Resistencia de materiales tema 2

Tema 2 - Esfuerzo y Deformación

Resistencia de Materiales
SEMINARIO DE DISEÑO
MECANICO ESTRUCTURAL
Tema 2 Esfuerzo - Deformación

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESIME AZCAPOTZALCO
Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

Índice de contenido
Índice de contenido
• Introducción

• Sección 1 - Concepto de Esfuerzo

• Sección 2 - Deformaciones

• Sección 3 - Ensayo de tensión

• Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación

• Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

• Sección 6 - Esfuerzos de origen térmico

• Sección 7 - Resumen de ecuaciones

• Sección 8 - Ejemplos
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Introducción

Introducción
En cursos previos al presente, hemos aprendido las condiciones
necesarias para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En forma
sencilla, podemos citarlas de la siguiente forma:

F x 0 F y 0 F z 0

M x 0 M y 0 M z 0

Donde el término ‘F’ representa las fuerzas aplicadas sobre el
cuerpo en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’ de un sistema coordenado ortogonal.
Análogamente, el término ‘M’ está referido a los momentos que se ejercen
en el cuerpo, en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’.
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Introducción

Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra en
equilibrio, con cargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si le
hacemos un corte transversal imaginario dividiéndolo en dos partes,
observaremos que deben generarse fuerzas internas en su sección
transversal para que pueda mantenerse en equilibrio.

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Introducción

Las fuerzas internas que se
generan en la sección transversal se
denominan esfuerzos. Para
determinar éstos, se hace necesario
definir las cargas que están ejercidas
sobre dicha sección; esto se logra
aplicando las condiciones de estática
que recordamos líneas atrás.
Tendremos entonces que, en la
sección de interés, están aplicados
una fuerza y un momento resultante
(‘FR’ y ‘MR’ respectivamente).

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Introducción
Realicemos ahora una descomposición de la fuerza resultante
sobre la sección de interés. Obtendremos una fuerza que es normal al
plano de la sección; ésta es la carga axial (P). El resto de fuerzas están
contenidas en el plano, y se llaman cortantes (V). Observe que la fuerza
cortante total es la sumatoria vectorial de las fuerzas contenidas en el
plano de la sección.

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Introducción

Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momento
resultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de la
sección; ésta representa el momento torsor (T). Las componentes
restantes de momento están contenidas en el plano, y se denominan
momentos flectores (M). La la sumatoria vectorial de todos los momentos
contenidos en el plano resulta en el momento flector total en la sección.

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Introducción

En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre una
sección transversal:

- Carga Axial. Es la componente normal al plano de la fuerza
resultante sobre el mismo.

- Fuerza Cortante. Es la componente de la fuerza resultante
contenida en el plano de la sección transversal.

- Momento Torsor. Es la componente normal al plano del
momento resultante sobre el mismo.

- Momento Flector. Es la componente del momento resultante
contenida en el plano de la sección transversal.

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Sección 1 - Concepto de Esfuerzo

Concepto de Esfuerzo
Esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro de
cuerpos sometidos a cargas.

Para brindar una
definición matemática a este
concepto, tomaremos un
cuerpo cargado
representando las fuerzas
internas que en él aparecen.
Elegiremos un diferencial de
área de la sección
transversal, en la que actúa
una fuerza interna finita
como se muestra.
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Definiremos entonces como Esfuerzo Normal (σ) a la cantidad
de fuerza por unidad de área actuando en dirección normal a ‘ΔA’.
Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma:

Fn
  Lim
A0 A

Si ‘ΔFn’ “sale” de la sección transversal, el esfuerzo normal es de
tracción y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal
es de compresión y se escribe con signo negativo.

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El Esfuerzo Tangencial ó Cortante (t) es la cantidad de fuerza
por unidad de área actuando en dirección tangencial a ‘ΔA’.
Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma:

Ft
t  Lim
A0 A

A diferencia de ‘ΔFn’ ,
cuya dirección puede ser una sola,
‘ΔFt’ puede tener cualquier
dirección en el plano.
El esfuerzo cortante
tendrá la misma dirección y sentido
de ‘ΔFt’.

