TEORIA DOS CO NJUNTOS       Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elemento...
CONCEITOS BÁSICOSTeoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é...
Os diagramas adotam o nome do seu criador John Venn, matemático e filósofo britânico do século XIX. Foiestudante e mais ta...
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Teoria dos co njuntos

  1. 1. TEORIA DOS CO NJUNTOS Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Emboraqualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes aelementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definiçõesde quase todos os elementos matemáticos.O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após adescoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no iníciodo século XX, dos quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática nos Estados Unidos. Fatoselementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto comdiagramas de Venn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto.Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrão do currículo de matemática degraduação.A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na formade teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dosconjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisascontemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura do número realao estudo da consistência de grandes cardinaisHISTÓRIATemas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. Teoria dosconjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedadecaracterística de todos os números algébricos reais".Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e matemáticos indianos nooriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. Especialmente notável é o trabalho de BernardBolzano na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do conceito de infinito em matemáticacomeçou em 1867–71, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das funções e sériestrigonométricas. Um encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor eculminou no artigo de Cantor 1874.O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e Dedekindapoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do construtivismo matemático, era contra.A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitoscantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de que há mais números reais queinteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação conjunto das partes dá origem.A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900, quando foi descoberto que a teoriados conjuntos Cantoriana dava origem a várias contradições, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell eErnst Zermelo encontraram o paradoxo mais simples e mais conhecido paradoxo, hoje chamado paradoxo de Russellque envolve "o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos". Isto leva a uma contradição,uma vez que ele deve ser e não ser um membro de si mesmo. Em 1899 Cantor se questionou: "qual é o númerocardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um paradoxo relacionado.A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou ao abandono. O trabalho deZermelo em 1908 e Abraham Fraenkel em 1922 resultou na teoria axiomática dos conjuntos canônica ZFC, queimagina-se ser livre de paradoxos. O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a grande utilidadematemática da teoria dos conjuntos.
  2. 2. CONCEITOS BÁSICOSTeoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é ummembro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinênciatambém pode relacionar conjuntos.Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada está contido. Se todosos elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é óbvio que umconjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio édefinido para excluir esta possibilidade.Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos caracteriza operaçõesbinárias sobre conjuntos. O (A): União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}. Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}. Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U A é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U A é também chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação Ac é algumas vezes usada no lugar de U A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de Venn. Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, (A ∪ B) (A ∩ B). Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B. Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }.Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não contém elementos),o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais.O DIAGRAMA DE VEENDesigna-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades,axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria.Os respetivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar osconjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∈{3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3,4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuemcontinência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua interseção, ao passo que atotalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores deLeibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática.[8][9]Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tentausá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outrosmatemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em usooutros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.
  3. 3. Os diagramas adotam o nome do seu criador John Venn, matemático e filósofo britânico do século XIX. Foiestudante e mais tarde professor no Caius College da Universidade de Cambridge, onde viria a desenvolver toda suaobra teórica.[12]Venn introduziu os diagramas em um trabalho de lógica formal publicado em Julho de 1880 na PhilosophicalMagazine and Journal of Science, intitulado Da representação mecânica e diagramática de proposições eraciocínios.Embora a primeira forma de representação geométrica de silogismos seja frequentemente atribuída a Leibniz, e tenhasido retomada já durante o século XIX pelos matemáticos George Boole e Augustus De Morgan, o método de Vennsuperava os sistemas anteriores em termos de clareza e simplicidade, ao ponto de ser aceite como método padrão aofim de algum tempo. Venn foi o primeiro a formalizar o seu uso e a dotá-lo de um mecanismo de generalização.O próprio Venn não se referia aos diagramas como sendo da sua autoria, mas sim como círculos eulerianos, fazendoreferência aos diagramas criados por Leonhard Euler no século XVIII. No parágrafo introdutório do seu artigo, Vennafirma: Esquemas de representação diagramática tem sido tão familiarmente introduzidos nos tratados de lógica durante o último século que se pode supor que muito leitores, mesmo aqueles que não fizeram qualquer estudo profissional de lógica, possam ter familiaridade com a noção geral de tais objetos. Dentre tais esquemas, apenas um - aquele comummente chamado círculos eulerianos, encontrou aceitação geral... (tradução livre)[13]Mais tarde, Venn desenvolveu o método no livro Lógica simbólica, publicado em 1881 com o objetivo de interpretare corrigir os trabalhos de Boole no campo da lógica formal. Em 1889, publicou uma nova expansão de seu trabalho,com o livro Princípios da lógica empírica. A primeira referência escrita conhecida do termo Diagrama de Venn surgeapenas em 1918, no livro de Clarence Irving Lewis, A Survey of Symbolic Logic.No século XX, os diagramas de conjuntos passaram por novos desenvolvimentos. D. W. Henderson demonstrou em1963 que a existência de um diagrama de Venn para N conjuntos com N eixos de simetria implica que N deve ser umnúmero primo. Também demonstrou que tais diagramas simétricos existem quando N é 5 ou 7. Em 2002, PeterHamburger encontrou diagramas simétricos para N = 11 e, em 2003, Griggs, Killian e Savage mostraram quediagramas simétricos existem para todos os outros primos.A partir da década de 1960, os diagramas de Venn foram introduzidos no ensino escolar de matemática, naaprendizagem da teoria dos conjuntos e de funções, como parte do movimento da Matemática Moderna. Desde então,seu uso foi amplamente difundido, em áreas tão distintas como a compreensão de textos

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