Representacao de transformadores_em_estudos_de_transitorios

1.753 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.753
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
7
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
45
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Representacao de transformadores_em_estudos_de_transitorios

  1. 1. MARCOS VELOSO CZERNORUCKI REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EMESTUDOS DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia São Paulo 2007
  2. 2. MARCOS VELOSO CZERNORUCKIREPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM ESTUDOS DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia Área de concentração: Sistemas de Potência Orientador: Prof. Dr. Luiz Cera Zanetta Jr. São Paulo 2007
  3. 3. FICHA CATALOGRÁFICACzernorucki, Marcos Veloso Representação de transformadores em estudos de transitórioseletromagnéticos / M.V. Czernorucki. -- São Paulo, 2007. 101 p. Dissertação (Mestrado) – Escola Politécnica da Universidade deSão Paulo. Departamento de Engenharia de Energia e AutomaçãoElétricas. 1.Transformadores e reatores 2.Transitórios eletromagnéticosI.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento deEngenharia de Energia e Automação Elétricas II. t.
  4. 4. À Carla, Isabel e Ana Beatriz
  5. 5. AGRADECIMENTOSAo Prof. Dr. Luiz Cera Zanetta Jr., pela orientação dispensada no decorrer do trabalho.Aos Profs. Drs. Carlos Eduardo de Morais Pereira e José Aquiles Baesso Grimoni pelassugestões e comentários apresentados no exame de qualificação.Às demais pessoas que, direta ou indiretamente, contribuíram na execução deste trabalho.
  6. 6. SUMÁRIOLista de FigurasLista de TabelasLista de SímbolosResumoAbstract1 Introdução .................................................................................................................................1 1.1 Considerações iniciais .......................................................................................................1 1.2 Objetivo .............................................................................................................................2 1.3 Motivação..........................................................................................................................3 1.4 Metodologia.......................................................................................................................32 Elementos básicos de projeto ...............................................................................................4 2.1 Cálculo do ramo de magnetização.....................................................................................4 2.1.1 Curva de magnetização do transformador em vazio ..................................................4 2.1.2 Cálculo da reatância em núcleo de ar.........................................................................7 2.1.3 Componente de perda...............................................................................................14 2.2 Cálculo da resistência ôhmica e reatância de dispersão ..................................................16 2.2.1 Resistência ôhmica...................................................................................................16 2.2.2 Reatância de curto-circuito.......................................................................................173 Proposição do modelo ..........................................................................................................20 3.1 Desenvolvimento do modelo sem o ramo de magnetização ...........................................21 3.2 Extensão do modelo para outras configurações ..............................................................24
  7. 7. 3.3 Modelagem do ramo de magnetização............................................................................28 3.3.1 Transformador monofásico com dois enrolamentos ................................................29 3.3.2 Transformador monofásico com três enrolamentos .................................................32 3.3.3 Transformadores trifásicos.......................................................................................324 Resultados das etapas de verificação dos modelos .......................................................35 4.1 Simulações preliminares..................................................................................................36 4.2 Testes com os transformadores em vazio........................................................................41 4.2.1 Verificação do modelo monofásico..........................................................................41 4.2.2 Verificação do modelo trifásico ...............................................................................44 4.3 Etapa final com o modelo completo................................................................................47 4.4 Aspectos observados durante as simulações ...................................................................515 Conclusão e desenvolvimentos futuros ...........................................................................54Anexo A – Modelos de transformadores disponíveis no ATP ......................................56 A.1 Componente Transformador Saturável ...........................................................................58 A.2 Modelo RL série – Método de Integração Trapezoidal ...................................................62Anexo B – Exemplo numérico de cálculo de reatância no ar: manual e através do programa desenvolvido ......................................................................................................64Anexo C – Trabalhos publicados sobre modelagem de transformadores – Estado da arte ...........................................................................................................................................69Referências bibliográficas ........................................................................................ 78
  8. 8. LISTA DE FIGURASFigura 1.1 – Participação dos transformadores no sistema elétricos...............................................1Figura 2.1 – Curva de magnetização típica .....................................................................................5Figura 2.2 – Grandezas geométricas de uma bobina .......................................................................7Figura 2.3 – Parâmetros para cálculo da indutância mútua.............................................................8Figura 2.4 – Bobinas tipo helicoidal................................................................................................9Figura 2.5 – Bobinas tipo disco .....................................................................................................10Figura 2.6 – Grandezas dimensionais de um condutor retangular ................................................17Figura 2.7 – Grandezas para o cálculo de reatância de curto-circuito...........................................17Figura 3.1 – Esquema equivalente de Gs entre os nós k e m.........................................................21Figura 3.2 – Modelos completos para transformadores monofásicos de dois (a) e três (b)enrolamentos..................................................................................................................................26Figura 3.3 – Modelos completos para transformadores trifásicos de dois (a) e três (b)enrolamentos..................................................................................................................................27Figura 3.4 – Curva de magnetização formada por segmentos de reta...........................................29Figura 3.5 – Solução gráfica do Método da Compensação ...........................................................30Figura 4.1 – Esquema de transformador monofásico com dois enrolamentos..............................36Figura 4.2 – Esquema de transformador monofásico com três enrolamentos...............................37Figura 4.3 – Esquema de transformador trifásico com dois enrolamentos ...................................37Figura 4.4 – Esquema de transformador trifásico com três enrolamentos ....................................37Figura 4.5 – Ondas de tensão dos enrolamentos 1 e 2 fase A (transformador trifásico com doisenrolamentos) ................................................................................................................................40
