Ondas Mecânicas: Características e Classificação

Ondas Mecˆanicas
Curso de F´ısica 2
Dayanne Fernandes
Semestre 2016-2
Cefet - NF
Dayanne Fernandes Ondas Mecˆanicas Curso de F´ısica 2

O que s˜ao...
Alguns exemplos:

O que são...
Ondas Mecânicas são perturba¸cões que se propagam num meio
devido às propriedades elásticas do mesmo.
Mostrar Gif - http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/
waves/wavemotion.html

O que são...
Uma onda transporta energia e momento e NÃO transporta
matéria.
Figura: Pulso

O que s˜ao...
mat´eria.
Figura: Pulso
Figura: Trem de Pulsos

O que são...
matéria.
Figura: Pulso
Figura: Trem de Pulsos
Figura: Onda Harmônica

Classifica¸cão
Segundo o meio de propaga¸cão:
Mecânica
1 onda numa mola;
2 onda na água;
3 som.

Classifica¸cão
Segundo o meio de propaga¸cão:
Mecânica
1 onda numa mola;
2 onda na água;
3 som.
Eletromagnética
1 luz;
2 raio-X;
3 raios Gamas.

Classifica¸cão
Segundo a dire¸cão de propaga¸cão:
Unidimensional - Onda na corda.

Classifica¸cão
Bidimensional - Onda na água, tambores.

Classifica¸cão
Bidimensional - Onda na água, tambores.
Tridimensional - Som.

Classifica¸cão
Segundo à dire¸cão de propaga¸cão da onda e a de oscila¸cão de cada
ponto:
Transversais

Classiﬁca¸c˜ao
ponto:
Transversais
Longitudinais

Classifica¸cão
ponto:
Transversais
Longitudinais
Composi¸cão de Transversal com Longitudinal

Classifica¸cão
ponto:
Transversais
Longitudinais
Composi¸cão de Transversal com Longitudinal
Mostrar Mola Maluca

Classifica¸cão
Segundo sua periodicidade:
Periódicas

Classifica¸cão
Segundo sua periodicidade:
Periódicas
Aperiódicas

Classifica¸cão
Segundo a propaga¸cão de Energia:
Progressivas

Classifica¸cão
Segundo a propaga¸cão de Energia:
Progressivas
Estacionárias

Frente de ondas
Figura: Cristas circulares representam frente de onda.
Figura: Frentes de ondas esf´ericas e planas

Matematizando...
O pulso caminha em x conforme o tempo vai passando, sem
perder sua forma [Applet]. Assim a equa¸cão que descreve o pulso é
fun¸cão da posi¸cão e do tempo:

Matematizando...
O pulso caminha em x conforme o tempo vai passando, sem
perder sua forma [Applet]. Assim a equa¸cão que descreve o pulso é
fun¸cão da posi¸cão e do tempo:
y = y(x, t)

Matematizando...
O pulso viaja com velocidade v para direita sem perder a forma.
Para um dado referencial O X Y temos que:
y(x, 0) = y (x , t) = f (x )

Matematizando...
y(x, 0) = y (x , t) = f (x )
Assim
y(x, t) = f (x − vt)

Matematizando...
y(x, 0) = y (x , t) = f (x )
Assim
y(x, t) = f (x − vt)
Onde v ´e a velocidade de propaga¸c˜ao da onda e o sinal negativo
indica que a onda viaja para a direita.

Matematizando...
Precisamos saber qual é a cara da fun¸cão f (x − vt). Para tal
vamos utilizar ondas harmônicas, que são fun¸cões seno ou cosseno.
f (x ) = A cos kx .

Matematizando...
f (x ) = A cos kx .
Onde
x = x ± vt,

Matematizando...
f (x ) = A cos kx .
Onde
x = x ± vt,
temos
f (x ) = A cos(kx − ωt),
com ω = kv.

Matematizando...
f (x ) = A cos kx .
Onde
x = x ± vt,
temos
f (x ) = A cos(kx − ωt),
com ω = kv.
y(x, t) = A cos(kx − ωt).

Onda Harmˆonica
Generalizando,
y(x, t) = A cos(kx − ωt + φ),

Onda Harmônica
Generalizando,
Através da figura abaixo, podemos analisar o comportamento de
uma onda harmônica em fun¸cão da posi¸cão e do tempo.

