Testes de hipóteses

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Teste de Hipóteses. Documento de suporte à componente Six Sigma da PG Lean Management XVII Edição do Porto.
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Testes de hipóteses

  1. 1. TESTES DE HIPÓTESES MATERIAL DE SUPORTE AO 6 - XVI EDIÇÃO DA PG LEAN MANAGEMENT JOÃO PAULO PINTO – 2015 JUNHO 13
  2. 2. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 2 de 15 APRESENTAÇÃO DO CONCEITO  Considere-se uma máquina de encher pacotes de açúcar…  O peso de cada pacote deve ser ≈ 8g (isto é, µ = 8);  Será que a máquina está a funcionar correctamente? D E F I N I Ç Ã O Uma hipótese estatística é uma afirmação acerca dos parâmetros de uma ou mais populações (testes paramétricos) ou acerca da distribuição da população (testes de ajustamento). Vamos abordar os testes paramétricos…
  3. 3. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 3 de 15  De volta aos pacotes de açúcar…  Temos duas hipóteses:  A máquina funciona correctamente (µ = 8)  H0 :µ = 8 Esta é chamada de hipótese nula (H0)  A máquina não funciona correctamente (µ ≠ 8)  H1 :µ ≠ 8 Esta é chamada de hipótese alternativa (H0) Para H0 temos ainda a considerar:  Hipótese simples: é especificado apenas um valor para o parâmetro;  Hipótese composta: é especificado mais de um valor para o parâmetro.  Por agora vamos considerar sempre H0 como hipótese simples…
  4. 4. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 4 de 15 Para a hipótese alternativa H1 temos a considerar:  H1 :µ ≠ 8 hipótese alternativa bilateral  H1 :µ > 8 hipótese alternativa unilateral (superior)  H1 :µ < 8 hipótese alternativa unilateral (inferior) D E F I N I Ç Ã O Teste de hipóteses é um procedimento que conduz a uma decisão acerca das hipóteses (com base numa amostra aleatória).
  5. 5. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 5 de 15 ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE AS HIPÓTESES 1. A hipótese nula (H0) representa o status quo ou crença atual em uma situação; 2. A hipótese alternativa (H1) é o oposto da hipótese nula e representa uma questão de investigação que se pretende estudar; 3. Se rejeitarmos H0, então temos a prova estatística de que H1 é verdadeira; 4. Se não rejeitarmos H0, então não foi possível provar a hipótese alternativa, H1. Falhar a demonstração de H1 não quer dizer que H0 esteja demonstrada; 5. A hipótese nula (H0) refere-se sempre a um valor especifico da população (ex. μ) e não uma estatística da amostra (como media da amostra, |X); 6. A declaração de H0 tem sempre um sinal de igual em relação ao valor especificado do parâmetro (por exemplo, H0: μ1 = μ2); 7. A declaração da hipótese alternativa nem sempre contém um sinal de igual em relação ao valor do parâmetro especificado (por exemplo, H1: μ1 ≠ μ2).
  6. 6. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 6 de 15  Voltando aos pacotes de açúcar…  Considere X uma variável aleatória que representa o peso de um pacote de açúcar, então temos:  E(X) = µ e V(X) = σ2 (variância).  Logo, H0 :µ = 8 vs H1 :µ ≠ 8  Agora dispomos de uma amostra de 10 observações: X1 a X10;  Então faz sentido decidir com base em X , aceitando H0 se X estiver próxima de 8 e rejeitando H0 se X estiver longe de 8…  Observemos a figura que se segue…
  7. 7. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 7 de 15 Aceitar H1Aceitar H1 Aceitar H0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL REGIÃO CRÍTICAREGIÃO CRÍTICA REGIÃO DE ACEITAÇÃO c = ponto de fronteira e µ = 8 cc Região crítica: X < 8 − c ou X > 8 + c
  8. 8. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 8 de 15 PROCEDIMENTO GERAL DO TESTE DE HIPÓTESES 1. Pelo contexto do problema identificar o parâmetro de interesse; 2. Especificar a hipótese nula, H0; 3. Especificar uma hipótese alternativa apropriada, H1; 4. Escolher o nível de significância α (é a probabilidade de rejeitar H0 sendo ela verdadeira); 5. Escolher uma estatística de teste adequada, ie Z0; 6. Fixar a região crítica do teste (µ +/- c); 7. Recolher uma amostra (de tamanho n) e calcular o valor observado da estatística de teste; 8. Decidir sobre a rejeição, ou não, de H0.
