2250,00 3. Uma verba pública foi dividida em partes proporcionais a 1, 2 e 3, para atender, respectivamente, às despesas relativas a três rubricas: A, B e C. Tendo sido efetuada uma transferência, para a rubrica A, de 1/5 do valor destinado à rubrica C, as partes da verba destinadas às rubricas A, B e C tornaram-se proporcionais, respectivamente, a: a) 2, 3, 4 b) 3, 4, 5 c) 4, 5, 6 d) 5, 6, 7 e) 7, 8, 9
  25. 25. Professor Ivan Zecchin 4. pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao m tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos mais jovem deverá emitir é: a) 18 b) 24 c) 32 d) 36 e) 48 5. três sócios suas ações. Sócio Paulo Silva....................... Maria Oliveira ..............................10.000 Carlos Braga................................ Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram os três sócios ações que cada um Oliveira recebeu nessa divisão a) R$ 17.500,00. b) R$ 56.000,00. c) R$ 112.000,00. d) R$ 140.000,00. e) R$ 175.000,00. Professor Ivan Zecchin Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao m tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos mais jovem deverá emitir é: a) 18 b) 24 c) 32 d) 36 e) 48 A tabela a seguir mostra as participações dos três sócios de uma empresa na composição de suas ações. Sócio Paulo Silva....................... Maria Oliveira ..............................10.000 Carlos Braga................................ Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram R$ 560.000,00, foram divididos entre os três sócios ações que cada um Oliveira recebeu nessa divisão ) R$ 17.500,00. ) R$ 56.000,00. ) R$ 112.000,00. ) R$ 140.000,00. ) R$ 175.000,00. Professor Ivan Zecchin Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao m tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos, o número de pareceres que o mais jovem deverá emitir é: A tabela a seguir mostra as participações dos de uma empresa na composição de Paulo Silva....................... Maria Oliveira ..............................10.000 Carlos Braga................................ Os lucros da empresa em determinado ano, que R$ 560.000,00, foram divididos entre os três sócios proporcionalmente à ações que cada um possui. Assim, a sócia Maria Oliveira recebeu nessa divisão ) R$ 17.500,00. ) R$ 56.000,00. ) R$ 112.000,00. ) R$ 140.000,00. ) R$ 175.000,00. Professor Ivan Zecchin Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao m tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá , o número de pareceres que o mais jovem deverá emitir é: A tabela a seguir mostra as participações dos de uma empresa na composição de Total de ações Paulo Silva.................................. 15.000 Maria Oliveira ..............................10.000 Carlos Braga................................ 7.000 Os lucros da empresa em determinado ano, que R$ 560.000,00, foram divididos entre proporcionalmente à quantidade de possui. Assim, a sócia Maria Oliveira recebeu nessa divisão Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá , o número de pareceres que o A tabela a seguir mostra as participações dos de uma empresa na composição de Total de ações ........... 15.000 Maria Oliveira ..............................10.000 7.000 Os lucros da empresa em determinado ano, que R$ 560.000,00, foram divididos entre quantidade de possui. Assim, a sócia Maria Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos esmo tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no TRT. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá , o número de pareceres que o A tabela a seguir mostra as participações dos de uma empresa na composição de Os lucros da empresa em determinado ano, que R$ 560.000,00, foram divididos entre quantidade de possui. Assim, a sócia Maria 6. Regional do Trabalho incumbidos de arquivar X processos. Sabe que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X em 2 horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria para, s a) 8. b) 7. c) 6. d) 5. e) 4. GABARITO Testes 1 . Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho incumbidos de arquivar X processos. Sabe que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X em 2 horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria para, sozinho, arquivar ) 8. ) 7. ) 6. ) 5. ) 4. GABARITO Testes -2 (Alternativas) 1 – E 2- C Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho − incumbidos de arquivar X processos. Sabe que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X em 2 horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria ozinho, arquivar todos os X processos? 2 (Alternativas) 3- C 4 Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal − Matilde e Julião incumbidos de arquivar X processos. Sabe que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X em 2 horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria todos os X processos? 4 – E 5- E Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Matilde e Julião − foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria todos os X processos? 6- E 25 Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria
