1.5 serie de taylor

MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS
1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor
Gustavo RochaGustavo Rocha
2005-22005-2

La serie de Taylor es, sin duda, el fundamentoLa serie de Taylor es, sin duda, el fundamento
matemático más importante para comprender, manejar ymatemático más importante para comprender, manejar y
formular métodos numéricos que se basan en laformular métodos numéricos que se basan en la
aproximación de funciones por medio de polinomios.aproximación de funciones por medio de polinomios.
Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de losAunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los
métodos numéricos se basan en la aproximación demétodos numéricos se basan en la aproximación de
funciones por medio de polinomios.funciones por medio de polinomios.

La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potenciasLa expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias
que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en laque representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la
vecindad de un punto dado.vecindad de un punto dado.
Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unosSi se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos
cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.
El error del método numérico depende de la precisión con la que elEl error del método numérico depende de la precisión con la que el
polinomio aproxima a a la función verdadera.polinomio aproxima a a la función verdadera.
Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación delLos errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del
desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de ladesarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la
solución exacta.solución exacta.

1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de ordenSea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden
nn en el punto Xen el punto Xii, para el cual se conoce el valor de la función a, para el cual se conoce el valor de la función a00 y ely el
de sus derivadas: ade sus derivadas: a11, a, a22, a, a33, a, a44, … a, … ann, …, …
f(x)
x
xi Xi+1
a0
f(Xi+1)

Se trata de encontrar un polinomio de la forma:Se trata de encontrar un polinomio de la forma:
_____ (1.13)_____ (1.13)
que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, enque permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en
términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xtérminos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xii..
El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y lasEl polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las
primerasprimeras nn derivadas del polinomio se hacen coincidir con lasderivadas del polinomio se hacen coincidir con las nn
primeras derivadas de la función en el punto Xprimeras derivadas de la función en el punto Xii..
_____ (1.14)_____ (1.14)
i i
i
i i
(n) (n)
i i
P(X ) = f(X )
P'(Xi) = f'(X )
P''(X ) = f''(X )
...
P (X ) = f (X )
32 n
0 1 2 3 nP(X) = a + a X + a X + a X + ... + a X + ...

El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar aEl valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a
través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):
____ (1.15)____ (1.15)
Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresiónDesarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión
(1.13), se obtiene:(1.13), se obtiene:
_____(1.16)_____(1.16)
2 3 n
0 1 i 2 i 3 i n if(X) = P(X) = b + b (X - X ) + b (X - X ) + b (X - X ) + ... + b (X - X ) + ...
2 3 4
0 0 1 i 2 i 3 i 4 i
2 3
1 1 2 i 3 i 4 i
2
2 2 3 4 i
n n
a = b - b X + b X - b X + b X - ...
a = b - 2b X + 3b X - 4b X + ...
a = b - 3b Xi + 6b X - ...
...
a = b - ...

LasLas nn primeras derivadas del polinomio son:primeras derivadas del polinomio son:
_____ (1.17)_____ (1.17)
Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto XEvaluando el polinomio y sus derivadas en el punto Xii::
_____ (1.18)_____ (1.18)
2 n-1
1 2 i 3 i n i
n-2
2 3 i n i
n-3
3 n i
(n)
P'(X) = b + 2b (X - X ) + 3b (X - X ) + ... + nb (X - X ) + ...
P''(X) = 2b + 3 2b (X - X ) + ... + n(n-1)b (X - X ) + ...
P'''(X) = 3 2b + ... + n(n-1)(n-2)b (X-X ) + ...
...
P (X) = n(n-
×
×
n n1)(n-2) ... 3 2 1b + ... = n!b + ...× ×
i 0 0
i 1 1
i 2 2
(n)
i n
P(X ) = b 0!b
P'(X ) = b 1!b
P''(X ) = 2b = 2!b
...
P (X ) = n!b
=
=

Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):
______________ (1.19)(1.19)
Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):
_____ (1.20)_____ (1.20)
que en forma sintética se expresa:que en forma sintética se expresa:
_____ (1.20')_____ (1.20')
0 i
1 i
2 i
n i
b = f(X )
b = f'(X )/1!
b = f''(X )/2!
...
b = f(n)(X )/n!
2
i i i i i
3 (n) n
i i i i
f(X) = f(X ) + f'(X )(X - X ) + f''(X )(X - X ) /2!
+ f'''(X )(X - X ) /3! + ... + f (X )(X - X ) /n! + ...
j
i i
j=0
f(X) = f(j)(X )(X - X ) /j!
∞
∑

Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan laLas expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la
expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función enexpansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en
cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en elcualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el
punto Xpunto Xii. Se pueden presentar dos casos:. Se pueden presentar dos casos:
A)A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de XCuando el valor de X se encuentra a la derecha de Xii, se usa la, se usa la
nomenclatura Xnomenclatura Xi+1i+1, con lo que se indica que es mayor que X, con lo que se indica que es mayor que Xii..
_____ (1.21)_____ (1.21)
donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un pasodonde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso
hacia adelante.hacia adelante.
i+1 i i+1 i
(j) (j)
j j
i+1 i i+1 i i
j=0 j=0
X = X > X ; X - X = h > 0
f(X ) = f (X )(X - X ) /j! = f (X )h /j!
∞ ∞
∑ ∑

B)B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de XCuando el valor de X se encuentra a la izquierda de Xii, se usa, se usa
la nomenclatura Xla nomenclatura Xi-1i-1, con lo que se indica que es menor que X, con lo que se indica que es menor que Xii..
_____ (1.22)_____ (1.22)
_____ (1.22')_____ (1.22')
donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un pasodonde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso
hacia atrás.hacia atrás.
Para cada combinación de puntos XPara cada combinación de puntos Xii, X, Xi+1i+1 en una función f(x), la serieen una función f(x), la serie
de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h =de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h =
XXi+1i+1 – X– Xii , para representar a f(X), para representar a f(X)
i-1 i i i-1
(j) (j)j j
i-1 i i i-1 i i i-1
j par j impar
(j) (j)j j
i-1 i i
j par j impar
X = X < X ; X - X = h > 0
f(X ) = f (X )(X - X ) /j! - f (X )(X - X ) /j!
ó f(X ) = f (X )h /j! - f (X )h /j!
∑ ∑
∑ ∑

Ejemplo. En el punto XEjemplo. En el punto Xii = 1, la función f(X) y sus derivadas toman= 1, la función f(X) y sus derivadas toman
los siguientes valores:los siguientes valores:
f(1) = 1;f(1) = 1; f'(1) = 6;f'(1) = 6; f''(1) = 2;f''(1) = 2; f'''(1) = 6.f'''(1) = 6.
A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de TaylorA partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor
dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor dedada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de
la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de lala función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la
función para Xfunción para Xi+1i+1 = 3.= 3.
f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)22
/2! + 6(X - 1)/2! + 6(X - 1)33
/3!/3!
= 1 + 6X - 6 + X= 1 + 6X - 6 + X22
- 2X + 1 + X- 2X + 1 + X33
- 3X- 3X22
+ 3X - 1+ 3X - 1
= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22
+ X+ X33
h = Xh = Xi+1i+1 - X- Xii = 3 - 1 = 2= 3 - 1 = 2
f(Xf(Xi+1i+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)22
/2! + 6(2)/2! + 6(2)33
/3!/3!
= 1 + 12 + 4 + 8 = 25= 1 + 12 + 4 + 8 = 25

Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansiónVamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansión
en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la funciónen serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la función
para Xpara Xi-1i-1 = 0.= 0.
f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)22
/2! - 6(1 - X)/2! - 6(1 - X)33
/3!/3!
= 1 - 6 + 6X + X= 1 - 6 + 6X + X22
- 2X + 1 - 1 + 3X - 3X- 2X + 1 - 1 + 3X - 3X22
+ X+ X33
= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22
+ X+ X33
h = Xh = Xii - X- Xi-1i-1 = 1 - 0 = 1= 1 - 0 = 1
f(Xf(Xi-1i-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)22
/2! - 6(1)/2! - 6(1)33
/3!/3!
= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5