Como el esfuerzo está integrado en unidades de fuerza sobre
área, se expresa en Pa (N/m2) según el Sistema Internacional y en psi
(Lbf/in2) según el Sistema Inglés.
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Esfuerzo normal promedio en barras cargadas axialmente
La distribución de esfuerzos normales en una sección transversal
de una barra cargada axialmente no es completamente uniforme. Sin
embargo, para este caso específico, podemos definir un esfuerzo normal
promedio en toda la sección transversal, sin temor a cometer un gran error
con esta aproximación. Dicho esfuerzo viene dado por la siguiente
expresión:

P
 (1.1.1)
A
Donde ‘P’ es la carga axial y ‘A’ el área de sección transversal de la
barra. Si la carga ‘P’ es de tracción, el esfuerzo normal es positivo y
viceversa. Es importante recordar que, como el esfuerzo es normal, el área
es perpendicular a la fuerza aplicada.
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Esfuerzo normal de aplastamiento en elementos de unión
pasantes
Observemos la figura que se muestra. En las superficies de
contacto entre el remache y las placas (donde se transmiten fuerzas entre
ellos), se generan esfuerzos de aplastamiento. Estos aparecen en todas
las situaciones similares a la ilustrada (con pernos, pasadores, entre
cojinetes y ejes…).

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En principio, este esfuerzo
puede parecer difícil de identificar
pues a primera vista puede
observarse que el área de contacto
(Acontacto = 2πrL) no es siempre
perpendicular a la fuerza que se
ejerce sobre la misma.
Para calcular este esfuerzo,
proyectamos el área de contacto
sobre un plano normal a la fuerza y
tomamos el valor del área
proyectada, que ahora sería
‘Aproyectada = 2rL’.

Finalmente, el esfuerzo de aplastamiento vendría dado por la
expresión:
P
  (1.1.2)
APLASTAMIENTO
A
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PROYECTADA
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Esfuerzo cortante promedio en elementos de unión pasantes

Considerando el mismo
caso que se nos presentaba en el
apartado anterior, se generan
también esfuerzos cortantes en la
sección transversal del elemento de
unión. Esto se debe a la acción de
una fuerza cortante que intenta
“cizallar” el elemento, tal como se
observa en la figura.

El esfuerzo cortante promedio vendría dado por la expresión:

Pcor tan te
t  (1.1.3)
PROMEDIO
A
En este caso, la fuerza es paralela ó tangente al área.
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Sección 2 - Deformaciones

Deformaciones
Los cuerpos completamente rígidos no existen. Todo elemento se
deforma ante la presencia de cargas sobre él, aunque sea en una
proporción muy pequeña.

Si aplicamos una carga axial de tensión a un cuerpo, observaremos
que éste tenderá a alargarse en el sentido de dicha carga.

Si la carga fuese de compresión, el cuerpo se acortaría en la
dirección de la carga.
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Se llama Alargamiento () al cambio de longitud que experimenta
un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. Según la
figura presentada anteriormente, se puede plantear así:

  L  L f  L0 (1.2.1)

A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nos
será muy útil en el estudio de los materiales: la Deformación Unitaria
Normal (ε). Esta se establece de la siguiente forma:

 L f  L0
  (1.2.2)
L0 L0
Es importante mencionar que, como el Alargamiento y la
Deformación Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptos
están íntimamente relacionados con los esfuerzos normales.
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Cuando un cuerpo se deforma en una dirección, se producen
también deformaciones en las dos direcciones ortogonales a la primera.
Estas deformaciones pueden determinarse utilizando el módulo de Poison
(u).

Si se aplica una carga axial en la dirección de x, se tendrá una
deformación εx, y se producirán deformaciones ‘εy’ y ‘εz’, las cuales pueden
calcularse mediante las relaciones:

 y  u   x (1.2.3a)

 z  u   x (1.2.3b)

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Sección 3 - Ensayo de Tracción

Ensayo de Tensión
Se define como Propiedades Mecánicas a los valores
característicos de esfuerzo, dureza, deformación ó energía con los que un
material responde ante la aplicación de una carga sobre el mismo.