  26. 26. 26 Professor Ivan Zecchin REGRAS DE TRÊS SIMPLES As regras de três se constituem em um conjunto de procedimentos para a montagem correta da proporção que resolverá o problema. Regras: 1- escreva as grandezas envolvidas no problema; 2 - compare-as (Diretas ou Inversas?); 3 - coloque os dados e a variável na grandeza procurada; 4 - escreva a proporção de acordo com a regra “2” Exemplo: 10 homens fazem um serviço em 3 dias. Se fossem somente 3 homens, fariam o mesmo serviço, em: quanto tempo? Resolução: 1 – escrever as grandezas: Nº homens (h) nº de dias (d) 2 – comparando: h ↑d ↓ (mais homens gastam menos dias) 3 – dados: h ↑ d ↓ 10 - 3 3 - x 4 – proporção – como são grandezas inversas, invertemos uma das razões, então: Resposta: 10 dias obs.: Se as grandezas fossem diretas, a proporção seria escrita como está. REGRA DE TRÊS COMPOSTA * existem mais de 2 grandezas; * cada grandeza é comparada com a grandeza que possui a variável; * a proporção é formada entre a razão da variável e o produto das outras, considerando-se a proporcionalidade; * as demais regras anteriores se mantém. Exemplo 1 – 15 operários trabalham 12 dias de 8 horas para abrir 400 metros de uma vala. Quantos metros abrirão 20 operários de competência dobrada, se trabalhassem 10 dias de 5 horas? 1) escrevendo as grandezas e comparando-as, teremos: obs.: Todas as grandezas são Dir. proporcionais à grandeza “metros de vala”, pois o seu aumento determina um aumento proporcional em cada uma das outras. (compare, sempre, a grandeza da variável a cada uma das outras, separadamente). 2) colocando os dados, teremos: 3) Proporção: Resolvendo: x = 555 metros, aproximadamente. 33 10 x =       = x ou 3 10 3 20 15 . 10 12 . 5 8 . 2 1400 = x
  27. 27. Professor Ivan Zecchin 27 Consideração Na grandeza competência estabelecemos “1” para o primeiro grupo e, consequentemente, 2 para o segundo, pois a competência dobrou, mas qualquer outro valor estaria correto, desde que no segundo grupo colocássemos o DOBRO (isso é proporção!) Questões Resolvidas 1. Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento? a) 32 b) 33,3 c) 34 d) 35,5 e) 36 É uma regra de três... observando que o assunto é o número de cortes e para se obter 6 pedaços, serão feitos 5 cortes e para se obter 10pedações ser]ao feitos 9 cortes na folha. Tempo(seg.)............nº de CORTES 20.......................5 x.......................9 _____________________ Para cortar mais cortes .... levará mais tempo, logo as grandezas são Diretamente proporcionais. Daí, mantenha as frações como estão; 20/x = 5/9 5X = 180 x = 180/5 x = 36.segundos.......................................letra"E" 2. Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente: a) 1h e 40min b) 2hs, 2min, 2seg c) 2hs, 20min d) 2hs, 22min, 30seg e) 2hs, 54min Se faz em 8h.........faz 1/8 por hora Se faz em 6h..........faz 1/6 por hora Se faz em 5h..........faz 1/5 por hora Trabalhando juntos, na mesma hora serão feitos....1/8 + 1/6 + 1/5, ou seja 59/120 do trabalho
  28. 28. 28 Professor Ivan Zecchin Regra de três.... 1h.................................................................59/120 x..........................................1 (o trabalho completo) ---------------------------------------------------------- 1/x = 59/120 x = 120/59 fazendo a divisão teremos 2h completas e sobram 2 h que, convertidas para minutos, serão 120 minutos. Dividindo 120 por 59 teremos 2 minutos completos e sobram 2 minutos, que convertidos para segundos serão 120 segundos. Dividindo por 59.....teremos 2 segundos. Daí, 2h 2min 2seg (aproximadamente, pois a conta não é exata) ........ letra "B" 3. (comentada) A guarnição de uma fortaleza é formada de 1.600 homens que tem víveres para 60 dias. No fim de 15 dias, chega um reforço de 400 homens. Para Quantos dias deverão durar os víveres restantes? Comentários: Regras de três. Homens ↓ dias(duração vív.)↑ 1600 45 2000 X ............................................................... Se os víveres duram mais tempo ....... há menos homens se alimentando. Grandezas inversas, então mantenha a fração que contém a variável e inverta a outra 45/x = 2000/1600 Simplificando 45/x = 5/4 5x = 4.45 5x = 180 X = 180/5 X = 36 dias (Resposta) TESTES 1. Se 30 galinhas botam 30 dúzias de ovos em 30 dias, e se 20 galinhas comem 20 quilos de ração em 20 dias, então qual é a quantidade de ração necessária para se obter duas dúzias de ovos? a) menos de 2 kg; b) mais de 2kg e menos de 3,5kg; c) mais de 3,5kg e menos de 5 kg; d) mais de 5kg e menos de 7 kg; e) mais de 7kg.
