Este documento presenta un estudio sobre la aplicación de la distribución de Weibull al análisis de fallos históricos con el objetivo de mejorar el mantenimiento. Explica conceptos teóricos como curvas de fallos, fiabilidad, mantenibilidad y distribuciones estadísticas. Luego, muestra ejemplos prácticos del cálculo de parámetros de Weibull y ajuste de datos reales a esta distribución mediante software estadístico. Finalmente, concluye sobre la utilidad de este enfoque para la predicción de

1. UNED
PROYECTO FIN DE POSTGRADO
Estudio de mejora del
mantenimiento mediante la
aplicación de la distribución de
Weibull a un histórico de fallos.
Eduardo Romero López
Ingeniero Técnico Industrial (Mecánica)
4 de septiembre de 2012

2. Índice general
1 Introducción y objetivo de este estudio. 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Fundamentos Teóricos. 2
2.1 Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1 Curva de Bañera o de Davies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Curvas de Fallos actuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Fiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Mantenibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Distribución Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Distribución Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.4 Distribución Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.5 Distribución de Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.6 Distribución de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.6.1 Característica de vida, η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.6.2 Características de la distribución Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Cálculo de los parámetros Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Rango de la mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Cálculo de los parámetros β y η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Cálculo del parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Consideraciones sobre el parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Verificación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Test χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Aplicación del método de Weibull. 25
3.1 Ejemplo biparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Ejemplo biparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Ejemplo triparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Ejemplo triparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Ejemplo biparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Conclusiones 36
Apéndices 37
A Diagrama del proceso de trabajo 38
B Software de estadística aplicada, R 40
B.1 Solución distribución biparamétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
B.2 Cálculo del parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
B.3 Solución distribución triparamétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B.4 Paquete Weibull toolkit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I

3. ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL
Bibliografía 49
Fundación UNED II

4. Índice de figuras
2.1 Curva de Bañera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Diferentes curvas de Fallos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Curva que componen la Curva de Bañera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Soluciones posibles según tipo de Fallos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Representación de los estados TBF y TTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Distribución Normal con µ = 0 y σ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Distribución Lognormal con distintos parámetros σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8 Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.9 Distribución Exponencial para distintos valores de θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.10 Función de densidad y distribución para distintos valores de θ. . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11 Distribución de Weibull para distintos valores de β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.12 Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β. . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Gráfico Weibull, ejercicio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Función de Distribución y Fiabilidad, ejercicio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Gráfico de Weibull ejercicio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Gráfico de Weibull ejercicio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Gráfico de Weibull ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Gráfico de fiabilidad y tasa de fallo, ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Gráfico del ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.8 Fiabilidad y tasa de fallo del ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B.1 Captura de pantalla del código R, corriendo sobre la plataforma RStudio. . . . . . . . . 40
B.2 Gráfico de Weibull obtenido a través de la compilación del programa. . . . . . . . . . . 43
B.3 Gráfico del Ecm frente a γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B.4 Gráfico del parámetro γ y su gráfico de Weibull asociado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
B.5 Gráfico de Weibull obtenido del paquete Weibulltoolkit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III

5. Índice de tablas
3.1 Datos ejercicio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Resultados ejercicio 1, TBF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Resultados ejercicio 1, TTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Resultados ejercicio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Datos ejercicio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Resultados del ejercicio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Datos ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8 Resultados ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.9 Datos ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.10 Resultados ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
IV

6. 1
Introducción y objetivo de este
estudio.
1.1. Introducción
La realización de un estudio de mejora de los mantenimientos preventivos, basándonos para
ello en técnicas estadísticas en concreto la distribución de Weibull.
Para la realización del mismo utilizaremos el software libre R. Siendo éste un lenguaje y
entorno de programación orientado a objetos para análisis estadístico y gráfico.
1.2. Objetivo
El objetivo es hallar mediante la aplicación estadística en que etapa de la vida se encuentra
el equipo o conjunto de equipos.
Nos interesa conocer los que se encuentran en etapa de mortalidad infantil, para no apli-
carles mantenimiento preventivo con el consiguiente ahorro que producirá y los que se encuentren
en la etapa de vida útil para optimizar los periodos de mantenimiento preventivo y así obtener un
ahorro en cuanto a frecuencia de preventivo como en mejora de la disponibilidad.
1

7. 2
Fundamentos Teóricos.
2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos
En este apartado veremos como ha ido evolucionando el desarrollo de fallos a lo largo de
la historia del mantenimiento. Partiendo de la conocida “Curva de la Bañera” válida para equipos
relativamente simples en los que la aparición de fallos se debía principalmente a desgastes.
Con el avance de la tecnología cada vez los equipos son más complejos y poseen más com-
ponentes eléctricos - electrónicos. Dichos equipos no se ajusten a la teoría de la curva de la bañera.
Muchos estudios, sobre todo del sector de la aviación han demostrado que existen al menos
seis curvas con diferente modo de aparición de los fallos y sólo un porcentaje muy pequeños de
ellos se ajustan fielmente a la curva de la bañera.
2.1.1. Curva de Bañera o de Davies
La curva de la bañera es un gráfica que representa los fallos durante el período de vida útil
de un sistema o máquina. Se llama así porque tiene la forma una bañera cortada a lo largo.
Figura 2.1: Curva de Bañera.
En ella se pueden apreciar tres etapas:
2

8. 2. Fundamentos Teóricos. 2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos
Mortalidad Infantil o Fallos infantiles: esta etapa se caracteriza por tener una elevada tasa
de fallos que desciende rápidamente con el tiempo. Estos fallos pueden deberse a diferentes
razones como equipos defectuosos, instalaciones incorrectas, errores de diseño del equipo,
desconocimiento del equipo por parte de los operarios o desconocimiento del procedimiento
adecuado.
