1. Potenciação com números
naturais
Ano Letivo 2014
Prof. Claudia Zandonai

2. Potenciação com números naturais
Você conhece a lenda do xadrez?

3. Potenciação com números naturais
O xadrez é um jogos mais antigos do mundo.
Diz uma lenda que ele foi inventado, há muitos
séculos, na Índia. Foi aí que...
O Rei Sheram, entusiasmado com o novo
jogo, resolveu recompensar Sessa, que era
professor e o inventor do xadrez.
“Eu desejaria recompensa–te pelo teu
maravilhoso invento”, disse o rei,
cumprimentando o professor Sessa.

4. “Gostaria de satisfazer o teu mais caro
desejo”, continuou o rei.
Sessa, na sua humildade, disse:
“Majestade,eu gostaria de receber um grão de
trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez,
dois grãos pela segunda, quatro grãos pela
terceira, oito grãos pela quarta, e assim
sucessivamente, até completar as 64 casas”.
Admirado e até mesmo irritado pelo pedido
tão modesto, o Rei Sheram solicitou aos seus
sábios que calculassem o número de grãos e
ordenou aos seus criados que entregassem
A lenda do Xadrez

5. A lenda do Xadrez
...e ordenou aos seus criados que entregassem
em um saco a recompensa pedida por Sessa.
No dia seguinte, o Rei escutou apavorado um
dos sábios dizer qual era esse número:
18 446 744 073 709 551 615
...,ou seja, aproximadamente 18 quinquilões de
grãos.
Só para você ter uma idéia sobre esse
número tão grande, basta dizer que se fosse
plantado trigo em toda a superfície da Terra,

6. A lenda do Xadrez
Iria demorar alguns séculos para produzir esse
número de grãos!
Como seria, então, os cálculos para obtenção
desse número?
Primeira casa: 1 grão
Segunda casa:1x2 = 2 grãos
Terceira casa: 1x2x2 = 4 grãos
Quarta casa: 1x2x2x2= 8 grãos
Quinta casa: 1x2x2x2x2 = 16 grãos
Sexta casa: 1x2x2x2x2x2 = 32 grãos

7. A lenda do xadrez
Sétima casa: 1x2x2x2x2x2x2 = 64 grãos
Oitava casa: 1x2x2x2x2x2x2x2 = 128 grãos
Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos
E assim por diante. Somando todos os
Resultados das 64 casa do tabuleiro de xadrez,
encontraremos o número:
18 446 744 073 709 551 615

8. A lenda do xadrez
Mas, será que não poderíamos escrever
este número de maneira diferente?
Vamos voltar...
Primeira casa: 1 = 1 grão
Segunda casa: 1x2 = 2 grãos
...
...
Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos

9. Potenciação com números naturais
Tem número que se repete a cada nova
casa do tabuleiro.
Que número é esse? 2
Para indicar multiplicações com fatores
iguais, o homem criou a potenciação.
Assim, para indicar 2x2x2x2x2x2, por
exemplo, usamos o símbolo 26
, denominado
potência de base 2 e expoente 6.

10. Potenciação com números naturais
Então:
Símbolo Significado Leitura
27
2x2x2x2x2x2x2 Dois elevado na
sétima potência
34
3x3x3x3 Três elevado na
potência quatro
52
5x5 Cinco elevado na
segunda potência
23
2x2x2 Dois elevado na
terceira potência

11. Termos da Potênciação
A potência an
, sendo n um número natural
maior que 1, significa:
Nomenclatura
27
= 2x2x2x2x2x2x2 = 128
n
iguaisfatoresn
aaxaxaxa =
  
__





potênciaé
oenteé
baseé
Então
__128
exp__7
__2
:

12. Potenciação com números naturais
Agora vamos pensar em quantos tataravós
tem uma pessoa.

13. Potenciação com números naturais
Analise o que acontece com a
quantidade de ancestrais a partir da
pessoa mais jovem.
Eu: 1
Pais: 2
Avós: 2.2 = 4
Bisavós: 2.2.2 = 8
Trisavós:2.2.2=16
Tataravós:2.2.2.2=32
Uma pessoa tem 32 tataravós.