  29. 29. Professor Ivan Zecchin 29 2. Uma granja possui 360 aves e cada uma recebe, diariamente, a mesma quantidade de ração. Nesse esquema, o estoque de ração existente hoje na granja é suficiente para alimentar as aves por, exatamente, 40 dias. Se hoje forem adquiridas 120 novas aves e, ao mesmo tempo, a quantidade diária de ração de cada ave for reduzida em 20%, então o estoque de ração da granja será suficiente para alimentar as 480 aves por: a) mais de 35 dias b) mais de 30 e menos de 35 dias c) mais de 25 e menos de 30 dias d) mais de 20 e menos de 25 dias e) menos de 20 dias 3. Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 4. Para chegar ao trabalho, José gasta 2h 30min dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se aumentar a velocidade para 90 km/h, o tempo gasto, em minutos para José fazer o mesmo percurso é: a) 50 b) 75 c) 90 d) 125 e) 180 5. Um estudante observa que em 8 horas de estudo contínuo ele resolve uma certa quantidade de exercícios, mas se gastasse 1 min e meio a menos na resolução de cada exercício, ele resolveria todas em 5 horas. O número máximo de exercícios resolvidos pelo estudante: a) é divisor de 20 b) é múltiplo de 50 c) é primo d) tem a forma fatorada 2 (elevado na 2) . 3 .5 (elevado na 2) e) possui raiz quadrada inferior a 11 6. Segundo previsões da divisão de obras de um município, serão necessários 120 operários para construir 600 m de uma estrada em 30 dias de trabalho. Sabendo-se que o município poderá disponibilizar apenas 40 operários para a realização da obra, os primeiros 300 m da estrada estarão concluídos em a) 45 dias. b) 50 dias. c) 55 dias. d) 60 dias. e) 65 dias
  30. 30. 30 Professor Ivan Zecchin 7. Uma obra será executada por 14 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 4 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto? a) 8h 4min b) 8h 40min c) 8h 44min d) 8h 24min e) 8h 20min 8. (Questão comentada) Dois funcionários de uma empresa − Jadilson e Geildo − foram incumbidos de arquivar os 140 documentos de um lote e dividiram o total de documentos entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24 e 32 anos. Sabe-se que: – ambos iniciaram a execução dessa tarefa quando eram decorridos 17/48 do dia e trabalharam ininterruptamente até terminá-la; – durante a execução da tarefa a capacidade operacional de Geildo foi 75% da de Jadilson. Nessas condições, se Jadilson terminou de arquivar a sua parte às 12 horas e 30 minutos, Geildo terminou de arquivar a dele às a) 13 horas e 50 minutos. b) 13 horas e 15 minutos. c) 13 horas. d) 12 horas e 45 minutos. e) 12 horas e 30 minutos. Resolução: Vejamos quantos documentos cabe a cada um. Se a divisão é em partes inversamente proporcionais, basta trocar os valores e fazer uma divisão direta. Jailson.......32 Geildo.......24 CP = 140/(32+24) = 140 / 56 = 2,5 Jailson.............2,5 x 32 = 80 documentos Geildo............2,5 x 24 = 60 documentos Regra de três.. Tempo documentos capacidade ↓ 12,5* 80 100 X 60 75 ...................................................................... 12,5/x = 80/60 . 75/100 ......resolvendo.... X = 12,5 horas, ou seja 12h e 30minutos .... letra “E” 1-*OBS: como o tempo gasta por cada um deles é contado a partir de um mesmo momento, podemos já usar esse tempo nos cálculos 2-12, 5 horas = 12 horas e 30minutos
  31. 31. Professor Ivan Zecchin 31 9. Uma pessoa resolve 30 questões de Matemática em 4 horas. Outra pessoa resolveria o mesmo n°em 5 horas. Trabalhando juntas, desde o início da resolução dos problemas, elas resolveriam as questões acima e mais 30 do mesmo nível de dificuldade, em: a) 4h26m40s b) 4h18m20s c) 3h45m30s d) 3h20m50s e) 2h40m40s 10. O motor de um navio consome 200 litros de óleo em 5 horas quando faz 1500 rotações por minuto. Exigindo-se mais do motor, 1800 rotações por minuto, quantos litros de óleo ele consumirá em 3 horas de viagem? a) 125 b) 136 c) 140 d) 144 e) 150 GABARITO (TESTES) 1 – B 2 - A 3 – E 4 – D 5 - E 6 - A 7- D 8 - E 9 - A 10 -D 4ª PARTE: Porcentagem e taxas. PORCENTAGENS Uma porcentagem é o resultado da aplicação de uma taxa sobre certo valor, chamado principal. Exemplo: Quanto é 20% de 60? Solução: então teremos: 20%: taxa (na forma percentual) 60: principal 12: porcentagem 1) FORMA FRACIONÁRIA Exemplo: a) b) c) 2) FORMA PERCENTUAL Quando substituímos o denominador 100 pelo símbolo % (lê-se “por cento”) temos a taxa percentual. Então lembre-se: o símbolo % significa dividido por 100. 3) FORMA UNITÁRIA (nº decimal) 1206. 001 20 =/ // 100 12 100 8 100 2