Fallos normales: etapa con una tasa de errores menor y constante. Los fallos no se produ-
cen debido a causas inherentes al equipo, sino por causas aleatorias externas. Estas causas
pueden ser accidentes fortuitos, mala operación, condiciones inadecuadas u otros.
Fallos por desgastes: etapa caracterizada por una tasa de errores rápidamente creciente. Los
fallos se producen por desgaste natural del equipo debido al transcurso del tiempo.
2.1.2. Curvas de Fallos actuales
Muchos de los planes de mantenimiento se han basado en la curva de la bañera clásica
para definir los mismo pero estudios más actuales procedente del sector de la aviación y militar
han demostrado que los mecanismos de formación de fallos no tienen porque seguir las pautas de
la curva de bañera.
A continuación se muestran en la Figura 2.2 las distintas curvas fallos a lo largo del tiempo
y el porcentaje de cada uno ellos según un estudio de la aviación:
Figura 2.2: Diferentes curvas de Fallos
Curva A La curva de bañera: Alta mortalidad infantil, seguida de un bajo nivel de fallos aleatorios,
terminado en una zona de desgaste. Sólo un 4 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con
equipos mecánicos históricos.
Curva B El tradicional punto de vista: Pocos fallos aleatorios, terminando en una zona de desgaste.
Sólo un 2 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con Equipos o Sistemas sometidos a
fatiga y no diseñados para “vida infinita” como por ejemplo sistemas electrónicos discretos.
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9. 2. Fundamentos Teóricos. 2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos
Curva C Un constante incremento en la probabilidad de fallo. Sólo un 5 % de los fallos siguen esta
curva. Coincide con equipos o sistemas sometidos a corrosión.
Curva D Un rápido incremento en la probabilidad de fallo, seguido de un comportamiento aleatorio.
Sólo un 7 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con equipos electrónicos digitales.
Curva E Fallos aleatorios: No hay relación entre la edad funcional de los equipos y la probabilidad
de que fallen. Sólo un 14 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en rodamientos
bien diseñados.
Curva F Alta mortalidad infantil, seguida de un comportamiento aleatorio de la probabilidad de
fallos. El 68 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en equipos o sistemas hi-
dráulicos y neumáticos de diseño actual.
La conclusión obtenida del estudio de la aviación fue que sólo un 6 % siguen el desarrollo
de fallos según las curvas A+B, y sólo en éstas, será efectivo la aplicación de los mantenimientos
preventivos.
Por lo tanto, existe otro 94 % de fallos que debido a su alta componente aleatoria de aparición
de los fallos no merece la pena hacerle mantenimiento preventivo. Éste sólo inducirá en la aparición
de nuevos fallos por la manipulación innecesaria de los equipos y producirá un aumento en los
costes por mantenimiento preventivo.
Por último se muestra en la Figura 2.31 la curva de la bañera formada por las tres curvas
que la componen y a continuación de ésta en la Figura 2.42 aparece en una matriz las posibles
soluciones en función del tipo de fallo producido.
Figura 2.3: Curva que componen la Curva de Bañera.
1 La imagen de las composición de la curva de la bañera ha sido obtenida de la bibliografía número [2].
2 La imagen de la matriz de tipo de fallo - solución ha sido obtenida de la bibliografía número [2].
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10. 2. Fundamentos Teóricos. 2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad
Figura 2.4: Soluciones posibles según tipo de Fallos.
2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad
2.2.1. Fiabilidad
La fiabilidad R(t) se define como la probabilidad de que un bien funcione adecuadamente
durante un período determinado bajo condiciones operativas específicas (por ejemplo, condiciones
de presión, temperatura, velocidad, tensión o forma de una onda eléctrica, nivel de vibraciones,...
etc).
La fiabilidad se suele representar con la letra R (de la palabra inglesa Reliability), una medida
de la fiabilidad es el MTBF (Mean Time Between Failures), ésta se relaciona con la duración media
entre fallos.
∞
M T BF = R(t)dt (2.1)
0
En la práctica, la fiabilidad se mide como el tiempo medio entre ciclos de mantenimiento o el
tiempo medio entre dos fallos consecutivos MTBF. Se puede medir en general por horas, kilómetros,
horas de vuelo, piezas producidas,... etc.
En la Figura 2.53 se aprecia los distintos TBF que hacen referencia al tiempo de funcio-
namiento de un activo de mantenimiento y los TTR que se refieren a los tiempos de paradas por
reparación.
3 La imagen que representa los estados TBF y TTR ha sido obtenida de la bibliografía número [1].
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11. 2. Fundamentos Teóricos. 2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad
Figura 2.5: Representación de los estados TBF y TTR.
R(t) la Función de Fiabilidad, o dicho de otro modo, la probabilidad de que un componente
nuevo sobreviva más del tiempo t, donde T se define como la vida del bien o componente.
R(t) = P (T > t) = 1 − F (t) (2.2)
F (t) es la Función de Distribución Acumulada siendo la probabilidad de que un compo-
nente nuevo no sobreviva más del tiempo t.
F (t) = P (T ≤ t) (2.3)
Derivando esta última obtenemos la Función de Densidad f (t). Ésta nos da una idea de la
dispersión de la vida del componente.
d
f (t) = F (t) (2.4)
dt
Dividiendo la ecuación 2.4 entre la ecuación 2.2 obtenemos la Tasa de Fallos λ(t).
f (t)
λ(t) = (2.5)
R(t)
λ(t) es una característica de fiabilidad del componente. No tiene interpretación física directa.
Es bastante común que el comportamiento de fallos de un componente sea descrito en términos de
su tasa de fallos.
2.2.2. Mantenibilidad
Se define mantenibilidad M (t) como la propiedad de que el equipo, después de un fallo o
avería sea puesto en estado de funcionamiento en un tiempo dado. Una medida de la mantenibilidad
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12. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
es el MTTR (Mean Time To Repair) o como se conoce en castellano “Tiempo Medio de Reparación”.
