Este es el aporte de Marta Salas Zambrano para el segundo trabajo de la Dra Esperanza Bravo sobre el ABP 4 x 4.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
DIVISIÓN DE ESTUDIOS PARA GRADUADOS
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN. MENCIÓN: CURRÍCULO
PROPUESTA DE ARTÍCULO PARA EL SEGUNDO TRABAJO
EL ABP 4x4 : estrategia para desarrollar competencias transversales
MARTA SALAS ZAMBRANO
C.C. No 32738483 DE BARRANQUILLA – COLOMBIA
CÁTEDRA: TRANSVERSALIDAD
PROFESORA: DRA. ESPERANZA BRAVO
JUNIO DE 2016

2. TRANSFORMACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE
ALGEBRAICO EN EDUCACIÓN MEDIA GENERAL
Una de las pretensiones de la educación matemática es, desde los estándares
que plantea el Misterio de Educación Nacional, que los estudiantes puedan
realizar actividad matemática, donde relacionen lo que aprenden en la escuela con
lo que se presenta en la vida cotidiana y así, consecuentemente, realizar
transformaciones. Estas transformaciones se ven reflejadas en la toma de
decisiones que los estudiantes deben hacer en situaciones que requieren de
análisis matemático en pro de un bienestar económico, social o cultural (por
ejemplo, elegir un acceder a un producto o no dependiendo de su precio). Según
Ministerio de Educación Nacional [MEN] (2003, p. 52), la actividad matemática
implica procesos como son: - Formulación, tratamiento y resolución de problemas
- Modelación - La comunicación - El razonamiento - La formulación, comparación y
ejercitación de procedimientos Las transformaciones antes mencionadas, pueden
ser posibles en la medida que el sujeto sea matemáticamente competente.
Desde hace muchos años, diversos investigadores han promovido el uso de la
historia como un instrumento pedagógico más, con la idea de utilizar aquellos
aspectos del desarrollo histórico de una ciencia, en nuestro caso las matemáticas,
que nos permitan hacer más simple y efectiva nuestra tarea de enseñar. Esta idea
está fundamentada en la convicción de que en la enseñanza de las ciencias no es
posible dejar de establecer vínculos con la filosofía de la disciplina que se
pretende transmitir, ya que los paradigmas o visiones filosóficas aceptados juegan
un papel activo en el decurso científico y educativo. Por otra parte, la visión
filosófica de una ciencia que se adopte para su enseñanza está íntimamente
ligada con su desarrollo histórico. La relación entre la ideología, la historia y la
práctica educativa misma se convierte en palanca teórica importante para la
comprensión de los problemas de la enseñanza de la ciencia en sí. A este
respecto, RUIZ (1997) señala: "La concepción del uso de la historia en la
educación varía en función de la filosofía de las matemáticas que se posea. Y este
constituye uno de los ejemplos más importantes de la relación entre la ideología o
la filosofía y la práctica educativa matemática." En el caso de las matemáticas, es
relevante mencionar también que el uso apropiado de su historia en el proceso de
enseñanza permite poner en perspectiva el papel integral de las matemáticas en el
desarrollo social de la humanidad.
Se puede, entonces, utilizar la historia del desarrollo del pensamiento matemático
en el proceso educativo, de diversas formas y con distintos objetivos.
A partir del siglo XVIII comenzó una tendencia clave en el pensamiento
matemático, que algunos autores llamaron “la algebratización de las matemáticas”;
a lo largo de la historia, el álgebra ha ido de la mano con la aritmética. Pero
existen matices, ya que la aritmética es la ciencia de los objetos concretos, esto
es, de los números, en cambio el álgebra es, en esencia, la doctrina de las

3. operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y
genérico, independientemente de los números u objetos concretos (Sierra, 2010).
Si se toma en cuenta la enseñanza del álgebra desde una perspectiva de la
realidad, son muchos los estudiantes que muestran apatía por las matemáticas y
algunos hasta cierta aversión; al respecto, según Sierra (2010) menciona que los
docentes de matemática tienen siempre un gran reto, mostrar la utilidad de las
matemáticas a sus estudiantes y el provecho de la misma en sus vidas. Cuando
se explica álgebra, esta relación parece menos visible, pero no por ello es menos
tangible. Por consiguiente, se debe mostrar a los estudiantes el álgebra como una
herramienta útil para resolver problemas de la vida cotidiana. En efecto, al
momento de enseñar álgebra en educación media general, el docente se basa en
dar propiedades que ya están, y en problemas meramente sintácticos con los que
los estudiantes no se volverán a topar en sus vidas. Y es que en la enseñanza
tradicional no se tiene suficientemente en cuenta las dificultades en la
comprensión, por parte del estudiante, del tratamiento algebraico para la solución
de problemas.
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS COMO INSTRUMENTO PEDAGÓGICO
Las matemáticas a través de la historia la podemos contar de la siguiente forma
teniendo en cuenta los recursos pedagógicos:
Utilizar algún pasaje de la historia a modo de anécdota, como recurso de
motivación: Se refiere a hechos históricos aislados, ya sea del desarrollo de las
matemáticas mismas o de la vida de algún matemático cuya contribución al
avance en la comprensión del tema en cuestión haya tenido alguna valía.
Introducir un concepto a través de la presentación de algún problema y el
análisis de cómo se resolvió históricamente. Pone en evidencia el contexto
intelectual en que se desarrolla el problema planteado. Además, muestra la
estructura interna de los mecanismos conceptuales que permiten resolver un
problema, no mediante el aprendizaje mecánico de los algoritmos que se utilicen
sino basados en la comprensión del problema y de los conceptos involucrados en
la solución del mismo.
Recorrer el desarrollo histórico de un área de las matemáticas, tratando de
reproducir el proceso de aprendizaje de esa área con base en el recorrido
completo. La historia de las matemáticas es parte esencial de la historia del
razonamiento humano: si vamos a los orígenes de un concepto podremos
comprender el modo como se introdujo en el contexto correspondiente, si
analizamos el camino recorrido, a lo largo del desarrollo de un tema, podremos
encontrar los métodos que fueron utilizados con más éxito, para comprender

4. los distintos elementos que lo fueron tejiendo hasta llegar a ser dominado tanto en
su comprensión como en el uso apropiado de los algoritmos involucrados.
"Aprender de Los Maestros". Sobre todo en niveles de aprendizaje más
avanzados, se puede recurrir a lecturas de escritos originales de los grandes
pensadores que desarrollaron las ideas del pensamiento matemático, lo cual
permite al estudiante dilucidar el proceso del desarrollo lógico de una idea. Man
Keung Siu (1996) quien dicta un curso sobre "Desarrollo de las ideas
matemáticas" en la Universidad de Hong Kong menciona: ". con respecto al
pensamiento matemático trato de permitir que los estudiantes experimenten cómo
es que los matemáticos realizan sus trabajos, ellos verán así que el enfoque lógico
y axiomático ejemplificado en los Elementos de Euclides no es el único camino."
(Traducción de la autora).
Al hacer uso de la historia en la educación matemática se suele recurrir a las
referencias históricas con fines ilustrativos. Este recurso metodológico permite
captar la atención del estudiante, haciendo el aprendizaje más placentero, o bien
mostrando el lado humano de las matemáticas, muchas veces escondido en el
mar de contenidos de un programa de estudios. Eves (1969), resume estas
ventajas diciendo: "Estas historias y anécdotas han probado ser muy útiles porque
aumentan el interés, para añadir sazón y un toque de entretenimiento, para
introducir el elemento humano, para inspirar al estudiante, para inculcar respeto y
admiración por los grandes creadores, para darle un tirón hacia atrás al interés
decaído, para forjar relaciones con la historia cultural, o para subrayar algún
concepto o idea." (Traducción de la autora).
Al pretender integrar el uso de la historia de las matemáticas de manera óptima,
se debe sustentar una vinculación coherente y eficaz con el proceso educativo.
Para lograr este propósito, es necesario aprovechar otros recursos que permiten
estructurar el proceso de enseñanza con base en el devenir histórico completo.
Para utilizar la historia de manera apropiada en el proceso didáctico, es necesario
conocerla, sin embargo, cualquiera que sea el recurso que se vaya a utilizar, se
debe saber escoger aquellos aspectos del desarrollo histórico de las mismas que
permitan facilitar el aprendizaje, porque a veces la manera como la humanidad
aprendió es más dolorosa y tortuosa que la manera como el tiempo nos ha
enseñado a abordar el conocimiento.
Para los estudiantes un camino difícil es pasar de la aritmética al algebra. A la
humanidad le llevó siglos recorrer este camino, con muchos errores, tropiezos y
verdades a medias. Con avances y retrocesos en el desarrollo del álgebra el
hombre fue logrando comprender y describir verdades generales, que no se
formulan para un objeto en particular. Es decir, logró dar el paso del pensamiento
concreto a la abstracción. Tomando esto en cuenta, no es difícil entender la
dificultad que suelen tener muchos estudiantes cuando dan los primeros pasos en
el terreno del álgebra, sobre todo porque muchas veces se aborda su enseñanza

