1. P - 1
Examen Final - Cuarto Grado de Secundaria
1. La suma de los k primeros términos de una sucesión
de términos enteros cuyo término enésimo es n2
–an
es igual a 6100. Calcule a+k (k > a2
).
A) 42 B) 34
C) 20 D) 35
2. Una panadería produce al día 20 tortas para ser
repartidas a 3 cafeterías ubicadas en el campus de
la Universidad de Ciencias y Humanidades. ¿De
cuántas maneras se puede distribuir las 20 tortas, si
cada cafetería recibe al menos 2 tortas? (Todas las
tortas son iguales).
A) 120 B) 91
C) 152 D) 190
3. Si los términos de una progresión aritmética
verifican
a1+a2+a3+…+a2008=1004
a2+a4+a6+…+a2008=2008
calcule la razón.
A) 2 B) 3
C) –3 D) 1
4. Indique el término enésimo de la progresión
geométrica x x xx x x x x
; ; ;
2 2− +
…
A) 48n+4
B) 216n– 8
C) 216n– 4
D) 28n– 4
5. En un círculo de radio R se inscribe un triángulo
equilátero y en este triángulo equilátero se inscribe
un círculo, y en este círculo un nuevo triángulo
equilátero y así sucesivamente. Halle la suma de
todas las áreas de las regiones generadas incluido el
primer círculo.
A)
R2
2
4
2 3π +( ) u
B)
R2
2
3
3π +( ) u
C)
R2
2
3
4 3π +( ) u
D)
R2
2
3
4 3 3π +( ) u
6. Exprese la siguiente productoria solo en función de n.
k
n
k=
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
2 1
2
1
1( )
π
A)
n n n( )( )+ +1 2 1
3
B)
n n
n
( )
!
2 1+
C)
( )!
!
n
n
−1
2
D)
n
n
+
+
1
2 1
7. A partir de la figura que muestra las gráficas de las
funciones f y g
calcule tanα.
A) –2 B) 2
C) 1 D) 5/4
PP
TEMATEMA
Cuarto Grado de Secundaria

2. P - 2
Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2008
8. Si n representa el número de soluciones que tiene la
siguiente ecuación:
( ) ( )2 1 2 1 2 2
1
3
x x x i
i
+ + − = − + +
=
∑
entonces, calcule el valor numérico de 2n
.
A) 16 B) 32
C) 8 D) más de 32
9. Sean a, b y c números reales positivos tales que
a+b+c=1. Indique el rango de la función
f(x)=x2
–x+
a b
b c
b c
a c
c a
a b
2 2 2
+
+
+
+
+
+
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ si f(0) es
mínimo.
A)
1
4
; + ∞
⎡
⎣⎢ B)
1
4
7
4
;
⎡
⎣⎢
C) 7
4
; + ∞
⎡
⎣⎢
D) [0; +∞〉
10.Halle el equivalente de A
si A
n
n
n n
n
n
= + + + +
+
+
+ + +
C
C C C
0
1 2 +11
1 1 1
2 3 2
… .
A) 2n
+1 B)
2 21n
n
+
−
C)
2 1
2
2n
n
+
−
+
D) 2n+1
–1
11.Se define
f(x)={k∈Z/k < x < k+1} con x∈R–Z
Resuelva f f x3 1 3( )−( )( ) = .
A) 〈1; 2〉 B) 〈3; 4〉
C) 〈2; 3〉 D) 〈4; 5〉
12.Dada la función f cuya regla de correspondencia es
f(x)=x2
–2x, además, f es monótona para todo x ≤ α
y α adquiere su mayor valor real, indique la longitud
del conjunto A.
A={x∈R/∃ f (f(x)), ∀x∈Domf}
A) 2 B) − 2
C) 2 D) 2 2+
13.Según el gráfico, AB=BC. Calcule
MB
BN
.
A) 0,6 B) 0,5
C) 0,25 D) 0,75
14.En el gráfico, O: centro del cuadrado ABCD y AE=2.
Calcule DH si ERI: triángulo equilátero.
A) 2 2 B) 6
C) 2 3 D) 4 3
15.Si O: centro del cuadrado ABCD y EHRC: trapecio
isósceles (CR // EH), calcule x.
A) 30º B) 45º
C) 60º D) 53º

3. P - 3
Examen Final - Cuarto Grado de Secundaria
16.Del gráfico se sabe que AB=BC y PC=2. Calcule BC.
A) 5 B) 6
C) 7 D) 10
17.Dado que HBCD: trapecio isósceles, 3(BP)=4(AH) y
ABRS: cuadrado de centro O, calcule x.
A) 45º B) 37º/2
C) 81º/2 D) 37º
18.Si M, N, H, T, L y Q son puntos de tangencia y
AB=BC=AC=1, calcule MN.
A) 2 B) 3
C) 0,75 D) 0,50
19.En el gráfico, ABCD: cuadrado y T es punto de
tangencia. Calcule m TAP.
A) 6º B) 7º
C) 8º D) 13º
20.Del gráfico se sabe que R=5 y r= 3 2 . Calcule
mAB. (T: punto de tangencia).
A) 7º B) 8º
C) 14º D) 16º
21.Se sabe que AC, AB y BC están en progresión
aritmética de razón uno y los puntos A y C son de
tangencia. Calcule el inradio del triángulo CBN.
A) 0,75 B) 0,70
C) 0,50 D) 0,45

4. P - 4
Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2008
22.Según el gráfico, LC=2(AL). Calcule
NC
AM
.
A) 2 B) 2
C) 3 D) 4
23.Si T: punto de tangencia y BC=2(AB), calcule OA
AT
.
A) 2
3
B)
3
3
C)
6
3
D)
6
2
24.En el gráfico, R=3 y AO=3 3 . Calcule AB. (T: punto
de tangencia).
A) 6 B) 6 2
C) 6 3 D) 3 6
25.En el siguiente gráfico, R=4 y r=3. Calcule el área de
la región sombreada.
A) 73
4
B)
37
4
C)
37
2
D)
29
2
26.Según el gráfico, M y N son puntos de tangencia,
NMBQ es un paralelogramo y OA=R. Calcule el área
máxima del círculo tangente a NQ y NQ.
A)
πR2
8
3 3−( ) B)
πR2
8
3 2 2−( )
C)
πR2
16
3 3+( ) D)
πR2
16
3 2 2+( )
27.Según el gráfico, M, N, Q y S son puntos de tangencia
y MB=5(AM)=5. Calcule RN.
A)
29
30
B)
30
31
C)
25
26
D)
5
6

5. P - 5
Examen Final - Cuarto Grado de Secundaria
28.Se sabe que atanx+bsecx=c.
Halle el valor de asecx+btanx.
A) a b c2 2 2
− − B) a b c2 2 2
− +
C) a b c2 2 2
+ − D) b c a2 2 2
+ −
29.Dadas las condiciones
sen2θ=cosβ; tanθcot2β=1
además, α y β son agudos, halle β+θ en radianes.
A)
π
10
B)
3
5
π
C)
π
4
D)
3
10
π
30.Del gráfico se sabe que BC=7, AB=5 y BD=12.
Calcule senθ.
A) 7/13
B) 3/12
C) 5/13
D) 2/13
Domingo, 26 de octubre de 2008