En la Figura 2.5 aparece su ecuación y la representación de los distintos TTR que componen el
MTTR.
Es la propiedad de un sistema que representa la cantidad de esfuerzo requerida para con-
servar su funcionamiento normal o para restituirlo una vez se ha presentado un evento de fallo.
Se dirá que un sistema es “Altamente mantenible” cuando el esfuerzo asociado a la restitución sea
bajo. Sistemas poco mantenibles o de “Baja mantenibilidad” requieren de grandes esfuerzos para
sostenerse o restituirse.
Su Tasa de Reparación es µ(t):
1
µ(t) = (2.6)
MTTR
2.2.3. Disponibilidad
Se define la disponibilidad D(t) como la probabilidad en el tiempo de asegurar un servicio
requerido.
Otra definición común en mantenimiento para la disponibilidad es: el porcentaje de equipos
o sistemas útiles en un determinado momento, frente al parque total de equipos o sistemas.
La ecuación de la disponibilidad está en función de la fiabilidad y de la mantenibilidad,
siendo esta:
R(t) M T BF
D(t) = = (2.7)
R(t) + M (t) M T BF + M T T R
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Las distribuciones de probabilidad son funciones matemáticas teóricas que se utilizan para
realizar previsiones, que describen la forma en que se espera que varíen los resultados de un
experimento. Por lo tanto son útiles en mantenimiento, debido a que, ayudan a tomar decisiones en
condiciones de incertidumbre.
Las distribuciones que explicaremos para la aplicación de este proyecto son:
Distribución Normal o de Gauss
Distribución Lognormal
Distribución Rayleigh
Distribución Exponecial
Distribución Gamma
Distribución de Weibull
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13. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Existen otras pero en este estudio nos centraremos en la nombradas anteriormente, por ser
las que están relacionadas con la distribución de Weibull.
2.3.1. Distribución Normal
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia
aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respec-
to de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss. La
importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales,
sociales y psicológicos.
0.4
1.0
0.8
0.3
Distribución de probabilidad
Distribución de densidad
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
0.0
0.0
−4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4
x x
Figura 2.6: Distribución Normal con µ = 0 y σ = 1.
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros
µ y σ y se denota X∼N(µ,σ) si su función de densidad está dada por:
1 1 x−µ 2
f (x) = √ e− 2 ( σ ) (2.8)
σ 2π
x∈ R
µ es la media
σ es la desviación estándar
Su función de distribución es:
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14. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
x (u−µ)2
Φµ,σ2 (x) = e− 2σ 2 du (2.9)
−∞
Esta función se puede expresar en términos de la función especial llamada función de error
(erf ) de la siguiente forma:
1 x−µ
Φµ,σ2 (x) = 1 + erf ( √ ) (2.10)
2 σ 2
Algunas propiedades de la distribución normal son:
Es simétrica respecto de su media, µ
La moda y la mediana son ambas iguales a la media, µ
Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ − σ y x = µ + σ
El intervalo [µ − σ, µ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26 % de la distri-
bución
El intervalo [µ − 2σ, µ + 2σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 95,44 % de la
distribución
El intervalo [µ − 3σ, µ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74 % de la
distribución
2.3.2. Distribución Lognormal
Es la distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria con su logaritmo normal-
mente distribuido. Si x es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces ex tiene
una distribución lognormal.
Una variable puede ser modelada como lognormal si puede ser considerada como un pro-
ducto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno
a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.
La distribución lognormal tiende a la función densidad de probabilidad:
1 2
/2σ 2
f (x; µ, σ) = √ e−(ln x−µ) (2.11)
xσ 2π
Para x > 0 donde µ y σ son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. En
la Figura 2.7 se puede ver como varía la función para distintos parámetros de σ.
Su función de distribución también se puede poner en función de la función de error (erf ):
1 ln(x) − µ
Φµ,σ2 (x) = 1 + erf √ (2.12)
2 σ 2
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15. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
1.0
0.6
σ=0
0.8
0.5 σ = 0.5
σ=2
Distribución de probabilidad
Distribución de densidad
σ=3
0.6
0.4
0.3
0.4
σ=0
0.2
σ = 0.5
0.2
σ=2
0.1
σ=3
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 0.0 0 1 2 3 4 5 6
x x
Figura 2.7: Distribución Lognormal con distintos parámetros σ.
Representando la función de distribución y dándole distintos valores de σ, como se puede
ver en la Figura 2.7.
Algunas propiedades de la distribución lognormal son:
La media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la
media geométrica es igual a eµ y la desviación estándar geométrica es igual a eσ .
1 1
El intervalo [µ − σ, µ + σ] es equivalente a [µgeo /σgeo , µgeo ∗ σgeo ]
2 2
El intervalo [µ − 2σ, µ + 2σ] es equivalente a [µgeo /σgeo , µgeo ∗ σgeo ]
3 3
El intervalo [µ − 3σ, µ + 3σ] es equivalente a [µgeo /σgeo , µgeo ∗ σgeo ]
La distribución Lognormal tiene su tasa de fallo creciente y suele utilizarse para modelar la
fiabilidad de componentes estructurales y electrónicos.
Su desventaja es que es bastante difícil tratarla de forma algebraica, pero su ventaja es
que surge naturalmente como la convolución de distribuciones exponenciales. Por tanto, tiene un
interés práctico considerable con relación a los procesos de fallos físicos.
2.3.3. Distribución Rayleigh
Es una función de distribución continua. Se suele presentar cuando un vector bidimensio-
nal tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribución normal. Su
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16. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
valor absoluto seguirá entonces una distribución de Rayleigh.
