transformadalaplace-

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  1. 1. Disciplina: Sistemas de Controle IProf. Mário Uliani NetoAula 03: Transformada Laplace Motivação Alguém já viu uma Brasília amarela passar em uma lombada em alta velocidade? O que irá acontecer?
  2. 2. MotivaçãoIndependente do carro ser uma Brasília, se um carro com oamortecedor velho passar em uma lombada em alta velocidade,ele ficará “pulando” por alguns instantes e, de forma gradativa,deixará de balançar. A figura abaixo ilustra este movimento notempo.Por que isto ocorre?O amortecedor têm a função de amortecer o impacto provocadopela lombada; se ele não funcionar da maneira adequada porestar velho, o amortecimento do impacto será mais lento. MotivaçãoOutro problema clássico de dinâmica de amortecimento é obalanço de um pêndulo.Exercício 1: Amarrar um objeto com peso entre 200 e 500 gramasna ponta de um barbante de 50 cm, segurar a outra ponta emuma das mãos, elevar o objeto mantendo o barbante esticado esoltar. Descrever o que irá acontecer durante os próximos 5 min.
  3. 3. MotivaçãoO problema do carro e do pêndulo são exemplos de movimentosamortecidos, cuja dinâmica pode ser modelada matematicamentepor equações diferenciais.Para a análise e estudo do amortecedor ou pêndulo, faz-senecessária suas representações através de equações diferenciais.Exercício 2: Pesquisar (na internet ou em livros) e apresentar aequação de movimento do pêndulo.Desafio 1: Existem vários jogos de corrida para videogame quepermitem você ajustar a configuração do amortecedor do carrode acorto com o tipo de circuito. É possível montar um sistemapara o controle automático do amortecedor de um carro decorrida de verdade, de acordo, por exemplo, com a velocidade,saliências da pista, etc? Proponha e descreva uma solução. Transformada LaplaceObjetivo da Transformada LaplaceA resolução de equações diferenciais como a produzida pelopêndulo ou amortecedor do carro são, em geral, de relativacomplexidade.A transformada de Laplace é um método que pode ser utilizadopara solucionar equações diferenciais lineares. Funções comuns(por exemplo, senoidais, exponenciais) podem ser convertidas emfunções algébricas de uma variável. Operações de integração ederivação também podem ser substituídas por operaçõesalgébricas.Uma equação diferencial pode ser transformada em umaequação algébrica com uma variável.
  4. 4. Transformada LaplaceVantagens da Transformada LaplaceA solução de uma equação diferencial pode ser obtida por meioda tabela das transformadas de Laplace ou por expansão emfrações parciais (este último será discutido em outro momento docurso).A transformada Laplace permite o uso de técnicas gráficas paraprever o desempenho do sistema, sem necessidade de solucionar aequação diferencial. Transformada LaplaceDefinição da Transformada Laplace ∞ F (s ) = f (t ) e − st dt 0onde: f(t) = função do tempo funç s = variável variá F(s) = transformada de Laplace de f(t)Definição da Transformada Inversa de Laplace c + j∞ 1 f (t ) = F (s ) e st ds 2πj c − j∞onde: c = constante real
  5. 5. Transformada LaplaceExemplo: considere o exemplo do carro passando em velocidadepor uma lombada. O movimento do carro no domínio do temporepresenta uma forma senoidal amortecidaa envoltória deste movimento pode ser representada por umafunção exponencial, conforme representado na linha azultracejada. Esta equação exponencial é definida como: f (t ) = Ae −αt , para t ≥ 0onde A e são constantes. Transformada LaplaceSolução:O cálculo da transformada Laplace da função exponencial érealizado da seguinte maneira:Pegue a equação de Laplace: ∞ F (s ) = f (t ) e − st dt 0Substitua f(t) pela equação exponencial: ∞ ∞ F (s ) = Ae −αt e − st dt = A e −( s +α ) t dt 0 0Resolva a integral da exponencial: 1 −( s +α ) t F (s ) = − A e ∞ 0 s +α
  6. 6. Transformada LaplaceSolução:Substitua os limites 0 e infinito no termo t da exponencialresultante: F (s ) = − A 1 −( s +α ) t s +α e ∞ 0 =− A s +α ( e −( s +α ) ∞ − e −( s +α ) 0 ) A F (s ) = − (0 − 1) s +αCom isso, chegamos à transformada Laplace da funçãoexponencial: A F (s ) = s +α Transformada LaplaceSolução:Percebe-se que a função exponencial foi substituída por umafunção algébrica simples com uma única variável s. A F (s ) = s +αOperações com equações diferenciais tornam-se mais simplesrealizando os seguintes passos: - calcular a transformada Laplace; - realizar operações algébricas simples; - calcular a transformada inversa de Laplace, obtendo a solução da equação diferencial.
  7. 7. Transformada LaplaceSolução: análise de estabilidade.O sinal f (t ) = Ae −αt (função exponencial) assume diferentes formasdependendo do valor de . Se > 0, f(t) é um sinal decrescente:Se < 0, f(t) é um sinal crescente: Transformada LaplaceSolução: análise de estabilidade.Para o caso do amortecedor do carro e do pêndulo, fica claro ofato de que o sinal deve ser decrescente, pois a oscilação tende aparar com o passar do tempo, ou seja, > 0. Caso contrário, se osinal for crescente, teremos uma condição de instabilidade, pois ocarro tenderia a pular cada vez mais após passar pela lombada.
  8. 8. Transformada LaplaceExercício 3: A transformada Laplace das funções mais comuns,como as funções exponencial e senoidal, são conhecidas eencontram-se disponíveis na internet. Pesquise a transformadaLaplace das funções mais comuns e crie sua tabela detransformadas de Laplace.Exercício 4: Calcule a transformada Laplace da funçãocossenoidal com o auxílio de sua tabela de transformadasconstruída no exercício 3: f (t ) = 0, para t < 0 f (t ) = cos(ω t ) para t ≥ 0 Transformada LaplaceDesafio 2: propor um problema prático de seu cotidiano quepossa ser resolvido por meio da Transformada Laplace. Modelareste problema e indicar como aplicar a transformada Laplacepara resolvê-lo.

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