  9. 9. Figura 4.6 – Ondas de tensão dos enrolamentos 1 e 2 fase B (transformador trifásico com doisenrolamentos) ................................................................................................................................40Figura 4.7 – Ondas de tensão dos enrolamentos 1 e 2 fase C (transformador trifásico com doisenrolamentos) ................................................................................................................................41Figura 4.8 – Tensão de alimentação aplicada diretamente à indutância não linear.......................42Figura 4.9 – Corrente no elemento não linear – transformador monofásico com θ = 0° ..............43Figura 4.10 – Corrente no elemento não linear – transformador monofásico com θ = -120°.......43Figura 4.11 – Corrente no elemento não linear – transformador monofásico com θ = 120° ........44Figura 4.12 – Tensão de alimentação trifásica aplicada diretamente às indutâncias não lineares.......................................................................................................................................................45Figura 4.13 – Corrente no elemento não linear – transformador trifásico FASE A......................45Figura 4.14 – Corrente no elemento não linear – transformador trifásico FASE B ......................46Figura 4.15 – Corrente no elemento não linear – transformador trifásico FASE C ......................46Figura 4.16 – Corrente no elemento não linear – transformador trifásico completo FASE A......48Figura 4.17 – Corrente no secundário – transformador trifásico completo FASE A ....................48Figura 4.18 – Corrente no elemento não linear – transformador trifásico completo FASE B ......49Figura 4.19 – Corrente no secundário – transformador trifásico completo FASE B ....................49Figura 4.20 – Corrente no elemento não linear – transformador trifásico completo FASE C ......50Figura 4.21 – Corrente no secundário – transformador trifásico completo FASE C ....................50Figura 4.22 – Descontinuidade na curva de corrente no elemento não linear...............................51Figura 4.23 – Corrente no elemento não linear com tempo de simulação de 100 milisegundos ..52Figura A.1 – Modelo do transformador em valores por unidade ..................................................57Figura A.2 – Componente Transformador Saturável do ATP.......................................................58Figura A.3 – Componente monofásica do STC.............................................................................59
  10. 10. Figura A.4 – Circuito equivalente do STC referido ao primário...................................................60Figura A.5 – Circuito equivalente do STC referido ao secundário ...............................................61Figura A.6 – Ramo RL monofásico ...............................................................................................62Figura A.7 – Representação esquemática do ramo RL monofásico ..............................................63Figura B.1 – Esquema de ligação do transformador com ponto aberto ........................................64Figura B.2 – Esquema de ligação do transformador com regulação separada ..............................66Figura C.1 – Esquema usado para o cálculo do fluxo total ...........................................................74
  11. 11. LISTA DE TABELASTabela 4.1 – Valores de tensões nodais para transformador monofásico com três enrolamentos.......................................................................................................................................................39Tabela 4.2 – Curva de magnetização utilizada na simulação 4.2.1 ...............................................42Tabela 4.3 – Curva de magnetização utilizada na simulação 4.2.2 ...............................................45Tabela 4.4 – Curva de magnetização utilizada na simulação 4.3 ..................................................47Tabela 4.5 – Resultado do cálculo da indutância Lkm ....................................................................52
  12. 12. LISTA DE SÍMBOLOSXm: reatância de magnetizaçãoRm: resistência de magnetizaçãoV: tensão no terminalIexc: corrente de excitaçãoAT: alta tensãoBT: baixa tensãoα: inclinação da região I na curva de magnetizaçãoβ: inclinação da região III na curva de magnetizaçãoXAR: reatância em núcleo de arXCC: reatância de curto-circuitoN: número de espiras do enrolamentoH: altura axial da bobinaRd: largura radial da bobinaDm: diâmetro médio da bobinaa: raio do enrolamento 12m1: altura do enrolamento 1n1: número de espiras distribuído do enrolamento 1A: raio do enrolamento 2
  13. 13. 2m2: altura do enrolamento 2n2: número de espiras distribuído do enrolamento 2S: distância axial entre os centros dos enrolamentosx1, x2, x3, x4: dimensões axiais entre cabeças dos enrolamentos 1 e 2N1, N2: número de espiras dos enrolamentos 1 e 2 respectivamenter1, r2, r3, r4: dimensões diagonais que são função de x e AL: indutância própria de uma bobinaM: indutância mútua entre bobinasBn: função dos adimensionais ρn2 e αD1, D2: diâmetros médios dos enrolamentos 1 e 2 respectivamenteδ2, ρ2, λ2, λ4, λ6, ξ2, ξ4: valores que compõem a série numérica para cálculo da indutância mútuaPH: perda por histeresekH: coeficiente de perdas ligado à área do ciclo de histereseBFE: indução magnética máxima do núcleoα: constante dependente de BFEf: freqüênciaVE : volt/espira do transformadorSk: seção transversal do núcleoσ: fator de empilhamento das chapas de núcleo
  14. 14. PF: perda FoucaultkF: coeficiente de perdas Foucaulte: espessura da chapa de aço silícioPFE: perda no ferro (histerese + Foucault)R: resistência ôhmicaρ: resistividade do material condutorlc: comprimento médio de uma espiraSc: secção transversal do condutorb: espessura (radial) do condutorh: altura (axial) do condutorr: raio de canto do condutorDk: diâmetro do núcleoa1 e a2: radiais dos enrolamentos A e B respectivamentec e b: canais internos aos enrolamentos A e B respectivamenteLw: altura média dos enrolamentoskh: fator para o cálculo da reatância de dispersãoSd1, Sd0, Sd2: áreas correspondentes aos diâmetros médios do enrolamento A, do canal entre A eB, e do enrolamento B, respectivamenteHd: fluxo de dispersão que atravessa as áreas Sd1, Sd0 e Sd2NI: ampére-espira do transformador para o par de enrolamentos A e B
  15. 15. V1, V2, I1, I2: tensões e correntes de fase nos enrolamentos A e B respectivamenteSN: potência nominal do par de enrolamentos[L]: matriz de indutâncias[R]: matriz de resistênciasC: capacitânciaRL: ramo composto por resistência e indutância em sérieGs: elemento equivalente série de um ramo RLRs: inverso do elemento Gs[Gs]: matriz dos elementos Gs[Rs]: inversa da matriz [Gs][Fs]: matriz análoga à [Gs] usada em transformadores com três enrolamentosikm: corrente entre os nós k e m[ikm]: vetor das correntes ikm dos enrolamentosvk, vm: tensões nos nós k e m respectivamente∆t: passo de integraçãohist: termo histórico[hist]: vetor dos termos históricos[I]: matriz identidade[A], [B]: sub-matrizes definidas para a equação do transformador saturável
  16. 16. Rk: resistência de curto-circuito do enrolamento kLk: indutância de curto-circuito do enrolamento knk: número de espiras do enrolamento kn1: número de espiras do enrolamento 1[Y]: matriz de admitâncias nodais do transformador[vd]: vetor das tensões desconhecidas[Ydd]: matriz de admitâncias dos nós de tensões desconhecidas[id]: vetor das correntes desconhecidas[Ydc]: matriz de admitâncias composta pelos nós de tensões conhecidas e desconhecidas[ec]: vetor das tensões conhecidasg11, g12, g21, g22: elementos da matriz [Gs] para o transformador com dois enrolamentosdv/di: derivada da tensão em relação à correntee0k(t) , e0m(t): tensões dos nós k e m respectivamente da rede sem o elemento não linearZt: impedância equivalente de Thèvenin vista pelos nós k e m[Zt]: matriz das impedâncias equivalentes de Thèveninzkk, zmm, zkm: impedâncias extraídas a partir da inversão da matriz de admitâncias [Y] dotransformadorλkm: fluxo entre os nós k e mh(t-∆t): valores históricos usados para o cálculo do fluxo λkm
  17. 17. a(k) , b(k): coeficientes do segmento de reta (k)icomp: corrente de compensação[icomp]: vetor das correntes de compensação icompAsat , Bsat: fatores que são função dos coeficientes a(k) , b(k) do segmento (k)[Asat] , [Bsat]: matrizes dos fatores Asat e Bsat de cada perna, usadas nos modelos trifásicos∆V: diferença de tensão entre os nós onde é conectado o elemento não linear[∆V]: vetor das diferenças de tensão ∆V∆V0: diferença de tensão entre os nós onde é conectado o elemento não linear com a rede emvazio[ ∆V0]: vetor das diferenças de tensão ∆V0[Zthr]: matriz de Thèvenin reduzida[M ] : soma matricial de [Asat ] + [Z thr ]Rt: resistência de aterramentoNcalc: relação de tensões calculadaNnom: relação das tensões nominais dos enrolamentoslm: indutância de magnetizaçãorc: resistência da cargalc: indutância da cargaE: tensão de alimentação do gerador
  18. 18. θ: defasamento angularRcLc: representação para um ramo RL da cargaLkm: indutância calculada em cada passo de integraçãoZc: impedância capacitivaω: freqüência angulardi/dt: derivada da corrente em relação ao tempoVRMS: tensão em valor eficazIRMS: corrente em valor eficazIpico: corrente em valor de picoΦpico: fluxo magnético em valor de picoiRmk , imk: correntes do ramo de magnetização referentes a Rm e Xm respectivamenteφl: parcela do fluxo magnético fora do núcleoφm: parcela do fluxo magnético dentro do núcleo
  19. 19. RESUMOEstudos de transitórios eletromagnéticos são importantes fontes de informaçãopara que os transformadores sejam dimensionados de maneira correta. Noentanto, para que tais estudos sejam bem sucedidos, os modelos utilizadosdevem refletir com fidelidade o comportamento do equipamento. Este trabalhomostra como os elementos do modelo de um transformador são influenciadospelas dimensões geométricas de sua parte ativa.Também introduz uma formulação alternativa, para o transformador saturável(STC) do ATP, desenvolvida dentro do programa MATLAB. Os ramos RLforam representados usando o Método de Integração Trapezoidal e amagnetização foi equacionada pelo Método da Compensação. Uma dascontribuições que esta dissertação oferece é a possibilidade de identificar errosnuméricos que ocorrem em simulações do ATP, bem como permitir ainterpretação de resultados que apresentem oscilações numéricas.