Vale decir que, la selección del material del cual se mecanizará un
elemento dado depende en gran medida de sus propiedades mecánicas; he
allí su importancia.

Existen numerosos ensayos mecánicos con los que se pueden
determinar las propiedades mecánicas de un material; sin embargo, el más
utilizado de ellos, es el Ensayo de Tracción. Este consiste en aplicar una
carga axial de tracción sobre una probeta hecha del material de estudio,
aumentando muy lentamente el valor de dicha carga desde cero hasta que
la probeta se rompa. Cada valor de carga se registra junto con el
alargamiento respectivo que produce. Luego, con los datos obtenidos, se
calcula el esfuerzo normal (σ) ejercido por la carga y la deformación unitaria
(ε) relativa al alargamiento experimentado por la probeta.
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Sección 3 - Ensayo de Tracción

Posteriormente, con los valores de esfuerzo y deformación
calculados, se construye una gráfica que se conoce como Curva Esfuerzo-
Deformación. Es a partir de esta gráfica que pueden obtenerse varias
propiedades mecánicas del material.

Las dimensiones y características de la probeta dependen de la
normativa que se siga. La figura muestra una probeta según las normas
Covenín, donde Do = 12,5mm; L = 50mm; R = 10mm; L’ ≥ L + Do.
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Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación

Curva Esfuerzo - Deformación
Como se expuso anteriormente, es una gráfica donde se observa la
variación del esfuerzo normal (σ) respecto a la deformación unitaria (ε) a
partir de los resultados obtenidos en un ensayo de tracción.

Aunque estas curvas pueden tener múltiples comportamientos
según el material del que se trate, las tendencias que nos interesa estudiar
se muestran abajo.

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Con una mirada superficial sobre las curvas, podemos observar
dos cosas. En primer lugar, los materiales frágiles se deforman muy poco
antes de romperse, a diferencia de los materiales dúctiles. Por otro lado, los
materiales dúctiles pueden presentar ó no zona de fluencia. Si el material es
un metal puro, la curva no presentará este fenómeno, y viceversa si se trata
de una aleación.

Siendo más detallistas, podremos notar que podemos dividir la
curva en varias zonas. Para esto, centraremos nuestra atención en los
materiales con zona de fluencia (por poseer la curva más compleja).
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En primer lugar, podemos
dividir la curva en dos zonas
generales.

La zona elástica (AB) se caracteriza
porque las deformaciones
producidas en esta sección son de
carácter elástico.

Por otro lado, en la zona plástica
(BE) las deformaciones producidas
son permanentes.
En la zona plástica ocurren tres fenómenos:
- Fluencia (tramo BC)
- Endurecimiento por deformación (tramo CD)
- Formación de cuello o estricción (tramo DE).

Estudiaremos ahora cada zona con mayor detenimiento.
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Zona Elástica
Como se mencionó anteriormente, las deformaciones producidas
en esta zona son elásticas, es decir: desaparecen si se retira la carga.
Durante el primer tramo, esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta el
límite de proporcionalidad (σP), a partir del cual cambia su tendencia. Se
cumple entonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la ley
de Hooke:

  E  (1.4.1)

Donde E es el módulo de
Young ó módulo de elasticidad del
material. Este comportamiento
elástico se cumple hasta el límite de
elasticidad (σE), el cual es un valor
de esfuerzo bastante difícil de
conseguir, y es apenas un poco
superior al límite de proporcionalidad
del material.
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Zona de Fluencia
Se presenta en los metales aleados. Está caracterizada por dos
valores de esfuerzo: el punto superior de fluencia y el punto inferior de
fluencia. En esta zona y en las siguientes, las deformaciones serán
permanentes, al igual que todos los cambios en sus propiedades mecánicas
sufridos debido a dicha deformación.

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Zona de Endurecimiento por Deformación
Durante esta etapa, ocurre una disminución uniforme de la sección
transversal de la probeta a lo largo de su longitud L. Para continuar
deformando la probeta, se debe aumentar notablemente el valor de la carga
aplicada, por ello se dice que el material en esta zona se endurece. El
esfuerzo último (σU) marca el final de esta etapa.