  32. 32. 32 Exemplos: a) b) c) A conversão da taxa de uma forma para outra deve ser imediata e não problema, por isso o domínio dessa unidade é muito importante, visto que é a base para um nº enorme de questões em concursos. Exemplos: Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou unitária. SOLUÇÃO: 18,6% = Observe que vírgula, então: Dividiu por 100 ?: A vírgula desloca para esquerda. VEJA: a) b) c) d) Multiplicou por 100?: a vírgula desloca casas para a direita. Exemplos: 0,56 = 0,06 = 0,008 = CONVERSÕES DA TAXA A conversão da taxa de uma forma para outra deve ser imediata e não problema, por isso o domínio dessa unidade é muito importante, visto que é a base para um nº enorme de questões em concursos. Exemplos: Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou unitária. SOLUÇÃO: 18,6% = Observe que vírgula, então: Dividiu por 100 ?: A vírgula desloca para esquerda. VEJA: a) = 0,78 9,1% = 0,091% 124% = 1,24 0,8% = 0,008 Multiplicou por 100?: a vírgula desloca casas para a direita. 100 56 100 6 100 0 100 78 = 56% = 6% = 0,8% CONVERSÕES DA TAXA A conversão da taxa de uma forma para outra deve ser imediata e não pode se constituir em um problema, por isso o domínio dessa unidade é muito importante, visto que é a base para um nº enorme de questões em concursos. Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou = 0,186 a questão se resume a deslocar a vírgula, então: Dividiu por 100 ?: A vírgula desloca para esquerda. 9,1% = 0,091% 124% = 1,24 0,8% = 0,008 Multiplicou por 100?: a vírgula desloca casas para a direita. 100 100 6 100 8,0 CONVERSÕES DA TAXA A conversão da taxa de uma forma para outra pode se constituir em um problema, por isso o domínio dessa unidade é muito importante, visto que é a base para um nº enorme de questões em concursos. Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou a questão se resume a deslocar a Dividiu por 100 ?: A vírgula desloca-se duas casas Multiplicou por 100?: a vírgula desloca CONVERSÕES DA TAXA A conversão da taxa de uma forma para outra pode se constituir em um problema, por isso o domínio dessa unidade é muito importante, visto que é a base para um nº Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou a questão se resume a deslocar a se duas casas Multiplicou por 100?: a vírgula desloca-se duas A conversão da taxa de uma forma para outra pode se constituir em um problema, por isso o domínio dessa unidade é muito importante, visto que é a base para um nº Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou a questão se resume a deslocar a se duas casas se duas VEJA: a) b) c) d) Aplicações da Taxa Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor, MULTIPLICA decimal ou fracionária. Ex: 28% de 600 0,28 . 600 =m 150 Ou 28/100 . 600 = 150 O que um nº representa de outro? Para saber o que um nº representa de outro, percentualmente,...DIVIDA Ex: O que o 4,5 representa de 15: Divida 4,5 p decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e coloque o símbolo “%”. 4,5 / 15 = 0,3 = 30% VEJA: a) b) c) d) Aplicações da Taxa Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor, MULTIPLICA decimal ou fracionária. Ex: 28% de 600 0,28 . 600 =m 150 Ou 28/100 . 600 = 150 O que um nº representa de outro? Para saber o que um nº representa de outro, percentualmente,...DIVIDA Ex: O que o 4,5 representa de 15: Divida 4,5 po decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e coloque o símbolo “%”. 4,5 / 15 = 0,3 = 30% 21,021,0 ×= 13,013,0 ×= 06,006,0 ×= 15,115,1 ×= Aplicações da Taxa Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor, MULTIPLICA-SE a taxa pelo valor, na forma decimal ou fracionária. Ex: 28% de 600 0,28 . 600 =m 150 28/100 . 600 = 150 O que um nº representa de outro? Para saber o que um nº representa de outro, percentualmente,...DIVIDA Ex: O que o 4,5 representa de 15: or 15 e obtenha a taxa em sua forma decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e coloque o símbolo “%”. 4,5 / 15 = 0,3 = 30% 21 100 21 100 100 ==× 13 100 13 100 100 ==× 100 06 100 100 ==× 100 15,1 100 100 ==× Professor Ivan Zecchin Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor, SE a taxa pelo valor, na forma O que um nº representa de outro? Para saber o que um nº representa de outro, percentualmente,...DIVIDA-OS ! Ex: O que o 4,5 representa de 15: r 15 e obtenha a taxa em sua forma decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e %21 %13 %6 %115 Professor Ivan Zecchin Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor, SE a taxa pelo valor, na forma Para saber o que um nº representa de outro, r 15 e obtenha a taxa em sua forma decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e Professor Ivan Zecchin Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor, SE a taxa pelo valor, na forma Para saber o que um nº representa de outro, r 15 e obtenha a taxa em sua forma decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e