  20. 20. ABSTRACTElectromagnetic transient studies are an important source of information todevelop transformer dimensioning. But, for the success of that purpose, it isimportant the models which are being used reflect with fidelity the behavior ofthe machine. This lecture presents how the transformer model elements areinfluenced by the active part geometrical dimensions.It also introduces an alternative formulation for the ATP saturable transformer(STC), written inside the MATLAB program. The RL branches are representedusing the Trapezoidal Rule and the magnetization by the CompensationMethod. One of the contributions of this dissertation is the possibility toidentify numerical errors that occur in ATP simulations, and also permitnumerical oscillatory results interpretation.
  21. 21. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 1 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações IniciaisTransformadores estão presentes ao longo de todo o sistema elétrico. Este fato tem motivado aexistência de diversos estudos de transitórios eletromagnéticos relacionados a estesequipamentos. Abaixo é ilustrada, na forma de diagrama unifilar, a diversidade de seu uso dentrode um sistema de energia típico. 13,8 - 34,5 kV ABAIXADOR cargas G REGULADOR industriais 440, 500, 800 kV REGULADOR G 230, 138, 69 kV 13,8 kV ABAIXADOR G INTERLIGAÇÃO ELEVADOR 127, 220 V 230, 138 kV cargas residenciais e prediais Figura 1.1 – Participação dos transformadores no sistema elétricoEstes estudos fornecem informações importantes para proprietários e, principalmente,concessionárias, que contabilizam seu faturamento sobre o montante de energia que é entregueao cliente, uma vez que transitórios eletromagnéticos estão entre as principais causas de falhas
  22. 22. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 2em transformadores. Tais dados permitirão que a proteção dos transformadores seja devidamentedimensionada, levando em conta o efeito destas ondas transitórias. Os fabricantes detransformadores também podem extrair dados de grande relevância destes estudos, poispossibilitam que os equipamentos sejam adequadamente dimensionados para as solicitaçõesreais, às quais as máquinas serão submetidas e que muitas vezes divergem das ondasnormalizadas.Para que estes estudos tenham êxito e sejam realizados com relativa freqüência e precisão, éfundamental que os modelos utilizados sejam de fácil acesso, simples manipulação e utilizemferramentas de uso comum, conhecidas dos engenheiros eletricistas. Por esta razão realizamos opresente trabalho. 1.2 ObjetivoEm um primeiro momento é apresentada uma formulação simples para o cálculo dos elementosbásicos do modelo teórico de transformadores, tais como o ramo de magnetização e impedânciasde curto-circuito, a partir da geometria do núcleo e das bobinas da parte ativa. O intuito não éfornecer o equacionamento para a construção de um transformador de potência, mas sim permitirque o pesquisador tenha a sensibilidade de verificar como parâmetros geométricos influenciam omodelo do mesmo, podendo até estimá-los em uma fase inicial de concepção do sistema, quandonão se tem todas as informações sobre o equipamento.O objetivo principal deste trabalho é a construção de modelos, onde estes elementos sãoinseridos possibilitando que o transformador construído seja estudado focando em seucomportamento quando submetido à sobretensões com fretes de onda lenta. Os resultados dosmodelos são validados através de simulações equivalentes utilizando-se o programa ATP(Alternative Transients Program). O MATLAB, software utilizado na programação, possui ummodelo já pronto em seu toolbox, mas como ele é equivalente ao do ATP, não será usado comobase de validação dos resultados.
  23. 23. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 3 1.3 MotivaçãoA motivação deste trabalho está em desenvolver modelos de transformadores em uma linguagemde programação conhecida e que possam ser usados em estudos de transitórios eletromagnéticosde um determinado sistema elétrico. Futuramente, estes modelos poderão ser inseridos em umarede mais complexa, sendo programados na mesma base de dados.Outra contribuição é a possibilidade de identificar erros numéricos que ocorrem em simulaçõesdo ATP, bem como permitir a interpretação de resultados que apresentem oscilações numéricas.Algumas delas são provenientes do Método de Integração Trapezoidal. Com isso, uma análisemais detalhada, indica um potencial futuro de melhoria e aperfeiçoamento dos modelospropostos, uma vez que os mesmos já estão sendo testados e sua fidelidade comprovada atravésdos resultados das simulações. 1.4 MetodologiaForam escritos modelos de transformadores monofásicos e trifásicos, como dois e trêsenrolamentos, em ligação estrela aterrada. O desenvolvimento deles surgiu como umaimplementação alternativa para o modelo mais recente do ATP, chamado Saturable TransformerComponent (STC). Capacitâncias não fizeram parte deste modelamento, mas poderão serincluídas caso haja interesse no estudo realizado. Cada modelo foi confrontado em seus detalhescom os resultados fornecidos por simulações equivalentes utilizando o programa ATP,verificando as correntes, tensões e fluxos que apareciam entre nós onde conectamos o ramo demagnetização, resistências e indutâncias de curto-circuito e cargas.
  24. 24. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 4 Capítulo 2 Elementos Básicos de ProjetoNeste capítulo buscamos expor um equacionamento simples, porém prático sobre o projeto deum transformador, o qual foi extraído basicamente de [4], [8], [10] e [19]. Trata-se de uma fonteimportante de informação, apresentando como as grandezas elétricas de um transformador depotência variam de acordo com sua geometria da parte ativa (núcleo e enrolamentos). 2.1 Cálculo do Ramo de MagnetizaçãoO modelo do ramo de magnetização de um transformador é composto por dois elementosprincipais: o primeiro tem natureza reativa (Xm) e modela a característica não linear do núcleoferromagnético, podendo ser extraído da curva de magnetização do transformador. O segundotem natureza resistiva (Rm), representando a perda em vazio. Estes dois componentes estãopresentes quer o equipamento opere em carga ou em vazio. 2.1.1 CURVA DE MAGNETIZAÇÃO DO TRANSFORMADOR EM VAZIOO levantamento da curva de magnetização de transformadores é um estudo bastante solicitadopelos compradores aos fabricantes. Isto porque dela se obtêm informações importantes paraanálises do comportamento do equipamento quando este é submetido a sobretensões dediferentes magnitudes e períodos. Ela possui uma característica singular para cada projeto,podendo ser adotada a mesma curva para as diversas unidades de um mesmo lote detransformadores.
  25. 25. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 5A curva de magnetização relaciona a tensão de um determinado terminal (AT, BT, terciário) coma corrente de excitação neste terminal, podendo ser dividida em três partes distintas: região depermeabilidade magnética constante, joelho e saturação. A figura 2.1 mostra estas três regiõesdentro da curva. V (%) região II região III região I α β Iexc (%) Figura 2.1: Curva de magnetização típicaRegião I: Permeabilidade magnética constanteRegião II: JoelhoRegião III: SaturaçãoA região de permeabilidade constante é aquela na qual a corrente de excitação do núcleo varialinearmente com o aumento da tensão nos terminais do transformador, ou seja, a reatância édefinida apenas por tan(α). Nesta região o núcleo opera como o caminho de menor relutância oumaior permeabilidade magnética, a qual se mantém constante em todo este trecho da curva. Naregião II ocorre a chamada deformação não linear, que indica o início da saturação do material,no entanto os domínios magnéticos não estão completamente alinhados.