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Zona de formación de cuello ó Estricción
En esta fase final ocurre la estricción, que consiste en una
reducción del área de la sección transversal en una zona específica.
Debido a esta reducción, la carga que debe ejercer la máquina de ensayo
para deformar la probeta se hace cada vez menor, aunque en realidad el
esfuerzo en la probeta va en aumento hasta que ocurre la ruptura.

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La curvas mostradas hasta ahora desprecian el fenómeno de
estricción en la probeta. Por ello, se les denomina Curvas Nominales de
Esfuerzo-Deformación. Al considerar la formación de cuello en la probeta, el
esfuerzo real no presenta un valor máximo luego de la fluencia, sino que
aumenta hasta la ruptura del material.

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Finalmente, de las Curvas Nominales de Esfuerzo-Deformación
pueden obtenerse las siguientes propiedades mecánicas:

- Límite de proporcionalidad

- Límite de elasticidad

- Límite(s) de fluencia

- Tenacidad

- Resiliencia.

Ya hemos hablado de las tres primeras propiedades.
Procederemos a brindar una reseña de las restantes.

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La Tenacidad (T0) es la capacidad del material de absorber
energía de deformación plástica antes de romperse, y retener esa energía
aún después que ha cesado la carga que le ha producido la deformación
plástica.
Para calcularla de la forma más precisa posible, se utilizaría la
expresión:
  MAX
T0     d
 0
(1.4.2a)

Donde la Tenacidad queda expresada como energía por unidad de
volumen. Como encontrar una expresión del esfuerzo en función de la
deformación para toda la curva es muy complicado, para materiales dúctiles
se utiliza la expresión:
Y  U
T0    MAX (1.4.2b)
2
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Para materiales frágiles, se utiliza la fórmula:

2
T0   Y   U   MAX (1.4.2c)
3

La Resiliencia (U0) es la capacidad del material para absorber
energía cuando es deformado elásticamente, y luego devolver esa energía
al ser descargado. Se calcula mediante la relación:
1
U 0   E   E (1.4.3)
2
Donde el esfuerzo y la deformación son los valores máximos de la
zona elástica. Al igual que la Tenacidad, la Resiliencia está expresada en
términos de energía por unidad de volumen.
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Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

Estructuras estáticamente
indeterminadas
Al plantear las condiciones de equilibrio para la barra doblemente
empotrada que se muestra en la figura, despreciando su peso, nos queda:

RA  F  RC  0

Notemos que las condiciones de estática no son suficientes para
resolver este sistema. Tenemos dos incógnitas (la carga F es conocida), y
apenas una ecuación que las relaciona.
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Sabemos que la barra, por estar doblemente empotrada, no puede
sufrir ningún alargamiento, bien sea positivo o negativo. Entonces, sería útil
establecer alguna relación entre las cargas a las que está sometida la barra
y las deformaciones que ésta experimenta. Asumiendo que dichas
deformaciones ocurren en el rango elástico, se cumpliría la ley de Hooke:

  E 
Sustituyendo los términos σ y ε, nos quedaría:

P L
 E
A L
Finalmente:
PL
L   
EA
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Hemos conseguido una expresión que nos permite determinar el
alargamiento en una barra, si conocemos sus características geométricas (L,
A), el módulo de rigidez del material (E) y la carga axial a la que está
sometida (P).

Recordando el problema propuesto, condición del mismo era que el
alargamiento total de la barra fuese nulo. A partir de la figura, podemos
observar que el tramo AB está sometido a una carga axial distinta a la del
tramo BC. Entonces, la segunda condición se basaría en las deformaciones
y sería la siguiente:

 AB   BC  0
Nuestro interés reside ahora en encontrar las cargas axiales a las
que están sometidos los tramos AB y BC.

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Para calcular la fuerza axial sobre
el tramo AB de la barra, tomamos la carga
que hay aplicada en el extremo A (RA) y
planteamos una fuerza imaginaria (PAB) en
B, justo antes del punto de aplicación de la
carga F. Esta fuerza imaginaria, la
asumiremos siempre como una carga de
tracción.

