Turbolenza: l'ultimo problema irrisolto della meccanica classica

TURBOLENZA:
l’ultimo problema irrisolto
della meccanica classica
La comune esperienza della dispersione degli inquinanti,
cos` come del fumo di sigaretta o del calore che sale
ı
dall’asfalto, ci mostra il fenomeno della turbolenza:
l’ultimo problema irrisolto della meccanica classica.

Gianni PAGNINI
Borsista RAS
PO Sardegna FSE 2007-2013 sulla L.R. 7/2007
“Promozione della ricerca scientiﬁca e dell’innovazione tecnologica in Sardegna”

Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011

`
Cos’e la turbolenza?

“What is turbulence?
Turbulence is like pornography.
It is hard to deﬁne, but if you see it,
you recognize it immediately.”
G. K. Vallis (Princeton University), 1999


La turbolenza in natura


La turbolenza in natura

... ma anche


La turbolenza nelle esperienze personali


La turbolenza nei processi industriali


La turbolenza nell’arte


La turbolenza il sabato sera a cena


La turbolenza la domenica mattina

“Dentro un raggio di sole
che entra dalla ﬁnestra,
talvolta vediamo la vita nell’aria.
E la chiamiamo polvere.”
Stefano Benni
(Margherita Dolcevita)


Turbolenza

I flussi che osserviamo in tutti questi processi sono flussi
turbolenti, caratterizzati da una grande efficacia di
dispersione ed un moto irregolare ed impredicibile, ma
anche dalla presenza di strutture organizzate in vortici.

Fluttuazioni casuali con correlazione spaziale e temporale
sovrapposte ad un moto medio.


Leonardo da Vinci (1452– 1519)
Prima osservazione, descrizione e
denominazione della turbolenza

“Observe the motion of the surface of the water,
which resembles that of hair, which has two motions,
of which one is caused by the weight of the hair,
the other by the direction of the curls;
thus the water has eddying motions,
one part of which is due to the principal current,
the other to the random and reverse motion.”


Turbolenza

`
Turbolento e il flusso di un fluido.

`
Un fluido e un mezzo continuo:
sebbene esso sia composto da molecole, le sue proprieta `
intensive (quelle indipendenti dalle dimensioni del sistema
` `
come la densita, la temperatura, la pressione e la velocita)
sono definite per volumetti infinitamente piccoli e quindi si
`
assume che esse varino con continuita da un punto ad un altro.

La natura molecolare del fluido non viene considerata ed il
`
fluido e visto come un mezzo continuo.


Turbolenza

Lo studio dei ﬂuidi (acqua, aria) attiene al dominio della ﬁsica
classica;

´ `
non a quella relativistica, perche le velocita sono molto minori
di quella della luce,
´
e non alla quantistica perche non riguarda processi alla scala
dei costituenti della materia.

E’ un fenomeno percepibile con i nostri sensi nel nostro vivere
quotidiano.


F = ma

`
La dinamica dei mezzi continui e descritta della seconda legge
di Newton:

F = ma.


F = m a: Moto inerziale

F = 0, quindi a = 0 ,

moto rettilineo uniforme

d 2x
= a = 0,
dt 2
dx
= v = v0 ,
dt

x = x0 + v0 t .


F = m a: Caduta dei gravi

`
forza di gravita

mM
F =G ,
R2

F M
a= =G 2 =g 9, 8 m/s2 ,
m R

F = mg.


F = m a: Caduta dei gravi

moto uniformemente accelerato

d 2z
=a=g,
dt 2

dz
= v = v0 + gt ,
dt

1
z = z0 + v0 t + gt 2 .
2


F = m a: Forza elastica

F = −mω x ,

moto armonico

d 2x F
2
=a= = −ω 2 x ,
dt m

x = A cos(ωt + θ0 ) ,

dx
= v = −A ω sin(ωt + θ0 ) ,
dt

d 2x
= a = −A ω 2 cos(ωt + θ0 ) = −ω 2 x .
dt 2

Dinamica di un volumetto di ﬂuido

Approccio Euleriano:
le caratteristiche del ﬂusso sono determinate in un punto
stabilito, es. anemometro. “Facile‘” sperimentalmente ed
utilizzato, in genere, nelle applicazioni ingegneristiche.



Approccio Lagrangiano:
le caratteristiche del flusso sono determinate seguendo una
particella di fluido lungo la sua traiettoria. Molto difficile
sperimentalmente ed utilizzato, ad esempio,
per la dispersione degli inquinanti.



