Análise de séries cronológicas

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Análise de séries cronológicas

  1. 1. Material para os estudantes do 2.º anoANÁLISE DE SÉRIESCRONOLÓGICAS Por: E. Seno 1 FE-UAN - 2006
  2. 2. Aspectos geraisObjectivos: identificar a natureza do fenómeno que é representado pela sequência de observações (através da procura de um padrão de comportamento); descrever o comportamento das observações através de um modelo matemático; prever a evolução futura do fenómeno; rever as decisões tomadas e estabelecer estratégias. Por: E. Seno 2 FE-UAN - 2006
  3. 3. Aspectos geraisDefinição: A classe de fenómenos cujo processo observacional e consequente quantificação numérica gera uma sequência de dados distribuídos no tempo é denominada série temporal. Uma série cronológica (ou temporal) é um conjunto ordenado de valores de uma variável Yt observados em intervalos regulares de tempo (semanas, meses, trimestres, anos, etc.). Para períodos de tempo sucessivos (iguais) atribui- se à variável independente t os valores 1,2, …, n , constituindo-se assim a variável dependente Yt. Por: E. Seno 3 FE-UAN - 2006
  4. 4. Aspectos geraisExemplos de séries cronológicas: A velocidade máxima do vento em cada dia Índices de produção Industrial Taxas de juro Concentração de fosfatos num determinado curso de água Produto Interno Bruto Vendas trimestrais Evolução da população Por: E. Seno 4 FE-UAN - 2006
  5. 5. Comportamento típico das séries cronológicasSérie aleatória: Uma série aleatória (ruído branco) resulta de oscilações aleatórias em torno de determinado valor (que se designa por nível), isto é: Yt = µ + εt t = 1, 2, …, n Série cronológica aleatória 9 8 7 6 5 4 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Como o seu comportamento é aleatório, não é possível usar as observações passadas para prever o futuro. Por: E. Seno 5 FE-UAN - 2006
  6. 6. Comportamento típico das séries cronológicasSérie com tendência: Uma série com tendência caracteriza-se por revelar, ao longo do tempo, um comportamento que pode ser linear, não linear, crescente, decrescente ou constante. Este tipo de série pode ser representado por: Yt = µt + εt t = 1, 2, …, n em que o nível µ t = µ t −1 + τ t −1 , (onde τ t −1 é a taxa de crescimento da série no instante t) varia de acordo com a tendência. Série com tendência 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Por: E. Seno 6 FE-UAN - 2006
  7. 7. Comportamento típico das séries cronológicasSérie com sazonalidade: Uma série com sazonalidade revela uma periodicidade fixa no seu comportamento. Consideremos a série representada na figura seguinte. Série com tendência e sazonalidade 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Por: E. Seno 7 FE-UAN - 2006
  8. 8. Comportamento típico das séries cronológicasSérie com sazonalidade: Através da observação da evolução dos valores da variável nos instantes sucessivos, facilmente se verifica que a série apresenta uma tendência crescente, uma vez que o nível da série aumenta ao longo do tempo. Para além disso também ressalta que, de 3 em 3 unidades de tempo, o comportamento de “subidas” e “descidas” se repete. Isto significa que, para além da tendência crescente existe também nesta série uma sazonalidade cujo período tem comprimento 3. Uma série que apresente tendência e sazonalidade pode ser representada por: Yt = µt + φt + εt t = 1, 2, …, n onde µt representa o nível da série e φt a componente sazonal da série, no instante t. Por: E. Seno 8 FE-UAN - 2006
  9. 9. Decomposição das séries cronológicasComponentes de uma série: A análise dos valores de uma série cronológica, tal e qual como eles se nos apresentam, pouco nos revela, uma vez que esses valores incluem os efeitos de diferentes factores, sejam eles económicos, sociais, culturais, climáticos ou outros. Para que possa ser feita uma análise rigorosa de uma série cronológica, é vantajoso isolar as diferentes componentes que representam os factores que influenciam os valores da série. Por: E. Seno 9 FE-UAN - 2006
  10. 10. Decomposição das séries cronológicasComponentes de uma série: São quatro as componentes de uma série cronológica: Tendência Sazonalidade (ou componente sazonal) Ciclicidade (ou componente cíclica) Componente aleatória Por: E. Seno 10 FE-UAN - 2006
