material do curso de Combinatória

1. Princípio Fundamental da Contagem
Consideremos r conjuntos
Seja 𝜃 = 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴 𝑟
Então o número de r-uplas ordenadas (sequências de r elementos)
do tipo
(𝑎𝑖1
, 𝑎𝑖2
, … , 𝑎𝑖 𝑟
) ∈ 𝜃
Onde 𝑎𝑖1
∈ 𝐴1, 𝑎𝑖2
∈ 𝐴2, ... , 𝑎𝑖 𝑟
∈ 𝐴 𝑟 é
#𝜃 = 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟
Demonstração:
Se r =2 é imediato, pois caímos no PFC1 já visto.
Suponhamos que a fórmula seja válida para o inteiro (r-1) e
provemos que daí decorre que ela seja válida para o inteiro r.
Para r-1 tomemos as sequências de r-1 elementos
(𝑎𝑖1
, 𝑎𝑖2
, … , 𝑎𝑖 𝑟−1
).
Por hipótese de indução, existem 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟−1 e 𝑛 𝑟
elementos pertencentes ao conjunto 𝐴 𝑟.

2. Cada sequência (𝑎𝑖1
, 𝑎𝑖2
, … , 𝑎𝑖 𝑟
) consiste de uma sequência
(𝑎𝑖1
, 𝑎𝑖2
, … , 𝑎𝑖 𝑟−1
) e 𝑎𝑖 𝑟
∈ 𝐴 𝑟.
Portanto, pelo PFC1, o número de sequências do tipo
(𝑎𝑖1
, 𝑎𝑖2
, … , 𝑎𝑖 𝑟
) é
( 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟−1). 𝑛 𝑟 = 𝑛1 × 𝑛2 × … × 𝑛 𝑟−1 × 𝑛 𝑟
Segue-se então que o teorema é válido ∀𝑟 ∈ 𝑁 𝑒 𝑟 ≥ 2.