  33. 33. Professor Ivan Zecchin 33 PROPRIEDADE: PORCENTAGENS DE UM MESMO NÚMERO No estudo e na utilização da porcentagem, um detalhe é fundamental: toda taxa se refere a algum número, isto é, quando falamos que um atraso num pagamento acarreta multa de 20%, fica subentendido que os 20% são calculados sobre o valor devido. Uma taxa que não se refira a outro número é apenas uma outra maneira de escrever um número. Por exemplo, 5% é uma outra maneira de escrever o número 0,05 (cinco centésimo). Já 5% de 1.000 correspondem ao valor 50. Feita essa distinção, podemos escrever a seguinte propriedade: REAJUSTES SUCESSIVOS Quando várias correções ocorrem seguidamente, acumulando-se. Nesses casos, cada novo reajuste incidirá sobre o valor anterior já corrigido. Exemplo: Se meu aluguel sobe 10% e depois é reduzido de 6%, então ele ainda ficou aumentado de 4%, certo? ERRADÍSSIMO! Veja: O aumento e a redução não incidiram sobre o mesmo valor, por isso não podemos operar com as taxas dadas. A redução incidiu sobre o SALÁRIO JÁ AUMENTADO, então... valor inicial do salário: X aumento: 0,1X (10% de X) novo salário: X + 0,1X = 1,1X redução: 0,06 . 1,1X = 0,066X (6,6% de X) Agora sim, como o aumento e a redução estão baseados em X, podemos compará-los. - aumento: 10% Aumento final de 3,4% - redução: 6,6% Para a resolução de problemas envolvendo Reajustes Sucessivos pode-se usar a fórmula: 1+iac = (1+i1)x(1+i2)x(1+i3) x ..... Onde iac = Reajuste Acumulado e i1, i2, i3, etc são os reajustes parciais Exemplo de aplicação da fórmula Suponha que os funcionários de um banco tiveram em 2006 três aumentos salariais cumulativos, que totalizaram, no ano, 25% - resultado de negociações salariais. Ficou estabelecido, ao final dessas negociações que o primeiro reajuste seria em março de 2006 e seria de 12%. O segundo reajuste, de 80% do primeiro (percentualmente) seria em junho/06. O terceiro e último aumento do ano foi em outubro, o que totalizou a taxa citada acima. Pode-se dizer que o aumento de outubro representa do aumento de março: a) 12% b) 15,26% c) 16% d) 18,50% e) 25%
  34. 34. 34 Professor Ivan Zecchin Resolução: Há uma fórmula para os reajustes sucessivos, que acumulam uma taxa total ( iacumulada) Reajustes sucessivos.. iacumulada + 1 = (1 + i1) . (1 + i2) . ( 1 + i3) Onde, i1 , i2, e i3 são taxas sucessivas. A taxado segundo período é 80% da primeira, ou seja 0,8 . 0,12 = 0,096 = 9,6% X, é a última taxa, procurada iacumulada = (1 + i1) . (1 + i2) . ( 1 + i3) -1 0,25 = ( 1 + 0,12) , ( 1 + 0,096) . ( 1 + x) - 1 0,25 = 1,12 . 1,096 . (1 + x) -1 1,25 = 1,22752 (1 +x) 1 + x = 1,25/1,22752 1 + x = 1,01831 X = 0,01831 O problema pede, porém, o que essa taxa representa da taxa de março (12%), então dividimos uma pela outra... 0,01831/0,12 = 0,15258 .....letra “B” EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Quanto é, na forma percentual, 20% de 60%? Solução: Resposta: 12% 2. Quanto é, 18% de 200, mais 3% de 500? Solução: Resposta: 51 3. Resolva, com respostas na forma percentual: a) Solução: b) (10%)² = Solução: NÃO ESQUEÇA!: Para operar com as taxas, passe-as para a forma fracionária ou unitária. %12 100 12 100 06 . 001 02 == / // / 511536005. 001 3 002. 001 18 =+=// // +// // %81 %909,0 10 9 100 81 %81 ==== ( ) %1 100 1 10 1 010 01 %10 22 2 ==      =      / / =
  35. 35. Professor Ivan Zecchin 35 4. De todos os empregados de uma grande empresa, 3% optaram por realizar um curso de especialização. Essa empresa tem sua matriz na capital, uma filial em Ouro Preto e outra em Montes Claros. 45% dos empregados trabalham na matriz, 20% em Ouro Preto. 20% dos empregados da capital optaram pelo curso e 35% dos empregados de ouro preto, também. O percentual dos empregados de Montes Claros que NÃO optaram pelo curso é: a)60% b)40% c) 35% d) 21% e) 14% Resolução: A soma(percentual) dos empregados que optaram pela realização do curso, em cada unidade da empresa, deve dar 30%, que é o total. Matriz....optaram pelo curso.................20% de 45%...........0,2 . 0,45 = 0,09= 9% Ouro Preto................optaram pelo curso........35% de 20%..........0,35.0,2 = 0,07= 7% Veja que trabalham em montes Claros......100% - 45%(Matriz) - 20%(O.Preto) = 35% dos funcionários. Montes claros...................optaram pelo curso..........X% de 35% = restante dos optantes (30% - 9% - 7%=14%)....x%.0,35 = 0,14 Ou seja...............x% = 0,14/0,35......x% = 0,4 = 40% (optaram pelo curso em Montes Claros) Mas, a pergunta é: Quantos NÃO optaram pelo curso em Montes Claros? Ora, o resto!! ou seja; 60%(resposta)......letra “A” 5. (FCC - 2008 - DPE-SP - Oficial de Defensoria Pública) Uma aplicação em caderneta de poupança rendeu em dois meses consecutivos de um determinado ano 0,6% e 0,7% respectivamente. Sabendo-se que no mês seguinte aos dois primeiros, o rendimento foi de x%, o que implicou em um rendimento acumulado no trimestre de 1,6%, é correto dizer que 1 + x/100 é igual a a) 1,6 / (0,6 . 0,7) b) 1,16 / (1,06 . 1,07) c) 1,016 / (1,006 . 1,007) d) 0,016 / (0,006 . 0,007) e) 1,016 / (1,06 . 1,07) Reajustes sucessivos : 1+iac = (1+i1)x(1+i2)x(1+i3) x ..... Usando a fórmula citada..... 0,016 + 1 = ( 1 + 0,007) . ( 1 + 0,006) . ( 1 + x) ..........linha 1 (considerando "x" na forma decimal) 0,016 + 1 = 1,007 . 1, 006 . ( 1 + x)...........................linha 2 1,016 = 1,007 . 1,006 . ( 1 + x) ..................................linha 3 ( 1 + x) = 1,016 / 1,007.1,006................linha 4(aqui já temos a resposta....”C”) 1,016 = 1,013042 . ( 1 + x) ( 1 + x) = 1,00292 i = 0,00292 i = 0,292% ( taxa"x" desconhecida)
