Le equazioni delle reti scritte con una notazione vettoriale decente

1. Reti di distribuzione idrica
M Ranzato - Reti Idriche Ronco all’Adige
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

2. Reti di distribuzione idrica
Sommario
Scrivere le equazioni non significa risolverle!
2
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

3. Reti di distribuzione idrica
Sommario
• Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto
di vista matematico le reti di distribuzione idrica
Scrivere le equazioni non significa risolverle!
2
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

4. Reti di distribuzione idrica
Sommario
• Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto
di vista matematico le reti di distribuzione idrica
• Si vedranno le equazione di conservazione della massa e di
dissipazione dell’energia nelle reti in pressione
Scrivere le equazioni non significa risolverle!
2
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

5. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
Servizio Acque Pubbliche - P.A.T.
3
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

6. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
Sorgenti
Servizio Acque Pubbliche - P.A.T.
4
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

7. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
Adduzioni Servizio Acque Pubbliche - P.A.T.
5
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

8. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
Serbatoio di
testata
Servizio Acque Pubbliche - P.A.T.
6
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

9. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
Rete di
distribuzione
Servizio Acque Pubbliche - P.A.T.
7
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

10. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Topologia
Serbatoio di compenso Opera di presa Distribuzione
Torrino piezometrico Adduzione
8
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

11. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della
rete
Gli elementi che compongono una rete sono:
• tratti
• nodi
• maglie
9
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

12. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della
rete
Gli elementi che compongono una rete sono:
tratti
nodi
interni
esterni
maglie
10
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

13. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della rete
Gli elementi che compongono una rete sono:
• tratti
• nodi
• maglie
11
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

14. Reti di distribuzione idrica
La rete precedente è una rete mista
Questa è una rete aperta (ad albero) 12
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

15. Reti di distribuzione idrica
Questa una rete a maglie chiuse
Si dice maglia ciascun percorso chiuso che fa capo ad un nodo. La maglia è
indipendente se non può essere ottenuta come combinazione di altre
maglie. Nella figura sopra ci sono tre maglie indipendenti.
13
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

16. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della rete
• Un tratto (o tronco) unisce due nodi (o vertici)
14
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

17. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della
rete
La relazione esistente tra il numero di tratti, t, il numero di
maglie m ed il numero di nodi (vertici), n è:
n+m t⇥1
15
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

18. Reti di distribuzione idrica
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della rete
Nella rete precedente ci sono
• 28 tratti
• 4 maglie (indipendenti)
• 25 nodi (11 esterni, 14 interni)
16
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

19. Reti di distribuzione idrica
La matrice di incidenza
Per descrivere matematicamente una rete si può procedere come segue,
numerando i nodi (in rosso) e i tratti (in blu)
(o di adiacenza)
17
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

20. Reti di distribuzione idrica
La matrice di incidenza
Nella teoria dei grafi la matrice di incidenza, A, di
un grafo orientato, è la matrice aij di dimensioni
t * n dove:
n è il numero di nodi (vertici) e t è il numero di
tratti.
Se aij =1 il tronco i esce dal nodo (vertice) j;
se aij =-1 il tronco i entra dal nodo (vertice) j;
se aij = 0 il tronco i ed il vertice (nodo) j non
sono collegati
18
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

21. Reti di distribuzione idrica
La matrice di incidenza
1 1
a11 = 1
2 3
a23 = -1
1
2
a21 = 0
Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco
uscente dal nodo di indice inferiore ed entrante nel nodo di indice superiore
19
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

22. Reti di distribuzione idrica
La matrice di incidenza
Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco
uscente dal nodo di indice inferiore end entrante nel nodo di indice superiore
(La somma dei numeri sulle righe deve essere uguale ad 0)
20
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

23. Reti di distribuzione idrica
Una rete semplice
1 1
2
2
nodo serbatoio
nodo serbatoio
3
nodo serbatoio
3
Nei nodi serbatoio la piezometrica è fissata dalla quota del serbatoio 21
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

24. Reti di distribuzione idrica
Una rete semplice
1 1
2
2
3
nodo interno
3
Nel nodo interno la piezometrica NON è fissata, ma deve essere calcolata 22
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

25. Reti di distribuzione idrica
La matrice di incidenza della rete
precedente
1 1
2
2
3
⇥
1 0 1 0 3
A=⇤ 0 1 1 0 ⌅
0 0 1 1
4
La rete precedente si può numerare nel modo illustrato. A è la matrice di
incidenza che la descrive
23
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