  11. 11. Decomposição das séries cronológicasComponentes de uma série: A tendência representa o movimento geral e de longo prazo da série, reflectindo a evolução global no sentido do crescimento (ou decrescimento) do nível da série. Para identificar esta componente é necessário retirar à série todas as flutuações. A sazonalidade representa as flutuações periódicas da variável. Estas flutuações com periodicidade fixa (o ciclo sazonal) provocam variações alteradas das observações relativamente ao nível da série. Por: E. Seno 11 FE-UAN - 2006
  12. 12. Decomposição das séries cronológicasComponentes de uma série: A ciclicidade reflecte movimentos oscilatórios (sem periodicidade fixa) que afectam a tendência global da série, sendo apenas detectáveis para séries longas. Esta componente aparece muitas vezes associadas aos ciclos da actividade económica, em que existe alternância entre períodos de crescimento com outros de depressão. A componente aleatória tem um carácter casual e portanto imprevisível. Por: E. Seno 12 FE-UAN - 2006
  13. 13. Decomposição das séries cronológicasMétodos de decomposição: Através do método de decomposição é possível identificar e isolar cada uma das componentes da série, encontrar processos adequados para estimar cada uma delas e encontrar o modelo matemático que melhor traduz a série. Sendo: yt o valor observado para o período t, Tt a tendência no período t, St a sazonalidade no período t, Ct a ciclicidade no período t e εt o ruído (componente aleatória) no período t, cada valor yt da variável em estudo será uma função das quatro componentes, isto é: Yt = f(Tt, St, Ct, εt) Por: E. Seno 13 FE-UAN - 2006
  14. 14. Decomposição das séries cronológicasMétodos de decomposição: Considerando que os valores da variável são o resultado da soma dos valores das quatro componentes, Yt = Tt + St + Ct + εt está-se a utilizar um Modelo aditivo Por: E. Seno 14 FE-UAN - 2006
  15. 15. Decomposição das séries cronológicasMétodos de decomposição: Pressupostos: i. Cada componente é independentemente responsável por uma parcela do valor observado; ii. As diferentes componentes não estão correlacionadas; iii. Cada componente é definida na mesma unidade de medida dos valores observados. Os modelos aditivos utilizam-se usualmente quando as variações periódicas têm uma amplitude que se mantém aproximadamente constante, mesmo que a tendência não o seja. Por: E. Seno 15 FE-UAN - 2006
  16. 16. Decomposição das séries cronológicasMétodos de decomposição: Considerando que os valores da variável são o resultado do produto dos valores das quatro componentes, Yt = Tt × St × Ct × εt está-se a utilizar um Modelo multiplicativo Por: E. Seno 16 FE-UAN - 2006
  17. 17. Decomposição das séries cronológicasMétodos de decomposição: Pressupostos: i. Os efeitos das componentes não são independentes entre si. ii. As diferentes componentes estão correlacionadas; iii. Apenas a Tendência é definida na mesma unidade de medida da série cronológica, as restantes estão definidas percentualmente em relação à Tendência. Os modelos multiplicativos utilizam-se quando as variações periódicas vão crescendo [decrescendo] em amplitude. Por: E. Seno 17 FE-UAN - 2006
  18. 18. Decomposição das séries cronológicasMétodos de decomposição: Existe também a possibilidade de variações entre estes dois modelos, obtendo-se os chamados Modelos Mistos: Yt = (Tt + St) × Ct + εt Yt = Tt × St × Ct + εt Na escolha do modelo mais adequado a cada caso deve- se efectuar várias tentativas, com diferentes modelos, com vista a obter aquele que minimiza a componente residual, sem prejuízo da respectiva aleatoridade. Em todo caso, o método aditivo é o mais e simples e permite adaptar a sequencia de procedimentos ao caso multiplicativo. Por: E. Seno 18 FE-UAN - 2006
  19. 19. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Admitamos que os valores de uma série cronológica são uma função aditiva das suas quatro componentes, isto é: Yt = Tt + St + Ct + εt Para isolar cada uma das componentes, o primeiro passo consiste em identificar o padrão da componente sazonal (ciclo sazonal) através da observação da sequência dos valores da série, ou de forma a ter uma ideia mais clara e imediata da evolução do fenómeno, através da construção de um cronograma (gráfico onde são apresentados os valores da variável em cada instante t). De forma a eliminar, ou pelo menos atenuar, a aleatoriedade e sazonalidade da série, calculam-se as médias móveis centradas de comprimento igual ao período sazonal. Por: E. Seno 19 FE-UAN - 2006