  26. 26. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 6O comportamento em vazio do transformador nas regiões I e II é definido basicamente pelomaterial ferromagnético que está sendo utilizado no núcleo. A reatância de magnetização dotransformador, como descrito em [11], é definida por: V Xm = (2.1) I excJá na região III ocorre o pleno alinhamento destes domínios, saturando completamente omaterial. Com isso as linhas de fluxo fecham-se externamente ao núcleo. A reatância tan(β) émuito menor que aquela definida na região I e recebe o nome de reatância em núcleo de ar, pornão mais contar com o núcleo para que haja o fechamento das linhas de fluxo magnético geradopelas bobinas do transformador. Um valor estimativo para a reatância em núcleo de ar éaproximadamente igual a duas vezes a reatância de dispersão do transformador, conforme citadoem [2] e [7]. X AR ≈ 2. X CC (2.2)Onde:XAR: reatância em núcleo de arXCC: reatância de curto-circuitoA medição dos valores que compõem a região III da curva não é feita no laboratório de ensaios,pois há dificuldade que os níveis de tensão desta região sejam atingidos sem que exista distorçãona forma de onda, devido à saturação dos próprios equipamentos de medição, causando destemodo imprecisão nos valores medidos. Para evitar este problema, os pontos da região III sãoobtidos enquanto as bobinas não foram conjugadas ao núcleo, estando ainda na linha defabricação, conectando os enrolamentos que compõem o terminal que se deseja ensaiar, nacondição de garantia. Esta medição fornecerá os valores correspondentes à reta pontilhada, cominclinação β, ilustrada na figura 2.1.
  27. 27. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 7 2.1.2 CÁLCULO DE REATÂNCIA EM NÚCLEO DE ARAs reatâncias próprias e mútuas em núcleo de ar são calculadas a partir do dimensional dasbobinas do transformador, tendo como variáveis os valores de diâmetros, número de espiras,alturas radial e axial, etc.A indutância própria de uma bobina é dada pela seguinte equação, baseada em [4]: 2 k (πD m N ) L= 10 − 9 [H] (2.3) He 1 k= D  R  R  1 + 0,45 m  + 0,64 d D  + 0,84 d    H   m  H onde:N: é o número de espiras do enrolamentoH: é a altura axial da bobina, em centímetrosRd: é a largura radial da bobina, em centímetrosDm: é o diâmetro médio, em centímetrosA figura abaixo mostra de forma mais clara as dimensões da equação (2.3). Dm Rd H Figura 2.2 – Grandezas geométricas de uma bobina
  28. 28. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 8No caso dos terminais serem conectados através de duas ou mais bobinas em série, asindutâncias mútuas devem ser adicionadas à própria, formando a indutância total do conjunto[8]. Assumem-se duas bobinas concêntricas, com raio, altura e número de espiras distribuídodados por a, 2m1, n1 e A, 2m2, n2, respectivamente para cada um dos enrolamentos e que o raio Aé maior que o raio a. Ainda considera-se a distância axial S entre os centros dos enrolamentos,que determina a posição relativa entre eles, pois eles podem estar totalmente separados,parcialmente conjugados para cima ou para baixo, ou completamente conjugados. a 2m1 x2 x4 A S x1 x3 2m2 Figura 2.3 – Parâmetros para cálculo da indutância mútuaDa figura 2.3, podemos escrever as seguintes relações geométricas: x1 = S + (m1 + m 2 ) x 2 = S + (m1 − m 2 ) (2.4)
  29. 29. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 9 x 3 = S − (m1 − m 2 ) x 4 = S − (m1 + m 2 )Como foi dito anteriormente n1 e n2 são os números de espiras distribuídos ao longo doenrolamento. Quando uma bobina é construída do tipo camada ou helicoidal, a altura doenrolamento é proporcional ao número de espiras, pois todas as espiras encontram-se distribuídasno sentido axial. Já em uma bobina tipo disco, as espiras são distribuídas em cada disco nosentido radial e o número total de espiras é dado, de forma genérica, pelo número de espiras pordisco multiplicado pelo número de discos total do enrolamento. Desta maneira o tipo de bobinausada no projeto é levado em conta no cálculo da reatância no ar. N1 N2 n1 = e n2 = (2.5) 2m1 2m 2A figura 2.4 mostra duas bobinas tipo hélice, com fios retangulares em paralelo, formando umúnico feixe [27]. Construtivamente a principal diferença entre uma bobina tipo hélice em relaçãoà do tipo camada, são os espaçadores no sentido axial, que são usados nas bobinas helicoidais,por motivos dielétricos e térmicos. Figura 2.4: Bobinas tipo helicoidalNa figura 2.5 temos duas bobinas tipo disco, extraídas de [28] e [29]. Estas podem seridentificadas externamente pela presença de cruzamentos entre os discos, que são as passagens
  30. 30. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 10dos fios de um disco para o seguinte. Normalmente a quantidade de fios paralelos é bem menorque a de um enrolamento tipo helicoidal, mesmo porque estas bobinas, geralmente são usadasem enrolamentos de alta tensão e baixa corrente. Porém como conseqüência disso, a bobinapossui grande número de espiras, levando cada disco a acomodar diversas espiras radialmente.Estes podem ser do tipo contínuo ou estabilizado, dependendo das solicitações dielétricasencontradas em fase de projeto. Figura 2.5: Bobinas tipo discoApós calcularmos os parâmetros xn, sendo n = 1, 2, 3 e 4, é possível obtermos as dimensões dasdiagonais, tendo como referência do raio A do enrolamento externo. r1 = A 2 + x12 r2 = A 2 + x 2 2 (2.6) r3 = A 2 + x 3 2 r4 = A 2 + x 4 2
  31. 31. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 11A equação geral da indutância mútua é apresentada em [8] e dada pela seguinte expressão: M = 0,002π 2 a 2 n1 n 2 [r1 B1 − r2 B 2 − r3 B3 + r4 B 4 ] (µH) (2.7)Onde Bn, sendo n = 1, 2, 3 e 4, é uma função da interpolação dos parâmetros ρn2 e α, podendo serobtido através das tabelas 29 e 30 de [8]. 2 A2 ρn = (2.8) rn2e a α= (2.9) AOnde ρn2 e α são números adimensionais.Na prática, para enrolamentos axialmente simétricos, procura-se fazer com que o deslocamentoentre centros S seja nulo. Este fato leva a uma simplificação da equação (2.7), pois x1 = m1 + m2, x2 = m1 – m2 e ainda x4 = -x1 , x3 = -x2. As diagonais formuladas anteriormente passam a serr4 = r1 e r3 = r2. A equação simplificada da indutância mútua passa a ser: M = 0,004π 2 a 2 n1 n 2 [r1 B1 − r2 B 2 ]10 −6 (H) (2.10)Dificilmente, os terminais são formados por mais de dois enrolamentos, a não ser no caso deautotransformadores, ou transformadores especiais. O cálculo da indutância mútua é feito aospares, portanto se um determinado terminal possuir, por exemplo, três enrolamentos, o cálculodeve ser realizado com descrito acima e a indutância total obtida como segue: Ltotal = L11 + L22 + L33 + 2(M 12 + M 23 + M 13 ) (H) (2.11)A parcela das indutâncias mútuas é multiplicada por dois, devido ao fato de Mij = Mji. Podemosescrever a equação genérica para n enrolamentos:
  32. 32. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 12  n n  Ltotal = L11 + L22 + ... + L nn + 2 ∑∑ M ij    (H) (2.12)  j =1 i =1  i≠ jApesar do equacionamento acima ser simples, o uso de tabelas leva a algumas limitações para aprogramação e implementação deste algoritmo. Por esta razão a própria referência [8] apresentaum método alternativo para o cálculo da indutância mútua que utiliza outros parâmetros,baseados em séries numéricas, facilitando sua formulação em programa de computador. Trata-sede uma derivação da equação (2.10): π 2 a 2 N 1 N 2  1 A 2 δ 2  −3 M = 0,002 1 − 2 2 K 10 (H) (2.13) ρ  2ρ ρ Onde:  δ2 δ4 δ6  K = λ 2 + λ 4 ξ 2 2 + λ 6 ξ 4 4 + λ 8ξ 6 6 + ...  ρ ρ ρ Porém na prática, as parcelas a partir de λ6 passam a ser desprezíveis, podendo serdesconsideradas no equacionamento. π 2 a 2 N1 N 2  1 A2 δ 2  δ2 δ 4  M = 0,002 1 −  λ 2 + λ 4 ξ 2 2 + λ 6 ξ 4 4 10 −3 (H)  (2.14) ρ 2  2ρ ρ 2  ρ ρ Chamando de D1 o diâmetro médio do enrolamento interno e D2 o diâmetro médio doenrolamento externo, podemos reescrever a equação como descrito a seguir: π 2 D12 N 1 N 2  1 D22 δ 2  −3 M = 0,002 1 − 2 2 K 10 (H) (2.15) 4ρ  2 4ρ ρ Onde:  δ2 δ4 K = λ 2 + λ 4 ξ 2 2 + λ 6 ξ 4 4   ρ ρ  2 D12 (2m1 ) δ2 = + 4 4
  33. 33. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 13 2 2 D 2 (2 m 2 ) 2 ρ = + 4 4e 7 D12 λ2 = 1 − 16 δ 2 9 D12 33 D14 λ4 = 1 − + 8 δ 2 128 δ 4 33 D12 143 D14 715 D16 λ6 = 1 − + − 16 δ 2 128 δ 4 4096 δ 6ainda 2 7 D2 ξ 2 = 1− 16 ρ 2 2 4 9 D 2 33 D 2 ξ 4 = 1− + 8 ρ 2 128 ρ 4Com este equacionamento é possível calcular teoricamente o valor de reatância no ar percentuale traçar a curva de magnetização do transformador calculando Xm em qualquer condição, atravésda equação (2.1). O resultado da reatância no ar pode ser confirmado através de ensaio emfábrica, como foi mencionado anteriormente.Foi desenvolvida uma rotina de programação, juntamente com este estudo, para que a reatânciaem núcleo de ar seja calculada computacionalmente. No anexo B deste trabalho expomos doisexemplos numéricos, mostrando quais são os dados de entrada deste programa e seus resultados.
