4 sistemas com um grau de liberdade
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introduction to mechanical vibrations, dedicated for systems with 1DOF. slides are in portuguese language.

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4 sistemas com um grau de liberdade 4 sistemas com um grau de liberdade Presentation Transcript

  • Vibração e Ruido Universidade Metodista de AngolaFaculdade de Engenharia Mecâtronica Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala 1
  • Programa 3-Sistemas com um grau de Liberdade  3.1-Resposta em vibração livre não amortecida  3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso  3.3-Resposta me Vibração livre amortecida  3.4-Movimento harmonico da base de suporte  3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibrações Davyd da Cruz Chivala 2
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida Davyd da Cruz Chivala 3
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida Davyd da Cruz Chivala 4
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso  Davyd da Cruz Chivala 5
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso  Assumindo solução do tipo q(t ) = Ce λt (1) teremos:  mλ2 + cλ + k = 0 que se pode tambem escrever λ2 + c λ + k = 0 2 c  c  k m m  A solução desta equação λ1, 2 = − ±   − 2m 2m  m λ t subistituindo na eq.1 teremos: q(t ) = C1e + C2eλ t 1 2  c 2   c 2  −  c  k t −  c  k t  +   −   −   −  q (t ) = C1e  2m  2m  m   2m  2m  m     + C2 e   (2)    2  c  k   −  t    2 −  c  − k  t  2m   c     2m  m  − q(t ) = e C1e    2m  m     + C2 e         Analizando (2) temos: c − 1. o termo e 2 m eh exponencialmente decrescente Davyd da Cruz Chivala 6
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso 2  c  k     > 2. Quando  2m  os expoentes serão numeros reais e m não ocorrera oscilações, nestas condições o sistemas chaman-se superamortecidos 2  c  k  < 3. Quando    2m m os expoentes serão numeros imaginarios e ocorrerão oscilações , caracteristica de um movimento oscilatorio subamortecido 2  c  k 4. Quando    = tem caracteristica de amortecimento  2m  m critico, quando perturbabo o sistema não oscila e volta rapidamente para a posição de equilibrio. Davyd da Cruz Chivala 7
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso  Coeficiente de amortecimento cc = 2mωn C C  Factor de amortecimento ξ = = Cc 2 km Davyd da Cruz Chivala 8
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido (0 < ξ < 1) 2 c  c  k A equação λ1, 2 =− ±   − tambem pode ser escrita 2m  2m  m da seguinte forma λ1, 2 = −ξωn ± ωn ξ 2 − 1 subistituindo em(2) temos q (t ) = e −ξωnt C1eωn ξ 2 −1t + C2 e −ωn ξ 2 −1t  e apois manipulações    matematicas chega-se a: q(t ) = e −ξωnt [A cos(ωd t ) + B sin (ωd t )] (3) Davyd da Cruz Chivala 9
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido (0 < ξ < 1) Em que ωd = ωn 1 − ξ 2 conhecida como frequencia angular natural amortecidaA e B obtidas por condições iniciais de deslocamento e de velocidade A = q(0 ) q(0 ) + ξωn q(0 )  B= ωn 1 − ξ 2 outra forma comun de apresentar (3) q(t ) = Ce −ξω t sin (ωd t + φ ) n (q(0) + ξωn q(0))2 + (q(0)ωd )2  C= ωd  q(0 )ωd  φ = tan −1    q(0 ) + ξωn q(0 )   Davyd da Cruz Chivala 10
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido (0 < ξ < 1) Davyd da Cruz Chivala 11
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido (ξ > 1)  −ξ + ξ −1 ω n t  2  −ξ 2 − ξ 2 −1 ω t q(t ) = Ae    n 2 A solução eh dada por   + Be   A e B são obtidas por condições iniciais A= ( ) q(0 ) + ξ + ξ 2 − 1 ωn q(0 )  2ωn ξ 2 − 1 B= ( ) q(0 ) + ξ − ξ 2 − 1 ωn q(0 )  2ωn ξ 2 − 1 Davyd da Cruz Chivala 12
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido (ξ > 1) Davyd da Cruz Chivala 13
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.3-Movimento superamortecido (ξ = 1) A solução é dada por q(t ) = e [(q(0) + ωntq(0))t + q(0)] −ω t  n Davyd da Cruz Chivala 14