En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajustaEn el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta
perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomialperfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial
de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior alde tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al
tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de latercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la
expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sinexpansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin
error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valorerror alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor
de X.de X.
Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentesPero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes
o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionaro mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar
una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso,una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso,
cada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absolutocada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto
diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima,diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima,
en el valor de la función. En virtud de que no es posible consideraren el valor de la función. En virtud de que no es posible considerar
un número infinito de términos, no hay más remedio que truncar laun número infinito de términos, no hay más remedio que truncar la
serie y considerar únicamente los n primeros.serie y considerar únicamente los n primeros.

Una función f(x) es analítica en xUna función f(x) es analítica en xii, si se puede representar por, si se puede representar por
medio de una serie de potencias en términos de h = xmedio de una serie de potencias en términos de h = xi+ii+i – x– xii, dentro, dentro
de un radio de convergencia 0 <de un radio de convergencia 0 < ||xxi+ii+i - x- xii||, y si todas sus derivadas, y si todas sus derivadas
son continuas en la vecindad de xson continuas en la vecindad de xii. Los polinomios son funciones. Los polinomios son funciones
analíticas en todas partes.analíticas en todas partes.
Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad deSi la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de
un punto xun punto x00, excepto en el mismo, el punto se denomina singular y, excepto en el mismo, el punto se denomina singular y
entonces la función no es analítica en xentonces la función no es analítica en x00. Algunas funciones. Algunas funciones
trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) estrascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es
analítica excepto enanalítica excepto en ±±(n + ½)(n + ½)ππ..

Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30°°, conociendo los, conociendo los
valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando losvalores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los
primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. Noprimeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No
olvidemos trabajar en radianes:olvidemos trabajar en radianes:
XXii = 0= 0°° = 0 ;= 0 ; XXi+1i+1 = 30= 30°° == ππ/6 ;/6 ; h = Xh = Xi+1i+1 - X- Xii == ππ /6 - 0 =/6 - 0 = ππ /6/6
f(X) = f(Xf(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22
/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33
/3! + f/3! + fiviv
(X(Xii)h)h44
/4! + f/4! + fvv
(X(Xii)h)h55
/5! + f/5! + fvivi
(X(Xii)h)h66
/6!/6!
f(X) = cos Xf(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1f(0) = cos 0 = 1
f'(X) =f'(X) = -- sen Xsen X f'(0) =f'(0) = -- sen 0 = 0sen 0 = 0
f''(X) =f''(X) = -- cos Xcos X f''(0) =f''(0) = -- cos 0 =cos 0 = -- 11
f'''(X) = sen Xf'''(X) = sen X f'''(0) = sen 0 = 0f'''(0) = sen 0 = 0
ffiviv
(X) = cos X(X) = cos X ffiviv
(0) = cos 0 = 1(0) = cos 0 = 1
ffvv
(X) =(X) = -- sen Xsen X ffvv
(0) =(0) = -- sen 0 = 0sen 0 = 0
ffvivi
(X) = - cos X(X) = - cos X ffvivi
(0) = - cos 0 = - 1(0) = - cos 0 = - 1

Ejemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de eEjemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e-x-x
y de sen x, en lay de sen x, en la
vecindad de x = 1, son respectivamente:vecindad de x = 1, son respectivamente:
El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe elEl desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el
nombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: enombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: exx
, cos x, y ln(x+1), cos x, y ln(x+1)
2 3 4
-x -1 -1 -1 -1 -1
2 3 4
h h h
e = e - he + e - e + e - ...
2! 3! 4!
h h h
sen(x) = sen(1) + h cos(1) sen(1) cos(1) sen(1) ...
2! 3! 4!
× − − + +
2 3 4
x
2 4 6 8
2 3 4
x x x
e = 1 + x + + + + ...
2! 3! 4!
x x x x
cos(x) = 1 ...
2! 4! 6! 8!
x x x
ln(x 1) x + + + + ...
2 3 4
− + − + −
+ =

f(f(ππ/6) = 1 - 1(/6) = 1 - 1(ππ/6)/6)22
/2! + 1(/2! + 1(ππ/6)/6)44
/4! - 1(/4! - 1(ππ/6)/6)66
/6!/6!
= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252
Considerando como "verdadero" el valor que ofrece unaConsiderando como "verdadero" el valor que ofrece una
calculadora científica de 8 dígitos, que es: cos 30calculadora científica de 8 dígitos, que es: cos 30°° = 0.8660254, se= 0.8660254, se
aprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce aaprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a
un pequeño error de 0.0000002un pequeño error de 0.0000002

1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor
En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento,En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento,
pero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprenderpero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprender
este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de laeste concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la
expansión en serie de Taylor.expansión en serie de Taylor.
Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento yAhora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y
cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de unacómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una
función para un determinado valor de la variable, considerandofunción para un determinado valor de la variable, considerando
solamente los primerossolamente los primeros nn términos de la serie infinita.términos de la serie infinita.
Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuoLos términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo
cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de lacuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la
función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términosfunción, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos
absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificanteabsolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante
(como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos(como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos
factores:factores:

1) El valor de1) El valor de nn, es decir, el número de términos de la serie,, es decir, el número de términos de la serie,
considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayorconsiderados al aproximar el valor de la función; mientras mayor
sea el valor desea el valor de nn, menor será el residuo y mejor será la, menor será el residuo y mejor será la
aproximación al valor de la función.aproximación al valor de la función.
2) El valor de2) El valor de hh, es decir, el tamaño del paso o distancia entre el, es decir, el tamaño del paso o distancia entre el
valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de lavalor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la
variable para el que se conoce el valor de la función y el de susvariable para el que se conoce el valor de la función y el de sus
derivadas; mientras menor sea el valor dederivadas; mientras menor sea el valor de hh, mayor será la cercanía, mayor será la cercanía
entre Xentre Xii y Xy Xi+1i+1 y, por ende, mejor será la aproximación al valor de lay, por ende, mejor será la aproximación al valor de la
función.función.

En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente laEn adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la
expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante paraexpansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para
aproximar f(Xaproximar f(Xi+1i+1) a partir de f(X) a partir de f(Xii) y sus derivadas, conforme a la expresión) y sus derivadas, conforme a la expresión
(1.21), la que en forma explícita se escribe:(1.21), la que en forma explícita se escribe:
f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22
/2! + f'''(Xi)h/2! + f'''(Xi)h33
/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn
/n!/n! + ...__ (1.21')+ ...__ (1.21')
y en forma alternativa:y en forma alternativa:
f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22
/2!/2! + f'''(Xi)h+ f'''(Xi)h33
/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn
/n!/n! + Rn (1.23)+ Rn (1.23)
Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor conEsta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con
residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntosresiduo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos
suspensivos se han sustituido por el término Rsuspensivos se han sustituido por el término Rnn, que sintetiza los términos, que sintetiza los términos
de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuode la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo
de la aproximación al n-ésimo orden.de la aproximación al n-ésimo orden.
La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndiceLa serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice nn
indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1)indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1)
términos de la serie.términos de la serie.

Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):
f(Xf(Xi+1i+1)) ≅≅ f(Xf(Xii))
lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es unalo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una
constante: P(X) = aconstante: P(X) = a00 ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta
perfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo Rperfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo R00 taltal
que se cumple:que se cumple:
f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + R) + R00
RR00 = f'(X= f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22
/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33
/3! +...+ f/3! +...+ f(n)(n)
(X(Xii)h)hnn
/n!/n! +...+... _____ (1.24)_____ (1.24)
RR00 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la dees el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la de
la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.
Para simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: RPara simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: R00 f'(Xf'(Xii)h,)h,
despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto.despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto.
Conviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar RConviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar R00..

Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que laAuxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que la
recta que une los puntos [Xrecta que une los puntos [Xii, f(X, f(Xii)], [X)], [Xi+1i+1,f(X,f(Xi+1i+1)], tiene pendiente R)], tiene pendiente R00/h./h.
f(x)
xxi Xi+1
f(xi)
f(Xi+1)
ξ
f’(ξ)
h
R0 = f(Xi+1) - f(xi)
P(X) = ao

1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe unInvocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un
punto , entre Xpunto , entre Xii y Xy Xi+1i+1, para el cual el valor de la primera derivada f'(, para el cual el valor de la primera derivada f'(ξξ), es), es
decir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela adecir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela a
la recta mencionada previamente: Rla recta mencionada previamente: R00/h = f'(/h = f'(ξξ); y entonces:); y entonces:
RR00 = f'(= f'(ξξ)h)h _____ (1.25)_____ (1.25)
De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2):De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2):
f(Xi+1) f(Xf(Xi+1) f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h)h
estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta:estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta:
P(X) = aP(X) = a00 + a+ a11X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta yX; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta y
sin error, pero si no es así, existe un residuo Rsin error, pero si no es así, existe un residuo R11 tal que:tal que:
f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + R)h + R11
RR11 = f''(X= f''(Xii)h)h22
/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33
/3!/3! + ... + f+ ... + f(n)(n)
(X(Xii)h)hnn
/n! + .../n! + ...
RR11 es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con Res un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R00, pero, pero
ahora considerando el teorema extendido del valor medio, también seahora considerando el teorema extendido del valor medio, también se
puede evaluar de manera exacta mediante:puede evaluar de manera exacta mediante:
R1 = f''(R1 = f''(ξξ)h)h22
/2!/2!
Y así, sucesivamente:Y así, sucesivamente:

f(x)
xxi Xi+1
f(Xi+1)
h
P(X) = ao
P(X) = ao + a1x
P(X) = ao + a1x + a2x2
f(x)
ao

Un truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximarUn truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximar
es una parábola P(X) = aes una parábola P(X) = a00 + a+ a11X + aX + a22XX22
y un posible error dado por el residuoy un posible error dado por el residuo
de segundo orden Rde segundo orden R22..
Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función aUn truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función a
aproximar es una parábola cúbica P(X) = aaproximar es una parábola cúbica P(X) = a00 + a+ a11X + aX + a22XX22
+ a+ a33XX33
y un posibley un posible
error dado por el residuo de segundo orden Rerror dado por el residuo de segundo orden R33..
En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone unEn general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone un
polinomio P(X) = apolinomio P(X) = a00 + a+ a11X + aX + a22XX22
+ a+ a33XX33
+ ... + a+ ... + annXXnn
y un posible error dado pory un posible error dado por
el residuo de n-ésimo orden, que se expresa:el residuo de n-ésimo orden, que se expresa:
RRnn = f= f(n+1)(n+1)
((ξξ)h)hn+1n+1
/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26)_____ (1.26)
RRnn es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(Xes el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(Xi+1i+1),),
considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión enconsiderando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión en
serie de Taylor correspondiente a la función.serie de Taylor correspondiente a la función.

Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del númeroEjemplo. Obtener una aproximación al valor del número ee, con mantisa de, con mantisa de
ocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión enocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión en
serie de Taylor para la función f(X) =serie de Taylor para la función f(X) = eexx
..
Sabemos que:Sabemos que:ee00
= 1,= 1,
entonces:entonces: XXii = 0= 0 ;; XXi+1i+1 = 1= 1 ;; h = 1 - 0 = 1h = 1 - 0 = 1
f(0) =f(0) = ee00
= 1= 1 f(1) =f(1) = ee
f(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...
f'(X) =f'(X) = eexx
f'(0) = 1f'(0) = 1
f''(X) =f''(X) = eexx
f''(0) = 1f''(0) = 1
f'''(X) =f'''(X) = eexx
f'''(0) = 1f'''(0) = 1
......
ff'(n)'(n)
(X) =(X) = eexx
ff'(n)'(n)
(0) = 1(0) = 1
f(1)f(1) ≅≅ 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7!1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7!
ee ≅≅ 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 +1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 +
+ 0.00138889 + 0.00019841 = 2.71825397+ 0.00138889 + 0.00019841 = 2.71825397
El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es:El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: ee = 2.71828183= 2.71828183

El error por truncamiento es:El error por truncamiento es:
RR77 = f= fviiiviii
((ξξ)(1)8/8! = f)(1)8/8! = fviiiviii
((ξξ)/40320 = 0.00002786)/40320 = 0.00002786
ffviiiviii
((ξξ) =) = eeξξ
= 1.1233152 ;= 1.1233152 ; ξξ = 0.11628431= 0.11628431
Observamos queObservamos que ξξ efectivamente se localiza entre Xefectivamente se localiza entre Xii y Xy Xi+1i+1: 0 <: 0 < ξξ < 1,< 1,
aunque bastante más cerca de Xaunque bastante más cerca de Xii que de Xque de Xi+1i+1
Si hubiésemos truncado a solo tres términos: eSi hubiésemos truncado a solo tres términos: e ≅≅ 2.5,2.5,
RR22 = f'''(= f'''(ξξ)(1))(1)33
/3! = f'''(/3! = f'''(ξξ)/6 = 0.21828183)/6 = 0.21828183
f'''(f'''(ξξ) =) = eeξξ
= 1.30969098 ;= 1.30969098 ; ξξ = 0.26979122= 0.26979122
Vemos también que el valor deVemos también que el valor de ξξ es distinto para residuos de diferentees distinto para residuos de diferente
orden, pero siempre cumple con localizarse entre Xorden, pero siempre cumple con localizarse entre Xii y Xy Xi+1i+1..

Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo,Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo,
pueden verificarse fácilmente:pueden verificarse fácilmente:
nn ee RnRn f(n+1)(f(n+1)(ξξ)) ξξ
00 11 1.718281831.71828183 1.718281831.71828183 0.541324860.54132486
11 22 0.718281830.71828183 1.436563661.43656366 0.362253910.36225391
22 2.52.5 0.218281830.21828183 1.309690981.30969098 0.269791720.26979172
33 2.666666672.66666667 0.051615160.05161516 1.238763841.23876384 0.214113980.21411398
44 2.708333342.70833334 0.009948490.00994849 1.193818801.19381880 0.177157240.17715724
55 2.716666672.71666667 0.001615160.00161516 1.162915201.16291520 0.150929960.15092996
66 2.718055562.71805556 0.000226270.00022627 1.140400801.14040080 0.131379780.13137978
77 2.718253972.71825397 0.000027860.00002786 1.123315201.12331520 0.116284310.11628431

En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" deEn este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de ee, echando mano, echando mano
de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el númerode una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número ee
es conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible aes conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible a
cualquiera.cualquiera.
Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una funciónPero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una función
complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de sucomplicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su
comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cadacomportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cada
determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular condeterminado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con
exactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda deexactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda de
ellos.ellos.
Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función dePara el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función de
interés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre Xinterés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre Xii y Xy Xi+1i+1,,
es decir:es decir:
ξξ* = (X* = (Xii + X+ Xi+1i+1)/2)/2 _____ (1.27)_____ (1.27)
con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, loscon la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los
errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos.errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos.
RRnn = f= f(n+1)(n+1)
((ξξ*)h*)hn+1n+1
/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26')_____ (1.26')

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