  34. 34. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 14 2.1.3 COMPONENTE DE PERDAA segunda componente do ramo de magnetização é a que se refere à perda no ferro. Conformedescrito em [10] e [11], esta pode ser dividida em duas componentes: por histerese e Foucault,por correntes induzidas.A perda por histerese deve-se à reorientação dos domínios dentro da estrutura cristalina domaterial ferromagnético, devido à magnetização cíclica (alternância de fluxo). Sua expressão édada por: PH = k H (B FE ) f α (2.16)Sendo:kH: coeficiente de perdas ligado à área do ciclo de histerese;BFE: a indução magnética máxima do núcleo;α: constante dependente de BFE, que varia entre 1,6 e 2,2, sendo um valor típico igual a 2;f: freqüência.A equação (2.15) também pode ser escrita da seguinte forma, assumindo o valor típico de α = 2: 2 PH = k H (B FE ) f (2.17)Da equação básica do transformador, é possível extrair o valor de BFE: VE B FE = (2.18) 4,44 fS k 10 − 4OndeVE : volt/espira do transformadorSk: seção transversal do núcleo dada em centímetros, a qual pode ser calculada como: πD 2 Sk = σ (2.19) 4
  35. 35. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 15Sendo σ é o fator de empilhamento das chapas de núcleo, o qual possui um valor típico da ordemde 0,96.Já a perda Foucault ou por correntes parasitas é gerada pela energia dissipada por efeito Joule,devido à circulação de correntes induzidas na massa metálica do material do núcleo, pelavariação temporal do fluxo magnético confinado em seu interior. Sua expressão é dada por: 2 PF = k F (B FE ) f 2 e 2 (2.20)Onde:kF: é o coeficiente de perdas Foucault, inversamente proporcional à resistividade ρ do material;BFE: a indução magnética máxima do núcleo;f: freqüência;e: é a espessura da chapa de aço silício, normalmente dada em milímetros.Com essas duas componentes calculadas, podemos chegar à perda ferro total dada por: 2     2 2  VE  PFE ( = PH + PF = k H f + k F f e  )  (2.21) πD 2  4,44 f σ 10 − 4   4 ou 2      kH 2  VE  PFE =  f + k F e   (2.22)  2  4,44 πD σ 10 − 4     4 E a componente de perda Rm é dada por: V2 Rm = (2.23) PFEOnde V é a tensão de alimentação.
  36. 36. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 16Com isso podemos obter os valores que compõem o ramo de magnetização (Xm e Rm), calculadosa partir de valores geométricos do núcleo. 2.2 Cálculo da Resistência Ôhmica e Reatância de Dispersão2.2.1 RESISTÊNCIA ÔHMICAA resistência ôhmica de uma bobina pode ser calculada, como descrito em [10], a partir daseguinte equação teórica básica: ρl c N R= (2.24) ScOnde:ρ: é a resistividade do material condutor. No caso do cobre ρ = 1,72*10-8 Ω.m (à 20°C);lc: é comprimento médio de uma espira;N: é o número de espiras;Sc: é a secção transversal do condutor.No caso de um condutor retangular, que é o usualmente utilizado em transformadores de grandeporte, os cantos dos condutores são arredondados, para evitar a presença de cantos vivos queaumentam a solicitação dielétrica quando o enrolamento está imerso em uma região de altaintensidade de campo elétrico. Com isso a seção do condutor pode ser calculada da seguinteforma: S c = bh − (4 − π )r 2 (2.25)Onde:b: é a espessura (radial) do condutor;h: é a altura (axial) do condutor;r: é o raio de canto;
  37. 37. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 17 ρl c N R= (2.26) bh − (4 − π )r 2 r r r h b Figura 2.6 – Grandezas dimensionais de um condutor retangular2.2.2 REATÂNCIA DE CURTO-CIRCUITOA reatância de curto-circuito é influenciada, em termos de projeto, pela geometria dosenrolamentos, incluindo canais intermediários e contra o núcleo, como é apresentado em [19].Abaixo descrevemos de forma simplificada o cálculo desta grandeza para um transformador dedois enrolamentos: A B Lw c b Dk a1 a2 Figura 2.7 – Grandezas para o cálculo de reatância de curto-circuitoOnde:Dk: é o diâmetro do núcleoa1 e a2: são os radiais dos enrolamentos A e B respectivamentec e b: são os canais internos aos enrolamentos A e B respectivamenteLw: é a altura média dos enrolamentos
  38. 38. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 18Define-se o fator de kh como sendo:  a + a2 + b  kh = 1−  1  πL   (2.27)  w e as áreas: a1 − 6 S d 1 = (D k + 2c + a1 )π 10 [m2] 3 S d 0 = (Dk + 2c + 2a1 + b )πb10 −6 [m2] (2.28) a 2 −6 S d 2 = (D k + 2c + 2a1 + 2b + a 2 )π 10 [m2] 3 S d = S d 1 + S d 0 + S d 2 [m2]O fluxo de dispersão que atravessa essas áreas pode ser calculado como segue: (  0,4πk h 2 NI Hd =  )10  −3 [T] (2.29)  Lw   Onde NI é o ampére-espira do transformador para o par de enrolamentos. E as tensões de curto-circuito primário e secundário: E1 = 4,44 fN 1 S d H d [V] E 2 = 4,44 fN 2 S d H d [V] (2.30)Onde:f: é a freqüência nominal de projetoN1 e N2: são os números de espiras dos enrolamentos A e B respectivamenteFinalmente, a reatância de curto-circuito por fase pode ser definida como a razão entre a potênciareativa sobre a potência nominal do transformador. ( E1 I 1 ) (E 2 I 2 ) X cc (%) = 100 = 100 (2.31) SN SNOnde:
  39. 39. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 19I1 e I2: são as correntes nos enrolamentos A e B respectivamente;SN: é a potência nominal do par de enrolamentos.
