Teoria de probabilidades

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Teoria de probabilidades

  1. 1. Material para os estudantes do 2.º anoTEORIA DEPROBABILIDADES Por: E. Seno 1 FE-UAN - 2006
  2. 2. DefiniçãoA Teoria das probabilidades é a teoria das leis docomportamento dos fenómenos aleatórios,procurando matematizar o acaso. A teoria das probabilidades fornece, portanto, abase para a medição e controlo do grau deincerteza associado aos procedimentos dainferência estatística Fenómeno aleatório: fenómeno sujeito à influênciado acaso, independentemente da vontade doobservador Por: E. Seno 2 FE-UAN - 2006
  3. 3. Alguns conceitos básicosExperiência:• Processo ou conjunto de circunstâncias orientado a produzir resultados observáveis.• Exemplos: 1. submeter alunos a uma prova, 2. colocar um líquido num congelador durante 24 horas, 3. extrair uma carta num baralho, etc)• Em relação ao exemplo 2, pode-se adivinhar o resultado antes da sua realização - não aleatória;• O mesmo não se pode dizer em relação aos exemplos 1 e 3 - aleatória Por: E. Seno 3 FE-UAN - 2006
  4. 4. Alguns conceitos básicosCaracterísticas da experiência aleatória: Pode repetir-se tantas vezes nas mesmas condições ou em condições semelhantes; Antes da sua realização não se pode prognosticar o seu resultado, por mais que se queira controlar as condições de realização; Os resultados das suas repetições são díspares quando tomados individualmente, mas produzem uma impressionante regularidade estatística (estabilidade da frequência relativa) quando tomados em conjunto, isto a partir de um número “n” de repetições suficientemente grande. Por: E. Seno 4 FE-UAN - 2006
  5. 5. Alguns conceitos básicosEspaço de resultados: Ao realizar uma experiência aleatória, sai um e somente um dos n resultados possíveis. A este conjunto dos resultados possíveis de uma experiência aleatória chama-se espaço de resultados ou simplesmente espaço amostral. Designa-se por: Ω = (ω1 , ω2 , ω3, ..., ωi , ..., ω N ) Por: E. Seno 5 FE-UAN - 2006
  6. 6. Alguns conceitos básicosEspaço de resultados - exemplos:1. Ex. n.º 1 - E1: Lançamento de um dado equilibrado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2. Ex. n.º 2 - E2: Lançamento de uma moeda Ω = {face, coroa}3. Ex. n.º 3 - E3: Registo do sexo do bebé a nascer Ω = {masculino, feminino}4. Ex. n.º 4 - E4: Registo do tempo (em minutos) que um trabalhador pode levar de casa ao local de trabalho Ω = {t: t>0}5. Ex. n.º 5 - E5: Lançamento de dois dados equilibrados Ω = { (1,1); (1,2); …; (2,1); …; (5,1); …; (6,5); (6,6) } Por: E. Seno 6 FE-UAN - 2006
  7. 7. Alguns conceitos básicosAcontecimento Quando se realiza uma experiência, existe normalmente da parte do observador uma vontade, que pode ser satisfeita de uma ou de muitas maneiras diferentes dentro do espaço amostral. Essas maneiras diferentes de satisfação daquela vontade formam um subconjunto do espaço amostral, que se chama Acontecimento Exemplos: 1. Ex. n.º 6 - No lançamento de um dado equilibrado, pode- se pretender a «saída de no mínimo 3 pontos» A = {3, 4, 5, 6} 2. Ex. n.º 7 - No lançamento de dois dados, pode-se pretender a «saída de uma soma de 4 pontos» B = { (1,3); (2,2); (3,1) } Por: E. Seno 7 FE-UAN - 2006
  8. 8. Alguns conceitos básicosAcontecimento impossível Um acontecimento diz-se “impossível” sse reunido um conjunto de condições, ele necessariamente não se realiza Expor uma pedra de gelo ao sol durante 12 horas e pretender que «este continue no seu estado sólido» Assim o acontecimento A constituído por elementos que não pertencem a Ω, é um acontecimento impossível, e escreve-se A = Ø, como por ex.: Pretender a saída de 7 pontos no lançamento de um dado, ou de uma diferença absoluta de 8 pontos no lançamento de um par de dados Por: E. Seno 8 FE-UAN - 2006
