Préparation E3C 2021 Exercice 4 : Probabilités

1. Préparation E3C 2021
Exercice 4 : Probabilités conditionnelles
Clément Boulonne (CBMaths)
9 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 1 / 21

2. Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 2 / 21

3. Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 3 / 21

4. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

5. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

6. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

7. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

8. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l'événement le voyageur fait sonner le portique ;
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

9. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l'événement le voyageur fait sonner le portique ;
M l'événement le voyageur porte un objet métallique .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

10. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l'événement le voyageur fait sonner le portique ;
M l'événement le voyageur porte un objet métallique .
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

11. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l'événement le voyageur fait sonner le portique ;
M l'événement le voyageur porte un objet métallique .
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
On admet que :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

12. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l'événement le voyageur fait sonner le portique ;
M l'événement le voyageur porte un objet métallique .
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
On admet que :
lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la
probabilité que le portique sonne est égale à 0,98;
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

13. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l'événement le voyageur fait sonner le portique ;
M l'événement le voyageur porte un objet métallique .
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
On admet que :
lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la
probabilité que le portique sonne est égale à 0,98;
lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la
probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 21

14. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 21

15. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
2 Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 21

16. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
2 Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
3 Montrer que P(S) = 0,021 92.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 21

17. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
2 Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
3 Montrer que P(S) = 0,021 92.
4 En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 21

18. Énoncé
E3C2021 - Probabilités
Vous pouvez travailler l'exercice puis continuer la lecture de cette
présentation pour dévoiler le corrigé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 6 / 21

19. Solutions
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 7 / 21

20. Solutions Question 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 8 / 21

21. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
Extrait de l'exercice 1 du sujet BAC ES Liban Mai 2018.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les
objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
S l'événement le voyageur fait sonner le portique ;
M l'événement le voyageur porte un objet métallique .
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
On admet que :
lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la
probabilité que le portique sonne est égale à 0,98;
lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la
probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 9 / 21

22. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
2 Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
3 Montrer que P(S) = 0,021 92.
4 En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 21

23. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 21

24. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
D'après l'énoncé :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 21

25. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
D'après l'énoncé :
la probabilité qu'une personne porte un objet métallique est
P(M) =
1
500
= 0,002;
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 21

26. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
D'après l'énoncé :
la probabilité qu'une personne porte un objet métallique est
P(M) =
1
500
= 0,002;
la probabilité qu'une personne fasse sonner le portique sachant qu'il
porte un objet métallique est PM (S) = 0,98;
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 21

27. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
D'après l'énoncé :
la probabilité qu'une personne porte un objet métallique est
P(M) =
1
500
= 0,002;
la probabilité qu'une personne fasse sonner le portique sachant qu'il
porte un objet métallique est PM (S) = 0,98;
la probabilité qu'une personne ne fasse pas sonner le portique sachant
qu'il ne porte pas d'objet métallique est PM (S) = 0,98.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 21

28. Solutions Question 1
E3C2021 - Probabilités
À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
D'après l'énoncé :
la probabilité qu'une personne porte un objet métallique est
P(M) =
1
500
= 0,002;
la probabilité qu'une personne fasse sonner le portique sachant qu'il
porte un objet métallique est PM (S) = 0,98;
la probabilité qu'une personne ne fasse pas sonner le portique sachant
qu'il ne porte pas d'objet métallique est PM (S) = 0,98.
Conclusion : P(M) = 0,002, PM(S) = 0,98 et PM(S) = 0,98.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 21

29. Solutions Question 2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 12 / 21

30. Solutions Question 2
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
2 Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
3 Montrer que P(S) = 0,021 92.
4 En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 21

31. Solutions Question 2
E3C2021 - Probabilités
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 21

32. Solutions Question 2
E3C2021 - Probabilités
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
0,002
0,998
S
S
0,98
0,02
S
S
0,02
0,98
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 21

33. Solutions Question 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 21

34. Solutions Question 3
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
2 Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
3 Montrer que P(S) = 0,021 92.
4 En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 21

35. Solutions Question 3
E3C2021 - Probabilités
Montrer que P(S) = 0,021 92.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 21

36. Solutions Question 3
E3C2021 - Probabilités
Montrer que P(S) = 0,021 92.
On utilise la formule des probabilités totales :
P(S) = P(M) × PM(S) + P(M) × PM(S).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 21

37. Solutions Question 3
E3C2021 - Probabilités
Montrer que P(S) = 0,021 92.
On utilise la formule des probabilités totales :
P(S) = P(M) × PM(S) + P(M) × PM(S).
Puis, on remplace par les valeurs numériques inscrites sur l'arbre de
probabilité :
P(S) = 0,002 × 0,98 + 0,998 × 0,02
= 0,001 96 + 0,019 96 = 0,021 92.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 21

38. Solutions Question 3
E3C2021 - Probabilités
Montrer que P(S) = 0,021 92.
On utilise la formule des probabilités totales :
P(S) = P(M) × PM(S) + P(M) × PM(S).
Puis, on remplace par les valeurs numériques inscrites sur l'arbre de
probabilité :
P(S) = 0,002 × 0,98 + 0,998 × 0,02
= 0,001 96 + 0,019 96 = 0,021 92.
Conclusion : P(S) = 0,021 92.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 21

39. Solutions Question 4
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 21

40. Solutions Question 4
E3C2021 - Probabilités
1 À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)
et PM(S).
2 Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette
situation.
M
M
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
S
S
. . .
. . .
3 Montrer que P(S) = 0,021 92.
4 En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 21

41. Solutions Question 4
E3C2021 - Probabilités
En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 21

42. Solutions Question 4
E3C2021 - Probabilités
En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
On souhaite calculer la probabilité qu'un voyageur porte un objet
métallique sachant qu'il a fait sonner le portique, c'est-à-dire PS (M).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 21

43. Solutions Question 4
E3C2021 - Probabilités
En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
On souhaite calculer la probabilité qu'un voyageur porte un objet
métallique sachant qu'il a fait sonner le portique, c'est-à-dire PS (M).
Pour cela, on utilise la formule des probabilités conditionnelles :
PS (M) =
P(S ∩ M)
P(S)
=
0,001 96
0,021 92
≈ 0,089 4.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 21

44. Solutions Question 4
E3C2021 - Probabilités
En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à
10
−3).
On souhaite calculer la probabilité qu'un voyageur porte un objet
métallique sachant qu'il a fait sonner le portique, c'est-à-dire PS (M).
Pour cela, on utilise la formule des probabilités conditionnelles :
PS (M) =
P(S ∩ M)
P(S)
=
0,001 96
0,021 92
≈ 0,089 4.
Conclusion : la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique
sachant qu'il a fait sonner le portique est égale à PS (M) ≈ 0,089.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 21