Álgebra Matricial

1. Determinantes
Proyecto e-Math 3
Cálculo de determinantes
Determinantes de orden 2 (asociados a matrices 2x2)
Cuando A es una matriz 2x2 hay 2! = 2 permutaciones del par (1 2); éstas son:
{(1 2), (2 1)}. Entonces, el determinante de A contendrá los dos términos:
a11 ⋅ a22 ⋅ signatura(1 2) y a12 ⋅ a21 ⋅ signatura(2 1)
Como signatura(1 2) = (-1)
0
= 1 y signatura(2 1) = (-1)
1
= -1, el determinante de orden 2 será:
2221
1211
aa
aa
= a11 ⋅ a22 - a12 ⋅ a21
2221
1211
aa
aa
Ejemplo:
231583.5)4.(2
43
52
−=−−=−−=
−
Determinantes de orden 3 (asociados a matrices 3x3)
Si A es una matriz 3x3, su determinante (de orden 3) vendrá dado por:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Ejemplo:
[ ]
[ ] 68831560)1(2416910
5.4.31).1.(14).2).(3(1.4.4)3).(1.(35).2.(1
514
123
341
−=−=+−+−++−=
=+−+−−−+−−+−=
−
−
−

2. Determinantes
Proyecto e-Math 4
Determinantes de orden superior a 3 (asociados a matrices nxn con n>3)
En el caso de determinantes de orden superior a 3 (es decir, asociados a matrices de tamaño
nxn con n > 3), la expresión resultante tiende a complicarse, por lo que recurriremos al método
de desarrollo por adjuntos para su cálculo.
Primero de todo, fijémonos en la disposición de signos siguientes (similar a las casillas blancas y
negras en un tablero de ajedrez):
+−+−
−+−+
+−+−
−+−+
Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer:
1. Elegir aquella fila o columna que tenga el mayor número de ceros (si ninguna línea tiene
ceros, se coge una línea cualquiera).
2. Cada uno de los elementos de la línea dará lugar a un sumando, el cual se obtendrá
como se explica en el paso siguiente.
3. Para cada elemento de la línea seleccionada, éste se multiplica por su correspondiente
determinante adjunto (aquel determinante resultante de eliminar la fila y la columna a las
que pertenece el elemento seleccionado). A dicho adjunto le precederá el signo que
corresponda a la posición ocupada por el elemento seleccionado (según la tabla de
signos arriba indicada).
Ejemplo matriz 4x4:
=
−−
−−
−
−
==
−−
−−
−
−
1131
1923
2742
2311
mos}desarrollalaycolumna1ªla{elegimos
1131
1923
2742
2311
15...
192
274
231
)1(
113
274
231
3
113
192
231
)2(
113
192
274
1 ==
−−
−
−
⋅−+
−−
−
−
⋅+
−−
−−
−
⋅−+
−−
−−
−
⋅=
+
+
-
-

3. Determinantes
Proyecto e-Math 5
Ejemplo matriz 5x5:
=
−−
==
−−
44333
21111
11111
11000
11222
fila}2ªlaporamos{desarroll
44333
21111
11111
11000
11222
=
−
⋅−
−
⋅+
−−
⋅−
−−
⋅+
−−
⋅−=
4333
1111
1111
1222
1
4333
2111
1111
1222
1
4433
2111
1111
1122
0
4433
2111
1111
1122
0
4433
2111
1111
1122
0
= {al multiplicar por 0, los 3 primeros sumandos se eliminan; el último determinante también se
anula} =
==
−
= línea}2ªlaporamos{desarroll
4333
2111
1111
1222
=⋅+
−
⋅−
−
⋅+
−
⋅−=
333
111
222
1
433
211
122
1
433
211
122
1
433
211
122
)1(
= {los dos primeros determinantes se anulan mutuamente, pues son iguales pero de signo
cambiado; el último determinante también se anula} =
( )[ ]
[ ] [ ] 01717)8123(1238
1.2.43.2.23.1).1(3.2.2)1.(3.14.1.2
433
211
122
=−−=++−−+−−=
=++−−+−+−=
−
−=
+ +- - -