5. como una serie de reglas que relacionan letras y números sin ningún fundamento
y que el alumno debe memorizar y aprender a aplicar a ciegas. Según Jean
Piaget (epistemólogo suizo, 1896-1980) el conocimiento progresa porque hay un
desarrollo mental durante el proceso de aprendizaje. Piaget indicó que la
adolescencia es el comienzo del período de razonamiento de las operaciones
formales, pero otros estudios muestran que, la capacidad del adolescente para
pensar formalmente depende del aprendizaje acumulado y de la educación que ha
tenido. De hecho, las últimas investigaciones de la psicología genética plantean
que el alumno que comienza la enseñanza secundaria (alrededor de los trece
años) se encuentra aún en el apogeo del pensamiento operatorio concreto y en
lenta transición hacia el pensamiento formal. El niño con pensamiento concreto
construye sobre datos conocidos y razona sobre lo que está presente. La persona
con pensamiento formal puede generar la búsqueda de propiedades generales,
puede ir más allá de lo tangible, puede dar justificación lógica a sus juicios.
El aprendizaje del álgebra requiere del pensamiento formal o proposicional. Si
queremos un aprendizaje exitoso del álgebra por parte del alumno, debemos
recorrer el camino despacio, tratando de respetar esa transición del desarrollo
intelectual del estudiante.
Las investigadoras argentinas Leonor Norma Coso y Rosa Ana La Menza (1999),
proponen observar las distintas etapas del desarrollo histórico del álgebra y tratar
de reproducir este proceso con nuestros estudiantes; es decir, recorrer el camino
paso a paso con el fin de propiciar el mejor entendimiento de la materia, conforme
el estudiante va logrando el paso del pensamiento concreto a la abstracción.
Los adolescentes, al comenzar el estudio del álgebra, traen las nociones y los
enfoques que usan en aritmética. Sin embargo, el álgebra no es simplemente una
generalización
de la aritmética; aprender álgebra no es solo hacer explícito lo que estaba implícito
en la aritmética. El álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante,
que va de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales
sobre números y operaciones (Kieran & FilloyYagϋe, 1989).
ETAPAS EN EL DESARROLLO HISTORICO DEL ALGEBRA
Dantzig (1947) señala tres etapas en el desarrollo histórico del álgebra: la retórica,
la sincopada y la simbólica.
Etapa retórica: En esta etapa no se utilizan los símbolos, los problemas se
describen en su totalidad a base de palabras. Se utiliza el pensamiento concreto
pues el lenguaje que se usa asigna cada palabra al objeto al que se refiere. Un

6. ejemplo de un problema es el planteado en el libro "Lilavati" del gran matemático
hindú del siglo doce, Báskara:
"La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba, la
tercera parte en una flor de silinda, el triple de la diferencia entre estos dos
números vuela sobre una flor de krutja y una abeja vuela indecisa de una flor de
pandanus a un jazmín. Dime, hermosa niña, ¿cuál es el número de abejas?"
La historia de Lilavati es una bella anécdota para ser contada, aparece en el
libro "El hombre que calculaba" del escritor hindú Malba Taham, se puede
encontrar también en BOYER (1985).
El lenguaje abstracto del álgebra, en el que se manejan objetos intencionalmente
despojados de su significado en el mundo físico, está aún lejos de quien está
interesado en el objeto mismo. De acuerdo con el desarrollo intelectual del
estudiante, podríamos abordar primero la solución de algunos problemas
planteados en estos términos, antes de introducir el lenguaje y simbolismo
abstractos propios del álgebra.
Es importante saber escoger un problema apropiado para la clase, la manera de
abordar su solución, y el papel del educador y del estudiante para resolver éstos.
Lo simple suele ser mejor punto de partida que lo difícil, podemos iniciar con
problemas tan simples como:
 En 1994, German Silva de México ganó la maratón de Nueva York con un
tiempo de dos horas, once minutos y veintiún segundos. Ese mismo año,
Cosmas N'Deti de Kenia ganó la maratón de Boston con un tiempo cuatro
minutos y seis segundos más rápido que el de Silva. ¿Cuánto tardó N'Deti
en correr la maratón de Boston?
 Un productor de naranjas utiliza, para el transporte del producto, cajas de
madera que pesan dos kilogramos cada una. Cada naranja pesa doscientos
gramos y el peso total de una caja llena de naranjas es de diez kilogramos,
¿cuántas naranjas se empacan en cada caja?
 Un padre pagó cinco mil seiscientos colones por las entradas al cine para él
y sus tres hijos escolares. La entrada de adultos cuesta ochocientos
colones más que la de niños, ¿cuánto cuesta la entrada para adultos?
George Bernard Shaw (dramaturgo irlandés, 1856-1950, Premio Nobel en 1925)
expresa: En última instancia, la solución de los problemas no consiste en hacer, ni
en dejar de hacer, sino en COMPRENDER; porque donde hay verdadera
comprensión, no hay problemas."