  36. 36. 36 Professor Ivan Zecchin 6. Suponha que em 2007 as mensalidades de dois planos de saúde tinham valores iguais e que nos três anos subsequentes elas sofreram os reajustes mostrados na tabela seguinte: 2008 2009 2010 Plano 1 10% 10% 10% Plano 2 5% 5% X Se em 2010 os valores das mensalidades de ambos se tornaram novamente iguais, então X é aproximadamente igual a: a) 15% b) 18,6% c) 20,7% d) 27,8% e) 30% Inicialmente as duas prestações eram iguais (chamei de "P") e depois dos reajustes continuaram iguais. 'SE AUMENTA 10% VAI PARA 110%,OU SEJA, FICA MULTIPLICADO POR 1,1....% "SE AUMENTA 5% VAI PARA 105%, OU SEJA,FICA MULTIPLICADO POR 1,05..." COMO AUMENTOU 10% TRÊS VEZES E 5% DUAS VEZES (SENDO A TERCEIRA TAXA DE AUMENTO DO SEGUNDO PLANO....."i") TEREMOS: P . 1,1 . 1,1. 1,1 = P . 1,05 . 1,05 . (1 + i) Cancelando "P" com "P" e fazendo as multiplicações.... 1+ i = 1,331/1,1025 1 + i = 1,2072 i = 0,2072 i = 20,72 %..............letra "C" TESTES 01. (Polícia Rod. Fed.) Uma pesquisa realizada na Grã-Bretanha mostrou que no primeiro semestre deste ano 295 doentes cardíacos precisaram de transplantes, mas só 131 conseguiram doadores. O percentual aproximado de pacientes que não conseguiram o transplante é: a) 31% b) 36% c) 44% d) 56% e) 64% 02. Considere que o IPVA/99 corresponda a 2,5% do valor venal do automóvel e que possa ser pago em uma das seguintes formas: • à vista, até o dia 15/2/99, com desconto de 5%; • em 3 parcelas iguais e mensais, vencendo a primeira em 15/2/99. Em caso de atraso no pagamento de alguma parcela, o proprietário deverá pagar, ainda, multa de 2% sobre o valor devido, acrescida de 0,2% de juros por dia de atraso. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, relativos ao IPVA de um veículo de valor venal igual a R$ 15.000,00.
  37. 37. Professor Ivan Zecchin 37 I – O valor do IPVA desse veículo é de R$ 375,00 II – Se o proprietário do veículo optar pelo pagamento à vista, então o valor devido será de R$ 356,25 III – Se a opção for pelo pagamento em parcelas, então o valor de cada parcela será de R$ 125,00 IV – Se o proprietário parcelar o pagamento e pagar a primeira parcela no dia 20/2/99, então ele pagará R$ 7,50 de acréscimo V – Se a primeira parcela for quitada por R$ 130,00, então isso significará um pagamento com menos de 9 dias de atraso A quantidade de itens certos é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. (TTN) Maria vendeu um relógio por R$ 18.167,50 com um prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por (em R$): a) 22.709,37 b) 26.875,00 c) 27.675,00 d) 21.497,64 e) 26.785,00 04. PROBLEMA: Um número é reduzido em 55%, aumentado a seguir em 215% e posteriormente, reduzido a 40% de seu valor atual, o resultado final é 1.134. Que número era esse, originalmente? a) 1.200 b) 1.600 c) 1.800 d) 2.000 e) 2.200 05. (TTN/89) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um: a) lucro de 5% b) prejuízo de 4% c) lucro de 4% d) prejuízo de 2% e) lucro de 2% 06. A área sombreada representa da figura em que está contida. a) 21,5% b) 18,6% c) 6,25% d) 12,50%
  38. 38. 38 Professor Ivan Zecchin 07. (INSS) A falta de informações dos micros e pequenos empresários ainda é o principal motivo para a baixa adesão ao SIMPLES – o sistema simplificado de pagamento dos impostos e contribuições federais. Segundo pesquisa realizada pelo SEBRAE junto a 1.312 empresas, entre 19 e 31 de março, a adesão ao SIMPLES apresentou o resultado mostrado no gráfico abaixo. Com base nessas informações julgue os itens a seguir. a) O número de empresas consultadas que ainda não decidiram aderir ao SIMPLES é inferior a 280. b) Mais de 260 empresas consultadas, não podem ou não pretendem aderir ao SIMPLES. c) Entre as empresas consultadas, a porcentagem das que já decidiram em relação ao SIMPLES é superior a 74%. d) Entre as empresas consultadas que podem aderir ao SIMPLES, MAIS DE 25% ainda não se decidiram. e) Se o número de empresas que já haviam aderido ao SIMPLES a época da consulta era igual a 900.000, então é correto estimar, com base na pesquisa, que o número total de empresas existentes no Brasil, naquele período, era superior a 2.400.000. 08. O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre o seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em: a) 18% b) 20% c) 30% d) 33% e) 41% 09. De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Essa empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui, também, duas filiais, uma em Outro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Outro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual a: a) 60% b) 40% c) 35% d) 21% e) 14%
