Tema 4

Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4
MODULACIMODULACIÓÓNN
CODIFICADA ICODIFICADA I
Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 2 -
ÍÍndicendice
1. Idea básica de la modulación codificada
2. Fundamentos de codificación convolucional
3. Decodificación de códigos convolucionales en
canales sin memoria
– Detección de secuencias de máxima verosimilitud
– Algoritmo de Viterbi
– Probabilidad de Error. Ganancia de codificación
• TCM Modulación codificada por rejilla
– Teoría de la partición de conjuntos
– Ejemplos de códigos TCM: 8-PSK y 16-QAM
– Cálculo de la ganancia de codificación

Idea bIdea báásica modulacisica modulacióónn
codificadacodificada
• Tradicionalmente la codificación y la modulación se
realizan de forma independiente (lo mismo
demodulación y decodificación)
Fuente codificador Modulador
• IDEA: utilizar de forma coordinada la codificación y la
modulación para aprovechar más eficientemente
(=mejorar la Pe) los recursos de ancho de banda y
potencia transmitida.
Mensajes Códigos Señales/símbolos
Idea bIdea báásicasica
Codificación de canal Protección frente a errores
pero también Mayor número de bits transmitidos
por cada bit de información
• Si hay ancho de banda de sobra no hay problema
• Si el ancho de banda es limitado hay que aumentar
el número de niveles de la constelación para
mantener el mismo flujo de información
¿Y si también está limitada la potencia transmitida?

Idea bIdea báásicasica
• Si la potencia transmitida y el ancho de banda son
limitados hay que “proteger mucho” los bits para
conseguir alguna ganancia en Pe.
• No obstante, si se trata la modulación y la
codificación (FEC) de forma combinada se pueden
obtener ganancias en Pe incluso con técnicas de
codificación sencillas. TCM (Trellis Coded
Modulation)
• TCM desarrollado por Ungerboek años 80.
• Se incorporó a los modems del CCITT V.* (canales
telefónicos gaussianos)
ÍÍndicendice
canales sin memoria
4. TCM Modulación codificada por rejilla

CodificadorCodificador convolucionalconvolucional
1 2 k 1 2 k 1 2 k
k
bits de
información
kK etapas
1 2 3 n
secuencia codificada
Rc=k/n (ratio de codificación) K=longitud de influencia
Ejemplos de codificadoresEjemplos de codificadores
convolucionalesconvolucionales
a) K=3, k=1, n=3
b) K=2, k=2, n=3 entrada
1
2
3
salida
entrada
1
2
3
salida

DescripciDescripcióón de cn de cóódigosdigos
convolucionalesconvolucionales
• Tres conceptos básicos:
– Memoria del codificador=Nº de bits pasados que influyen en
cada bit de salida =M=k(K-1)
– Estados del codificador=son los distintos contenidos
posibles de la memoria del codificador que condicionan la
salida. Nº de estados =S=2M
– Transiciones entre estados. El codificador evoluciona de un
estado a otro dependiendo de los bits de entrada y emite
bits.
• Tres diagramas (equivalentes) para describir el
codificador (estados y transiciones):
– De árbol (tree)
– De rejilla (trellis)
– De estados (state)
Diagrama deDiagrama de áárbolrbol
a) K=3, k=1, n=3
0
1
entradas
000
111
000
000000
111
001
111
111
001
110
110
011
100
010
101salidas
a
c
b
d
a
c
c
b
d
a
b
d
estados
2M=4
Se repiten

Diagrama de estadosDiagrama de estados
Transiciones
Estado a
00
Estado b
01
Estado c
10
Estado d
11
Estadosa) K=3, k=1, n=3
*** bits salida
| 011
| 000
| 101
| 100
| 001
| 010
| 110
| 111
* bit entrada0
0
0
0
1
1
1
1
Diagrama de rejillaDiagrama de rejilla
a) K=3, k=1, n=3
Estado a
00
Estado b
01
Estado c
10
Estado d
11
EstadosTransiciones
000 000 000 000 000
111 111 111 111 111
001 001 001 001
101 101 101
011 011 011
100 100 100
110 110 110 110
010 010 010
Régimen permanente =steady state
Bit entrada 0