Onda Harmônica
Generalizando,
Através da figura abaixo, podemos analisar o comportamento de
uma onda harmônica em fun¸cão da posi¸cão e do tempo.
Cada ponto do meio oscila num Movimento Harmônico Simples.
[Applet]

Onda Harmˆonica
Grandezas importantes:
Amplitude A;

Onda Harmˆonica
Amplitude A;
Comprimento de onda λ;

Onda Harmˆonica
Amplitude A;
numero de ondas k;

Onda Harmˆonica
Amplitude A;
numero de ondas k;
per´ıodo T;

Onda Harmˆonica
Amplitude A;
numero de ondas k;
per´ıodo T;
frequˆencia ν;

Onda Harmônica
Amplitude A;
numero de ondas k;
per´ıodo T;
frequência ν;
frequência angular ω;

Onda Harmônica
Amplitude A;
numero de ondas k;
per´ıodo T;
frequência ν;
velocidade de propaga¸cão da onda v;

Onda Harmˆonica
Amplitude A;
numero de ondas k;
per´ıodo T;
frequˆencia ν;
fase da onda kx − ωt + φ;

Onda Harmˆonica
Amplitude A;
numero de ondas k;
per´ıodo T;
frequˆencia ν;
fase da onda kx − ωt + φ;
constante de fase φ.

Onda Harmˆonica
Algumas rela¸c˜oes importantes:

Onda Harmˆonica
N´umero de Onda:
k =
2π
λ

Onda Harmˆonica
N´umero de Onda:
k =
2π
λ
Per´ıodo:
T =
2π
ω

Onda Harmˆonica
N´umero de Onda:
k =
2π
λ
Per´ıodo:
T =
2π
ω
Velocidade:
v =
λ
T
= λν =
ω
k

Equa¸cão da onda
Considere
y(x, t) = A cos(kx − ωt + φ)
como solu¸cão da equa¸cão de onda.

Equa¸cão da onda
Considere
Para encontrar a equa¸cão que tem como solu¸cão a equa¸cão acima,
pegamos suas derivadas parciais:

Equa¸c˜ao da onda
Considere
∂2y(x, t)
∂t2
= Aω2
cos(kx − ωt + φ)
∂2y(x, t)
∂x2
= −Ak2

Equa¸c˜ao da onda
Considere
∂2y(x, t)
∂t2
= Aω2
∂2y(x, t)
∂x2
= −Ak2
Igualando as express˜oes acima, temos:
∂2y(x, t)
∂x2
−
1
v2
∂2y(x, t)
∂t2
= 0, (1)
com 1
v2 = k2
ω2 .

Velocidade da onda
A onda se propaga com uma velocidade, que é conhecida como
velocidade de propaga¸cão da onda ou velocidade de fase.
Vamos pegar a fase da onda, que para qualquer ponto da onda se
mantém constante:
(kx − ωt + φ) = cte

Velocidade da onda
A onda se propaga com uma velocidade, que é conhecida como
velocidade de propaga¸cão da onda ou velocidade de fase.
Vamos pegar a fase da onda, que para qualquer ponto da onda se
mantém constante:
(kx − ωt + φ) = cte
Derivando a expressão anterior, temos:
(kdx − ωdt + 0) = 0
’
v =
dx
dt
=
ω
k

Velocidade da onda
Do que depende a velocidade de propaga¸c˜ao de uma onda?

Velocidade da onda
Do que depende a velocidade de propaga¸cão de uma onda?
v =
τ
µ
,
onde τ é a tensão na corda e µ é a densidade linear da corda
(µ = dm
dl ).

Velocidade de fase e de grupo
Até o momento estamos considerando ondas puramente
harmônicas, porém na natureza as ondas são mais complexas.
Através da série de Fourier podemos escrever estas ondas como
uma composi¸cão de ondas harmônicas.
.

Figura: As ondas componentes propagam com velocidade de fase e o
pacote de ondas com velocidade de grupo.
.

Figura: As ondas componentes propagam com velocidade de fase e o
pacote de ondas com velocidade de grupo.
Em meios n˜ao dispersivos a velocidade de fase = velocidade de
grupo.