1.0
1.2
σ = 0.5
1.0
0.8
σ=1
0.8
σ = 1.5
0.6
Distribución
Densidad
σ=2
0.6
σ = 0.5
0.4
σ=1
0.4
σ = 1.5
0.2
0.2
σ=2
0.0
0.0
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
x x
Figura 2.8: Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ.
Su función de densidad de probabilidad es:
−x2
xe 2σ 2
f (x; σ) = (2.13)
σ2
Donde σ es un factor de escala.
Su función de distribución de probabilidad es:
−x2
F (x; σ) = 1 − e 2σ 2 (2.14)
Su esperanza matemática es:
π
E(x) = σ (2.15)
2
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17. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
2.3.4. Distribución Exponencial
En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con
un parámetro θ > 0 cuya función de densidad es:
1.0
0.5
θ = 0.5
0.8
0.4
θ=1
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
θ = 1.5
0.6
0.3
0.4
0.2
θ = 0.5
0.2 θ=1
0.1
θ = 1.5
0.0
0.0
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
x x
Figura 2.9: Distribución Exponencial para distintos valores de θ.
θe−θx x≥0
f (x) = (2.16)
0 de otro modo
Su función de distribución es:
0 para x < 0
F (x) = P (X ≤ x) = (2.17)
1 − e−θx para x ≥ 0
Su tasa de fallo:
1
λ(x) = (2.18)
θ
Su función de Fiabilidad R(t):
R(x) = e−θx (2.19)
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18. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Su Esperanza matemática o media:
E(x) = M edia = θ (2.20)
La función de distribución que se utiliza más a menudo para modelar la fiabilidad es la
exponencial. El motivo es que:
Es sencilla de tratar algebraicamente
Se considera adecuada para modelar el intervalo de vida funcional del ciclo de vida del dispo-
sitivo
la distribución exponencial aparece cuando la tasa de fallos es constante, λ(t) = λ
La tasa de fallos se considera constante, entonces la función de distribución de los fallos es
exponencial. De las propiedades de ésta se deduce que la probabilidad de que una unidad que está
trabajando falle en el próximo instante es independiente de cuánto tiempo ha estado trabajando.
Esto implica que la unidad no presenta síntomas de envejecimiento: es igualmente probable que
falle en el instante siguiente cuando está nueva o cuando no lo está.
2.3.5. Distribución de Gamma
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias
continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos
a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre
positivos, α y β de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma
Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.
El primer parámetro α sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en
algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero
aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman valores
más grandes de α el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma
de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro β el que determina
la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola
de la derecha. Para valores elevados de β la distribución acumula más densidad de probabilidad
en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo
largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se va
reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de β conducen a una figura
más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más elevado.
La función de densidad de la distribución Gamma es:
1
f (x) = xα−1 e−x/β (2.21)
β α Γ(α)
donde x > 0 y β, α son parámetros positivos. En la Figura 2.10 se muestra la función de
densidad.
La función de distribución es,
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19. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
2.0
1.0
β=1
0.8
β=2
1.5
Distribución de probabilidad
Distribución de densidad
β=3
0.6
β=5
1.0
β=1
0.4
β=2
0.5
β=3
0.2
β=5
0.0
0 1 2 3 4 5 6 0.0 0 1 2 3 4 5 6
x x
Figura 2.10: Función de densidad y distribución para distintos valores de θ.
x
1
F (x) = P [X ≤ x] = α Γ(α)
uα−1 eu/β du (2.22)
β 0
como se puede ver en la Figura 2.10.
La esperanza matemática es,
E(x) = αβ (2.23)
2.3.6. Distribución de Weibull
La distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, está
completamente definida por tres parámetros y es la más empleada en el campo de la Fiabilidad.
En la literatura técnica está muy extendida utilización de la distribución de Weibull bi-
paramétrica (β, η), debido a que, el tercer parámetro es el parámetro de localización, es decir, el
parámetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribución. Trabajando de forma
biparamétrica se asume un error, por eso en este estudio se explicará el cálculo de la distribución
triparamétrica (β, η, γ), debido a que ésta es más exacta.
La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. La función de
densidad de una variable aleatoria:
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20. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
β−1

 β x−γ x−γ β
f (x; η, β, γ) = · · e−( η ) x≥0 (2.24)
 η η
0 para x < 0
Donde β > 0 es el parámetro de forma y η > 0 es el parámetro de escala o característica de
vida y el γ > 0 parámetro de localización de la distribución.
2.5
0.8
β = 0.5
2.0
β=1
Distribución de probabilidad
Densidad de probabilidad
0.6
β = 0.5
β = 1.5
1.5
β=1
β = 2.5
0.4 β = 1.5
β=5
1.0
β = 2.5
0.2
0.5
β=5
0.0
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 1 2 3 4 5
x x
Figura 2.11: Distribución de Weibull para distintos valores de β.
La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es
proporcional a una potencia del tiempo:
Un valor β < 1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
Cuando β = 1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
Un valor β > 1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
Su función de distribución de probabilidad es:
x−γ β
F (x; η, β, γ) = 1 − e−( η ) (2.25)
Para valores de x ≥ 0, siendo nula en x < 0.
En la Figura 2.11 se ve como varía la función de distribución para distintos valores de β.
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21. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Siendo su tasa de fallo:
β−1
β x−γ
λ(x; η, β, γ) = (2.26)
η η
En la Figura 2.12 se puede como varía la tasa de fallo λ para distintos valores de η y β.
TASA DE FALLO
0.016
0.014
β<1
β=1
0.012
β>1
α = 1000
0.010
α = 170
λ
0.008
α = 90
0.006
0.004
0.002
0 20 40 60 80 100
x
Figura 2.12: Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β.
El parámetro de forma β nos indica el tipo de fallo que es, así como el tipo de distribución
probabilística que podemos seguir.