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico (0 < ξ < 1) q(t ) = Ce −ξωnt sin (ωd t + φ )  q0   Ce −ξωnt sin (ωd t + φ )  t1 = t0 + t d δ = ln  ln −ξωnt1  q   Ce   1  sin (ωd t1 + φ )   Davyd da Cruz Chivala 15
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico apois manipulações algebricas temos: 2πξ δ= 1− ξ 2 Ou ainda da forma δ ξ= 4π 2 + δ 2 Davyd da Cruz Chivala 16
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio Calcula a equação do movimento e a frequencia natural não amortecida do sistema Davyd da Cruz Chivala 17
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m conforme figura abaixo. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema Davyd da Cruz Chivala 18
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio Davyd da Cruz Chivala 19
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro molas lineares e uma torcional, como mostra a figura abaixo. Determine a frequencia natural não amortecida se K = 2000 N m, K t = 1000 N .m rad , l = 5m Davyd da Cruz Chivala 20
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio Davyd da Cruz Chivala 21
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio Determine a equação de movimento e frequençia natural da barra rigida OA de comprimento l e massa m, conforme figura abaixo. Davyd da Cruz Chivala 22
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio Davyd da Cruz Chivala 23
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas Considere a equação do movimento massa-mola- amortecedor no caso em que temos uma força harmonica actuando no sistema mq + cq + kq = F (t ) sendo F(t) harmonica teremos: F (t ) = F sin (ωt )   Em que F é a amplitude da força e é medida em N mq + cq + kq = F sin (ωt ) esta equação é diferencial não   ordinaria e a solução é dada pela soma das Davyd da Cruz Chivala 24
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas q(t ) = qh (t ) + q p (t ) ou seja a soma da solução homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e de uma solução particular que adimite-se que seja do tipo: q = Aeiωt subistituindo em mq + cq + kq = F (t ) teremos:  ( ) − mω 2 + k + iωc Aeiωt = Feiωt e a solução particular é dada por: k − mω 2 − iωc q(t ) = 1 i ωt Fe = Feiωt − mω 2 + k + iωc ( k − mω 2 + (ωc ) 2 2 ) Davyd da Cruz Chivala 25
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas k − mω 2 − iωc  q(t ) = Feiωt = H (ω )Feiωt aonde (k − mω ) + (ωc ) 2 2 2 k − mω 2 − iωc H (ω ) = = A  ( ) em que a parte imaginaria é: k − mω 2 + (ωc ) 2 2 F q (t ) = ( − cω cos ωt + k − mω 2 sin ωt ) F= F  sin  ωt − tg −1 cω   (k − mω ) + (ωc ) 2 2 2 (k − mω ) + (ωc ) 2 2 2  k − mω 2  Davyd da Cruz Chivala 26
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas  A equação q(t ) = qh (t ) + q p (t ) tem solução:  cω q(t ) = e −ξωnt ( A1 cos ωa t + A2 sin ωa t ) + F sin  ωt − tg −1 2  (k − mω ) + (ωc ) 2 2 2  k − mω   A solução geral é composta por um termo transitorio e um estacinario.  A amplitude da resposta forçada é dada por:  F F 1 ω A= = β= (k − mω ) + (ωc ) 2 2 2 k (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 ωn Davyd da Cruz Chivala 27
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadasO factor de ampliação é dado por: Ap k M (ξ , β ) = A 1 = = Ast F (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 Davyd da Cruz Chivala 28
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância Ocorre quando a frequencia de exitação é igual a frequencia natural do sistema Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois induzem vibrações de grandes amplitudes ao sistema Davyd da Cruz Chivala 29
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância O pico de resonância que é o valor maximo de M é obtido por: dM (ξ , β ) ω = 0 ⇒ β = 1 − 2ξ 2 = dβ ωn 1 E M max = 2ξ 1 − ξ 2 Davyd da Cruz Chivala 30