7. Etapa sincopada: En este período algunas palabras de uso frecuente se
empiezan a abreviar hasta llegar a olvidar su origen, lo cual va produciendo
símbolos que no tienen conexión evidente con lo que representan. Un buen
ejemplo de esto es el uso del signo menos (-), que fue expresado durante mucho
tiempo, sobre todo en Europa, por la palabra latina completa minus , después
pasó a usarse la letra m con una raya encima, hasta que desapareció la letra y
quedó en uso únicamente la raya como el signo de la resta.
Suele decirse que los hindúes fueron los primeros en sincopar la escritura, aunque
hay ejemplos de esta práctica desde los griegos. En el álgebra de Brahmagupta
(quien vivió en la India Central alrededor del año 628), la suma se indica por
yuxtaposición de los términos, en la resta se coloca un punto sobre el sustraendo
y en la división, el divisor se coloca debajo del dividendo. Para las multiplicaciones
y el cálculo de raíces, así como para las incógnitas, se usaban abreviaciones, o a
veces la primera letra de alguna palabra apropiada. Es importante observar que
esta es una etapa de transición, pues esto no quiere decir que estos símbolos se
usasen como lenguaje lógico, con una sintaxis rigurosa. El lenguaje retórico siguió
dominando la escritura por mucho tiempo, en la India podemos observar este
hecho en el lenguaje de Báskara varios siglos después.
Teniendo en cuenta los problemas resueltos en forma retórica podemos hacer la
transición hacia la abstracción. Por ejemplo, en vez de entrar de lleno en las
definiciones de parte numérica, parte literal, monomios, monomios semejantes y
suma de monomios, podemos empezar con algo tan sencillo como:
"En la biblioteca del colegio hay mil trescientos veinte libros y trescientas revistas.
En la semana de la lectura, los estudiantes lograron reunir otros doscientos diez
libros y cincuenta y tres revistas, ¿cuántos libros y cuántas revistas tendremos a
disposición ahora?"
Solución retórica:
mil trescientos veinte libros más
doscientos diez libros son
mil quinientos treinta libros,
trescientas revistas más
cincuenta y tres revistas son
trescientas cincuenta y tres revistas.
Solución sincopada:
1320 L + 210 L = 1530 L
300 R + 53 R = 353 R

8. Podemos escribir a continuación una sola ecuación, la cual nos permite analizar lo
realizado; libros se suman con libros, revistas con revistas:
1320L + 300R + 210L + 53R = 1530L + 353R
Respuesta: En la biblioteca tenemos ahora 1530 libros y 353 revistas para
disfrutar. ¡Claramente no podríamos decir que tenemos 1883 libros!
Antes de pasar al lenguaje simbólico, tanto en la primera como en la segunda
etapa, es importante insistir en el manejo correcto de la operatoria algebraica
(conmutatividad, asociatividad, distributividad, operaciones con enteros,
racionales, raíces, potencias) porque no debemos ovidar que estamos dando el
paso de la aritmética al álgebra. Esto se debe hacer a través de la solución de
problemas y ejemplos concretos y no mediante una presentación axiomática de
las propiedades en cuestión.
Etapa simbólica: Conforme se da el paso hacia la abstracción aparece el
lenguaje simbólico, donde las letras tienen un significado independiente de aquello
que representan. Este lenguaje permite pasar de trabajar únicamente con
expresiones particulares, a comprender, plantear y resolver expresiones
generales. Podemos decir que el álgebra comienza su etapa simbólica a partir de
los trabajos de François Viète (abogado francés, 1540-1603) quien empieza a
diferenciar la aritmética del álgebra al distinguir entre lo que llama "logística
numerosa" (cálculo con números) y "logística speciosa" (cálculo con letras). Así,
introdujo el uso sistemático de las vocales para representar las incógnitas y las
consonantes para las cantidades conocidas. La simbología actual, que utiliza las
primeras letras del alfabeto para las constantes y las últimas para las variables,
aparece en el siglo XVII con René Descartes y la Geometría Analítica (filósofo,
físico y matemático francés, 1596-1650).
Una ventaja del lenguaje simbólico es que nos libera de las ambigüedades del
lenguaje cotidiano. La transmisión de conocimientos está basada en la
comunicación efectiva de los mismos. Una vez tenemos dominio operativo sobre
los símbolos, con verdadera comprensión de los conceptos que estos representan,
podemos trabajar con base en un sistema lógico riguroso. Con relación al proceso
educativo, es importante recordar el cambio mental significativo que se lleva a
cabo al pasar del pensamiento concreto al pensamiento formal. Esta
transformación en la manera de pensar no puede verse sino como un proceso
lento y progresivo, el alumno no adquiere el dominio del lenguaje proposicional
porque le hagamos memorizar una lista de símbolos y reglas para operar con ellos
pues, aún cuando llegue a manejarlos hábilmente en forma mecánica, si no hay
comprensión no hay avance en el desarrollo intelectual. Podemos reforzar esta
idea con las palabras de Bertrand Russell (filósofo inglés, 1872-1947, Premio
Nobel de Literatura en 1950 "Incluso el niño más inteligente tropieza con grandes