Su función de Fiabilidad R(t):
x−γ β
R(x) = e−( η ) (2.27)
Su Esperanza matemática o media:
1
E(x) = M edia = γ + η · Γ 1 + (2.28)
β
Donde Γ(· · · ) es la función Gamma 4 .
2.3.6.1. Característica de vida, η
La Vida Característica η es el valor del dato que corresponde al 63,2 % del valor del Rango
Medio de la línea recta o dicho de otro modo, la edad a la cual el 63,2 % de las unidades podrían
fallar. Este 63,2 % es,
4 La explicación en detalle de esta función queda fuera del objetivo de este proyecto para más información puede consultar
el siguiente enlace: Función Gamma.
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22. 2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
β β 1
F (x = η, β) = 1 − e−(x/η) = 1 − e−(1) = 1 − = 0,632 = 63,2 %
e1
En el Gráfico de Weibull, puede hacer estimaciones de probabilidades utilizando la línea
recta, o simplemente leyendo la probabilidad en el eje de ordenadas, para un dato. En este estudio
leeremos los siguientes puntos en el eje de ordenada:
beta1: El 1 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 99 %
de la muestra fallará después de dicho tiempo. Para hallarlo trazamos una paralela al eje de
abscisas hasta que corte la recta de regresión y donde corte trazamos una paralela al eje de
ordenadas que marcará el tiempo de fallo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazos
discontinuos y de color negro.
beta5: El 5 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 95 % de
la muestra fallará después de dicho tiempo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazos
discontinuos y de color negro.
beta10: El 10 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 90 % de
la muestra fallará después de dicho tiempo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazos
discontinuos y de color negro.
2.3.6.2. Características de la distribución Weibull
La distribución de Weibull nos ayuda a conocer:
El tipo de mecanismos de fallo que ha sido el causante del mismo.
Cantidad de fallos que se pueden esperar en un futuro.
Fiabilidad de un equipo existente.
Tipo de fallos que se pueden dar:
0 < β < 1 Mortalidad infantil.
β = 1 Tasa de fallo constante.
• Fallos aleatorio independiente del tiempo.
• Errores humanos.
• Errores de Mantenimiento.
• Sistemas de varios componentes.
• Combinación de dos o tres modos de fallos diferentes.
1 < β < 4 Tasa de creciente.
• Implica desgastes tempranos.
• Fatiga de baja frecuencia, con β = 2,5 hasta β = 4.
• Fallos en rodamientos de bolas β = 2.
• Fallos en rodamientos de rodillos β = 1,5.
• Corrosión o erosión con β = 3 hasta β = 4.
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23. 2. Fundamentos Teóricos. 2.4. Cálculo de los parámetros Weibull
• Corrosión o esfuerzos con β = 5 o mayor.
• Fallos en correas β = 2,5.
4 < β Tasa de creciente.
• Envejecimiento operacional.
• Corrosión por esfuerzos.
• Pérdida de propiedades de los materiales.
• Materiales frágiles como la cerámica.
• Algunos tipos de erosión.
Distribución que pueden ser aproximadas a través de la distribución de Weibull:
β = 1 Distribución Exponencial.
β = 2 Distribución de Rayleigh.
3 β 4 Distribución Normal.
2.4. Cálculo de los parámetros de Weibull por el método de los
mínimos cuadrados
2.4.1. Rango de la mediana
Para poder trazar la recta de regresión, se debe calcular un estimador para la función de
distribución acumulativa F (x). Este estimador, llamado Rango de la mediana, es un estimador no
paramétrico basado en el orden de las fallos. Este aspecto implica que la muestra de datos se debe
organizar de menor a mayor (en forma ascendente).
La expresión matemática para este estimador es:
i
Wα (xi ) = n−i+1 (2.29)
i
F1−α,2(n−i+1),2i +
n−i+1
Donde:
Wα (xi ) Rango de mediana para un nivel de confianza (1−α), donde α es el nivel de significancia
y toma el valor de 0,5 para este estimador.
i Orden del fallo
n Número total de la muestra
F1−α,2(n−i+1),2i Valor crítico de la distribución F de Snedecor 5 , evaluada en el nivel de signifi-
cancia α y con grados de libertad v1 = 2(n − i + 1) y v2 = 2i.
5 La explicación en detalle de esta función queda fuera del objetivo de este proyecto para más información puede consultar
el siguiente enlace: Distribución F de Snedecor.
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24. 2. Fundamentos Teóricos. 2.4. Cálculo de los parámetros Weibull
Dada la complicación de la ecuación 2.29 en la literatura técnica está muy extendido utilizar
para aproximar el rango de la mediana la siguiente expresión:
i − 0,3
RM (xi ) = (2.30)
n + 0,4
Aunque la ecuación 2.30 es menos exacta que la ecuación 2.29. En este estudio se utilizará
la ecuación 2.29.
2.4.2. Cálculo de los parámetros β y η
El método de los mínimos cuadrados permite calcular los parámetros de forma y escala,
mediante la transformación doble logarítmica de la función de distribución acumulativa.
Partimos de la función de distribución de Weibull y operando con ella llegamos:
β
F (x) = 1 − e−(x/η)
β
e−(x/η) = 1 − F (x)
1
= 1 − F (x)
e(x/η)β
1 β
= e(x/η)
1 − F (x)
1 β
ln = ln e(x/η)
1 − F (x)
1
ln = (x/η)β
1 − F (x)
1
ln ln = ln(x/η)β
1 − F (x)
1
ln ln = β ln(x/η)
1 − F (x)
1
ln ln = β(ln(x) − ln(η))
1 − F (x)
1
ln ln = β ln(x) − β ln(η)
1 − F (x)
La expresión anterior representa una ecuación lineal de la forma:
y = ax + b
La cual es una recta de regresión con los siguientes parámetros:
1
y = ln ln ; a = β ; x = ln(x) ; b = −β ln(η) (2.31)
1 − F (x)
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25. 2. Fundamentos Teóricos. 2.4. Cálculo de los parámetros Weibull
De la expresión anterior se concluye que el parámetro de forma, β, es la pendiente de la
recta de regresión. F (x) toma los valores del Rango de Mediana (ecuación 2.29).