Entonces, establecemos la condición de equilibrio del tramo AB,
tomando el sentido izquierdo (tracción PAB) como positivo:
RA  PAB  0  PAB  RA
Y planteamos la ecuación del Alargamiento del tramo AB:

PAB  LAB  RA  LAB
 AB  
E  AAB E  AAB
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Procediendo de forma similar con el tramo BC, se tendría:

RA  F  PBC  0

PBC   RA  F

Igualmente, planteamos la deformación de la barra para el tramo
BC:

PBC  LBC ( RA  F )  LBC
 BC  
E  ABC E  ABC
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Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda:

( RA )  LAB ( RA  F )  LBC
 AB   BC   0
E  AAB E  ABC

Y recordando la condición de equilibrio:

RA  F  RC  0

Tenemos ahora un sistema lineal de dos ecuaciones y dos
incógnitas. Podemos hallar las reacciones RA y RC.

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Sección 6 - Tensiones de origen térmico

Tensiones de origen térmico
Cuando un cuerpo experimenta cambios de temperatura, sufre
variaciones en sus dimensiones (dilataciones y contracciones).
En el caso de una barra que experimente una variación de
temperatura, se puede determinar el alargamiento de la misma mediante la
relación:
    L  T
Donde α es el coeficiente de dilatación térmica y ΔT es la variación
de temperatura que experimenta el cuerpo.
Cuando el alargamiento está restringido (existe algún(os)
elemento(s) que lo prohíben), pueden generarse esfuerzos en el material. Si
el alargamiento producido por ΔT se halla dentro del rango elástico, el
esfuerzo generado puede encontrarse utilizando la ley de Hooke.

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Sección 7 - Resumen de ecuaciones

Resumen de ecuaciones

Esfuerzo normal promedio debido a carga axial:

P

A
: Esfuerzo normal promedio en la sección transversal
P: Carga axial sobre la sección (perpendicular a la sección)
A: Área de sección transversal

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Esfuerzo cortante promedio debido a fuerza cortante:

P
t PROMEDIO 
A

t: Esfuerzo cortante promedio en la sección transversal
P: Fuerza cortante sobre la sección (tangencial a la sección)
A: Área de sección transversal

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Alargamiento normal en un elemento:

  L  L f  L0
: Alargamiento normal en un elemento
Lf: Longitud final del elemento
Li: Longitud inicial del elemento

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Deformación unitaria normal en un elemento:

 L f  L0
 
L0 L0
: Deformación unitaria normal

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Alargamiento normal en un elemento:

  L  L f  L0


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Ley de Hooke:

  E 

: Esfuerzo normal
E: Módulo de Elasticidad ó de Young
: Deformación unitaria normal

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Relación de Alargamiento debido a carga axial:

PL

EA

: Alargamiento normal
P: Carga axial
E: Módulo de Elasticidad ó de Young
L: Longitud del elemento
A: Área de sección tranversal

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Relación de Alargamiento debido a cambios térmicos:

    L  T

: Alargamiento normal
: Coeficiente de dilatación térmica
L: Longitud del elemento
T: Variación de temperatura

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Resiliencia de un material:

1
U 0   E   E
2
U0: Resiliencia
E: Esfuerzo normal máximo de la zona elástica
E: Deformación unitaria normal máxima de la zona elástica

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Tenacidad de un material:
  MAX
T0 

   d
0

Y  U
T0    MAX (materiales dúctiles)
2
2
T0   Y   U   MAX (materiales frágiles)
3

T0: Tenacidad
u, y: Esfuerzos normales último y de fluencia, respectivamente
MAX: Deformación unitaria normal máxima

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Sección 8 - Ejemplo 1
Ejemplo 1
La figura muestra dos barras empotradas como se muestra en la
figura. La barra AB está hecha de Acero ( E = 200E6 MPa) y tiene un
diámetro de 2 cm. La barra BC, de Aluminio ( E = 70E6 Mpa), tiene un
diámetro de 4 cm. Ambas barras tienen 10 cm de longitud. Se aplica una
carga F = 5000 N entre ambas, como se muestra.
Determine las reacciones en los empotramientos y las
deformaciones de las barras.