ÍÍndicendice
canales sin memoria
4. TCM Modulación codificada por rejilla
DetecciDeteccióón de mn de mááximaxima
verosimilitudverosimilitud
• Ya se ha visto que la detección de máxima verosimilitud
de los símbolos minimiza la probabilidad de error de
símbolo.
• Cuando la secuencia de símbolos (o bits) recibida tiene
memoria (por que ha pasado por un canal con memoria o
por que procede de un codificador convolucional) el
detector de máxima verosimilitud sigue siendo óptimo (en
el sentido en que minimiza la probabilidad de detectar una
secuencia errónea) si se utiliza para detectar la secuencia
entera a partir de los datos recibidos correspondientes a
la transmisión de la secuencia entera.

Marco de referenciaMarco de referencia
transmisor/canaltransmisor/canal
• La fuente emite un mensaje m de un número de bits.
• El codificador “protege” (codifica) los bits y genera la
palabra código binaria (vector binario) c entre un número
de posibles códigos.
• El modulador (mapeador) mapea la palabra código en el
espacio de la señal (constelación) generando un vector
de símbolos transmitidos s que dependerá de la
modulación escogida.
• El canal no tiene memoria (no filtra) sólo introduce ruido
gaussiano blanco que se suma (vectorialmente) a cada
símbolo tx dando lugar al vector recibido y (secuencia de
puntos en el espacio de la señal).
receptor deteccireceptor deteccióón firmen firme
• El circuito de decisión selecciona a partir de cada
elemento del vector recibido y uno de los símbolos
posibles, generando sr. Utiliza reglas (regiones) de
decisión preestablecidas. Lo normal es que haga
detección de símbolo de máxima verosimilitud y
seleccione los símbolos más cercanos en el espacio de la
señal (distancia euclídea) a las señales recibidas.
• El demodulador asigna un vector binario cr a la secuencia
de símbolos recibida.
• El decodificador selecciona el mensaje recibido mr a partir
del vector binario cr.

deteccideteccióón firmen firme
Fuente codificador modulador
Mensaje
m
Vector
codificado
c
Vector
símbolos tx
s
canal
gaussiano
sin memoria
decodificador demodulador
Mensaje
decodificado
mr
Vector
binario
recibido
cr
Vector
recibido
y
Vector
símbolos rx
sr
rxrx deteccideteccióón indecisan indecisa
• No hay circuito de decisión.
• El decodificador selecciona el mensaje recibido mr a partir
directamente del vector recibido y, realiza todas las tareas
conjuntamente. Si está bien diseñado debe funcionar
mejor que la detección firme (hard) ya que utiliza toda la
información disponible en el receptor.
• En modulación codificada se utiliza normalmente la
decodificación indecisa (soft) ya que así se consiguen
ganancias mayores.
• En ambos casos el decodificador utiliza la detección de
máxima verosimilitud del mensaje de salida a partir del
vector de entrada.

deteccideteccióón indecisan indecisa
Fuente codificador modulador
Mensaje
m
Vector
código
c
Vector
símbolos tx
s
canal
gaussiano
sin memoria
decodificador
Mensaje
decodificado
mr
Vector
recibido
y
Menor Pe =
mayor ganancia
de codificación
El decodificador funciona
directamente sobre los puntos
en el espacio de la señal
DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima
verosimilitudverosimilitud detecdetec. firme. firme
• En este caso podemos modelar el conjunto modulador-
canal-demodulador-circuito de decisión como un canal
binario simétrico equivalente sin memoria que opera
sobre cada uno de los bits del vector codificado c de
forma independiente para dar el vector recibido cr, que
contendrá una serie de errores.
1
0
1
0
p
p
1-p
1-p
p=prob. de que se
produzca error en un bit
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−
≠
=
ii
r
ii
rii
rc
ccp
ccp
ccf i
r
1
,
|