Velocidade e acelera¸c˜ao da part´ıcula
Para uma onda y(x, t) = A cos(kx − ωt + φ), temos:

Velocidade Transversal:
u(x, t) =
∂y
∂t
= Aω sen(kx − ωt + φ)

Velocidade Transversal:
u(x, t) =
∂y
∂t
= Aω sen(kx − ωt + φ)
Acelera¸c˜ao Transversal:
a(x, t) =
∂v
∂t
= −Aω2

Refra¸c˜ao de Pulsos
Quando uma onda com velocidade v = λν se propaga em meios
dinstintos, temos:
v1
λ1
=
v2
λ2

Reﬂex˜ao de Pulsos

Num eixo ﬁxo:

Num eixo ﬁxo:
Num eixo livre:

Num eixo ﬁxo:
Num eixo livre:
Mostrar movimento de pulsos com os eixos livre e ﬁxo no Applet.

Superposi¸cão
Como é poss´ıvel identificar o som de vários instrumentos musicais
que compõem uma música em um show?

Superposi¸cão
Isso é poss´ıvel gra¸cas ao Princ´ıpio da Superposi¸cão de Ondas.

Superposi¸cão
Pr´ıncipio da Superposi¸cão: é quando várias ondas se combinam em
uma região do espa¸co, de maneira que uma part´ıcula do meio se
desloca de acordo com a soma vetorial dos deslocamentos que
cada onda sozinha provocaria na mesma.

Superposi¸cão
Pr´ıncipio da Superposi¸cão: é quando várias ondas se combinam em
uma região do espa¸co, de maneira que uma part´ıcula do meio se
desloca de acordo com a soma vetorial dos deslocamentos que
cada onda sozinha provocaria na mesma.
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
com y1 e y2 representando duas ondas distintas.

Superposi¸c˜ao
Figura: Superposi¸c˜ao de ondas senoidais em fase em x = 0, com mesma
velocidade, se movendo no mesmo sentido e λ1 = 3λ2.

Superposi¸c˜ao
Figura: Linha tracejada - onda dente de serra - composta por ondas
senoidais da s´erie de Fourrier.

Superposi¸cão
Figura: Linha tracejada - onda dente de serra - composta por ondas
senoidais da série de Fourrier.
Série de Fourrier - Qualquer onda periódica pode ser representada
por uma combina¸cão de várias ondas senoidas (MHS).

Superposi¸c˜ao
A onda dente de serra anterior pode ser escrita como:
y(x, t) = −
1
π
sen(kx−ωt)−
1
2π
sen(2kx−ωt)−
1
3π
sen(3kx−ωt) . . .

Potência e Intensidade
Figura: Análise da for¸ca que uma part´ıcula exerce na outra para
realiza¸cão de trabalho.

Se a onda transporta energia isto permite que a energia que chega
a um certo ponto realize trabalho. Vamos então descobrir com que
taxa uma onda y(x, t) = A sen(kx − ωt + φ) transporta energia.
P = u.F = uFy
onde u é a velocidade transversal da part´ıcula e
Fy = F sen θ = F tg θ = F
∂y
∂x
.
Assim:
P =
∂y
∂t
F
∂y
∂x
,
simplificando P = A2µvω2 cos2(kx − ωt + φ).

A potência média se´ra P = 1
2A2µvω2 e a intensidade:
I =
P
A
A intensidade I é definida como a potência média transmitida por
unidade de área através de uma superf´ıcie A normal à dire¸cão de
propaga¸cão da onda.

Interferˆencia
Figura: Duas ondas defasadas que caminham no mesmo sentido.

Interferência
Vamos considerar duas ondas senoidais que caminham no mesmo
sentido com velocidade v, mas que apresentem fases distintas,
como y1(x, t) = A sen(kx − ωt + φ1) e
y2(x, t) = A sen(kx − ωt + φ2).
De acordo com o Princ´ıpio da Superposi¸cão:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t).
Usando a identidade trigonométrica:
sen B + sen C = 2 sen[
1
2
(B + C)] cos[
1
2
(B − C)].