También se observa que el parámetro de escala η, está en función del intercepto b de la recta
de regresión y del parámetro de forma β, por lo tanto:
b = −β ln(η)
b
− = ln(η)
β
e(−b/β) = eln(η)
Quedando η como:
η = e−b/β (2.32)
2.4.3. Cálculo del parámetro γ
El parámetro γ indica en el tiempo, el momento a partir del cual se genera la distribución.
Este parámetro se halla por métodos de estimación. El proceso que se ha seguido es el siguiente:
1. Se va dando valores a γ y para cada uno de ellos se repetirá el proceso. Donde x es el vector
de los datos de la muestra, que para nuestro caso por ejemplo serán T BF y T T R.
xi = xi − γi
2. Se calcula los valores del eje de abscisas y ordenadas como:
Abscisas: ln(xi )
1
Ordenadas: ln(ln( 1−F (x) )) donde F (x) son los valores del Rango de Mediana.
1
Conjunto de puntos: Conjunto = ln(xi ); ln(ln( 1−F (x) ))
3. Cálculo de la línea de regresión del conjunto de puntos anteriores mediante mínimos cuadra-
dos.
4. Cálculo del error o residuo para cada punto del conjunto anterior.
ei = yi − yDe la linea regresion
5. Cálculo del Error Cuadrático Medio para cada valor de γ.
e2
i
Ecm =
n
6. Se representa gráficamente el Ecm frente al valor de γ con el que ha sido calculado.
7. La solución será el valor de γ que hace mínimo el Error Cuadrático Medio.
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26. 2. Fundamentos Teóricos. 2.5. Verificación del modelo
En este estudio se ha calculado mediante el código de R que puedes encontrar en el apén-
dice B.2, en el que vienen todas las operaciones detalladas.
Una vez obtenido el valor de γ habría que reajustar los parámetros de β y η de la sec-
ción 2.4.2, teniendo en cuenta ahora que en la ecuación 2.31 el valor introducido no será x sino el
x definitivo, una vez calculado el γmin .
2.4.4. Consideraciones sobre el parámetro γ
Si al graficar los puntos de la muestra partiendo de una distribución de Weibull biparamétrica
(γ = 0), aparece una cola de puntos hacia arriba o hacia abajo, separándose de la recta de
regresión entonces es un indicativo de que el parámetro de localización debe ser calculado.
Una cola hacia abajo es indicativo de que un parámetro de localización positivo está presente.
Una cola hacia arriba es indicativo de que un parámetro de localización negativo está presente.
Un parámetro de localización negativo se presenta cuando hay unidades con fallas en servicio,
o unidades en servicio con defectos que causarán fallos. Ejemplos:
• Defectos originados durante el ensamble.
• Defectos originados durante el transporte.
• Defectos originados durante la instalación o montaje.
• Defectos originados durante el almacenamiento.
Valores grandes del parámetro de forma (β > 10) son otro indicativo de que el parámetro de
localización debe ser calculado.
2.5. Verificación del modelo
Para verificar la ley que describe la fiabilidad de los equipos, tomamos un conjunto de
observaciones y proponemos una hipótesis de que ellas siguen una determinada distribución de
probabilidad (Normal, Exponencial, Weibull,...). Luego obtenemos los parámetros asociados a tal
distribución de probabilidad.
La calidad del proceso anterior debe ser verificada. Para ello primero aceptamos que al
imponer una distribución dada se incurre en algún error, pero queremos de que el riesgo de que
ello ocurra sea lo menor posible. Para contrastar los modelos elegidos utilizaremos:
El Test χ2 , cuando el tamaño de la muestra n sea n > 50.
El Test de Kolmogorov-Smirnov (KS), cuando el tamaño de la muestra n sea n ≤ 50.
Los dos contrastes de hipótesis pueden aplicarse a cualquier tipo de variables aunque están
especialmente indicados para variables de tipo discreto o cualitativo en el caso del primero de ellos
(test de χ2 bondad de ajuste) y para variables de tipo continuo en el segundo (test de Kolmogorov-
Smirnov).
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27. 2. Fundamentos Teóricos. 2.5. Verificación del modelo
2.5.1. Test χ2
supongamos que tenemos una muestra de tamaño N de una variable aleatoria discreta o
cualitativa, X, ajustada a un modelo dado por una distribución.
Consideremos una partición del conjunto de valores que puede tomar la variable: S1 , ..., Sn .
En principio, esta partición podrían ser simplemente todos y cada uno de los valores que toma la
variable X, pero, como veremos, es posible que tengamos que agrupar algunos de ellos.
Seguidamente, consideremos la probabilidad, según la distribución dada por el ajuste que
queremos evaluar, de cada una de estas partes.
pi = P [X ∈ Si /H0 ] > 0 (2.33)
De igual forma, calculemos Oi , el número de observaciones de la muestra que caen en cada
conjunto Si .
La idea del test es comparar el número de observaciones Oi que caen realmente en cada
conjunto Si con el número esperado de observaciones que deberían caer en Si si el ajuste es el dado
por nuestro modelo, que sería N × pi . Para ello, una medida que compara estas dos cantidades:
r
(Oi − N ∗ pi )2
D= (2.34)
i=1
N ∗ pi
Si, para una muestra dada, esta variable aleatoria toma un valor d muy alto, indica que
los valores observados no cuadran con el ajuste que hemos propuesto (con lo cuál se rechazaría
la hipótesis nula en favor de la alternativa); si, por el contrario, toma un valor d bajo, indica que
nuestro ajuste corresponde bien con los datos de la muestra, por lo que es aceptable la hipótesis
nula.