•Se pretende seleccionar la palabra código de manera que se minimice la
probabilidad detectar el mensaje erróneo.
–Existe una correspondencia uno a uno entre mensajes y códigos.
–Es óptimo porque se utiliza toda la información disponible, el vector cr.
( ) ( ) ( )rrrrrr cmmcmmcm |1|, =−=≠= PPPe
Probabilidad de error
en la decodificación
( ) ( ) ikparaPP
siSea
k
≠=≥=
=
rr
i
i
r
cmmcmm
mm
||
Regla de decisión
óptima
Regla de decisión
óptima aplicando
Bayes
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
ikpara
f
fP
f
fP
siSea
≠
==
≥
==
=
rc
k
rc
k
rc
i
rc
i
i
r
c
mmcmm
c
mmcmm
mm
r
r
r
r
||
•Considerando que todos los mensajes son equiprobables (P(mi=m)=P(mk=m))
y que el mensaje mi se corresponde uno a uno con el vector codificado ci,
obtenemos el criterio de máxima verosimilitud como:
( )ccc
mm
k
rc
i
r
r
=
==
|fmaximiza
iksiSea
•Como el canal afecta de forma independiente a los bits que componen el vector
codificado para dar lugar a cada uno de los bits del vector binario recibido, luego
la función de verosimilitud del vector recibido es el producto de las funciones de
verosimilitud de cada uno de los bits recibidos.
( ) ( )∏=
j
j
k
j
rc
ccff j
r
|| k
rc ccr
( ){ } ( ){ }∑=
j
j
k
j
rc
ccff j
r
|ln|ln k
rc ccr
Likelihood Log-Likelihood

•Maximizar la función de verosimilitud o la función de verosimilitud logarítmica
es equivalente.
•Llamemos d al número de bits en los que difiere el vector binario recibido cr de
una cierta palabra código ck (supongamos que cada código tiene N bits). La
función de verosimilitud logarítmica será:
( ){ } ( ) ( ) ( )pN
p
p
dpdNpdf −+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=−−+= 1ln
1
ln1lnln|ln k
rc ccr
p<1/2 0
1
ln <⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− p
p
además es común a todos
los vectores código
El decodificador escoge la palabra código (entre las posibles)
que presenta el menor número de bits diferentes con el vector
binario recibido (mínima d = distancia de Hamming).
Criterio
ML
verosimilitudverosimilitud detecdetec. indecisa. indecisa
• En este caso tenemos un canal gaussiano sin memoria
que opera sobre cada uno de los símbolos del vector de
símbolos s de forma independiente, para dar el vector
recibido y, de puntos en el espacio de la señal.
• Cada elemento de s y cada uno de y se relaciona
mediante un ruido gaussiano ni de media nula y varianza
N0/2:
iii
nsy += ( )
( )
2
0
2
2
2
0
e
2
| N
sy
ii
y
ii
i
N
syf
−
−
=
π

•El desarrollo es igual al caso anterior, lo que varían son las funciones de prob.
•Considerando que todos los mensajes son equiprobables (P(mi=m)=P(mk=m))
y que el mensaje mi se corresponde uno a uno con el vector codificado ci, y en
consecuencia con el vector de símbolos si, obtenemos el criterio de máxima
verosimilitud como:
( )ssy
mm
k
y
i
r
=
==
|fmaximiza
iksiSea
•Como el canal afecta de forma independiente a los símbolos del vector tx para
dar lugar a cada uno de los símbolos del vector rx, la función de verosimilitud
del vector recibido es el producto de las funciones de verosimilitud de cada uno
de los símbolos recibidos.
( ) ( )∏=
j
j
ky
syff j
j || k
y sy ( ){ } ( ){ }∑=
j
j
k
j
y
syff j |ln|ln k
y sy
Likelihood Log-Likelihood
•Como antes, maximizar la función de verosimilitud o la función de verosimilitud
logarítmica es equivalente.
•Supongamos que cada vector de símbolos tiene M elementos. La función de
verosimilitud logarítmica será en este caso:
( ){ } ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−= ∑ 2
0
2
2
0
2
ln
2
2
|ln
N
M
sy
N
f
j
j
ki
π
k
y sy
El decodificador escoge la palabra código (entre las posibles)
cuya representación en el espacio de la señal (“modulación”)
presenta la menor distancia euclídea en el espacio de la señal
con el vector de símbolos recibido (mínima de).
Criterio
ML
es común a todos
los vectores códigodistancia en el espacio de la señal
al cuadrado entre y y sk (d2
e)

Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi
• En cuanto las secuencias son un poco largas, buscar la más
probable entre todas las posibles resulta inviable.
• El algoritmo de Viterbi permite encontrar entre todos los caminos
posibles en un diagrama de enrejado, aquel que posee la mínima
(máxima) distancia (métrica) a un camino dado de forma más
eficiente que la búsqueda exhaustiva.
• Ideas fundamentales del algoritmo de Viterbi:
– A cada rama del enrejado (transición entre dos estados) se le
puede asociar (como una etiqueta) una distancia (métrica)
entre los bits (símbolos) de salida del codificador
correspondientes a esa rama y los recibidos del canal
(siempre positiva).
– La métrica de un camino es aditiva rama a rama.
• Funcionamiento del algoritmo de Viterbi:
– El algoritmo es secuencial, recorre el diagrama de izquierda a
derecha.
– Para cada celda del enrejado se calcula la distancia
acumulada.
– En cada estado se selecciona la rama correspondiente al
camino de mínima distancia (se “poda“ el diagrama). Si dos
ramas entrantes al estado poseen la misma distancia
acumulada se elige uno de los caminos al azar.
– El algoritmo almacena el camino de mínima (máxima)
distancia (métrica) que llega a cada estado y sus distancias
acumuladas correspondientes.
– El funcionamiento óptimo del algoritmo toma la decisión al
final de la secuencia.

• Ejemplo de funcionamiento, detección firme, codificador ejemplo:
000 000 000 000 000
111 111 111
001 001 001
101
011 011 011
100
110 110
010 010
Mensaje: 10100
llevan al
estado cero al codif
Código transmitido
111 001 100 001 011
Código recibido 3 errores
110 101 100 101 011
2 2 1 2 2
1 1 2
1
2
1
1
3
2 0
0
2
1
2
3
Métricas de rama
Métricas acumuladas *
2
1
4
2
3
5
3
5
7
4
2
3
3
camino de mínima distancia
Podas x

Código recibido 4 errores
110 101 110 101 011
2 2 2 2 2
1 1 1
1
3
1
2
2
2 0
1
2
0
1
3
Métricas de rama
Podas x
Métricas acumuladas *
2
1
4
2
3
4
3
4
6
3
3
4
4
camino de mínima distancia
• Detección indecisa:
– con detección indecisa el algoritmo se realiza igual sólo hay
que calcular distancias euclídeas en lugar de distancias de
Hamming.
– las distancias euclídeas para cada rama se calculan entre
el/los símbolo/s recibidos y el/los símbolo/s generados por el
codificador para esa rama.
– Ejemplo QPSK:
bE2bE2− 0
bE2
bE2−
símbolo
recibido
distancias
en la práctica se calculan
como el módulo de la diferencia
dos complejos