  40. 40. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 20 Capítulo 3 Proposição do ModeloNo capítulo 2 apresentamos equações que nos permitem obter os parâmetros do modelo teóricode um transformador a partir de suas dimensões geométricas. Estes valores poderão ser inseridosem um programa de transitórios eletromagnéticos e simulados em uma rede elétrica que sedeseje estudar. O ATP possui um modelo de transformador saturável denominado STC, cujaequação é deduzida no anexo A deste trabalho.A matriz [L] da equação (A.6), para valores muito baixos de impedância de curto-circuito oucorrente de excitação desprezível, pode torna-se mal condicionada, pelo fato de seu determinanteser praticamente nulo, apresentando possíveis problemas numéricos de inversão [2]. Por issobuscamos um método alternativo que modele o transformador sem depender diretamente dainversão de [L], mas trabalhe com sub-matrizes, procurando evitar este mal condicionamentodurante seu processo de manipulação. A proposição apresentada neste capítulo é aplicada para omodelo STC do ATP, que é descrito pela equação (A.13).A magnetização é modelada através do Método da Compensação, pelo cálculo do equivalente deThèvenin para os modelos monofásicos e trifásicos, sendo a curva de magnetização dotransformador representada por segmentos de reta, que em conjunto aproximam umcomportamento não linear.
  41. 41. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 21 3.1 Desenvolvimento do Modelo sem o Ramo de MagnetizaçãoNo anexo A apresentamos o modelo para um ramo RL série, chegando à equação final (A.15). 1Definimos como Gs, podendo escrever a corrente entre dois nós k e m como:  2L   + R  ∆t    2L   i km (t ) = Gs[v k (t ) − v m (t )] + Gs [v k (t − ∆t ) − v m (t − ∆t )] +  − R i km (t − ∆t ) (3.1)   ∆t  Ou simplesmente: i km (t ) = Gs[v k (t ) − v m (t )] + hist (t − ∆t ) (3.2)Onde hist é o termo histórico que guarda as informações de correntes e tensões do passado, epode ser escrito da seguinte forma:   2L   hist (t − ∆t ) = Gs [v k (t − ∆t ) − v m (t − ∆t )] +  − R i km (t − ∆t )   ∆t  A figura A.7 do anexo A pode ser representada da seguinte maneira: vk (t) Gs vm (t) k m ikm (t) hist (t - ∆ t) Figura 3.1 – Esquema equivalente de Gs entre os nós k e mPodemos escrever Gs na forma matricial, a partir da inversão de [Rs]:
  42. 42. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 22 2 [Rs ] = [R] + [L] = 2 [L] ∆t [L]−1 [R] + [I ]   (3.3) ∆t ∆t  2  −1 [Gs ] = [Rs ]−1 = [I ] + ∆t [L]−1 [R]   ∆t −1 [L] (3.4)  2  2Onde [I] é a matriz identidade. Definindo as matrizes [A] e [B] da equação (A.13):  Rk   n 2 n   0   k  n  − k n   [A] = −  Lk  Rk  e [B] = 1   1   n   1   (3.5)  0 Lk  −  k  1   Lk       n1    Com isso escrevemos o vetor de correntes [ikm(t)]: [i km (t )] = [Gs]{[v k (t )] − [v m (t )]}+ [hist (t − ∆t )] (3.6)Onde [hist(t-∆t)] é o vetor dos termos históricos, que pode ser escrito como: [hist (t − ∆t )] = [Gs][v k (t − ∆t )] − [v m (t − ∆t )] +  2 [L] − [R][i km (t − ∆t )]       ∆t  Podemos escrever a matriz [Gs], definida em (3.4) em termos de [A] e [B], como segue: −1 [Gs ] = [I ] − ∆t [A]   ∆t [B] (3.7)  2  2Note que as matrizes [A] e [B] podem sempre ser invertidas, ou seja, o problema decondicionamento de [L] não existe mais. Portanto o vetor dos termos históricos, agora em funçãode [A] e [B] é descrito como: −1 ∆t  [hist (t − ∆t )] = [I ] − ∆t [A]   [B][v km (t − ∆t )] +  2 [L] − [R][i km (t − ∆t )]    (3.8)  2  2   ∆t  Podemos ainda fazer:
  43. 43. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 23  2   2[L ]  ∆t −1   [L ] − [R ] =  [I ] − [L ] [R ] (3.9)  ∆t   ∆t  2 Ou da seguinte forma: −1  2   ∆t −1   ∆t −1   [L ] − [R ] =  [L ]  [I ] − [L ] [R ] (3.10)  ∆t   2   2 Se escrevermos a expressão acima em função das matrizes [A] e [B], temos: −1  2   ∆t   ∆t   [L] − [R ] =  [B ] [I ] + [A] (3.11)  ∆t   2   2 Assim o vetor dos termos históricos é definido da seguinte maneira: ∆t  ∆t  −1 −1 [hist (t − ∆t )] = [I ] − ∆t [A]   [B] [B] [I ] + ∆t [A][i km (t − ∆t )] + [v km (t − ∆t )]       2  2  2    2    (3.12)Finalmente o vetor [hist(t-∆t)], pode ser expresso pela seguinte equação: −1 [hist (t − ∆t )] = [I ] − ∆t [A] [I ] + ∆t [A][i km (t − ∆t )] + ∆t [B ][v km (t − ∆t )]      (3.13)  2   2  2 E o vetor [ikm(t)], da seguinte forma: −1 [i km (t )] = [I ] − ∆t [A]   ∆t [B][v km (t )] + [hist (t − ∆t )] (3.14)  2  2Do item 8.3 de [1], podemos extrair a seguinte proposição para a manipulação de uma matrizmista, a partir do equacionamento considerando uma rede genérica: [v d ] = [Ydd ]−1 {[i d ] − [Ydc ][ec ]} (3.15)Onde :
  44. 44. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 24[vd]: vetor das tensões desconhecidas[Ydd]: matriz de admitâncias dos nós de tensões desconhecidas[id]: vetor das correntes desconhecidas[Ydc]: matriz de admitâncias composta pelos nós de tensões conhecidas e desconhecidas[ec]: vetor das tensões conhecidasOs nós de tensões desconhecidas são os nós do transformador e estão representados nas figuras3.2 e 3.3 em cor vermelha. Os nós de tensões conhecidas são os que conectamos ao gerador detensão que alimenta o transformador com uma tensão E. A matriz [Ydd] é a própria matriz deadmitância [Y] do transformador modelado e as tensões nodais, que compõem o vetor vd, paracada instante de integração incrementado de ∆t, são obtidas através de: [v(t )] = [Y ]−1 {[hist (t − ∆t )] − [Y1 ]E} (3.16)Com isso, as tensões nos terminais do transformador são calculadas a partir dos termos históricosdo passo anterior. 3.2 Extensão do Modelo para Outras ConfiguraçõesCom base na formulação apresentada no item 3.1, escrevemos quatro modelos detransformadores no programa MATLAB, que são os seguintes:1) Transformador Monofásico com Dois Enrolamentos2) Transformador Monofásico com Três Enrolamentos3) Transformador Trifásico com Dois Enrolamentos4) Transformador Trifásico com Três EnrolamentosNa verdade, os demais modelos são extensões do caso monofásico com dois enrolamentos.No início deste capítulo, definimos [Gs]. A mesma faz parte da composição da matriz deadmitâncias do transformador, sendo escrita como segue:
  45. 45. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 25 g 11 g 12  [Gs] =   (3.17)  g 21 g 22  No caso de um transformador monofásico com dois enrolamentos, [Gs] é inserida na matriz deadmitâncias [Y] do transformador da seguinte maneira: + [Gs ] − [Gs ] [Y ] =    (3.18) − [Gs ] + [Gs ]A matriz [Y] para este caso tem a dimensão 4x4, pelo fato do modelo ser constituído por quatronós. Para o transformador monofásico com três enrolamentos são inseridos dois nós para arepresentação do segundo, secundário ou terciário. Com isso a matriz [Y] passa a ter umadimensão 6x6, e uma matriz [Fs] é introduzida para diferenciar os dois conjuntos primário-secundário e primário-terciário na construção de [Y]. Nos modelos trifásicos, intuitivamente asdimensões das matrizes deveriam triplicar em relação aos casos monofásicos. Portanto, a matrizdo transformador trifásico de dois enrolamentos seria de dimensão 12x12 e a do trifásico de trêsenrolamentos 18x18. Porém, como estamos trabalhando com modelos em ligação estrela, não fazsentido que cada fase tenha um ponto neutro isolado dos demais, pois não é o que ocorre naprática. Assim, cada ponto neutro nos modelos trifásicos foi considerado único para as três fases,fazendo com que a matriz trifásica de dois enrolamentos se tornasse de dimensão 8x8 e a de trêsenrolamentos 12x12.A montagem das matrizes também deve levar em conta elementos externos ligados aotransformador, como cargas conectadas ao secundário, resistores de aterramento, etc. No item3.3 os modelos serão completados com a inserção do ramo de magnetização no nó S do STC. Aseguir são apresentadas, de maneira ilustrativa, as redes completas consideradas nas simulaçõesdo capítulo 4.