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em maquinas rotativas  No caso em que temos maquinas rotativas com massa desbalanceada, o sistema é excitado por esta massa a sua velocidade angularω com a sua excentricidade ε  Davyd da Cruz Chivala 31
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em maquinas rotativas  A força de desbalance é: Fe (t ) = m0 eω 2 sin (ωt )  A equação do movimento é dada mq + cq + kq = m0 eω 2 sin (ωt )    A amplitude de vibração em regime permanente sera dada por m0 eω 2 k qp = (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 Davyd da Cruz Chivala 32
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em maquinas rotativas  A quantidade m0 e representa a quantidade de desbalanceamento do sistema. Em geral m0 e é obtido a partir de teste experimental para procurar adidionar  massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez que esta excitação em niveis muito grandes pode  Comprometer o funcionamento de uma maquina e siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo m0 eω 2 k qp = por m obtém-se o factor de (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 Amplição adimensional Λ(ξ , β ) Davyd da Cruz Chivala 33
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em maquinas rotativas  mq p β2 = Λ (ξ , β ) = m0 e (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 Davyd da Cruz Chivala 34
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em maquinas rotativas 1 1  Λ max = e ocorre quando β max = 2ξ 1 − ξ 2 2ξ 1 − ξ 2 Davyd da Cruz Chivala 35
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte No caso em que a base de suporte do sistema sofre um movimento harmonico Davyd da Cruz Chivala 36
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte A equação diferencial do movimento: mq + c(q − y ) + k (q − y ) = 0    ou mq + cq + kq = cy + ky    O deslocamento do suporte é harmonico dado por y = Yeiωt E a resposta sera da forma q = Aei (ωt −φ ) subistituindo na equação do mov. Teremos 1 + (2ξβ ) 2ξβ 2 2 e φ = tg −1 A=Y (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 Davyd da Cruz Chivala 37
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte A relação A/Y é conhecida como transmissibilidade 1 + (2ξβ ) 2 A = Y (1 − β ) + (2ξβ ) 2 2 2 Davyd da Cruz Chivala 38
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações  Transmissibilidade de forças, consiste em estudar mecanismo de modo a minimiza os esforços transmitidos as fundações ou lugar aonde esta apoiada as maquinas  As forcas transmitidas são por dois processos: atravez da rigides K z dos amortecedores C Davyd da Cruz Chivala 39
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações  A força transmitida f tr = Kq + cq  Davyd da Cruz Chivala 40
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações  Admitindo excitação harmonica, a magnitude e fase da força aplicada e das outras forças sera:  F ap = Fap eiωt e a resposta ao sistema sera dado por 1  A= Fap assim a força transmitida sera k − mω + iωc 2 Davyd da Cruz Chivala 41
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações k + i ωc Ftr = KA + iωcA = Fap k − mω + iωc 2 1 + (2ξβ ) 2 Ftr  Transmissibilidade=TR= = Fap (1 −β ) + (2ξβ ) 2 2 2  Graficamente temos: Davyd da Cruz Chivala 42
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações  Verifica-se que Fap e Ftr são iguais no ponto em que β = 2  Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando ω > 2ωn Davyd da Cruz Chivala 43
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um isolador não-amortecido, composto de quatro molas em paralelo com rigidez de 2×10 2 N m em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a magnitude da força que excita esta maquina nesta velocidade? Davyd da Cruz Chivala 44
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios Davyd da Cruz Chivala 45
  • 3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios Davyd da Cruz Chivala 46