9. dificultades cuando empieza a estudiar álgebra. El empleo de letras es un misterio
que no parece tener otra finalidad que la confusión. Es casi imposible, al principio,
que el alumno no piense que toda letra figura en lugar de un número determinado
que el profesor muy bien habría podido indicar.
El hecho es que con el álgebra se enseña por primera vez al espíritu a examinar
verdades generales, verdades que no se formulan únicamente valederas para tal o
cual cosa particular sino para cualquiera de todo un grupo de cosas. En la
facultad de comprender y describir esas verdades reside el dominio del intelecto
sobre todo el mundo de cosas reales y posibles; y la aptitud para ocuparse de lo
general en sí es uno de los dones que debería otorgar una educación
matemática."
Usando un ejemplo sencillo, como el analizado anteriormente sobre los libros y
revistas en la biblioteca del colegio, podemos dar el paso hacia el lenguaje
simbólico abstracto.
Solución simbólica:
En la ecuación:
1320L + 300R + 210L + 53R = 1530L + 353R
Las letras L y R pueden representar cualquier objeto o concepto, podemos
entonces utilizar cualquier otra letra y escribir, por ejemplo,
1320 a + 300 b + 210 a + 53 b = 1530 a + 353 b,
o también,
1320 x + 300 y + 210 x + 53 y = 1530 x + 353 y.
En este momento tiene cabida la discusión sobre los conceptos de parte numérica,
parte literal, monomios, monomios semejantes, suma de monomios.
La historia revela la búsqueda de sistemas de representación más eficaces que
permitieron solucionar muchos problemas de tipo geométrico y numérico, de ahí
que la perspectiva histórica del desarrollo del lenguaje algebraico sirve para
elaborar una propuesta didáctica que presente al álgebra como una herramienta
poderosa para solucionar problemas aritméticos, geométricos y de otras
disciplinas
A partir de la introducción de un mejor simbolismo dado por Viete se enriquece el
avance del álgebra, con el aporte además de grandes matemáticos como

10. Descartes, Steven, Oughtred, Harriot, Chuquet quienes introducen nuevos
símbolos para las operaciones, desigualdades y notación para exponentes como
consecuencia de la creciente demanda científica que se ejercía sobre ellos; tal vez
muchos de ellos no llegaron a percibir lo que el simbolismo podría significar a
favor del álgebra. Muchos cambios en los símbolos se efectuaron por accidente, el
uso de símbolos para las incógnitas tuvo un ascenso lento, la historia nos muestra
que se relacionan dos estadios del símbolo; cómo número o soporte para
organizar un sistema de numeración y otro como incógnita (número o algo
abstracto). Pasaron muchos años para que el hombre extrajera conceptos
abstractos; los orígenes del concepto de variable y variación están en la necesidad
de representar magnitudes físicas y su cambio con respecto al tiempo.
Este recorrido por la evolución del lenguaje algebraico, desde el planteamiento y
solución en forma verbal, a las abreviaturas de algunas palabras y la incursión del
símbolo para representar la incógnita y sus potencias fue realmente lento y lleno
de limitantes, tardaron siglos para usar el simbolismo y enriquecerlo, sin embargo
a pesar de las limitaciones, sentaron las bases y construyen poco a poco lo que
hoy se conoce como lenguaje algebraico.
Lenguaje algebraico: Es una forma de traducir a símbolos y números lo que
normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden
manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite
simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo
resolverlas. Es un lenguaje que nos ayuda a resolver problemas matemáticos
mostrando generalidades. El lenguaje algebraico nace en la civilización
musulmana en el periodo de AL-Khwarizimi durante la edad media. Su función
principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las
distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo
ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (+ -x %).
Una expresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al
lenguaje algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también
operaciones aritméticas. El Término, es una expresión algebraica donde hay solo
operaciones de multiplicación y división de letras y números, donde la letra puede
estar elevada a una potencia. El termino independiente solo consta de un valor
numérico, en tanto los términos semejantes son los que tienen debidamente la
misma parte de letras (parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se
pueden sumar y restar, si los términos no son semejantes ya no es posible, lo que
si es posible es dividir o multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término
puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los exponentes de cada letra,
o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su
exponente.
Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se
indica dentro de estos cuál de las operaciones debe realizarse en primer lugar,

11. estos símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también
signos de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a.
El lenguaje algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del
cual las primeras letras por lo general son las que determinan valores conocidos o
datos del problema, (aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se
utilizan también algunos vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se
utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica.
Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma
verbal y escrita:
La suma de dos números a + b
La resta o diferencia de dos
números
X – y
El producto de dos números ab
El cociente de dos números X/y
El cociente de la suma de dos
números, sobre la diferencia
a+b/a-b
El doble de un número 2X
El doble de la suma de dos números 2(a+b)
El triple de la diferencia de dos
números
3(x-y)
La mitad de un número X/2
La mitad de la diferencia de dos
números
El cuadrado de la suma de dos
números
(x-4)/2
El triple del cuadrado de la suma de
dos números.
La suma de 3 números A+b+c
La semi suma de dos números. (a+b)/2