  46. 46. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 26 (a) (b) Figura 3.2 – Modelos completos para transformadores monofásicos de dois (a) e três (b) enrolamentos
  47. 47. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 27 (a) (b) Figura 3.3 – Modelos completos para transformadores trifásicos de dois (a) e três (b) enrolamentos
  48. 48. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 28 3.3 Modelagem do Ramo de MagnetizaçãoPara a realização de estudos transitórios, tais como correntes de inrush e ferro-ressonância, éfundamental que a magnetização do núcleo seja representada. No capítulo 2 vimos que o ramode magnetização de um transformador é composto por duas componentes: uma de naturezaindutiva (Xm) e outra resistiva (Rm). A componente de perdas (Rm) não será considerada nestetrabalho, porém sua inserção nos modelos pode ser feita facilmente. Focaremos a componentenão linear do ramo de magnetização. Este efeito é representado na figura 2.1, onde é mostradoque a derivada dv/di varia dependendo do trecho da curva em que o equipamento estiveroperando. Esta curva pode ser aproximada por trechos lineares, que em conjunto terão umcomportamento não linear.A referência [2] apresenta três métodos para a introdução de um elemento não linear em umsistema, sendo que adotaremos a formulação do Método da Compensação [1], que consiste emresolver o seguinte equacionamento, através da obtenção do equivalente de Thèvenin do sistemalinear: 0 0 v k (t ) − v m (t ) = e k (t ) − e m (t ) − Z t i km (t ) (3.19)Onde:vk(t) e vm(t): são as tensões dos nós k e m respectivamente da rede com o elemento não linear;e0k(t) e e0m(t): são as tensões dos nós k e m respectivamente da rede sem o elemento não linear;Zt: é a impedância equivalente de Thèvenin vista pelos nós k e m;ikm: é a corrente que percorre o elemento não linear.É importante lembrar que a rede vista pelos nós onde será conectado o elemento não linear deveser linear. Tomando os modelos de transformadores monofásicos e trifásicos, a impedânciaequivalente de Thèvenin é aquela vista respectivamente pelos nós 1-3 (em vermelho), conformerepresentado na figura 3.2 e 1-3, 5-3 e 7-3 (em vermelho) na figura 3.3.
  49. 49. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 29Como está deduzido em [1], inserindo um gerador de corrente unitário (+1) no nó k e (-1) no nóm, podemos escrever: Z t = v k − v m = z kk + z mm − 2 z km (3.20)Onde as impedâncias zkk, zmm e zkm podem ser extraídas a partir da inversão da matriz deadmitâncias [Y] do transformador. Vamos descrever a seguir o equacionamento que foidesenvolvido para os modelos monofásicos e trifásicos.3.3.1 TRANSFORMADOR MONOFÁSICO COM DOIS ENROLAMENTOSDe acordo com o que mencionamos acima, a solução do equacionamento através do Método daCompensação, consiste em resolver a equação (3.19). Em um transformador monofásicosomente um elemento não linear deve ser introduzido para representar a magnetização. Este écaracterizado por uma curva que define a característica λ x i do material. Figura 3.4: Curva de magnetização formada por segmentos de retaGenericamente, podemos escrever o fluxo entre dois nós k e m, como sendo: t λ km (t ) = λ km (t − ∆t ) + ∫ [v t − ∆t k (t ) − v m (t )]dt (3.21)Aplicando o Método de Integração Trapezoidal, temos:
  50. 50. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 30 ∆t λ km (t ) = λ km (t − ∆t ) + [v k (t ) − v m (t ) + v k (t − ∆t ) − v m (t − ∆t )] (3.22) 2E definimos o termo dos valores históricos como sendo: ∆t h(t − ∆t ) = λ km (t − ∆t ) + [v k (t − ∆t ) − v m (t − ∆t )] (3.23) 2A diferença de tensão entre os nós k e m, extraída de (3.22), é uma função de λ=f(i) da correnteikm, corrigida pelo termo dos valores históricos h (t-∆t): 2 v k (t ) − v m (t ) = [ f (i ) − h(t − ∆t )] (3.24) ∆tPodendo definir: 2 f 1 (i ) = [ f (i) − h(t − ∆t )] (3.25) ∆tPortanto, a solução deste equacionamento seria o ponto onde as curvas das equações (3.19) e(3.25) se encontram. Figura 3.5 – Solução gráfica do Método da Compensação
  51. 51. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 31A função f1(i) descreve a curva de magnetização do elemento não linear definida por segmentosde reta, como mostra a figura 3.4. A partir da equação de uma reta genérica, escrevemos: λ = f (i ) = ai + b (3.26)Substituindo (3.26) em (3.25) chegamos em: 2 f 1 (i ) = ∆t [ a ( k ) i comp + b( k ) − h(t − ∆t ) ] (3.27)Onde k, indica o segmento de reta (1, 2, 3,...) que o transformador está operando em determinadoinstante de tempo e icomp é a corrente de compensação entre os nós k e m onde está conectado oelemento não linear. Definimos então os fatores Asat e Bsat, como sendo: 2a ( k ) 2 Asat = ∆t e B sat = ∆t [ b( k ) − h(t − ∆t ) ] (3.28)E escrevemos (3.27) como função destes fatores: f 1 (i ) = Asat i comp + B sat (3.29)Note que, para o trecho 1, o valor de b(1) é zero. Para um trecho k genérico, é possível definir oscoeficientes a(k) e b(k) de acordo com a equação da reta da qual eles fazem parte. Sejam i e jpontos que determinam o seguimento de reta k da curva λ x icomp: λi = a ( k ) icomp _ i + b( k ) (3.30) λ j = a ( k ) i comp _ j + b( k ) (3.31)Subtraindo (3.31) de (3.30), obtemos a equação de a(k). λ j − λi a(k ) = (3.32) i comp _ j − icomp _ iAtravés de uma manipulação das equações acima, podemos escrever b(k) como:
  52. 52. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 32 λ i i comp _ j − λ j i comp _ i b( k ) = (3.33) i comp _ j − i comp _ iPortanto o modelo deve ser capaz de identificar em qual trecho da curva o transformador estáoperando e calcular o valor da corrente nos nós k e m utilizando o trecho da curva λ x icompcorreto para aquela condição.Tomando as equações (3.19), (3.24), (3.25) e (3.29) podemos chegar à seguinte igualdade: 0 e km − Z t i comp = Asat i comp − B sat (3.34)e 0 e km + B sat i comp = (3.35) Z t + AsatLembrando que e0km é a diferença de tensão que tínhamos antes de inserir o elemento não linearentre os nós k e m (rede em vazio). Enquanto o transformador opera no mesmo trecho da curva λx icomp, o coeficiente Asat é sempre constante, porém Bsat é atualizado a cada iteração, pois é umafunção dos termos históricos, sendo alterado sempre que h(t-∆t) muda de valor.3.3.2 TRANSFORMADOR MONOFÁSICO COM TRÊS ENROLAMENTOSO transformador monofásico com três enrolamentos é uma extensão do modelo com doisenrolamentos. Conforme citado anteriormente, ele é construído acrescentando-se mais umelemento monofásico de dois enrolamentos conectado aos nós 1-3, como mostra a figura 3.2.Sendo assim, o desenvolvimento da saturação dentro deste modelo torna-se idêntico ao realizadono transformador de dois enrolamentos. Portanto o cálculo do fluxo (λkm), da corrente icomp e doscoeficientes Asat e Bsat é elaborado da mesma forma como no modelo anterior.3.3.3 TRANSFORMADORES TRIFÁSICOSNos modelos de transformadores trifásicos com dois e três enrolamentos, o ramo demagnetização deve ser representado para as três fases de forma simultânea, ou seja, como o valor