  20. 20. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Deste modo, a média móvel centrada fica essencialmente constituída por tendência e componente cíclica, isto é: Mt = Tt + Ct Anulada a sazonalidade e a aleatoriedade, restam a tendência e a ciclicidade. Como a ciclicidade só é detectável em séries longas, considera-se apenas a tendência. Desta forma, os valores obtidos através das médias móveis centradas contêm a informação acerca da tendência da série. Por: E. Seno 20 FE-UAN - 2006
  21. 21. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: O estudo da tendência é feito através do já conhecido Método dos Mínimos Quadrados. Considerando t como a variável independente e Mt a variável dependente, a tendência da série será representada por uma recta do tipo Tt = a + b.X Desprezada a ciclicidade, ao retirar das observações iniciais os valores das médias móveis centradas (que contêm a informação acerca da tendência) cria-se uma série auxiliar na qual está isolada a componente sazonal. Por: E. Seno 21 FE-UAN - 2006
  22. 22. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Dizer que a sazonalidade tem período n, é o mesmo que dizer que existem n sub-períodos com comportamentos diferentes. Interessa saber como se comporta a sazonalidade em cada um destes sub-períodos. Para cada sub-periodo é calculado um índice de sazonalidade, Sj , que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse período (que pode ser trimestre, etc.). Como se trata de um modelo aditivo, é necessário garantir que a soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos é nula. Se tal não acontecer é necessário corrigir os índices obtidos, calculando novos índices através da fórmula: Sj = Sj − Sj × ∑S j . ∑S j Por: E. Seno 22 FE-UAN - 2006
  23. 23. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação: Yt = Tt + St + Ct + εt que na prática, ignorada a ciclicidade, toma a forma: Yt = Tt + StExemplo: Consideremos os valores de uma variável Yt, observados em 20 momentos distintos: Por: E. Seno 23 FE-UAN - 2006
  24. 24. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: t yt 1 32 2 212 3 495 4 198 5 74 6 290 7 615 8 214 9 103 10 293 11 653 12 320 13 120 14 350 15 795 16 392 17 197 18 443 19 752 20 452 Por: E. Seno 24 FE-UAN - 2006
  25. 25. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: O cronograma referente aos valores apresentados será: 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Por: E. Seno 25 FE-UAN - 2006
  26. 26. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Através da observação da sequência dos valores na tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo “sobe” – “sobe” – “desce” – “desce” o que indica que a sazonalidade tem período 4. Para anular a sazonalidade é necessário que as médias móveis calculadas tenham comprimento igual ao período da sazonalidade. Vamos então comparar os resultados que se obtêm calculando médias móveis centradas de comprimento 3 e 4. Por: E. Seno 26 FE-UAN - 2006
  27. 27. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Médias móveis de comprimento 3 Quando se pretendem calcular médias móveis de comprimento impar, usam-se tantos valores quanto os indicados pelo comprimento da média, considerando o do meio como centro. Por exemplo, no calculo de médias centradas de comprimento 3: y + y2 + y3 32 + 212 + 495 M2 = 1 = = 246,3 3 3 y2 + y3 + y4 212 + 495 + 198 M3 = = = 301,7 3 3 y 18 + y 19 + y 20 443 + 752 + 452 M19 = = = 549,0 3 3 Por: E. Seno 27 FE-UAN - 2006
  28. 28. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo:Médias móveis t yt Mt Comprimento n=3de comprimento 1 323. 32 + 212 + 495 2 212 = 246,3 3 212 + 495 + 198 3 495 = 301,7 3 4 198 … … … 18 443 443 + 752 + 452 19 752 = 549,0 3 20 452 Por: E. Seno 28 FE-UAN - 2006
  29. 29. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Médias móveis de comprimento 4 Quando se pretende calcular uma média móvel, de comprimento par, para que esta possa ser centrada é necessário usar um número impar de valores, mas considerando um número de parcelas igual ao comprimento da média. Para uma média centrada de comprimento 4, são necessários 5 valores, um ao centro e dois para cada lado. Para garantir que no cálculo entram apenas 4 parcelas utiliza-se apenas metade do primeiro e do último valores. Por exemplo: y1 y 32 74 + y 2 + y3 + y 4 + 5 + 212 + 495 + 198 + M3 = 2 2 = 2 2 = 239,5 4 4 Por: E. Seno 29 FE-UAN - 2006