26. Reti di distribuzione idrica
La matrice di incidenza - II
Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova
matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi
esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola
colonna)
2 1
2
3
1
⇥
1 | 1 0 0 3
A =⇤ 1 | 0 1 0 ⌅ 4
1 | 0 0 1
24
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

27. Reti di distribuzione idrica
La matrice di incidenza - II
Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova
matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi
esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola
colonna)
2 1
2
3
1
⇥
A = AI | AS 3
4
25
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

28. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Conservazione della massa
Per ogni nodo interno si può scrivere una equazione di conservazione della
massa. In questo caso
1
2
3
Qi ai3 = 0 3
i=1
3
dove Qi è un componente del
vettore colonna delle portate fluenti nei tratti:
26
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

29. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Conservazione della massa
In notazione vettoriale, la precedente equazione si potrebbe scrivere:
dove è la trasposta della matrice di incidenza (adiacenza)
27
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

30. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Conservazione della massa
Ovvero:
1
2
Q1 Q2 + Q3 = 0 3
3
Se è il vettore colonna
che corrisponde alle portate eventualmente
fornite od emunte ai vari nodi. 28
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

31. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Conservazione della massa
Se si assume che vi sia un emungimento, immissione di portata
anche nel nodo 3, allora il vettore P diviene:
Le prime tre equazioni risultano delle assegnazioni e renderebbero
il sistema sovradeterminato. In genere non tutte queste portate
sono assegnate e, in questo caso, le equazioni corrispondenti,
vengono tolte dal sistema (con una riduzione del numero di colonne
di A) 29
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

32. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Conservazione della massa
Si ossserci che si è assunto che gli emungimenti avvengano ai nodi in questo
caso nessuna equazione di conservazione è associata ai tratti, dove la portata si
limita a fluire.
1
Q1
Il flusso di massa determina però una perdita di carico lungo la condotta
30
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

33. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Conservazione della massa
La rete in pressione è soggetta a consumi variabili durante il giorno e durante i
mesi. Tuttavia per la progettazione delle reti, si assume che il moto delle
condotte in pressione sia permanente con portata pari alla portata di progetto
(generalmente la portata massima nel giorni di massimo consumo). Il moto
inoltre si assume in regime turbolento, anche se è evidente che in alcuni tratti
terminali il moto potrebbe essere di tipo laminare.
1
Q1
31
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

34. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia
La perdita di carico è proporzionale al quadrato della velocità dell’acqua fluente
e si può allora calcolare con la formula di Darcy-Weisbach o Gaukler e Strickler
(Manning nella letteratura anglosassone)
2
Darcy-Weisbach i vi
Ji =
2gDi
2
vi 4 4/32
vi
Gaukler e Strickler Ji = 4/3
=
2
Ks i Rh i 2 D 4/3
Ks i i
32
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

35. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia
Ovvero, in funzione delle portate:
2 i Q2
Darcy-Weisbach Ji = i
3
g ⇥ 2 Di
Q2
Gaukler e Strickler Ji = 10.2936 i
16/3
2
Ks i Di
33
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

36. Reti di distribuzione idrica
34
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

37. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia
In generale, esprimendo la formule con coefficienti generici e in funzione della
portata fluente
µ
Ji = bi Di Qi |Qi | 1
=2
i
35
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

38. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia
Dunque la differenza di altezza piezometrica, Hi, tra due nodi successivi è
espressa come
dove hk è una componente del vettore (colonna) dei carichi ai nodi
⇥
h1
hk = ⇤ ... ⌅
hn
Li è la lunghezza del tubo (del tratto) in esame
36
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

39. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia
Nel caso della rete ad albero in esame, abbiamo tre equazioni per i tratti:
1
1 2
2
3
3
4 37
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

40. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia
Si osservi che le equazioni di dissipazione dell’energia si possono scrivere:
se:
sono vettori riga e se:
sono vettori colonna con
38
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

41. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia + Continuità
Che sommate all’equazione di continuità per il nodo interno (3) danno 4 equazioni,
usando le ultime tre per calcolare le quote piezometriche assolute.
Q1 Q2 + Q3 = 0
39
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

42. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia + Continuità
Assumendo che Q3 sia assegnata dal fabbisogno idrico dell’utenza,
la variabili da determinare rimangono
con 4 equazioni utili. In dipendenza di altre condizioni del problema
in esame potremo determinare due delle variabile scritte sopra e
determinare le altre quattro risolvendo le equazioni a disposizione.
40
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

43. Reti di distribuzione idrica
Equazioni
Dissipazione dell’energia + Continuità
Ad esempio: se è assegnata Q2, anche Q1 risulta assegnata (dall’
equazione di continuità). Rimangono in gioco 4 variabili e tre
equazioni. Se, per esempio, si assegna la quota del nodo
intermedio, si possono determinare univocamente i diametri dei
tudi da usare. Viceversa si potrebbe assegnare il diametro di un
tubo e determinare le altre tre variabili.
41
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

44. Reti di distribuzione idrica
Equazioni continuità
In generale, si possono assegnare n equazioni di continuità,
tante quante i nodi interni che possono essere scritte:
o, in forma vettoriale
42
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

45. Reti di distribuzione idrica
All together
Le equazioni insieme risultato allora n+t
43
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

46. Reti di distribuzione idrica
All together in forma matriciale
dove D è la matrice diagonale contenente i diametri dei tubi, I la
matrice diagonale e QT il vettore trasposto delle portate. Il
numero di equazioni è n+t, il numero di variabili dipende dal
problema in esame. Il sistema di equazioni è un sistema non
lineare essendo le portate incognite.
44
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

47. Reti di distribuzione idrica
Se i diametri delle tubazioni sono assegnati
Allora il problema diventa un problema di verifica e le incognite
che rimangono sono:
le t portate lungo i tratti
gli n carichi idraulici dei nodi interni
Pertanto il sistema di equazioni è ben determinato
45
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

48. Verifica delle Reti di Distribuzione Idrica
Acquedotto Pugliese. La fontanina pubblica
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

49. Reti di distribuzione idrica
Calcolo delle reti di distribuzione
Il calcolo di una rete consiste nel determinare, per un assegnato insieme di
erogazioni, le portate defluenti lungo i lati e le quote piezometriche nei
nodi.
Nel caso in cui la rete sia alimentata da un unico serbatoio di testata, è
immediato riconoscere che è nota la quota piezometrica nel punto in cui la
condotta di avvicinamento si immette nella rete.
47
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

50. Reti di distribuzione idrica
Proporzionamento
delle reti di distribuzione interna
Il proporzionamentodi una rete di distribuzione a maglie chiuse rappresenta un
problema complesso e con un elevato grado di indeterminazione algebrica.
In fase iniziale, infatti, sono da ritenersi note soltanto le scabrezze delle
tubazioni (realizzate in ghisa, acciaio o materiali plastici), le lunghezze dei lati
della rete e l’entità delle erogazioni di portata, concentrate nei nodi, con
riferimento alla condizione di funzionamento considerata (di solito si
considerano le portate di punta).
Sono altresì incogniti i diametri delle tubazioni, nonché le quote
piezometriche nei nodi e le portate defluenti lungo i lati.
48
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

51. Reti di distribuzione idrica
Proporzionamento
delle reti di distribuzione interna
after Roberto Greco
Per ridurre il sovrabbondante numero di incognite del problema, normalmente si
assegnano i diametri dei tubi a priori, assegnando tubi di dimensioni maggiori per la
rete principale (es. 20-30 cm) e tubi di dimensioni minori per la rete secondaria,
ricordando che l’allaccio delle utenze private è, di solito, 7.5 cm.
49
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

52. Reti di distribuzione idrica
Proporzionamento
delle reti di distribuzione interna
after Roberto Greco
Tali diametri dovrebbero considerarsi di primo tentativo. Di fatto la loro assegnazione
trasforma il problema di calcolo in un problema di verifica.
50
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

53. Reti di distribuzione idrica
Verifica delle reti di distribuzione interna
Una volta proporzionati i diametri delle tubazioni della rete, è necessario svolgere
le verifiche imposte dalla normativa vigente.
Tali verifiche prevedono la schematizzazione di tre condizioni di funzionamento
convenzionali della rete:
•verifica in condizioni di punta;
•verifica antincendio;
•verifica a rottura di uno più tratti della rete.
Le verifiche consistono nella determinazione delle portate defluenti lungo i lati e
delle quote piezometriche nei nodi. Queste ultime dovranno soddisfare i requisiti
che garantiscano la regolare erogazione delle portate richieste.
51
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