  9. 9. Alguns conceitos básicosAcontecimento certo Um acontecimento diz-se “certo” sse reunido um conjunto de condições, ele necessariamente se realiza Lançar uma pedra na água e pretender que «esta vá até ao fundo» Assim o acontecimento A constituído por todos os elementos de Ω, é um acontecimento certo, e escreve-se A = Ω, como por ex.: Pretender que uma senhora em estado de gestação dê à luz um bebé do sexo masculino ou feminino (de qualquer sexo) Por: E. Seno 9 FE-UAN - 2006
  10. 10. Alguns conceitos básicosAcontecimento aleatório Um acontecimento diz-se “aleatório” sse reunido um conjunto de condições, tanto se pode realizar como não Constitui o principal interesse da teoria das probabilidades Quando um acontecimento aleatório é constituído por apenas um elemento do espaço amostral, este diz-se elementar Ex. n.º 8 - Lança-se uma moeda ao ar pretende-se a saída de coroa. Tem-se: A = {Coroa} Aos acontecimentos, sendo subconjuntos do espaço amostral, valem as relações e operações entre os conjuntos. Por: E. Seno 10 FE-UAN - 2006
  11. 11. Alguns conceitos básicosÁlgebra dos acontecimentos: Diz-se que o acontecimento A está contido em B, e escreve-se A⊂B, sse todo elemento de A∈B, isto é, se a realização de A implica necessariamente a realização de B; Se A⊂B e B⊂A, então os dois acontecimentos dizem-se idênticos, e escreve-se A=B; Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos ou incompatíveis, sse a realização de A implica a não realização de B e vice-versa; O acontecimento A diz-se independente de B sse o resultado da realização de B não condiciona o resultado de A. Se A é independente de B e vice-versa, os dois dizem-se independentes; O acontecimento Ā ou Ac diz-se complementar ou contrário a A, se é constituído por todos os elementos de Ω que não pertencem a A; Por: E. Seno 11 FE-UAN - 2006
  12. 12. Alguns conceitos básicosÁlgebra dos acontecimentos (cont.): Chama-se intersecção ou produto lógico de A e B, e escreve-se A∩B ou AB, ao acontecimento da realização simultânea de ambos; Se A e B incompatíveis, então A∩B=Ø Chama-se união ou soma lógica de A e B e escreve-se A∪B, ao acontecimento da realização ou de A, ou de B, ou de ambos, isto é, de pelo menos um deles; A∪B = A + B - A∩B Se A e B incompatíveis, então A∪B = A + B Chama-se diferença A e B e escreve-se A-B=A∩Bc, ao acontecimento da realização de A sem que B se realize; Se A e B incompatíveis, então A - B = A A U B = A ∩ B ; AI B = AU B Por: E. Seno 12 FE-UAN - 2006
  13. 13. ProbabilidadeConceito geral: Quantidade (percentagem) que exprime o grau de realização de um acontecimento aleatório Pode ser determinada segundo vários conceitos: Clássico; Estatístico; Subjectivo; Outros. Por: E. Seno 13 FE-UAN - 2006
  14. 14. Conceito clássico de ProbabilidadeDefinição: Se o espaço amostral associado a uma experiência aleatória tem N resultados mutuamente exclusivos e equiprováveis (igualmente possíveis), e se desse resultados NA têm o atributo A, então a probabilidade de que A se realize será dada por: N A n.º de casos favoráveis a A P ( A) = = N n.º total de casos possíveis Por: E. Seno 14 FE-UAN - 2006