  30. 30. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Mt t yt Médias móveis de Comprimento n=4 comprimento 4 1 32 2 212 32 74 + 212 + 495 + 198 + 3 495 2 2 = 239,5 3 4 198 5 74 … … … e desta forma, 16 392 17 197 392 452 + 197 + 443 + 752 + 18 443 2 2 = 453,5 4 19 752 20 452 Por: E. Seno 30 FE-UAN - 2006
  31. 31. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Médias móveis centradas t yt Comprim n=3 Comprim n=4 1 32 2 212 246,3 3 495 301,7 239,5 4 198 255,7 254,5 5 74 187,3 279,25 6 290 326,3 296,25 7 615 373,0 301,875 8 214 310,7 305,875 9 103 203,3 311 10 293 349,7 329 11 653 422,0 344,375 12 320 364,3 353,625 13 120 263,3 378,5 14 350 421,7 405,25 15 795 512,3 423,875 16 392 461,3 445,125 17 197 344,0 451,375 18 443 464,0 453,5 19 752 549,0 20 452 Por: E. Seno 31 FE-UAN - 2006
  32. 32. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo:900800 Legenda do gráfico700 Observações600500 Médias móveis de comprimento 3400 Médias móveis de300 comprimento 4200100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Por: E. Seno 32 FE-UAN - 2006
  33. 33. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Observando a representação gráfica dos valores das médias móveis centradas constata-se que realmente é o comprimento 4 (que corresponde ao período da sazonalidade) que permite anular a sazonalidade, dando origem a uma sequencia de pontos “ quase em linha recta”. Por: E. Seno 33 FE-UAN - 2006
  34. 34. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo:Análise da tendência t Mt Comprimento n=4 1 2 3 239,5 4 254,5 5 279,25 6 296,25 7 301,875 8 305,875 9 311 10 329 11 344,375 12 353,625 13 378,5 14 405,25 15 423,875 16 445,125 17 451,375 18 453,5 19 20 Por: E. Seno 34 FE-UAN - 2006
  35. 35. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como variável dependente e t como variável independente, obtém-se a recta Tt = 14,666t + 194,32 que traduz a tendência da série. 500 450 400 350 300 y = 14,666x + 194,32 250 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Por: E. Seno 35 FE-UAN - 2006
  36. 36. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: t yt Mt Comprimento n=4 Xt=Yt-MtAnálise da Sazonalidade 1 32 2 212 3 495 239,5 255,5 Para isolar a componente 4 198 254,5 -56,5 sazonal cria-se uma série 5 74 279,25 -205,3 6 290 296,25 -6,3 auxiliar X t = Yt − M t 7 615 301,875 313,1 8 214 305,875 -91,9 9 103 311 -208,0 10 293 329 -36,0 11 653 344,375 308,6 12 320 353,625 -33,6 13 120 378,5 -258,5 14 350 405,25 -55,3 15 795 423,875 371,1 16 392 445,125 -53,1 17 197 451,375 -254,4 18 443 453,5 -10,5 19 752 20 452 Por: E. Seno 36 FE-UAN - 2006
  37. 37. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo:Análise da Sazonalidade Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 sub- períodos. Para cada é calculado um índice de sazonalidade, que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse sub-período. Como soma dos índices sazonais para todos os sub- períodos deve ser nula, calcularam-se os índices sazonais corrigidos, S’j. Por: E. Seno 37 FE-UAN - 2006
  38. 38. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: 1º sub-per 2º sub-per 3º sub-per 4º sub-per 255,500 -56,500 -205,250 -6,250 313,125 -91,875 -208,000 -36,000 308,625 -33,625 -258,500 -55,250 371,125 -53,125 -254,375 -10,500 Somas Sj -231,531 -27,000 312,094 -58,781 -5,219 |Sj| 231,531 27,000 312,094 58,781 629,406 S’j -229,611 -26,776 314,681 -58,294 0 Por: E. Seno 38 FE-UAN - 2006
  39. 39. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação y t = Tt + S t Por: E. Seno 39 FE-UAN - 2006
  40. 40. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo:Previsão Previsão para o valor da variável no instante 21: ŷ21 = T21 + S21 Recorrendo à recta de mínimos quadrados calculada anteriormente: T21 = 14,6666×21 + 194,32 = 502,29375. A sazonalidade no instante 21 é dada pelo índice corrigido referente ao sub-periodo 1: S21 =S’1 = – 229,611 Assim: ŷ21 = T21 + S21 = 502,29375 – 229,611 = 272,682. Por: E. Seno 40 FE-UAN - 2006
  41. 41. Decomposição das séries cronológicasMétodo aditivo: Previsão para o valor da variável nos instantes 22 e 23. ŷ22 = T22 + S22 = 490,183. ŷ23 = T23 + S23 = 846,306. Por: E. Seno 41 FE-UAN - 2006