Interferência
Vamos considerar duas ondas senoidais que caminham no mesmo
sentido com velocidade v, mas que apresentem fases distintas,
como y1(x, t) = A sen(kx − ωt + φ1) e
y2(x, t) = A sen(kx − ωt + φ2).
De acordo com o Princ´ıpio da Superposi¸cão:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t).
Usando a identidade trigonométrica:
sen B + sen C = 2 sen[
1
2
(B + C)] cos[
1
2
(B − C)].
Temos:
y(x, t) = [2A cos(
∆φ
2
)] sen(kx − ωt + φ )
com φ = (φ1+φ2)
2 e ∆φ = φ2 − φ1 (diferen¸ca de fase).

Ondas Estacionárias
E quando duas ondas caminham em sentidos opostos?
Pegando duas ondas com φ = 0 temos, y1(x, t) = A sen(kx − ωt)
e y2(x, t) = A sen(kx + ωt).
Usando o Princ´ıpio da Superposi¸cão:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A sen(kx − ωt) + A sen(kx + ωt)
Usando a identidade trigonométrica anterior, chegamos a:
y(x, t) = [2A sen kx] cos ωt

E quando duas ondas caminham em sentidos opostos?
Pegando duas ondas com φ = 0 temos, y1(x, t) = A sen(kx − ωt)
e y2(x, t) = A sen(kx + ωt).
Usando o Princ´ıpio da Superposi¸cão:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A sen(kx − ωt) + A sen(kx + ωt)
Usando a identidade trigonométrica anterior, chegamos a:
y(x, t) = [2A sen kx] cos ωt
Agora y(x, t) não é mais progressiva pois não aparecem os termos
(x ± ωt) em sua expressão.

A amplitude [2A sen kx] tem valor m´aximo para:
kx =
π
2
,
3π
2
,
5π
2
...
ou
x =
λ
4
,
3λ
4
,
5λ
4
...
e valor m´ınimo para:
kx = π, 2π, 3π...
ou
x =
λ
2
, λ,
3λ
2
...

Ressonância
Dada uma corda de comprimento L para que uma onda
estacionária se forme nela, temos que a distância entre cada nó é
λ
2 , assim L = λ
2 :
Generalizando:
L = n
λ
2
com n = 1, 2, 3....

Ressonˆancia
Podemos ainda escrever:
λn =
2L
n
com n = 1, 2, 3....

Ressonˆancia
Podemos ainda escrever:
λn =
2L
n
com n = 1, 2, 3....
E desta forma as frequˆencias ressonantes seriam: νn = v
λn
.

Exercitando
A equa¸cão para uma onda transversal que se propaga em uma
corda é dada por
y = (2, 30 × 10−3
) sen(18, 2x − 588t),
onde x e y são dados em metros e t em segundos. Encontre para
essa onda (a) a amp´litude, (b) a frequência, (c) a velocidade, (d) o
comprimento de onda, e (e) a velocidade transversal máxima de
uma part´ıcula da corda.

Referências I
Figura onda corda - https://en.wikibooks.org/wiki/
High_School_Chemistry/The_Wave_Form_of_Light
Figura onda água - https://enciclopediadafisica.
wordpress.com/2011/11/12/ondas/
Figura onda som - http://cienciasfisicoquimicas789.
blogspot.com.br/2013/03/som.html
Figura onda s´ısmica -
https://www.youtube.com/watch?v=Q0e46gJL_Wk
Gifs - http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/
wavemotion.html
Figuras pulso e ondas harmônicas - Applet -
https://phet.colorado.edu/sims/html/
wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html
Figura long e trans http://pratico-e-basico.blogspot.
com.br/2016/08/ondulatoria.html

Referências II
Hallyday - F´ısica 2, 4a Edi¸cão
Freedman - F´ısica II, Termodinâmica e Ondas, 12a Edi¸cão
Moysés - Curso de F´ısica Básica 2, Fluidos, Oscila¸cões e
Ondas, Calor, 4a Edi¸cão
V´ıdeo Aula Unicamp - https://www.youtube.com/watch?
v=p3QjNd2eA14&list=PL516F59E9AE8F5BF7
Ondas Mêcanicas UFSC - https://moodle.ufsc.br/mod/
book/tool/print/index.php?id=504285

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