  15. 15. Conceito clássico de ProbabilidadeExemplo: - Ex: Consideremos o lançamento de duas moedas e pede- Ex. n.º 9 se para calcular a probabilidade da saída de: a) duas faces; b) Uma coroa.Solução:Tem-se o seguinte espaço amostral: Ω = { (F,F); (F,C); (C,F); (C,C) } ⇒ N = 4 casos possíveis.Sejam os acontecimentos: A. «Saída de duas faces no lançamento de duas moedas»; B. «Saída de uma coroa no lançamento de duas moedas». a) A = { (F,F) } ⇒ NA = 1 caso fav., e NA 1 P( A) = = = 0,25 N 4 b) B = { (F,C); (C,F) } ⇒ NB = 2 casos fav., e NB 2 P( B) = = = 0,5 N 4 Por: E. Seno 15 FE-UAN - 2006
  16. 16. Conceito clássico de ProbabilidadeLimitações: Só aplicável quando os resultados que compõem o espaço amostral são igualmente possíveis (têm a mesma probabilidade de realizar-se); Implica espaço amostral limitado, todos os elementos conhecidos; Problemas na determinação do n.º de casos favoráveis e possíveis: sistemas de eixos cartesianos; diagrama de árvore; Análise combinatória Por: E. Seno 16 FE-UAN - 2006
  17. 17. Conceito clássico de ProbabilidadeLimitações: Combinações (extracção em simultâneo) ⎛ n ⎞ n! C k n = ⎜ ⎜ ⎟= ⎟ k ! ( n − k )! ⎝ k ⎠ Permutações (casos de extracção em ordem e sem reposição) n! P = n k = n.(n − 1). ... .[n − (k − 1)] (n − k )! Arranjos (casos de extracção em ordem e com reposição) -- A nk = n k Por: E. Seno 17 FE-UAN - 2006
  18. 18. Conceito Estatístico de ProbabilidadeDefinição: Seja o acontecimento A que, em N repetições de uma experiência aleatória, se realizou N(A) vezes, a que corresponderá a frequência relativa fN(A)=N(A)/N. É certo que à medida em que N aumenta fN(A) tenderá a estabilizar-se em torno de um número que é a probabilidade de A. Neste conceito a probabilidade é dada pela frequência limite, ou seja: N (A) Se f N ( A ) = , N então P(A) = Lim N → ∞ fN (A) Por: E. Seno 18 FE-UAN - 2006
  19. 19. Conceito subjectivo de ProbabilidadeDefinição: Por este conceito, a probabilidade é avançada através de uma suposição, decorrente de uma experiência já vivida em relação à matéria. Por: E. Seno 19 FE-UAN - 2006
  20. 20. Cálculo de probabilidadeAxiomas: Seja Ω o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e seja a probabilidade P uma aplicação que associa a cada acontecimento de Ω um número real, esta deve satisfazer a um conjunto de axiomas: 1) - P(A)≥0 ∀ A⊂ Ω 2) - P(Ω) = 1 3) - P(A∪B) = P(A) + P(B), se A∩B = Ø (Axioma de probabilidade total) Por: E. Seno 20 FE-UAN - 2006
  21. 21. Cálculo de probabilidadeLeis básicas de probabilidade:1. P(Ā) = 1 – P(A)2. P(Ø) = 03. Se A⊂B ⇒ P(A) ≤ P(B)4. P(A) ≤ 15. P(A - B) = P(A) – P(A∩B)6. Se B⊂A ⇒ P(A - B) = P(A) – P(B)7. Se A∩B = 0 ⇒ P(A - B) = P(A)8. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)9. P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(A∩C) + P(A∩B∩C)10. Se A1, …, AN, acontecimentos mutuamente exclusivos, ⎛ N ⎞ N P ⎜ U Ai ⎟ = ⎜ ⎟ ∑ P (A )i ⎝ i =1 ⎠ i =1 Por: E. Seno 21 FE-UAN - 2006
  22. 22. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional Se ao calcular a probabilidade do acontecimento A, é necessário ter em conta o resultado de B que já se realizou, esta diz-se condicional A probabilidade condicional de A dado B é a probabilidade da realização de A calculada sob condição de que B já se realizou. Matematicamente, define pela razão entre a probabilidade da realização simultânea de ambos e a probabilidade daquele que já realizou, ou seja: P( A I B) P ( A B ) = PB ( A) = , com P ( B ) > 0 P( B) Por: E. Seno 22 FE-UAN - 2006