El problema final es decidir cuándo el valor de la variable aleatoria D y d, es lo suficiente-
mente alto como para que nos resulte inaceptable el ajuste. Para decidirlo hay que tener en cuenta
que cuando N es razonablemente alto y la hipótesis H0 es cierta, la distribución de probabilidad de
D es χ2 con r − k − 1 grados de libertad, es decir,
N >>
D/H0 −→ χ2
r−k−1 (2.35)
donde k es el número de parámetros que han sido estimados en el ajuste y su valor es según
la distribución tomada:
k = 1 para la distribución Exponencial
k = 2 para la distribución Normal
k = 3 para la distribución de Weibull
Teniendo en cuenta este resultado, se calcula bajo esta distribución la probabilidad de que
se de un valor todavía más alto que d (el p-valor, por tanto).
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28. 2. Fundamentos Teóricos. 2.5. Verificación del modelo
p = P [D > d/H0 ] (2.36)
Si esta probabilidad es inferior al 5 %, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa
con un 95 % de confianza. Dicho de otra forma, se acepta la hipótesis nula sólo si el valor de D entra
dentro del 95 % de resultados más favorables a ella.
Resumen esquemático del proceso:
1. Se enuncia el test definiendo H0 y H1 .
2. Si en la muestra se dan los valores x1 , ..., xm , se calculan las frecuencias esperadas según el
ajuste propuesto de cada valor xi , N × P [X = xi ], i = 1, ..., m. Si alguna de estas frecuencias es
inferior a 5, se agrupa con alguna de la más cercana hasta que sumen una frecuencia mayor
o igual a 5. Se construye así la partición del conjunto de valores posibles para X, S1 , ...Sr ,
cuyas frecuencias esperadas son todas mayores o iguales a 5. En realidad, esto es sólo una
recomendación que puede relajarse: si alguna frecuencia esperada es sólo ligeramente inferior
a 5, no es especialmente grave.
3. Se calculan las frecuencias observadas de cada Si , y lo notamos como Oi .
4. Se calcula el estadístico del test d.
5. Se calcula el p-valor asociado al valor del estadístico.
6. Se toma la decisión (para un nivel de confianza del 95 %):
Si p < 0,05, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa, con un 95 % de confian-
za.
Si p ≥ 0,05, se concluye que no hay evidencias en contra de alarmar que los datos se
ajustan a la distribución dada.
2.5.2. Test de Kolmogorov-Smirnov (KS)
En este caso el test es aplicable sobre todo a variables de tipo continuo. Se basa en la
comparación de la función de distribución teórica propuesta por el modelo cuyo ajuste estamos
evaluando con la función de distribución empírica de los datos.
Concretamente, si tenemos X1 , ..., XN una muestra de una variable aleatoria X, si notamos
por F (x) a la función de distribución del modelo propuesto y por SN (x) a la función de distribución
empírica asociada a la muestra, el estadístico que se utiliza para este contraste viene dado por:
DN = Sup|F (x) − SN (x)| (2.37)
x
A la hora de calcular este máximo debemos tener en cuenta que la variable x es de tipo
continuo.
La hipótesis nula a contrastar es:
H0 : los datos de la muestra se ajustan a la distribución dada por F (x).
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29. 2. Fundamentos Teóricos. 2.5. Verificación del modelo
frente a la hipótesis alternativa:
H1 : los datos de la muestra no se ajustan a la distribución dada por F (x).
Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa cuando el p-valor asociado al valor
que tome DN sea inferior a 0,05.
Resumen esquemático del proceso:
1. Ordenamos los valores de la muestra de menor a mayor: x(1) , ..., x(N ) .
2. Construimos la función de distribución empírica, que en cada valor de la muestra viene dado
i
por SN (x(i) ) = .
N
3. El valor del estadístico se calcula como:
dN = m´x {m´x{|F (x(i) ) − S(N(i) )|, |F (x(i) ) − S(N(i−1) )|}}
a a (2.38)
1≤i≤N
4. Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa si p = P [DN > dN ] < 0,05, con un
(1 − p) ∗ 100 % de confianza.
En el Apéndice A se puede ver un diagrama de flujo completo, de la forma de trabajar con
la distribución de Weibull aplicada al mantenimiento.
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30. 3
Aplicación del método de Weibull.
3.1. Ejemplo biparamétrico
El comportamiento de una máquina en el tiempo se muestra en la siguiente Tabla 3.1 donde
aparecen los distintos TBF y TTR. Se desea conocer cuál fue la disponibilidad de la máquina.
i TBF(Horas) TTR(Horas)
1 110 2
2 330 26
3 120 34
4 220 3
5 225 9
6 218
Tabla 3.1: Datos ejercicio 1.
Partiendo de los datos de TBF compilamos el programa en R para hallar los parámetros de
Weibull así como su gráfico (Figura 3.1), los resultados son los siguientes:
n beta alpha R2 r p.valor beta1 beta5 beta10
6 2,382 234,435 0,888 0,942 0,81957 33,987 67,373 91,144
Tabla 3.2: Resultados ejercicio 1, TBF.
Se puede ver que el coeficiente de determinación R2 y el coeficiente de correlación r no están
en el rango que aconseja el método A por poca diferencia pero como el p − valor > 0,05 aceptamos
con un nivel de confianza del 95 % que la muestra de datos proviene de una distribución de Weibull
y damos por bueno los parámetros obtenidos.
Y para los TTR:
n beta alpha R2 r p.valor beta1 beta5 beta10
5 0,795 15,976 0,929 0,964 0,991232 0,049 0,381 0,942
Tabla 3.3: Resultados ejercicio 1, TTR.
