1. 25. Oktober 2005
Schwach dissipative Timoshenko Systeme
mit second sound –
Globale Existenz und exponentielle
Stabilität
Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Lehrstuhl Prof. Dr. R. Racke
Diplomand: Michael Pokojovy
Betreuer: Prof. Dr. Reinhard Racke

2. Timoshenkos Balkentheorie
Stephan Timoshenko
(1878-1972)
Balken sind im allgemeinen
mehrdimensionale Festkörper.
Die Balkentheorien beschäftigen
sich mit gewissen
Approximationen, welche das
elastische Verhalten von
Festkörpern aufgrund ihrer
Längscharakteristiken
beschreiben.

3. Beispiel
Beispiel: Eine Brücke kann als Balken betrachtet werden,
indem man die Querschwingungen vernachlässigt.

4. Schwingende Saite
•Als das einfachste Beispiel eines Balkens (sowie eines
elastischen Körpers) kann eine schwingende Saite dienen:

5. Schwingende Saite
Die Schwingungen werden durch die hyperbolische
Differentialgleichung
0),,0(,0
),(),(
2
2
2
2
≥∈=
∂
∂
−
∂
∂
=− tLx
x
xtu
t
xtu
uu xxtt
beschrieben. Diese Gleichung heißt Wellengleichung.
Man definiert die Energie der Lösung der Wellengleichung:
( )∫ +=
L
xt dxxtuxtutE
0
22
),(),(
2
1
)(
Die Energie bleibt erhalten, d.h. constEtE == )0()(
kinetische Energie potentielle Energie

6. Kopplung mit Wärmeleitung
• Die elastischen Schwingungen eines Körpers sind mit
dem Wärmefluss eng verbunden.
• Bei der reinen Wellengleichung ist dieser
Zusammenhang aber nicht berücksichtigt.
• Um die physikalischen Phänomene adäquater zu
beschreiben, benötigt man kompliziertere
mathematische Modelle.
Ergo:

7. Wärmeleitung

8. Wärmeleitung
Die Wärmeleitung lässt sich durch die parabolische Differentialgleichung
0),,0(,0
),(),(
2
2
≥∈=
∂
∂
−
∂
∂
=− tLx
x
xtu
t
xtu
uu xxt
beschreiben. Diese Gleichung heißt Wärmeleitungsgleichung.
Man definiert die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung:
∫=
L
dxxtutE
0
2
),(
2
1
)(
Die Energie fällt exponentiell ab, d.h. )0,()0()( 2
>≤ −
αα
cecEtE t
Wärmeenergie

9. Exponentielle Stabilität
t
)(tE
Die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung klingt
exponentiell ab. Diese Eigenschaft heißt exponentielle
Stabilität.

10. Mathematische Balkentheorie
• Die von Timoshenko vorgeschlagene Balkentheorie ist die
Verallgemeinerung der klassichen mechanischen Balkentheorie
von Euler und Bernoulli. Ihre mathematische Formulierung ergibt
ein System partieller Differentialgleichungen.
• Im R1
hat das Timoshenko System die Gestalt:
( )
0
0
0),(
3
2
1
=+−
=+++−
=−
txxxt
xxxxtt
xxtt
kb
γψκθθρ
γθψϕψψρ
ψϕσϕρ
(Zuzüglich Anfangs- und Randbedingungen)

11. Energie des Timoshenko Systems
( )∫ +++++=
L
xxtt dxxtkbtE
0
2
3
222
2
2
1 ),(
2
1
)( θρψϕψψρϕρ
Energie
exponentielle obere Schranke

12. Klassisches Timoshenko System
• Es wurde für Timoshenko Systeme schon
gezeigt:
1) Existenz einer eindeutigen globalen Lösung
2) Exponentielle Stabilität wegen Dissipation
(Dämpfung durch Wärme) unter der
Voraussetzung:
kb
21 ρρ
=

13. Fourier vs. Cattaneo Gesetz
Die klassischen Wärmeleitungsmodelle (Fourier Gesetz)
0=− xxt θθ
modellieren unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Dieses physikalische Paradoxon wird für einige
Situtationen behoben durch ein hyperbolisches Cattaneo
Gesetz:
)(0 kleinxxttt τθθτθ =−+

14. Diplomarbeitsziel
• Meine Aufgabe ist es, die exponentielle
Stabilität und globale Lösbarkeit des
nichtlinearen Timoshenko Systems mit
second sound (Cattaneo Gesetz) zu
untersuchen.

15. Anwendung
• Reinigung von Chips mithilfe von Lasern
• Konstruktion von Brücken bei großen
Temperaturschwankungen

16. Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!