• Detección indecisa:
– se puede implementar el algoritmo utilizando en el receptor un
banco de correladores. El algoritmo maximizará la correlación
existente entre la secuencia recibida y todas las posibles
secuencias transmitidas (que se representan como todos los
posibles caminos del enrejado).
– recuérdese que:
222
2 iii , xxyyxy +−=−
distancia
euclidea
producto escalar
= correlación
minimizar distancia ≡ maximizar correlación
• Aspectos prácticos del algoritmo de Viterbi:
– la demodulación indecisa puede realizarse con un cierto grado
de exactitud (= no es necesario calcular la distancia con
absoluta precisión puede cuantificarse la salida del detector),
el aumento de la Pe dependerá del grado de aproximación y
de la SNR. Para SNR altas se puede cuantificar la salida del
detector sin pérdidas apreciables en Pe.
– si durante el funcionamiento del algoritmo de Viterbi se
produce una fusión en algún punto (=a una profundidad dada)
de los caminos de mínima distacia almacenados, puede
tomarse la decisión sobre la parte fusionada sin pérdida de
optimalidad.

• Aspectos prácticos del algoritmo de Viterbi:
– las métricas acumuladas pueden desbordar el computador
para evitarlo se trabaja con las diferencias de métricas
respecto a la mínima (máxima).
– el almacenamiento de caminos largos produce dos
problemas:
• desbordamiento de la capacidad de memoria del sistema
• excesivo retardo de la decisión que puede ser intolerable en
algunos sistemas prácticos
– para evitarlo se toman decisiones anticipadas, en la práctica si
se realiza una decisión con 6K (K=longitud de influencia) bits
de retraso no se producen efectos apreciables en Pe.
FunciFuncióón de transferencian de transferencia
• La función de transferencia (o función generadora de
caminos) de un código convolucional describe todos
los caminos posibles del enrejado que empiezan y
acaban en la secuencia todo ceros.
– como el código es lineal, esto significa que se describen
TODOS los caminos del enrejado.
– esta función se utiliza, entre otras cosas, para calcular las
propiedades de distancia del código y las prestaciones en
términos de Pe.
– para describirla utilizaremos el codificador ejemplo con: k=1,
n=3 y K=3.

Diagrama de estadosDiagrama de estados
modificadomodificado
• El diagrama de estados se puede representar de forma alternativa
para generar la función de transferencia:
– el estado “cero” se parte en dos: entrada y salida
– cada rama se etiqueta como Dd, d= distancia Hamming a la
secuencia todo ceros
Estado a
00
Estado b
01
Estado c
10
Estado d
11
Estado e
00
D3 D
D
D2
D2
entrada salida
DD2
• El diagrama anterior está descrito
por las siguientes expresiones,
que relacionan la entrada-salida
entre un estado y otro:
be
dcd
dcb
bac
XDX
XDXDX
DXDXX
DXXDX
2
22
3
=
+=
+=
+=
• La función de transferencia se calcula como T(D)=Xe/Xa:
( ) ∑
∞
=
=+++=
−
==
6
1086
2
6
42
21 d
d
d
a
e
DaDDD
D
D
X
X
DT K
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
−
)impar(0
)par(2 2/6
d
d
a
d
d
Número de
caminos
Distancia a
“todo ceros”

Distancia libreDistancia libre
• La función de transferencia nos proporciona las propiedades de
distancia del código. En particular, la mínima distancia del
código que se denomina distancia libre, dfree (para abreviar
usaremos df).
• La distancia libre del ejemplo es dfree=6.
000 000 000 000 000
111 111 111
001 001 001
101
011 011 011
100
110 110
010 010
a
b
c
d
Distancia libreDistancia libre
• Distancias libres máximas que pueden obtenerse con códigos
sistemáticos y no sistemáticos no catastróficos con memoria M
y Rc=1/2 y 1/3.
df Rc=1/2 df Rc=1/3
M Sistemático No
Sistemático
Sistemático No
Sistemático
1 3 3 5 5
2 4 5 6 8
3 4 6 8 10
4 5 7 9 12
5 6 8 10 13
6 6 10 12 15
7 7 10 12 16

