Ciclo Trigonométrico e Razões Trigonométricas
Conceitos anteriores
Círculo Trigonométrico <ul><li>O  ciclo trigonométrico  é representado por um </li></ul><ul><li>círculo  que apresenta  ra...
Procuramos a  localização  de um ângulo, em ordem crescente, no  sentido anti-horário . x y
O que significa a representação de um  ângulo negativo ? <ul><li>Significa que a  localização  dele deve ser procurada no ...
Determinação de quadrantes <ul><li>As  retas   x  e  y   dividem  o  círculo  trigonométrico </li></ul><ul><li>em  4  part...
Ciclo Trigonométrico círculo r = 1 Propriedades 4 quadrantes sentido anti-horário circunferência orientada
Unidades de medidas de um ângulo <ul><li>Grau </li></ul><ul><li>Exemplos: 30º, 60º, 180º </li></ul><ul><li>Radiano </li></...
Como passar de grau para radiano? x y Basta fazer uma regra de três , sabendo que:
<ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Passar 30º para radianos. </li></ul>
Como passar de radiano para grau? Ou fazemos uma  regra de três , ou procedemos como no exemplo abaixo: 90º
unidade radiano rad grau º Ciclo Trigonométrico círculo r = 1 Propriedades 4 quadrantes sentido anti-horário circunferênci...
Exercício <ul><li>1) Apresente o quadrante onde estão localizados </li></ul><ul><li>os seguintes arcos: </li></ul>
Solução x y
Arcos ou Ângulos Côngruos (Congruentes) <ul><li>Ângulos côngruos  são  ângulos  que apresentam a </li></ul><ul><li>mesma e...
<ul><li>Os  ângulos côngruos  que distam 60º </li></ul><ul><li>do ângulo de 0º, são: </li></ul><ul><li>ou </li></ul>
Fórmula Geral <ul><li>Para medidas em  graus . </li></ul><ul><li>Para medidas em  radianos . </li></ul><ul><li>K    númer...
congruência número de  voltas diferentes mesma extremidade definição fórmula geral unidade radiano rad grau º Ciclo Trigon...
Menor Determinação Positiva Menor determinação positiva  é o  ângulo  que apresenta o  menor módulo  em um conjunto de arc...
<ul><li>  Para  calcular a MDP  de um ângulo, basta </li></ul><ul><li>dividir  esse ângulo  por 360º . O  resto  dessa </l...
Menor determinação negativa <ul><li>MDN = MDP – 360º </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Menor determinação negat...
Exercício <ul><li>2) Apresente a fórmula geral, em graus, </li></ul><ul><li>dos arcos côngruos a  : </li></ul>
Solução 1260 360 3 180
Lembrando:
Seno de um arco sen
<ul><li>Dependendo do quadrante, o  sinal  do  seno </li></ul><ul><li>pode ser  positivo ou negativo . </li></ul>
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º 30º 150º 210º 330º sen
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º 45º 135º 225º 315º sen
Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 60º 120º 240º 300º
Exercício <ul><li>3) (EEAR-SP) O seno de  é igual a:  </li></ul>
Solução x y 2440 360 6 280
Cosseno de um arco cos
<ul><li>Dependendo do quadrante, o  sinal  do  cosseno  </li></ul><ul><li>também pode ser  positivo ou  negativo . </li></ul>
Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º 30º 150º 210º 330º sen cos
Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º 45º 135º 225º 315º sen cos
Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 60º 120º 240º 300º cos
Importante saber! x y
Exercício
Solução 3720 360 10 120 870 360 2 150
Exercício
Solução 3015 360 8 135
Tangente de um arco x y sen + cos + tg  + sen - cos + tg  - sen - cos - tg  + sen + cos - tg  -
Exercício
Solução x 15 10 y
Cotangente de um arco Exemplo:  Sendo um arco x do 2º quadrante. Se  , então Apresenta o mesmo sinal da tangente!
Secante de um arco Exemplo:  Sendo um arco x do 3º quadrante. Se  , então Apresenta o mesmo sinal do cosseno!
Cossecante de um arco Exemplo:  Sendo um arco x do 4º quadrante. Se  , então Apresenta o mesmo sinal do seno!
cossec Razões Trigonométricas sec sen cotg tg cos congruência número de  voltas diferentes mesma extremidade definição fór...
Exercício
Solução 11 60 x
Bibliografia <ul><li>Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas...