  42. 42. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: Como foi dito, é possível adaptar a sequencia de procedimentos do caso aditivo ao caso multiplicativo, havendo apenas a especificar o seguinte: Sabemos aqui que os valores da série cronológica são uma função multiplicativa das suas quatro componentes, isto é: Yt = Tt × St × Ct × εt Logo, a média móvel centrada fica essencialmente constituída por tendência e componente cíclica, isto é: Mt = T t × C t A série auxiliar Xt será obtida pelo quociente entre os valores observados e as médias móveis, isto é: Xt = yt / Mt Por: E. Seno 42 FE-UAN - 2006
  43. 43. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: A soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos tem que ser igual ao número de sub-períodos × 100. Se tal não acontecer, é necessário corrigir os índices obtidos, calculando novos índices através da fórmula: K Sj = Sj × K . ∑S j =1 j Exemplo: Consideremos a seguinte distribuição das vendas de gelado nos últimos quatro anos. Por: E. Seno 43 FE-UAN - 2006
  44. 44. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: Anos Trimestre yt 2002 I 1 II 2 III 5 IV 2 2003 I 1 II 3 III 6 IV 3 2004 I 2 II 4 III 8 IV 4 2005 I 3 II 6 III 10 IV 5 Por: E. Seno 44 FE-UAN - 2006
  45. 45. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: O cronograma referente aos valores apresentados será: 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 Por: E. Seno 45 FE-UAN - 2006
  46. 46. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: Através da observação da sequência dos valores na tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo “sobe” – “sobe” – “desce” – “desce” o que indica que a sazonalidade tem período 4. Para anular a sazonalidade é necessário que as médias móveis calculadas tenham comprimento igual ao período da sazonalidade. Neste caso calculamos médias móveis centradas de cumprimento 4. Por: E. Seno 46 FE-UAN - 2006
  47. 47. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: t yt Mt (n=4)Médias móveis 1 1 centradas de 2 2 cumprimento 4. 3 5 2,5 4 2 2,625 5 1 2,875 6 3 3,125 7 6 3,375 8 3 3,625 9 2 4 10 4 4,375 11 8 4,625 12 4 5 13 3 5,5 14 6 5,875 15 10 16 5 Por: E. Seno 47 FE-UAN - 2006
  48. 48. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: 12 10 8 Valores observados 6 4 Médias móveis centradas de cumprimento 2 4 0 0 5 10 15 20 Por: E. Seno 48 FE-UAN - 2006
  49. 49. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo:Análise da tendência t Mt (n=4) 3 2,5 4 2,625 5 2,875 6 3,125 7 3,375 8 3,625 9 4 10 4,375 11 4,625 12 5 13 5,5 14 5,875 Por: E. Seno 49 FE-UAN - 2006
  50. 50. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como variável dependente e t como variável independente, obtém-se a recta Tt = 1,320659 + 0,310315t que traduz a tendência da série. 7 6 5 T t =1,320659 + 0,310315t 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Por: E. Seno 50 FE-UAN - 2006
  51. 51. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: t yt Mt (n=4) Xt=yt/MtAnálise da sazonalidade 1 1 2 2 3 5 2,5 2 Para isolar a componente 4 2 2,625 0,7619048 sazonal cria-se uma série 5 1 2,875 0,3478261 auxiliar Xt = Yt / Mt 6 3 3,125 0,96 7 6 3,375 1,7777778 8 3 3,625 0,8275862 9 2 4 0,5 10 4 4,375 0,9142857 11 8 4,625 1,7297297 12 4 5 0,8 13 3 5,5 0,5454545 14 6 5,875 1,0212766 15 10 16 5 Por: E. Seno 51 FE-UAN - 2006
  52. 52. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo:Análise da Sazonalidade Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 trimestres. Para cada é calculado um índice de sazonalidade, que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse trimestre. Como soma dos índices sazonais para todos os trimestres deve ser igual a 4, calcularam-se os índices sazonais corrigidos, S’j. Por: E. Seno 52 FE-UAN - 2006
  53. 53. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: Anos 1º trim. 2º trim. 3º trim. 4º trim. 2002 2,000 0,762 2003 0,348 0,960 1,778 0,828 2004 0,500 0,914 1,730 0,800 2005 0,545 1,021 Somas Sj 0,464 0,965 1,836 0,796 4,062 S’j 0,457 0,950 1,808 0,784 4,000 Por: E. Seno 53 FE-UAN - 2006
  54. 54. Decomposição das séries cronológicasMétodo multiplicativo: Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação Yt = Tt × St Por: E. Seno 54 FE-UAN - 2006

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