  23. 23. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional - Ex. n.º 10 : Consideremos a existência de uma caixa contendo 10 peças das quais 4 defeituosas. Se forem extraídas ao acaso 2 peças, uma de cada vez, mas sem reposição, calcular a probabilidade de na segunda extracção sair uma peça boa sabendo que na primeira já havia saído uma defeituosa.Solução: Sejam os acontecimentos: A. «Saída na 1.ª extracção de uma peça defeituosa» ⇒ P(A) = 4/10 = 0,4 B. «Saída na 2.ª extracção de uma peça boa» ⇒ P(B) = 6/10 = 0,6 (probabilidade incondicional) Mas a probabilidade solicitada é condicional, isto é de retirar da caixa uma peça boa, depois de nela ter sido retirada uma peça defeituosa sem ser reposta, que é mesmo que dizer «extrair uma peça boa de uma caixa onde só ficaram 9 peças, sendo 3 defeituosas e 6 boas», que seria igual a P(BA) = 6/9 = 0,6667. Por: E. Seno 23 FE-UAN - 2006
  24. 24. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional - Ex. n.º 10 (cont.): Este resultado poderia ser encontrado utilizando a fórmula, calculando a probabilidade da intersecção: 6! 4! 6 × 5! 4 × 3! × × P6 × P4 1 1 ( 6 − 1)! ( 4 − 1)! 5! 3! = 24 = 0, 2667 P( A I B) = = = 2 P10 10! 10 × 9 × 8! 90 (10 − 2)! 8!e, P ( A I B ) 0,26667 P ( B A) = = = 0,6667 P ( A) 0,4 Por: E. Seno 24 FE-UAN - 2006
  25. 25. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional - Ex. n.º 11 : Consideremos agora a seguinte distribuição do corpo docente de uma Faculdade da UAN, por sexo e por regime, de acordo com um estudo realizado: Regime M F Total T. Integral 12 4 16 T. Parcial 87 7 94 Total 99 11 110 Podemos definir os seguintes acontecimentos: M: «Um docente é do sexo masculino» F: «Um docente é do sexo feminino» I: «Um docente está no regime de tempo integral» P: «Um docente está no regime de tempo parcial» Por: E. Seno 25 FE-UAN - 2006
  26. 26. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional - Ex. n.º 11 (Cont.): Podemos querer calcular probabilidade de um docente do sexo masculino estar em tempo integral (que é mesmo que determinar a proporção dos que estão em tempo integral dentro dos docentes do sexo masculino), que seria igual: P(IM) = 12/99 = 0,1212 Esta probabilidade poderia ser calculada utilizando a fórmula. Antes calculamos no quadro a seguir as probabilidades dos acontecimentos antes definidos: Regime M F Total T. Integral 0,1091 0,0364 0,1455 T. Parcial 0,7909 0,0636 0,8545 Total 0,9 0,1 1 Por: E. Seno 26 FE-UAN - 2006
  27. 27. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional - Ex. n.º 11 (Cont.): Nos extremos das linhas e das colunas estão determinadas as probabilidades dos 4 acontecimentos. Assim tem-se: P(M) = 0,9; P(F) = 0,1; P(I) = 0,1455; P(P) = 0,8545 E na matriz interior as probabilidades das possíveis intersecções. Desta forma poderíamos voltar a calcular a probabilidade condicional de que I se realize dado que M já se realizou: 12 12 P(I I M ) 0 ,1091 P(I M ) = = 110 = = = 0 ,1212 99 99 P (M ) 0 ,9 110 Por: E. Seno 27 FE-UAN - 2006
  28. 28. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional - Regra de multiplicação:Das igualdades: P( A I B) P( A I B)P( A B) = ; com P( B) > 0, e P( B A) = ; com P( B) > 0 P( B) P( A) Resulta que: P(A∩B) = P(A).P(BA) = P(B).P(AB) No caso de três acontecimentos, ter-se-á: P(A ∩B ∩C) = P(A).P(BA).P(CAB) E, generalizando: P(A1∩A2∩ … ∩AN) = P(A1).P(A2A1). … .P(ANA1. … .AN-1) A probabilidade da realização simultânea de vários acontecimentos quaisquer é igual ao produto da probabilidade do primeiro pelos produtos das probabilidades condicionais dos seguintes, sendo estas calculadas sob condição de que todos os acontecimentos anteriores já se realizaram. Por: E. Seno 28 FE-UAN - 2006