12. Si se toma como referencia la psicología del aprendizaje dentro del contexto
escolar, los adolescentes que cursan el primer año de Educación media General,
oscilan entre las edades de 12 y 14 años de edad, su pensamiento va más allá de
lo concreto, su nivel lógico se fortalece cada día, entonces, en este momento el
estudiante está apto para iniciar un curso de álgebra, sin embargo, no se puede
desconocer que en esta etapa el estudiante ha trabajo en aritmética y en
geometría, elementos que le han propiciado un acercamiento al concepto de
variable y al manejo de símbolos(González, 2012). Pero los docentes deben
incentivar la colaboración y el aprendizaje por descubrimiento para que tenga
sentido para los estudiantes. Los errores aparecen en el trabajo de los
estudiantes cuando se enfrentan a conocimientos novedosos que los obligan a
hacer una revisión o reestructuración de lo que ya saben.
Los errores son intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento
adquirido a una nueva situación. Se entiende que el error tendrá distintas
procedencias, pero siempre se considera como un esquema cognitivo inadecuado
y no sólo como consecuencia de falta de conocimiento de un despiste (Ruano &
Socas & Palarea, 2008). Pero además, también es falta de estrategias basadas en
el aprendizaje significativo por parte de los docentes de matemática.
Existen dificultades en la comprensión del algebra. Palarea (1999) en su
investigación refleja que durante los últimos años ha aumentado el interés por el
estudio de las dificultades de la enseñanza/aprendizaje que el álgebra escolar ha
generado, ha sido enorme, tanto desde la perspectiva del investigador como la del
profesor. Pero, a pesar de las investigaciones, los problemas que plantean no han
sido resueltos y lo que debe ser enseñado y aprendido en álgebra, está aún por
determinarse.
Continúa generándose preguntas en torno a la naturaleza del álgebra y a los
procesos de pensamiento implicados, que aún no tienen repuestas: Entre otras
 ¿Qué hace que la compresión del álgebra escolar sea una tarea difícil para
la mayoría de los estudiantes?
 ¿Qué induce a muchos estudiantes recurrir a memorizar reglas del álgebra?
 ¿Son los contenidos matemáticos relacionados con el álgebra visto en
educación media general la fuente del problema?
 ¿Es la forma en que es enseñada el álgebra lo que causa carencia de dar
sentido a la materia?
 ¿Es inapropiado el acercamiento de los estudiantes a las tareas algebraicas
para aprender de la materia en cuestión?
 ¿Dónde están las dificultades en el traslado del lenguaje natural o común al
lenguaje algebraico?

13. En el contexto escolar se puede observar que existen dificultades para la
compresión del lenguaje algebraico; al respecto Socas (2011) explica que las
dificultades son organizadas en cinco grandes categorías que describen la
procedencia de estas dificultades; dos asociadas a la propia disciplina,
complejidad de los objetos de las Matemáticas y procesos de pensamiento
matemático, una tercera relacionada con los procesos de enseñanza,
desarrollados para el aprendizaje de las Matemáticas; la cuarta está asociada a
los procesos de desarrollo cognitivo de los estudiantes, y la quinta y última, está
asociada a actitudes afectivas y emocionales desarrolladas hacia las Matemáticas.
De ahí que sea necesario incorporar al desarrollo curricular del álgebra actividades
y proyectos “Open-ended”, cuestiones o proyectos de resolución abierta donde el
estudiante pueda dar una serie de respuestas correctas; considerándose dentro
de los problemas “Open-ended” a una larga clase de problemas abiertos, tanto en
los datos como en el objetivo, proyectos de trabajo, en la mayor parte de los
problemas de la vida real, el planteo de problemas a partir de unos datos, etc.,
situaciones en las que se insiste más en el proceso que en la solución. Sin
embargo cabe resaltar que las actividades y proyectos “Open-ended” presentan
cierta complejidad a la hora de evaluar, al tener que escoger entre las diversas
vías, antes que en las soluciones mismas. Aparecen de este modo aspectos como
“la fluidez” entendida como el número correcto de diferentes respuestas o
aproximaciones a la resolución del problema; “la originalidad” entendida como
presentaciones “poco comunes” de la actividad; o “la flexibilidad”, entendida como
el número de presentaciones matemáticamente diferentes o alternativas, etc.
(Socas, 2011). Lo importante es que hay que enseñar álgebra y en esta
investigación se va a insistir en cómo traducir problemas expresados en palabras
comunes.
El álgebra, desde el comienzo de la vida escolar siempre ha sido el tema donde
los estudiantes han tenido mayor dificultad en su aprendizaje, por su amplia
definición en sus conceptos y propiedades, por las diferentes interpretaciones que
tienen de ella y por la forma que algunos profesores la ponen en escena ante
ellos. Recordando las palabras de Cogollo (2006, p. 13) cuando cita a Booth
(1990) diciendo que: El álgebra es reconocida como la piedra en el zapato en la
escuela, tanto en el presente como en el pasado. Los estudios históricos de los
desarrollos del álgebra en la educación en el siglo XX muestran que el álgebra en
la escuela secundaria no ha cambiado mucho en los últimos años. Sin intención, el
álgebra ha funcionado como medio para captar los aprendices más capaces (unos
cuantos felices que entienden y disfrutan el poder del álgebra) que el resto,
quienes la recuerdan y la experimentan como una combinación exclusiva de letras
y números. Los estudiantes muestran ciertas dificultades, en algunas situaciones
(la errada interpretación de los conceptos y de las propiedades, la no adecuada
representación de enunciados en lenguaje simbólico y en la representación de
expresiones algebraicas en lenguaje natural, etc.), en este proceso de
aprendizaje. Estas dificultades hacen que los estudiantes pierdan motivación y