  39. 39. Professor Ivan Zecchin 39 10. (FCC) Um comerciante comprou de um agricultor um lote de 15 sacas de arroz, cada qual com 60kg e, por pagar à vista, obteve um desconto de 20% sobre o preço de oferta. Se, com a venda de todo o arroz desse lote ao preço de R$8,50 o kg, ele obteve um lucro de 20% sobre a quantia paga ao agricultor, então o preço de oferta é a) 6.350,00 b) 7.650,25 c) 7.968,75 d) 8.450,50 e) 8.675,00 11. (FCC) Um analista comprou dois aparelhos celulares iguais, com abatimento de 5% sobre o preço unitário P. Vendeu-os no mesmo dia, um com lucro de 4% e outro com lucro de 3% sobre o valor que havia pago. Nessa transação, ele teve: a) lucro correspondente a 6,65% de P b) lucro correspondente a 3,35% de P c) lucro correspondente a 2% de P d) prejuízo correspondente a 3% de P e) prejuízo correspondente a 2% de P 12. (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma empresa gasta 25% com a mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o de matéria-prima baixar 6%, o custo do produto: a) permanecerá inalterado; b) baixará de 2%; c) aumentará de 3,2%; d) baixará de 1,8%; e) aumentará de 1,2% 13. (FCC) A tabela abaixo representa o número de atendimentos realizados em um hospital por 40 médicos, durante certo período: nº de médicos nº de atendimentos 4 5 6 7 8 9 10 6 12 8 Considerando que o ideal é que cada médico atenda de 8 a 10 pacientes neste período, qual é a porcentagem de médicos que não atingiu este padrão? a) 40% b) 25% c) 50% d) 30% e) 60% 14. Publicado o edital de licitação para a compra de 20 monitores de vídeo para microcomputadores, duas empresas apresentam as seguintes propostas: - R$ 870,00 a unidade; 10% de desconto sobre o valor total da compra de 10 ou mais unidades. - R$ 900,00 a unidade; 15% de desconto sobre o valor total da compra de 15 ou mais unidades. Optando pela melhor dessas duas propostas, a entidade economizará. a) R$ 360,00 b) R$ 375,00 c) R$ 380,00 d) R$ 425,00 e) R$ 460,00
  40. 40. 40 Professor Ivan Zecchin 15. (CESGRANRIO) Devido ao calor, o consumo de energia de certa residência vem aumentando 10% ao mês, desde setembro de 2009, chegando a 732,05 KWh, em janeiro de 2010. Qual foi, em KWh, o consumo de energia dessa residência, em outubro de 2009? a) 500 b) 525 c) 533 d) 550 e) 566 GABARITO 1 – D 2 – C 3 – B 4 – D 5 – B 6 – A 7 – F V V V F 8 – C 9 - A 10 – C 11 – A 12 – B 13 - C 14 - A 15 - D 5ª PARTE: Sequências SEQUÊNCIAS PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) Definição Chamamos de PA qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior adicionado a uma constante denominada razão (r). Se a1 , a2 , a3 , ... an é P.A. Então: an = an-1 + r (n > 1) PA crescente e decrescente 1. Uma PA é crescente se, e somente se, an > an-1 ex.: 2, 6, 10, 14, 18 2. Uma PA é decrescente se, e somente se, an < an-1 ex.: 18, 14, 10, 6, 2 nesses casos, a razão será um número negativo. Propriedades 1. se PA é crescente r > 0 2. se PA é decrescente r < 0 3. se PA é estacionária r = 0 4. Dados três termos consecutivos de uma PA, 0 do meio é a média aritmética entre o anterior e posterior. Veja: se: (a, b, c) é uma P.A., então b = (a+c) / 2
  41. 41. Professor Ivan Zecchin onde: - - - (constante) Fórmula do Termo Geral em função de um termo qualquer Particularmente: a Mais propriedades 1. A extremos é igual à soma dos extremos. Soma dos Termos Sn = onde S Definição Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada razão (q). Então: a Classificação da PG 1. PG estacionária Ocorre quando q = 1 onde q é a razão da PG ex.: 5, 5, 5, 5, 5, 5 2. PG oscilante ou alternante. (q < 0) Neste caso, os termos consecutivos tem sinais opostos (ou simétricos). ex.: 2, Professor Ivan Zecchin Fórmula do Termo Geral onde: an é o último termo a1 é o primeiro termo n é a quantidade de termos e r é (constante) Fórmula do Termo Geral em função de um termo qualquer Particularmente: a Mais propriedades 1. A soma de dois termos equ extremos é igual à soma dos extremos. Soma dos Termos Sn = onde Sn é a soma dos termos. PROGRESSÃO GEOMÉTRIC Definição Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada razão (q). Então: an = an- Classificação da PG 1. PG estacionária Ocorre quando q = 1 onde q é a razão da PG ex.: 5, 5, 5, 5, 5, 5 2. PG oscilante ou alternante. (q < 0) Neste caso, os termos consecutivos tem sinais opostos (ou simétricos). ex.: 2, -4, 8, -16, 32 2 ( 1 naa + Professor Ivan Zecchin Fórmula do Termo Geral é o último termo é o primeiro termo n é a quantidade de termos e r é Fórmula do Termo Geral em função de um termo Particularmente: an = a1 + ( n Mais propriedades soma de dois termos equ extremos é igual à soma dos extremos. Soma dos Termos . n é a soma dos termos. PROGRESSÃO GEOMÉTRIC Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada razão -1 . q (n > 1) Classificação da PG 1. PG estacionária Ocorre quando q = 1 onde q é a razão da PG ex.: 5, 5, 5, 5, 5, 5 2. PG oscilante ou alternante. (q < 0) Neste caso, os termos consecutivos tem sinais opostos (ou simétricos). 