14. Potenciação com números naturais
Note que, para calcular o número de
ancestrais, usamos a multiplicação de fatores
iguais.
Para representar uma multiplicação em que
todos os fatores são iguais, podemos usar a
potenciação.
Observe:
642
2222222
6
6
__6
=
=
  
iguaisfatores
xxxxx

15. Potenciação com números naturais
Podemos representar o número de trisavós
e de tataravós da situação anterior na forma
de potência:
Trisavós:
Tataravós:
162
22222
4
4
__4
=
=
  
iguaisfatores
xxx
322
222222
5
5
__5
=
=
  
iguaisfatores
xxxx

16. Potenciação com números naturais
De modo geral, na potenciação com númer
naturais, a base é o fator que se repete na
Multiplicação e o expoente indica quantas
vezes esse fator se repete. Isso não vale para
potências com expoente zero ou 1.
• Quando o expoente é 1, a potência é igual à
própria base.
Exemplos:
21
= 2 151
= 15 361
= 36

17. Potenciação com números naturais
• Quando o expoente é zero e a base da
potência é diferente de zero, a potência é igual
a 1.
Exemplos:
20
= 1 150
= 1 360
= 1

18. Potenciação com números naturais
Quadrado de um número
As potências de expoente 2 podem ser
representadas geometricamente.
Veja alguns exemplos:

19. Potenciação com números naturais
Por causa da sua representação geométrica,
as potências de expoente 2(quadrado) têm
nomes especiais.
• 1²: “um ao quadrado” ou “quadrado de um”
• 2²: “dois ao quadrado” ou “quadrado de dois”
• 3²: “três ao quadrado” ou “quadrado de três”
• 4²: “quatro ao quadrado” ou quadrado de
quatro”.
• n²: “n-ésimo ao quadrado”

20. Potenciação com números naturais
Cubo de um número
As potências de expoente 3 também podem
ser representadas geometricamente. Veja os
exemplos:

21. Potenciação com números naturais
Da mesma forma que as potências de
expoente 2, essas potências também recebem
nomes especiais. Veja como lemos as
potências dos exemplos:
• 1³: “um ao cubo” ou “cubo de 1”;
• 2³: “dois ao cubo” ou “cubo de 2”;
• 3³: “ três ao cubo” ou “cubo de 3”.

22. Potenciação com números naturais
Quando o expoente de uma potência é
diferente de 2 ou 3, não é possível representá-
la geometricamente. Por esse motivo, não há
um nome especial para tais potências. Veja
como lemos algumas delas:
• 74
: “sete elevado à quarta potência”;
• 1020: “
dez elevado à vigésima potência”;
• 5117:
“cinquenta e um elevado a décima sétima
potência”.

23. Aplicações de potenciação
♯ Juliana precisa organizar todas as pastas
de seu escritório. Sabendo que no escritório há
4 armários, que em cada armário há 4 gavetas
e que em cada gaveta há 4 pastas, quantas
pastas ela vai organizar?
♯ Observe como Joana organizou seus
documentos no computador e resolva o
problema.

25. Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois,
para cada uma dessas pastas, ela abriu outras
3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou
3 documentos.
Qual é a quantidade de documentos que
Joana tem?
Expresse a resposta na forma de potencia.

26. Aplicações da Potenciação
♯ Observe a imagem de uma colônia de
Bactérias Escherichia coli(E.Coli), colorida
artificialmente, imagem ampliada 2.680 vezes.

27. A reprodução de bactéria e a
Matemática
Ao observarmos a reprodução das
bactérias,biólogos e matemáticos perceberam que
o crescimento das bactérias, como na imagem,é
um fenômeno biológico onde a representação
matemática pode ser feita por uma lei exponencial,
ou seja, que utiliza a potenciação.
A reprodução das bactérias é, de modo geral é
assexuada; ocorre por cissiparidade ou bipartição –
processo em que as bactérias se reproduzem em
virtude de uma divisão muito rápida.

28. A primeira bactéria se divide em duas.
Depois duas se dividem em duas resultando
quatro bactérias-, e cada uma dessas quatro
bactérias também se divide em duas partes
e
assim sucessivamente, desde que existam
condições biológicas e ambientais. Esse
processo é um dos fatores importantes e
responsáveis pelo enorme sucesso biológico
das bactérias.

29. Exemplo 1
Considerando que o número de bactérias
em certa cultura cresce 10 vezes a cada 1
Hora. A amostra inicial dessa cultura tinha
100 bactérias.
a) Quantas bactérias haverá nessa cultura
após 1 hora? E após 4 horas?
b) Após um dia inteiro, haverá mais de 100
trilhões de bactérias? Explique.

30. Exercício 1
Observe como Joana organizou seus
documentos no computador e resolva o
problema.
Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois,
para cada uma dessas pastas, ela abriu outras
3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou
3 documentos.
Qual é a quantidade de documentos que
Joana tem?
Expresse a resposta na forma de potencia.

31. Resolução





























3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
b
a
A
B
C





























3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
b
a





























3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
b
a
33
= 3 x 3 x 3 = 27

32. Resolução:
a) Amostra inicial : 100 bactérias
Após 1 hora: 100 x 10 = 1000
Após 2 horas: 1000 x 10 = 10000
Após 3 horas: 10000x10= 100000
Após 4 horas: 100000x10=1000000
b)Após 24 hs: 100x1024
= 1000000000000
00000000000000 bactérias