14. animo por las matemáticas y más en especial por el algebra. Sin olvidar, claro
está, lo que dice Cogollo (2006, p. vii) “el profesor, la mayor parte del tiempo
ignora la verdadera interpretación que el estudiante da a los conceptos
matemáticos”, de ahí que se tenga que hacer un mayor énfasis en las
interpretaciones que se le da a lo expresado por los estudiantes.
Por lo anterior es importante trabajar lo que es el lenguaje natural y el lenguaje
simbólico, y la variable, teniendo en cuenta las dificultades con las que se
encuentran los estudiantes en este camino de construcción del concepto de
variable, pasando por el lenguaje. El proceso de enseñanza aprendizaje del
algebra encierra cierta problemática como son las interpretaciones y la utilización
que los estudiantes hacen del lenguaje El pensamiento variacional tiene que ver
con el tratamiento matemático de la variación y el cambio, el pensamiento
variacional puede describirse aproximadamente como una manera de pensar
dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen variables.
Pero no hay que desconocer que el lenguaje forma una parte importante en ese
pensar dinámicamente, pues es a partir de este que el sujeto comprende,
comunica y expresa los patrones que observa y detecta en situaciones de
variación. En este sentido, agregamos que los contextos juegan un papel
fundamental en la construcción de la variación, es decir, que los estudiantes a
partir de situaciones cotidianas, como ir a la tienda o salir a pasear, van
identificando y construyendo la palabra y el significado de variación, para después
ponerla en escena ante el álgebra y sus problemas numéricos.
Los métodos algebraicos más antiguos surgieron porque los matemáticos
comenzaron a interesarse por las operaciones que se pueden realizar con
números cualesquiera y por las propiedades de estas operaciones.
En los inicios de las matemáticas las fórmulas y las ecuaciones, así como sus
soluciones, se expresaban verbalmente. La utilización del lenguaje simbólico (por
ejemplo, los signos que representan las operaciones aritméticas o las letras para
nombrar a las incógnitas) que agilizó el cálculo y facilitó los desarrollos se introdujo
muy tardíamente.
Entre los numerosos problemas aritméticos hallados en los papiros egipcios, se
puede encontrar ya alguno de tipo algebraico, como por ejemplo, la siguiente
ecuación que hemos recogido del famoso papiro de Rhind (1650 a. C.): “un
montón y una séptima parte del mismo es igual a 24”.
Esta ecuación, si se escribe en el actual lenguaje simbólico, quedaría así:
x + 1/7 .x = 24
donde x expresa el “montón” al que se refiere el autor de dicho papiro.

15. Los babilonios tuvieron gran conocimiento de las técnicas algebraicas y los
griegos, más tarde, se valieron de la Geometría para resolver problemas
algebraicos.
La palabra Álgebra tiene su origen en el título del libro Hisab al-jabr w’ al-
muqabalah que fue escrito en Bagdad hacia el año 825 por el más importante
matemático musulmán de la época llamado al Khwarizmi. Los métodos de
resolución de ecuaciones, que aparecen en este tratado, constituyeron un enorme
avance para el desarrollo posterior del Álgebra.
De la fase del álgebra retórica, en la que los razonamientos eran verbales, se pasó
al Álgebra sincopada; sincopado significa abreviado.
La notación simbólica y los signos de operaciones a los que hemos aludido
anteriormente, fueron introducidos por los matemáticos franceses Viète y
Descartes en los siglos XVI y XVII.
El álgebra, actualmente, se halla presentado en toda la matemática y en la física,
pues los problemas geométricos, aritméticos o físicos se expresan de ese modo
con más sencillez.
Aplicaciones pedagógicas
 El docente debe conocer los conocimientos previos del estudiante, o sea,
debe asegurarse que el contenido a presentar pueda relacionarse con las
ideas previas, ya que conocer lo que sabe el estudiante ayuda en la
planificación.
 Organizar los materiales en el aula de manera lógica y jerárquica, ya que no
sólo importa el contenido, sino la forma en que se presenta a los
estudiantes.
 La motivación es un factor fundamental para que el estudiante se interese
por aprender; el hecho de que el estudiante se sienta contento en su clase,
con actitud favorable y buena relación con el docente, hará que se motive
para aprender, para ello sería positivo ambientar el aula de clases con
carteleras informativas en relación a contenidos y anécdotas de la
matemática, además ayudaría la implementación de juegos didácticos que
involucren temas matemáticos que relacionen situaciones de la vida
cotidiana creando así interés en los estudiantes por aprender matemática.
 El docente debe utilizar ejemplos, por medio de dibujos, diagramas,
fotografías o la misma realidad, para enseñar los conceptos.
Rescatando las ideas planteadas en este trabajo, podemos afirmar que, el uso
adecuado de la historia de las matemáticas, como parte del proceso educativo de
la disciplina, va más allá de la simple contextualización, pues, se puede utilizar el