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En primer lugar, establecemos la condición de equilibrio estático en
el sistema:
RA  5000  RC  0

Donde tenemos dos incógnitas. Procederemos ahora a utilizar las
condiciones de deformación para encontrar una relación más.

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En la barra AB se tendría:

RA  PAB  0

PAB   RA
Planteamos la deformación de la barra AB:

PAB  LAB ( RA )  LAB
 AB  
E  AAB E  AAB

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En el tramo BC, se tendría:

RA  5000  PBC  0

PBC   RA  5000
Igualmente, planteamos la deformación de la barra BC:

PBC  LBC ( RA  5000)  LBC
 BC  
E  ABC E  ABC

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Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda:

( RA )  LAB ( RA  5000)  LBC
 AB   BC   0
E  AAB E  ABC

Sustituyendo todos los términos, resulta:

( RA )  (0,1m) ( RA  5000)  (0,1m)
 0
(200 E 9 Pa)  (0,25    (0,02m) ) (70 E 9 Pa)  (0,25    (0,04m) )
2 2

RA = - 2083,33 N

El signo negativo indica que el sentido real de RA es contrario al
propuesto en el esquema.
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Ahora, utilizando la condición de equilibrio, obtenemos RC:

RA  F  RA  0

Sustituyendo, nos queda:

 2083,33  5000  RA  0
RC = 2916,67 N

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Para el cálculo de las deformaciones, recordamos la condición de
deformación:
 AB   BC   AB   BC

Esto significa que el valor de ambos alargamientos es el mismo;
sólo que uno es positivo (producido por tracción) y el otro es negativo
(debido a compresión). La barra AB está sometida a tracción y la barra BC a
compresión.

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El valor de la deformación será:

( RA )  LAB
 AB   BC 
E  AAB

Sustituyendo todos los términos, resulta:

(2083,33N )  (0,1m)
 AB   BC 
(200 E 9 Pa)  (0,25    (0,2m) 2 )

AB = BC = 3,3157E-6 m

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Ejemplo 2
Un tubo de aluminio (E = 73,1E9 Pa; α =
23E-6 ºC-1) con área transversal de 600 mm2 se
usa como camisa para un perno de acero (E =
200E9 Pa; α = 12E-6 ºC-1) con área transversal
de 400 mm2. La longitud de la camisa es de 15
cm.
Inicialmente, la temperatura es de 15ºC
y la fuerza axial debido al apriete en el perno es
despreciable. Luego se incrementa la
temperatura a 80ºC. Determine el esfuerzo
normal promedio en el perno y la camisa.

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Condición de equilibrio en este problema, es que la carga axial
sobre el tornillo (Fp) debe ser de igual magnitud que la carga sobre la
camisa (Fc), con la diferencia de que el tornillo estará a tracción y la camisa
a compresión. Podemos plantear entonces:

Fp  Fc
Por otro lado, el alargamiento debe también ser igual para ambos.
En este caso, dicho alargamiento será producido por cambio de temperatura
y por carga axial. Por superposición de efectos, nos queda:
 p   c  ( p ) fuerza  ( p )temp  ( c ) fuerza  ( c )temp

Desarrollando cada término:
Fp  L Fc  L
  p  L  T    c  L  T
E p  Ap Ec  Ac
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Utilizando la condición de equilibrio y sustituyendo cada término,
nos queda:
Fp  (0,15m)
 (12 E  6º C 1 )  (0,15m)  (75º C ) 
(200 E 9 Pa)  (400 E  6m 2 )
Fp  (0,15m)
 (23E  6º C 1 )  (0,15m)  (75º C )
(73,1E 9 Pa)  (600 E  6m 2 )

Fp = Fc = 20,26E3 N

Podemos calcular ahora el esfuerzo normal en el perno:

P

A
______________________________________________________________________________
ESIME AZCAPOTZALCO


(20,26 E 3N )

(400 E  6m 2 )

σp = 50,6E6 Pa

Y en la camisa:

(20,26 E 3N )

(600 E  6m 2 )

σc = - 33,8E6 Pa

______________________________________________________________________________
ESIME AZCAPOTZALCO

Resistencia de materiales tema 2

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