16, 32 ) Professor Ivan Zecchin Fórmula do Termo Geral n é a quantidade de termos e r é Fórmula do Termo Geral em função de um termo + ( n – 1 ) . r soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. é a soma dos termos. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada razão 1 . q (n > 1) Ocorre quando q = 1 onde q é a razão da PG 2. PG oscilante ou alternante. (q < 0) Neste caso, os termos consecutivos tem sinais Fórmula do Termo Geral n é a quantidade de termos e r é a razão Fórmula do Termo Geral em função de um termo idistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. A (P.G.) Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada razão Ocorre quando q = 1 onde q é a razão da PG Neste caso, os termos consecutivos tem sinais a razão Fórmula do Termo Geral em função de um termo idistantes dos Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada razão Neste caso, os termos consecutivos tem sinais 3. PG crescente Há dois casos a1 > 0 a1 < 0 e 0 < q < 1 4. PG decrescente a1 > 0 e 0 < q < 1ou a1 < 0 e q > 1 Generalizando esta fórmula para qualquer termo Propriedades 1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo central é a média geométrica entre anterior e posterior. 2. O produto de dois termos eqüidistantes do extremos é igual ao produto dos extremos. Soma dos Termos (P.G. finita) 1. Quando q = 1 temos 2. Ca (0, 0, 0, ...) teremos: 3. Se q Sn = Soma dos Termos (PG infinita) Neste caso, 3. PG crescente Há dois casos a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 4. PG decrescente a1 > 0 e 0 < q < 1ou a1 < 0 e q > 1 Generalizando esta fórmula para qualquer termo Propriedades 1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo central é a média geométrica entre anterior e posterior. 2. O produto de dois termos eqüidistantes do extremos é igual ao produto dos extremos. Soma dos Termos (P.G. finita) 1. Quando q = 1 temos 2. Caso a razão seja indeterminada (0, 0, 0, ...) teremos: 3. Se q 1, e Sn = Soma dos Termos (PG infinita) Neste caso, - 1 . − − q aqan 3. PG crescente Há dois casos e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 4. PG decrescente a1 > 0 e 0 < q < 1ou a1 < 0 e q > 1 Fórmula do Termo Geral Generalizando esta fórmula para qualquer termo Propriedades 1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo central é a média geométrica entre anterior e 2. O produto de dois termos eqüidistantes do extremos é igual ao produto dos extremos. Soma dos Termos (P.G. finita) 1. Quando q = 1 temos so a razão seja indeterminada (0, 0, 0, ...) teremos: , existem dua ou Sn = Soma dos Termos (PG infinita) -1 < q < 1 (q 1a Fórmula do Termo Geral Generalizando esta fórmula para qualquer termo 1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo central é a média geométrica entre anterior e 2. O produto de dois termos eqüidistantes do extremos é igual ao produto dos extremos. Soma dos Termos (P.G. finita) so a razão seja indeterminada uas fórmulas: ou Sn = Soma dos Termos (PG infinita) 1 < q < 1 (q 0) Fórmula do Termo Geral Generalizando esta fórmula para qualquer termo 1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo central é a média geométrica entre anterior e 2. O produto de dois termos eqüidistantes do extremos é igual ao produto dos extremos. so a razão seja indeterminada s: 41 Generalizando esta fórmula para qualquer termo 1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo central é a média geométrica entre anterior e 2. O produto de dois termos eqüidistantes dos
  42. 42. 42 Professor Ivan Zecchin EXERCÍCIOS PROPOSTOS / TESTES - PA 1. Seja A o conjunto dos 1993 primeiro números inteiros estritamente positivos. a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? 2. Do conjunto de todos os números naturais n, n < 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto. 3. A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6 e terminado em 44, vale: a) 50 b) 40 c) 35 d) 25 e) 20 4. Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15° semana de tratamento? a) 22,50 kg b) 15 kg c) 10,7 kg d) 10,55 kg e) 10,46 kg EXERCÍCIOS PA / PG 1. Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro. Determine o quinto termo da progressão. 2. Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3, então os termos gerais da PA e da PG correspondentes são: a) 2 + 3n e 2.3n /3 b) 2 + 3n e 3n-1 /2 c) 3n - 1 e 2.3n d) 3 + 2n e 3.2n e) 3n - 1 e (2/3).3n 3. O terceiro e o sétimo termos de uma P.G valem, respectivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa Progressão é: a) b) c) d) e) 30 4. Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b1 + b2 + b3 + b4 = 20, então b4 é igual a: a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 7/2 14 30 7.2 5.6

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