16. conocimiento histórico de modos diversos y con distintos objetivos. Esto permite
aprovechar aquellos aspectos históricos que hagan más efectiva la enseñanza, así
como, también, poner en perspectiva el papel protagónico que ha tenido el
desarrollo del pensamiento matemático en el desarrollo social de la humanidad.
En esta línea de acción, hemos mencionado algunas opciones que pueden ser
útiles en la tarea de enseñanza que nos ocupa, cuales son, el uso de anécdotas,
el estudio del contexto histórico de la solución de un problema concreto, el
desarrollo histórico completo de un tema o de un área de las matemáticas y, en
etapas más avanzadas, el estudio directo de los trabajos originales de algún
matemático.
Para poder utilizar cualquiera de estos recursos con éxito, es necesario tener
conocimiento del proceso histórico de lo que se enseña. Solo así, será posible
escoger aquellos aspectos de la historia de las matemáticas que permitan facilitar
el aprendizaje, manteniendo siempre un vínculo coherente con la filosofía y la
práctica educativa. En este sentido, es importante que los programas de estudio
de los estudiantes de matemática educativa incluyan una formación básica en
historia de las matemáticas.
El proceso de aprendizaje requiere de un desarrollo intelectual que se va dando
paso a paso, conforme aprendemos, el intelecto se desarrolla; conforme nuestra
manera de pensar evoluciona, somos capaces de aprender más y mejor. Tampoco
debemos olvidar que el aprendizaje se da como un proceso integral, no sólo se
aprende en el aula sino que gran parte de nuestros conocimientos son adquiridos,
a través de nuestros sentidos, en cada una de nuestras vivencias. El trabajo del
aula consiste en ampliar, ordenar, limpiar, separar, sistematizar, desarrollar esos
conocimientos. El alumno es más receptivo y aprende mejor cuando comprende lo
que se le enseña, cuando le encuentra sentido a lo que se le propone.

17. BIBLIOGRAFIA
Boyer, C. (1985). A History of Mathematics . New Jersey: Princeton University
Press.
Coso, L. N. y R. A. La Menza (1999). La matemática: Del conflicto al diálogo .
Argentina: Grupo Editor Aique, Colección: Carrera Docente.
Dantzig, T. (1947). Número. El lenguaje de la ciencia. Buenos Aires: Librería del
Colegio, Colección "Ciencia y Método".
Eves, H. W. (1969) . In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical
Stories and Anecdotes . Boston: Weber & Schmidt.
Protti, O. y T. Tsijli. (1997a). Matemáticas 8, Texto . San José: Editorial de la
Universidad de Costa Rica, Serie: Hacia el siglo XXI.
Protti, O. y T. Tsijli. (1997b). Matemáticas 8, Guía Didáctica . San José: Editorial
de la Universidad de Costa Rica, Serie: Hacia el siglo XXI.
Ruiz, A. (1997). "Las posibilidades de la Historia en la Educación
Matemática" . Boletín Informativo, Comité Interamericano de Educación
Matemática.
Siu, Man-Keung (1996). "The ABCD of using history of mathematics in the
classroom". Electronic-mail. Department of Mathematics, University of Hong Kong.
Tsijli, T. (1997a). Matemáticas 9, Texto . San José: Editorial de la Universidad
de Costa Rica, Serie: Hacia el siglo XXI.

18. Tsijli, T. (1997b). Matemáticas 9, Guía Didáctica . San José: Editorial de la
Universidad de Costa Rica, Serie: Hacia el siglo XXI.
Extraído de:
Rodriguez, M.; Martinez, M. (1998) Matemática 8 . Santiago de CHile: Mc Graw
Hill. Páginas 47 y 48.
Lenguaje algebraico | La Guía de Matemática
http://matematica.laguia2000.com/general/lenguaje-algebraico#ixzz4BE91vtOP
EDUCERE - Investigación arbitrada - ISSN: 1316-4910 - Año 18 - Nº 59 - Enero –
Abril
Transformación del lenguaje naturalal lenguaje algebraico en educación media
general
Jessefh Rafelsson Marquina Quintero
elcrak8@gmail.com
Guillermo Alejandro Moreno
morenoguillermo@hotmail.com
Alirio Alberto Acevedo Barrios