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  1. 1. Ciclo Trigonométrico e Razões Trigonométricas
  2. 2. Conceitos anteriores
  3. 3. Círculo Trigonométrico <ul><li>O ciclo trigonométrico é representado por um </li></ul><ul><li>círculo que apresenta raio igual a 1 e cuja </li></ul><ul><li>circunferência é orientada . </li></ul>x y
  4. 4. Procuramos a localização de um ângulo, em ordem crescente, no sentido anti-horário . x y
  5. 5. O que significa a representação de um ângulo negativo ? <ul><li>Significa que a localização dele deve ser procurada no sentido contrário ( horário ). </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>x y
  6. 6. Determinação de quadrantes <ul><li>As retas x e y dividem o círculo trigonométrico </li></ul><ul><li>em 4 partes, chamadas quadrantes . </li></ul>Os quadrantes apresentam sempre a mesma posição no círculo trigonométrico. 4º Q 3º Q 2º Q 1º Q
  7. 7. Ciclo Trigonométrico círculo r = 1 Propriedades 4 quadrantes sentido anti-horário circunferência orientada
  8. 8. Unidades de medidas de um ângulo <ul><li>Grau </li></ul><ul><li>Exemplos: 30º, 60º, 180º </li></ul><ul><li>Radiano </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>
  9. 9. Como passar de grau para radiano? x y Basta fazer uma regra de três , sabendo que:
  10. 10. <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Passar 30º para radianos. </li></ul>
  11. 11. Como passar de radiano para grau? Ou fazemos uma regra de três , ou procedemos como no exemplo abaixo: 90º
  12. 12. unidade radiano rad grau º Ciclo Trigonométrico círculo r = 1 Propriedades 4 quadrantes sentido anti-horário circunferência orientada arcos
  13. 13. Exercício <ul><li>1) Apresente o quadrante onde estão localizados </li></ul><ul><li>os seguintes arcos: </li></ul>
  14. 14. Solução x y
  15. 15. Arcos ou Ângulos Côngruos (Congruentes) <ul><li>Ângulos côngruos são ângulos que apresentam a </li></ul><ul><li>mesma extremidade e número de voltas diferentes . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Os ângulos côngruos que distam 60º </li></ul><ul><li>do ângulo de 0º, são: </li></ul><ul><li>ou </li></ul>
  17. 17. Fórmula Geral <ul><li>Para medidas em graus . </li></ul><ul><li>Para medidas em radianos . </li></ul><ul><li>K  número de voltas </li></ul><ul><li> menor determinação positiva </li></ul>
  18. 18. congruência número de voltas diferentes mesma extremidade definição fórmula geral unidade radiano rad grau º Ciclo Trigonométrico círculo r = 1 Propriedades 4 quadrantes sentido anti-horário circunferência orientada arcos
  19. 19. Menor Determinação Positiva Menor determinação positiva é o ângulo que apresenta o menor módulo em um conjunto de arcos côngruos. Exemplo: A menor determinação positiva é 60º.
  20. 20. <ul><li> Para calcular a MDP de um ângulo, basta </li></ul><ul><li>dividir esse ângulo por 360º . O resto dessa </li></ul><ul><li>divisão é a MDP . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>A MDP de 1117º é 37º. </li></ul><ul><li>Logo, a fórmula geral desses arcos é </li></ul>1117 360 3 37
  21. 21. Menor determinação negativa <ul><li>MDN = MDP – 360º </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Menor determinação negativa de 1117º </li></ul><ul><li>MDP = 37º </li></ul><ul><li>MDN = 37º - 360º = -323º </li></ul>
  22. 22. Exercício <ul><li>2) Apresente a fórmula geral, em graus, </li></ul><ul><li>dos arcos côngruos a : </li></ul>
  23. 23. Solução 1260 360 3 180
  24. 24. Lembrando:
  25. 25. Seno de um arco sen
  26. 26. <ul><li>Dependendo do quadrante, o sinal do seno </li></ul><ul><li>pode ser positivo ou negativo . </li></ul>
  27. 27. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º 30º 150º 210º 330º sen
  28. 28. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º 45º 135º 225º 315º sen
  29. 29. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 60º 120º 240º 300º
  30. 30. Exercício <ul><li>3) (EEAR-SP) O seno de é igual a: </li></ul>
  31. 31. Solução x y 2440 360 6 280
  32. 32. Cosseno de um arco cos
  33. 33. <ul><li>Dependendo do quadrante, o sinal do cosseno </li></ul><ul><li>também pode ser positivo ou negativo . </li></ul>
  34. 34. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º 30º 150º 210º 330º sen cos
  35. 35. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º 45º 135º 225º 315º sen cos
  36. 36. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º sen 60º 120º 240º 300º cos
  37. 37. Importante saber! x y
  38. 38. Exercício
  39. 39. Solução 3720 360 10 120 870 360 2 150
  40. 40. Exercício
  41. 41. Solução 3015 360 8 135
  42. 42. Tangente de um arco x y sen + cos + tg + sen - cos + tg - sen - cos - tg + sen + cos - tg -
  43. 43. Exercício
  44. 44. Solução x 15 10 y
  45. 45. Cotangente de um arco Exemplo: Sendo um arco x do 2º quadrante. Se , então Apresenta o mesmo sinal da tangente!
  46. 46. Secante de um arco Exemplo: Sendo um arco x do 3º quadrante. Se , então Apresenta o mesmo sinal do cosseno!
  47. 47. Cossecante de um arco Exemplo: Sendo um arco x do 4º quadrante. Se , então Apresenta o mesmo sinal do seno!
  48. 48. cossec Razões Trigonométricas sec sen cotg tg cos congruência número de voltas diferentes mesma extremidade definição fórmula geral unidade radiano rad grau º Ciclo Trigonométrico círculo r = 1 Propriedades 4 quadrantes sentido anti-horário circunferência orientada arcos
  49. 49. Exercício
  50. 50. Solução 11 60 x
  51. 51. Bibliografia <ul><li>Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51. </li></ul><ul><li>Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 241. </li></ul><ul><li>Imagens: google imagens </li></ul>

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