  53. 53. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 33do fluxo em cada perna será diferente, a condição de saturação em um determinado instante detempo não será a mesma nas três colunas do núcleo. Por essa razão, agora o equivalente deThèvenin não é um número, mas sim uma matriz, que representa também o acoplamento queexiste entre as fases. Os fatores Asat e Bsat também têm a forma matricial.Como mencionamos no item 3.2, a matriz trifásica para dois enrolamentos possui ordem oito epara três enrolamentos, ordem doze. No entanto, para o cálculo do equivalente de Thèvenin, osnós de interesse são apenas aqueles em que o elemento não linear estará conectado, ou seja, osnós 1, 3, 5 e 7 para a matriz com dois enrolamentos e 1, 3, 7, 10, para o modelo com trêsenrolamentos representados na figura 3.3. Desta maneira, a matriz de Thèvenin considerada parao transformador com dois enrolamentos, fica da seguinte forma: V1   Z 11 Z 12 Z 13 Z 14   I 1  V   Z Z 22 Z 23 Z 24   I 3   3  =  21   (3.36) V5   Z 31 Z 32 Z 33 Z 34   I 5       V7   Z 41 Z 42 Z 43 Z 44   I 7 Para o caso de três enrolamentos, basta alterar índices das tensões e correntes referentes aos nósdo primário. As impedâncias acima são obtidas da inversão da matriz de admitâncias [Y] dotransformador com a rede em vazio, formando a própria matriz [Zth] de Thèvenin.Na verdade a curva do elemento não linear é definida pela relação entre a diferença de tensãoentre os dois nós (∆V) onde este é conectado e a corrente (I). Assim, de (3.19) e (3.20),escrevemos: V1 − V3  V1 − V3  (Z 11 + Z 22 − 2 Z 12 ) (Z 13 − Z 23 ) (Z 14 − Z 24 ) 0 0   I1  V − V  = V 0 − V 0  −  (Z − Z ) (Z 33 + Z 22 − 2Z 23 ) (Z 34 − Z 24 )  I   5 3  5 3   31 21  2  V7 − V3  V7 − V3   (Z 41 − Z 21 )    0 0  (Z 43 − Z 23 ) (Z 44 + Z 22 − 2 Z 34 )  I 3    (3.37)Podemos definir a matriz de Thèvenin reduzida [Zthr] e com base em (3.19), (3.24) e (3.25):
  54. 54. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 34 ∆V10   Z 11 r r Z 12 Z 13   I 1   f 1 (I 1 )  r  0  r r  ∆V2  − Z 21 r Z 22 Z 23   I 2  =  f 2 (I 2 )     (3.38) ∆V30   Z 31 r r Z 32 Z 33   I 3   f 3 (I 3 ) r       De (3.29) escrevemos a equação acima em função de [Asat] e [Bsat]. ∆V10   Z 11r r Z 12 Z 13   I 1   Asat r 1 0 0   I 1   B sat  1  0  r r     2  ∆V 2  −  Z 21 r Z 22 Z 23   I 2  =  0   2 Asat 0   I 2  +  B sat    (3.39) ∆V30   Z 31r r Z 32 Z 33   I 3   0 r 0 Asat   I 3   B sat  3 3          O vetor de correntes no elemento é [icomp], como definido em (3.34). Portanto, temos: [∆V ] − [Z ][i ] = [A ][i ] + [B ] 0 thr comp sat comp sat (3.40)Chamando [ Asat ] + [Z thr ] de [M ] e passando para o outro lado da igualdade, chegamos em: [i ] = [M ] {[∆V ]− [B]} comp −1 0 (3.41)Lembrando que Asat e Bsat de cada fase são definidos da mesma maneira como no casomonofásico, ou seja, o programa deve identificar qual o trecho da curva correspondente ao fluxode cada perna em um determinado instante de tempo.
  55. 55. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 35 Capítulo 4 Resultados das Etapas de Verificação dos ModelosNeste capítulo iremos apresentar como os modelos foram desenvolvidos passo a passo, desdeuma etapa inicial, onde o intuito era apenas testar o erro de relação de transformação sob aaplicação de uma onda do tipo degrau, até simulações com os modelos completos, incluindo oramo de magnetização, com seu comportamento não linear e cargas conectadas ao secundáriodos transformadores, como foi representado nas figuras 3.2 e 3.3.Dividimos a etapa de verificação dos modelos em três partes principais. A primeira foidesenvolvida sem o ramo de magnetização, ou seja, apenas com uma resistência de curto-circuitono primário, resistência e indutância de curto no secundário e uma carga no secundário de cadamodelo. Manter apenas uma resistência de curto-circuito no primário serviu como ponto detomada da corrente de alimentação, facilitando as simulações. Na segunda parte, inserimos oramo de magnetização, fazendo simulações com os transformadores em vazio a fim de verificar acorrente e fluxo do ramo. Na terceira parte, representamos o ramo de curto do primário por umRL, completando assim o modelo com carga RL e o ramo de magnetização podendo serrepresentado por uma curva formada por três ou mais trechos.
  56. 56. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 36 4.1 Simulações PreliminaresCom o intuito apenas de verificar se os modelos apresentavam erro de relação aceitável,comparado ao resultado teórico esperado, montamos os quatro casos no MATLAB, alimentando-os com uma onda do tipo degrau. A onda degrau foi escolhida por simplicidade de programaçãoe análise dos resultados. No ATP esta fonte é a do tipo 11. Os dados de entrada que utilizamosnos modelos foram os seguintes:Amplitude da onda de entrada: V1 = 1 VFreqüência da onda de entrada: f = 0 Hz (onda degrau)R1 = R2 = R3 = 1 ΩL2 = L3 = 100 mHRt1 = Rt2 = Rt3 = 1 ΩRc = 1 ΩOs elementos R3, L3 e Rt3 pertencem aos modelos com três enrolamentos.As ligações consideradas nos modelos trifásicos foram do tipo estrela, tanto no lado primáriocomo no secundário e terciário. A seguir estão as quatro configurações utilizadas, de formaesquemática para cada um dos casos. 1 2 V1 V2 I1,3 Gs I2,4 V3 V4 3 4 Figura 4.1 – Esquema de transformador monofásico com dois enrolamentos
  57. 57. Representação de Transformadores em Estudos de Transitórios Eletromagnéticos 37 1 2 V1 V2 I1,31 Gs I2,4 V4 3 4 V3 5 V5 I1,32 Fs I5,6 V6 6 Figura 4.2 – Esquema de transformador monofásico com três enrolamentos V5 V6 V7 V8 1 2 5 6 7 8 V1 V2 I1,3 Gs I2,4 I5,3 Gs I6,4 I7,3 Gs I8,4 V4 3 4 3 4 3 4 V3 Figura 4.3 – Esquema de transformador trifásico com dois enrolamentos 1 2 7 8 10 11 V1 V2 V7 V8 V10 V11 I1,31 I7,31 I10,31 Gs I2,4 Gs I8,4 Gs I11,4 V4 3 4 3 4 3 4 V3 5 9 12 V5 V9 V12 I1,32 Fs I5,6 I7,32 Fs I9,6 I10,32 Fs I12,6 V6 6 6 6 Figura 4.4 – Esquema de transformador trifásico com três enrolamentos

×