  29. 29. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional – Probabilidade total: Para calcular P(A), tal que: A só se pode realizar basta que se realize um dos acontecimentos B1, B2, …, BN (Bj, com j=1, …, N); Bi∩Bj = Ø; ∀i ≠ j (mutuamente exclusivos); ∑P(Bj) = 1, com j = 1, …, N; Conhecidos: P(Bj) e P(ABj), com j = 1, …, N P ( A) = P ( A I B1 ) + P ( A I B2 ) + ... + ... + P ( A I B N ) = = P ( B1 ).P ( A B1 ) + P ( B2 ).P ( A B2 ) + .... + P ( B N ).P ( A B N ) = N = ∑ P ( B j ).P ( A B j ) j =1 Por: E. Seno 29 FE-UAN - 2006
  30. 30. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional – Probabilidade total: No caso do exerc. n.º 11, podemos pretender calcular a probabilidade de um docente ser do sexo feminino (F = A). Neste caso este só pode ser ou em tempo integral (I = B1) ou em tempo parcial (P = B2). Temos: P(I) = P(B1) = 0,1455; P(P) = P(B2) = 0.8545, e, ∑P(Bj) = P(B1) + P(B2) = 0,1455 + 0.8545 = 1 B1∩B2 = Ø (Não se pode estar em simultâneo em tempo integral e parcial) Tem-se por outro lado: P(FI) = P(AB1) = 4/16 = 0,25 P(FP) = P(AB2) = 7/94 = 0,0745 Dai que: P(F) = P(A) = 0,1455×0,25 + 0,8545×0,0745 = 0,1. Por: E. Seno 30 FE-UAN - 2006
  31. 31. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional – Probabilidade total: Na prática pode-se utilizar um esquema (quadro) como o que segue: Bj P(Bj) P(ABj) P(Bj).P(ABj) B1 0,1455 0,2500 0,0364 B2 0,8545 0,0745 0,0636 Total 1 P(A) = 0,1 Por: E. Seno 31 FE-UAN - 2006
  32. 32. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional – Regra de Bayes:Lembrança: (Fórmula de probabilidade total) N P( A) = ∑ P( B j ).P( A B j ) j =1 Suponhamos que já tem a certeza de que A já se realizou, coloca-se a questão de «com qual das hipóteses – alternativas (Bj, com j = 1, …, N) se realizou?» Deve-se proceder ao cálculo da probabilidade condicional da hipótese Bj, dado que A já se realizou, da seguinte forma: P( A I B j ) P( B j ).P( A B j ) P( B j A) = = N P( A) ∑ P( B ).P( A B ) j =1 j j Por: E. Seno 32 FE-UAN - 2006
  33. 33. Cálculo de probabilidadeProbabilidade condicional – Regra de Bayes: Portanto, determinar a probabilidade condicional das hipóteses significa achar as proporções de cada parcela da soma que constitui a probabilidade total, como podemos demonstrar no quadro abaixo, utilizando sempre os dados do exercício n.º 11: Bj P(Bj) P(ABj) P(Bj).P(ABj) P(BjA) B1 0,1455 0,2500 0,0364 0,3636 B2 0,8545 0,0745 0,0636 0,6364 Total 1 P(A) = 0,1 1 Por: E. Seno 33 FE-UAN - 2006
  34. 34. Cálculo de probabilidadeIndependência de acontecimentos: Sejam dois acontecimentos A e B, e suponhamos que A já se realizou. Se B é independente de A, logo a sua probabilidade condicional dado que A se realizou é igual à sua probabilidade incondicional, ou seja: P(BA) = P(B). Assim, a regra de multiplicação para acontecimentos independentes resume-se a: P(A∩B) = P(A)×P(B) Em geral: P(A1∩A2∩ … ∩AN) = P(A1)×P(A2)× … ×P(AN) A probabilidade da realização simultânea de acontecimentos independentes é igual ao produto das probabilidades destes acontecimentos: Por: E. Seno 34 FE-UAN - 2006
  35. 35. Cálculo de probabilidadeIndependência de acontecimentos: Ex. n.º 12 Um levantamento permitiu apurar os níveis de reprovação nas cadeiras de Estatística (25%), Macroeconomia (32,5%) e Demografia (13%). Calcular a probabilidade de um aluno seleccionado ao acaso reprovar nas três cadeiras. Solução. Sejam os acontecimentos: A. «O aluno reprova a Estatística» ⇒ P(A) = 0,25 B. «O aluno reprova a Macroeconomia» ⇒ P(B) = 0,325 C. «O aluno reprova a Demografia» ⇒ P(C) = 0,13 P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C) = 0,25×0,325×0,13 = 0,0105625. Por: E. Seno 35 FE-UAN - 2006

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