  9. 9. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 9 de 15 TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA E VARIÂNCIA CONHECIDAS  Considere a população de X tal que: E(X) = µ (desconhecido) V(X) = σ 2 (conhecido) Para valores de X1 a Xn e amostra de dimensão n  Teste de hipóteses: H0: µ = µ0 vs H1: µ ≠ µ0 Assim:  Rejeita-se H0 se 𝑋 < 𝜇0 − 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛 ou 𝑋 > 𝜇0 + 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛  E não se rejeita H0 se 𝜇0 − 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇0 + 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛 Considere de novo a Dist Normal para perceber melhor… Eq. 01
  10. 10. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 10 de 15 1- aka, Intervalo de Confiança  - nível de significância, probabilidade de rejeitar H0 Quanto maior  maior a exigência do teste. c – ponto de fronteira. Nota que c depende de . /2 /2 c c  - desvio padrão da amostra A estatística do teste é dado por: Z0 = 𝑋−𝜇0 𝜎/ 𝑛 Eq. 02 Considerando as equações 01 e 02, a aceitação de H0 acontece se -c ≤ Z0 ≤ c
  11. 11. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 11 de 15 EXERCÍCIO 1.  Voltando ao pacote de açúcar…  Recolhemos uma amostra de 20 pacotes, ver ao lado   Assuma um nível de significância de 5% (ie, o risco de rejeitar H0 sendo ela verdadeira);  Pretende-se saber se a máquina está afinada tendo como base esta amostra (n = 20) para H0: µ = 8 gramas A resposta é: Aceitar H0, ou seja para este nível de significância () podemos considerar que a máquina está afinada. E se aumentarmos o valor de  o que se pode esperar? O que significa um aumento desse parâmetro? # Peso 1 9 2 7 3 8 4 7 5 8 6 7 7 9 8 6 9 9 10 8 11 8 12 9 13 8 14 8 15 10 16 8 17 10 18 9 19 8 20 11 (gramas)Ver file xlsx
  12. 12. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 12 de 15 # Peso Nível de Significância 5% ("alfa" ou NS) dados Nota: neste caso usamos uma amostra de 1 9 apenas 20 dados, o ideal seria n > 30 2 7 Hipoteses a considerar: para garantir que a Distr Normal estaria 3 8 H0: Média do processo = 8 gramas 8 µ0 presente… para n < 30 é necessário garan- 4 7 H1: Média do processo diferente de 8 gramas tir que os dados estão normalmente 5 8 distribuídos… Fazer o teste de 6 7 Resolução Anderson-Darling 7 9 Média da amostra 8,35 gramas (X barra) 8 6 Desvio da Amostra 1,18 gramas 9 9 10 8 Estatística do Teste, Z0 1,3241207 11 8 12 9 Com o valor de "alfa" (NS) obtém-se "c" (necessário obter a área da Distrib Normal): 13 8 área da Distr Normal =1-1/2*NS 14 8 área = 0,975 ou 97,50% Consultar agora a Distr Normal para obter "c" 15 10 Ponto de Fronteira "c" = 1,96 16 8 17 10 Aceitação ou rejeição da Hipotese Nula (H0) - decisão tomada com base em "c" e "Zo": 18 9 19 8 -1,96 < 1,3241207 < 1,96 20 11 (gramas) Aceita Ho Aceita Ho
  13. 13. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 13 de 15 EXERCÍCIO 2.  Suponha que a média de todas as notas do M1 da PG-LM (das 17 edições, mais de 500 formandos) é 12 valores com desvio padrão 6;  Na actual turma (30 formandos), a média deste módulo é 16;  Research question: Posso afirmar que a actual turma é significativamente diferente de todos os formandos da PG LM (a população)? Resolução  H0: µ = 12 H1:  ≠ 12  Z0 = 3.65 Para  = 5% temos c = 1.96  Rejeitamos Ho ou seja esta turma é significativamente diferente…
  14. 14. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 14 de 15 EXERCÍCIO 3.  Suponha que queremos saber se há diferença nos salários para os professores masculinos e femininos;  Poderíamos obter duas amostras (homens e outra de mulheres), para determinar os respectivos níveis salariais médios (M1 e M2);  M1 e M2 são estimativas das medias da população, 1 e 2.  Formule as hipóteses nula e alternativa. Resposta:  Ho: 1 = 2  H1: 1  2  Suponha que a crença é que eles ganham mais que elas… Formule de novo as hipóteses… H1: 1 - 2 > 0
  15. 15. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 15 de 15 EXERCÍCIO 4.  Um fabricante de lâminas de barbear afirma que suas lâminas dão em média 15 boas intervenções;  Foi feito um teste, pedindo a 10 homens escolhidos aleatoriamente para testar as lâminas de. O número médio de boas intervenções relatados é de 13 e o desvio padrão é 3.62;  O fabricante insiste que o verdadeiro número de acções (ou valor da população) é 15… (não seria de esperar outra coisa).  Formule as hipóteses nula e alternativa… Resposta:  Ho:  = 15  Se quisermos desafiar o fabricante: H1:  < 15  Então se formos totalmente agnósticos: H1:   15
  16. 16. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO CLT VALUEBASED SERVICES Av da República, 2491 – Sala 41, 4º Piso 4430 208 VN de Gaia Telf. 93.600.00.79/88 Fax. 220.162.407 mgt@cltservices.net www.cltservices.net

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