10B

1. COSENO DE LA SUMA Y
DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Juan Miguel García
Juan Manuel Santamaría
Daniel Echeverri
Grado 10°B
Colegio San José de la Salle
Septiembre 2016

2. Historia
• El concepto de coseno podría remontarse desde
la cultura griega, con la aparición de la
geometría euclidiana, sustentada en el libro Los
Elementos de Euclides (geómetra). En él se
enuncias distintos axiomas geométricos, de gran
importancia para la expresión aritmética actual,
entre ellos el teorema de Pitágoras.

3. • El teorema del coseno es una generalización del
teorema de Pitágoras, recopilado por el
matemático persa Ghiyath al-Kashi.
• Sin embargo, la mayor parte de la construcción
de conocimiento occidental clásico, fue una
adaptación de lo oriental. Por ejemplo el
astrónomo y geógrafo persa Al- Juarismi,
considerado el padre del álgebra, da nombre a
las palabras álgebra, guarismo y algoritmo e
introduce el sistema de numeración arábigo.

4. • Más adelante con la aparición de paradigmas
modernos, surgen la geometría Elíptica, de
Riemann y la geometría hiperbólica de
Lobachevsky como contraposición al quinto
axioma de Euclídes en Los Elementos.
• Así mismo surge la geometría analítica, creada
por René Descartes, el cual toma como punto de
partida las coordenadas cartesianas como
sistema de referencia.

5. • Por último, en el mismo orden de las geometrías
no euclidianas (que niegan el quinto axioma),
personajes como Albert Einsten, en un marco
posmoderno de la historia, postulan que entre
las necesidades de la física moderna están las
geometrías no euclidianas para describir por
ejemplo, el espacio tiempo curvo.
• Esto demuestra cómo la configuración del
concepto de coseno tal y como se comprende hoy
en día (y que continúa en constantes cambios)
ha variado en aplicación según las necesidades
del conocimiento para cada época.

6. Cos(a+b)=Cos(a)Cos(b)-Sen(a)Sen(b)
Para encontrar que:
Cos(a+b)=Cos(a)Cos(b)-Sen(a)Sen(b)
Se iniciara con la formula Cos(x)=Sen(90°-x), asi
mismo utilizándola se puede obtener que:
Cos(a+b)=Sen(90º-(a+b))=Sen((90º-a)+(-b)) =
Sen(90º-a)Cos(-b)+Cos(90º-a)Sen(-b) =
=Cos(a) Cos(b)+Sen(a)(-Senb) =
= Cos(a)Cos(b)-Sen(a)Sen(b)

7. Cos(a-b)=Cos(b)Cos(a)+Sen(b)Sen(a)
Se obtiene de la formula de Pitágoras que:
PI2=HI2+KP2=MI2+MP2
Donde:
KI=1-cos(b-a)
KP=|sen(b-a)|
MI=|cosb-cosa|
MP=|senb-sena|

8. Asi que se obtiene que:
1+Cos2(b-a)-2Cos(b-a)+Sen2(b-a)=
Cos2(b)+Cos2(a)-2Cos(b) Cos(a)
+Sen2(b)+Sen2(a)-2Sen(b)Sen(a)
Y aplicando la formula fundamental
Cos2(x)+Sen2(x)=1, tendremos:
1+1-2Cos(b-a)=1+1-2Cos(b)Cos(a)-2Sen(b)Sen(a)
Y finalmente simplificando la formula final seria:
Cos(a-b)=Cos(b)Cos(a)+Sen(b)Sen(a)

9. Ejemplo
Cos75°=Cos(45°+30°)
Cos75°=Cos45°.Cos30°-Sen45°.Sen30°
| | | |
√2/2 . √3/2 - √2/2 . 1/2
√2/2.√3/2-√2/2.1/2 =√2/2(√3/2-1/2)

10. Aplicación cotidiana del Coseno
• En cada radio, televisor, o dispositivo casero que
se conecte a la corriente utiliza tanto la función
de seno al igual que la de coseno. El tipo de
energía que utilizan estos dispositivos va por una
corriente eléctrica que se transforma por medio
de una serie de problemas que incluyen estas
funciones. Esta es la utilización mas importante,
cabe resaltar también la simplificación de
problemas de la vida diaria entre cuentas,
cálculos etc