Ahora calculamos el MTBF :
1
M T BF = η ∗ Γ 1 + (3.1)
β
25

31. 3. Aplicación del método de Weibull. 3.1. Ejemplo biparamétrico
90
90
q
q
75
75
q
q
40 55
40 55
q
q
q
Infiabilidad (%)
Infiabilidad (%)
q
25
25
q
7 10 15
7 10 15
q
q
5
5
3
3
2
2
1
1
50 100 150 200 300 0.01 0.05 0.50 5.00 50.00
TBF TTR
Figura 3.1: Gráfico Weibull, ejercicio 1.
Obteniéndose un M T BF = 207,794 Horas.
Ahora calculamos el MTTR:
1
MTTR = η ∗ Γ 1 + (3.2)
β
Obteniéndose un M T T R = 18,182 Horas.
Con los datos anteriores podemos calcular la disponibilidad de la máquina como:
M T BF
D(t) = = 0,919 92 %
M T BF + M T T R
2,382
Representando la función de distribución F (x; 234,345; 2,382) = 1 − e−(x/234,345) y la función
2,382
de fiabilidad R(x; 234,345; 2,382) = e−(x/234,345) como se muestra en la Figura 3.2 podemos calcular
la probabilidad de que la máquina dure más de T horas sin fallos.
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32. 3. Aplicación del método de Weibull. 3.2. Ejemplo biparamétrico
R(t) = P [T > t] = 1 − PF uncion de Distribucion (T )
Por ejemplo:
R(445,105) = P [T > 445,105] = 1 % Probabilidad de que la máquina dure más del 445,105 Horas
es del 1 %.
R(371,591) = P [T > 371,591] = 5 % Probabilidad de que la máquina dure más del 371,591 Horas
es del 5 %.
R(332,725) = P [T > 332,725] = 10 % Probabilidad de que la máquina dure más del 332,725 Horas
es del 10 %.
R(200) = P [T > 200] = 49,58 % Probabilidad de que la máquina dure más del 200 Horas es del
49,58 %.
1.0
Distribución
0.8
Fiabilidad
0.6
0.4
0.2
0.0
0 100 200 300 400 500
Tiempo
Figura 3.2: Función de Distribución y Fiabilidad, ejercicio 1.
3.2. Ejemplo biparamétrico
Un grupo de rodamientos han durado: 801, 312, 402, 205, 671, 1150, 940, 495, 570. Se desea cono-
cer la fiabilidad a las 600 Horas y el M T BF .
Cargamos los datos en el programa R y obtenemos los siguientes resultados:
n beta alpha R2 r p.value beta1 beta5 beta10
9 2,014 705,276 0,998 0,999 0,999999 71,844 161,389 230,725
Tabla 3.4: Resultados ejercicio 2.
Aceptamos los datos de la muestra que sigue una distribución de Weibull con un nivel de
confianza del 95 %.
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33. 3. Aplicación del método de Weibull. 3.3. Ejemplo triparamétrico
Gráfico de Weibull
q
90
q
75 q
q
40 55
q
q
Infiabilidad (%)
q
25
q
7 10 15
q
5
3
2
1
50 100 200 500 1000 2000
TBF
Figura 3.3: Gráfico de Weibull ejercicio 2.
2,014
R(600) = P [T > 600] = 1 − e−( 705,276 )
600
= 0,5143 = 51,43 %
1
M T BF = η ∗ Γ 1 + = 624,9588 Horas
β
3.3. Ejemplo triparamétrico
En la Tabla 3.5, se muestran los tiempos de operación libre de fallos de una máquina. Se
desea conocer:
a) Los parámetros de Weibull.
Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.3 y obtenemos los resultados en
la siguiente Tabla 3.6, así como el gráfico 3.4.
b) M T BF .
1
M T BF = γ + η ∗ Γ 1 + = 7594,479 Horas
β
c) La fiabilidad cuando t = M T BF .
7594,479−1462 1,471
R(7594,479) = e−( 6776,46 ) = 0,264158 26,42 %
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34. 3. Aplicación del método de Weibull. 3.4. Ejemplo triparamétrico
i Tiempo (Horas)
1 2175
2 2800
3 3300
4 3800
5 4250
6 4650
7 5250
8 5840
9 6300
10 6700
11 7150
12 7800
13 8500
14 9200
15 10500
16 11000
17 12600
18 1400
19 15800
Tabla 3.5: Datos ejercicio 3.
n beta eta gamma.min R2 r p.value beta1 beta5 beta10
19 1,471 6776,46 1462 0,999 0,999 0,446702 297,075 899,683 1467,607
Tabla 3.6: Resultados del ejercicio 3.
d) Establecer los plazos de mantenimiento preventivo para garantizar una fiabilidad del 95 %.
t−1462 1,471
R(t) = e−( 6776,46 ) = 0,95 = 95 %
En el gráfico 3.4 se puede ver con línea negra discontinua la beta5 y la beta10 que coincide con el
valor del gráfico cuando se tiene en cuenta γ,
t − γ = η · (− ln(0,95))1/β = 899,683 Horas
despejando t de la ecuación obtenemos,
t = η · (− ln(0,95))1/β + γ = 2361,683 Horas
por lo que establecemos el intervalo de mantenimiento preventivo cada 2361 Horas, para asegu-
rarnos con una probabilidad 95 % de que la máquina trabaje sin fallos.
3.4. Ejemplo triparamétrico
Los tiempos de fallos de una máquina empaquetadora son los que aparecen en la siguiente
tabla 3.7:
Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.3 y obtenemos los resulta-
dos en la Tabla 3.8, así como el gráfico 3.5.
Observando la Tabla 3.8 se puede ver como el P − valor < 0,05 por lo tanto rechazamos la
hipótesis de que este registro de datos provenga de una distribución de Weibull con parámetros
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