• Para tener más información de los caminos se puede recalcular la
función de transferencia a partir del diagrama de estados,
etiquetando las ramas con: N cuando el bit de entrada al codificador
fue 1 y J (para contar el número de ramas de un camino).
Estado a
00
Estado b
01
Estado c
10
Estado d
11
Estado e
00
JND3
JD
JND
JND2
JD2
entrada salida
JD
JND2
• El diagrama anterior está descrito
por las siguientes expresiones,
que relacionan la entrada-salida
entre un estado y otro:
be
dcd
dcb
bac
XJDX
XJNDXJNDX
JDXJDXX
JNDXXJNDX
2
22
3
=
+=
+=
+=
• La función de transferencia se calcula como T(D,N,J)=Xe/Xa:
( )
( )
K++++++
=
+−
==
10371036103582582463
2
63
2
11
,,
DNJDNJDNJDNJDNJNDJ
JJND
NDJ
X
X
JNDT
a
e
Número de ramas=longitud del camino Número de 1s en la entrada = mensaje

Probabilidad de error deProbabilidad de error de
secuenciasecuencia
• Se supone que se transmite la secuencia 0...0 y calcularemos la
probabilidad de que se produzca un camino erróneo a una cierta
profundidad de entrelazado que empieza y acabe en el 0...0
– Calculamos la probabilidad de error entre la secuencia todo ceros y
una secuencia con d bits codificados (1s) diferentes (d>df), P2(d), que
empieza y acaba en ella. Como si estuvieran solas, como si no
hubiera ninguna otra (el error se produce a una cierta profundidad de
entrelazado)
– La probabilidad del evento erróneo vendrá dada (utilizando la cota de
la unión) por:
( )∑
∞
=
≤
freedd
de dPaP 2
– Donde ad se puede calcular utilizando la función de transferencia.
Probabilidad de error deProbabilidad de error de
secuenciasecuencia
• Para decodificación firme se puede demostrar que P2(d) valdrá:
( ) ( )[ ]2
2 14
d
ppdP −≤
• Y para decodificación indecisa suponiendo modulación PSK
binaria:
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤ dR
N
E
QdP c
b
0
2
2

Probabilidad de error deProbabilidad de error de bitbit
• Procedimiento SOFT decoding (supongamos modulación binaria):
– El número medio de bits entregados error por el decodificador para
cada celda decodificada se calculará sumando para todas las
distancias d, el producto entre P2(d) y el número medio de bits
decodificados por error para los caminos a distancia d. Esto será:
( ) ( )∑∑ ∑
∞
=
∞
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
freefree dd
d
dd h
dhe dPdPhNN 22 β
– Donde βd nos proporciona el número medio de bits por celda
decodificados con error (de unos) para los caminos a distancia d del
todo ceros.
– Utilizando la función generadora de caminos sabemos que el
exponente de N nos da el número de bits de información erróneos (nº
de 1s decodificados) que posee un cierto camino que diverge del 0...0.
Luego con la función generadora puede calcular βd.
Probabilidad de error deProbabilidad de error de bitbit
• Procedimiento SOFT decoding (supongamos modulación binaria):
– En los exponentes de N se buscaría el número de bits de información
decodificados erróneamente para cada camino.
( ) ( ) ∑ ∑
∞
=
==
freedd h
hd
dh NDNNDTNDT 1,,,
– Se puede calcular βd como:
( )
∑∑ ∑
∞
=
∞
==
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
freefree dd
d
d
dd
d
h
dh
N
DDhN
N
NDT
β
1
,
– Finalmente:
( )∑
∞
=
=≤
freedd
d
e
b dP
kk
N
P 2
1
β

Ganancia de codificaciGanancia de codificacióónn
• De las expresiones anteriores se deduce que la ganancia de
codificación (en SNR) obtenida con un código convolucional sobre
una modulación BPSK o QPSK viene dada por:
( )fcc dRG log10≤
• La distancia libre puede aumentarse (aumentando la memoria,
M=k(K-1)):
– disminuyendo Rc (aumentar n, Rc=k/n)
– aumentando la longitud de influencia K (=>la memoria)
• Los resultados de las ganancias de codificación son unos 2 dB
más bajos cuando se utiliza decodificación firme en lugar de
indecisa.

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