54. Reti di distribuzione idrica
Verifica delle reti nelle condizioni di punta
La verifica del funzionamento della rete in condizioni di punta consiste nel
considerare tutte le erogazioni medie giornaliere moltiplicate per il
coefficiente di punta orario.
Una volta svolto il calcolo della rete in tali condizioni, si deve verificare che
in tutti i nodi della rete il carico deve superare di almeno 5m il livello del
terzo piano degli edifici (o altra prescrizione locale).
Qualora la verifica non risultasse soddisfatta, bisogna modificare
opportunamente i diametri delle condotte (o innalzare opportunamente il
torrino) e ripetere il calcolo finché non risulti verificato.
52
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

55. Reti di distribuzione idrica
Verifica antiincendio
La verifica antincendio consiste nel garantire, durante lo spegnimento di un
incendio, la regolare erogazione di una portata pari all’80% della media giornaliera.
La portata antincendio si determina considerando che essa sarà erogata con le
manichette delle autopompe dei vigili del fuoco, ciascuna delle quali eroga 15 l/s. Il
numero di idranti nidr da considerare attivi in contemporanea è di norma superiore
o uguale a 2. La portata si calcola di conseguenza.
È buona norma che gli idranti stradali siano posti nella rete ad una
distanza non superiore a 50÷100 m l’uno dall’altro.
53
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

56. Reti di distribuzione idrica
Verifica antiincendio
Ai fini dello svolgimento della verifica antincendio, la portata andrà posizionata nel
punto della rete nel quale l’erogazione di una ingente portata concentrata comporti
i maggiori problemi per il funzionamento complessivo della rete (se
l’individuazione del punto più critico non è univoca, la verifica deve essere ripetuta
più di una volta), ovvero nei punti di minimo piezometrico della rete, in condizioni
di funzionamento normale.
Una volta svolto il calcolo della rete, bisogna verificare che la quota piezometrica
sia ovunque superiore di 5 m all’altezza del terzo piano degli edifici e che, dove è
erogata la portata antincendio, sia superiore di 15 m al piano stradale (condizione
questa per il corretto funzionamento degli apparecchi erogatori delle qutopompe
dei vigili del fuoco).
54
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

57. Reti di distribuzione idrica
Verifica a rottura
La verifica del funzionamento della rete in occasione della rottura di un lato viene
svolta ipotizzando che la rottura abbia luogo nel punto più critico (di solito uno
dei tratti adiacenti al nodo in cui la condotta di avvicinamento si immette nella
rete).
La verifica consiste nel controllare che l’interruzione del tratto consenta la
regolare erogazione della portata media giornaliera, con la quota piezometrica
di progetto.
55
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

58. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Symbol Name nickname Unit
Li lunghezza del tronco i-esimo li [L]
Di diametro della condotta del tronco i-esimo di [L]
Qi portata circolante nel tronco i-esimo qi [L3 T 1 ]
Hi perdita di carico idraulico nel tronco i-esimo hi [L]
hk carico idraulico nel nodo k-esimo hk [L]
Pk portata scambiata con l’esterno nel nodo k-esimo pk [L3 T 1 ]
Cj scabrezza del tronco j-esimo (Darcy-Weisbach) cj []
ks j scabrezza del tronco j-esimo (Gaukler-Strickler) ks [L1/3 T 1 ]
56
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

59. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
La verifica avviene usando le equazioni di conservazione della massa (ai nodi) e di
dissipazione dell’energia nei tratti:
Definendo la matrice diagonale (t x t):
57
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

60. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Le equazioni si possono scrivere:
58
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

61. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Il sistema, scritto ora, sinteticamente:
Contiene n + t equazioni (dove n è il numero dei nodi interni e t il numero dei tratti) può
essere semplificato riducendo il numero di equazioni e di incognite
59
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

62. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
In particolare, il sistema può essere semplificato considerando la dissipazione
dell’energia solo sulle maglie (e non sui tratti).
Per fare questo è necessario introdurre una matrice di maglia, B, contenente m *
t elementi (pari al numero di maglie per il numero di tratti) il cui valore è
kl =1 se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ed è in direzione
concorde alla direzione della maglia
se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ma è in direzione
kl = 1 opposta alla direzione della maglia
kl =0 seil tronco l-esimo non appartiene alla maglia k-esima
60
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

63. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Nell’esempio due maglie con matrice di maglia:
1 2
61
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

64. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Le equazioni relative ai tronchi possono allora essere sostituite dalle
equazioni di maglia:
t n t n
kl alj hj = kl lj Qj
l=1 j=1 l=1 j=1
62
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

65. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Allora il sistema diviene:
dove dalla matrice A si è eliminato un nodo, il cui carico risulta dipendente
dagli altri
63
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

66. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Poichè = ⇥
(Q 1
)
la seconda delle equazioni precedenti è una equazione non lineare e il
sistema è non lineare, generalmente di grado, polinomiale, di grado superiore
al quinto e, pertanto, l’equazione risolvente non ha soluzione esatta.
La soluzione deve pertanto essere cercato con metodi iterativi
64
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

67. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Tra questi:
•Il metodo di Cross
•Il metodo di Charles & Wood (1972)
•Il metodo di newton-Raphson (Martin and Peters, 1972)
•Il metodo del gradiente (Todini e Pilati, 1987, Salgado, 1988)
65
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

68. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Il metodo di Charles and Wood
Il sistema:
⌅t
⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1
⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n
l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m
Viene linearizzato imponendo alla prima iterazione Qj =1, ovvero:
µ ⇥
b1 D1 L1 · · 0
⇧ 0 µ
b2 D2 L2 · 0 ⌃
;1
:= ⇧
⇤
⌃
⌅
0 · · 0
µ
0 0 · bt Dt Lt
66
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

69. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Il metodo di Charles and Wood
Posizione che rende il sistema:
⌅t
⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1
⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n ;1
l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m
risolvibile. La soluzione, nella formulazione appena presentata, è un vettore di
portate di primo tentativo:
67
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

70. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Il metodo di Charles and Wood
Queste portate vanno a determinare il successivo valore ;2 di “secondo
tentativo, che va a definire il sistema “di secondo tentativo”
⌅t
⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1
⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n ;2
l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m
che ha, come soluzioni le portate di “secondo tentativo”:
68
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

71. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Il metodo di Charles and Wood
In generale all’interazione s-esima, si otterra la soluzione di “s-esimo tentativo”:
derivante dal sistema:
⌅t
⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1
⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n ;s
l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m
69
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

72. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Il metodo di Charles and Wood
Dove:
µ ⇥
b1 D1 |Q1 | 1 ;s 1
L1 · · 0
⇧ 0 b2 D2 µ |Q2 | 1 ;s 1
L2 · 0 ⌃
;s
:= ⇧
⇤
⌃
⌅
· · · ·
µ
0 0 · bt Dt |Qt | 1 ;s 1
Lt
70
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

73. Reti di distribuzione idrica
Problemi di Verifica
Il metodo di Charles and Wood
Il processo iterativo si ferma quando la differenza relativa tra le portate
all’iterazione s-esima e l’iterazione (s-1)-esima sono più piccole di un valore
prefissato: >0
Ovvero:
t ;s ;s 1
|Qi Qi |
;s <
i=1
|Qi |
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74. Reti di distribuzione idrica
Un esempio con due maglie
nodi: 6
maglie: 2
serbatoi: 0
tratti: 7
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Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

75. Reti di distribuzione idrica
Un esempio con due maglie
nodi: 6
maglie: 2
serbatoi: 0
tratti: 7
73
Riccardo Rigon
Sunday, May 13, 12

76. Reti di distribuzione idrica
Equazione di Continuità
nodi: 6
maglie: 2
serbatoi: 0
tratti: 7
Le equazioni non sono però linearmente indipendenti: solo 5 lo sono 74
Riccardo Rigon
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77. Reti di distribuzione idrica
Equazione di dissipazione dell’energia
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Riccardo Rigon
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78. Reti di distribuzione idrica
Il sistema complessivo
Il sistema complessivo contiene,
assegnati i diametri dei tubi per la
verifica, 7 portate e 6 altezze
idrometriche incognite e 12 equazioni.
Il sistema è non quindi completamente
determinato.
Si richiede quindi che uno dei carichi
sia fissato. Gli altri, assieme alle
portate, derivano allora dalla
soluzione del sistema.
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Riccardo Rigon
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79. Reti di distribuzione idrica
Se sono da determinare solo le portate
Allora le equazioni si possono semplificare. Per determinare le 7 variabili in
gioco possiamo limitarci ad usare le 5 equazioni di continuità e le due
equazioni di maglia:
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Riccardo Rigon
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80. Riccardo Rigon
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