`
v(t): velocita lagrangiana
`
u[x(t), t]: velocita euleriana

dxi
= vi (t) = ui [x(t), t] ,
dt

d 2 xi du ∂ui ∂u
= ai = i = + uj i .
dt 2 dt ∂t ∂xj



Leonhard Euler, 1757

∂ui ∂u 1 ∂p
+ uj i = − ,
∂t ∂xj ρ ∂xi

` ` `
dove ρ e la densita e p(x, t) e la pressione.



Le forze di superficie che agiscono su una qualsiasi porzione di
fluido sono la forza di pressione e la forza viscosa, dovute
all’interazione tra molecole contigue.

` `
A causa del carattere dissipativo della viscosita, e necessario
´
fornire continuamente energia affinche il fluido rimanga in moto.

`
Le forze esterne possono essere la gravita oppure un
qualunque meccanismo di agitazione meccanica,
come per esempio un ventilatore.


Equazioni di Navier–Stokes

Claude-Louis M. H. Navier,
´
Memoire sur les lois du mouvement des ﬂuides,
´
Mem. Acad. Roy. Sci. 6, 389–440 (1823)

George G. Stokes,
On some cases of ﬂuid motion,
Trans. Camb. Phil.Soc. 8, 287–319 (1843)



... ma anche Cauchy nel 1823, Poisson nel 1829 e
Saint-Venant nel 1837.

Olivier Darrigol, Between Hydrodynamics and Elasticity Theory:
The First Five Births of the Navier–Stokes Equation. Arch. Hist.
Exact Sci. 56, 95–150 (2002).



Equazioni di Navier–Stokes per un ﬂuido incomprimibile:

∂ui ∂u 1 ∂p ∂ 2 ui
+ uj i = − +ν ,
∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj

∂ui
= 0,
∂xi

` `
dove ν e la viscosita cinematica.


´ `
Perche e un problema irrisolto?

A questo punto, definita l’equazione che governa il moto dei
fluidi, anche il problema della turbolenza risulta formalmente
risolto.

Tuttavia, ad eccezione di pochi casi particolari, ogni tentativo di
ottenere la soluzione delle equazioni di Navier–Stokes e `
risultato vano.

“L’aver scritto un’equazione non toglie al flusso dei fluidi il suo
fascino, il suo mistero o il suo potere di sorprenderci.”

R. Feynman (Nobel 1965)


´ `

La ﬁsica ha seguito un percorso riduzionista:
`
Lo studio di un fenomeno e riconducibile allo studio dei suoi
costituenti

MOLECOLE → ATOMI → NUCLEI → QUARK → ?

Turbolenza e riduzionismo:
Attualmente conosciamo meglio il nucleo atomico che il moto
turbolento dell’aria attorno a noi.


´ `

Alcune date di confronto:

1872 Teoria cinetica dei gas di Boltzmann

1873 Equazioni di Maxwell del campo elettro-magnetico

`
1905 Teoria della relativita ristretta di Einstein

`
1916 Teoria della relativita generale di Einstein

¨
1926 Equazione di Schrodinger per la meccanica quantistica

1927 Principio di indeterminazione di Heisenberg


´ `

“The underlying physical laws necessary for the mathematical
theory of a large part of physics and the whole of chemistry are
thus completely known, and the difﬁculty is only that the exact
application of these laws leads to equations much to
complicated to be soluble.”

P.A.M. Dirac (Nobel 1933)
Proc. Roy. Soc. London 123 (1929), 714


Un problema da $ 1 000 000

The Millennium Prize Problems

Il 24 maggio 2000 sono stati banditi dall’Istituto di Matematica
Clay, Cambridge (Massachusetts), 7 premi da 1 milione di
dollari ciascuno relativo alla soluzione dei piu importanti
`
problemi matematici ancora irrisolti.

Tra questi, la prova dell’esistenza della soluzione delle
equazioni di Navier–Stokes in 3 dimensioni.
http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equations/

http://claymath.msri.org/navierstokes.mov


Un problema da $ 1 000 000
EXISTENCE AND SMOOTHNESS OF THE
NAVIER–STOKES EQUATION

CHARLES L. FEFFERMAN

The Euler and Navier–Stokes equations describe the motion of a fluid in Rn
(n = 2 or 3). These equations are to be solved for an unknown velocity vector
u(x, t) = (ui (x, t))1≤i≤n ∈ Rn and pressure p(x, t) ∈ R, defined for position x ∈ Rn
and time t ≥ 0. We restrict attention here to incompressible fluids filling all of Rn .
The Navier–Stokes equations are then given by
n
∂ui
∂ ∂p
(1) ui + uj = ν∆ui − + fi (x, t) (x ∈ Rn , t ≥ 0),
∂t j=1
∂xj ∂xi
n
∂ui
(2) div u = =0 (x ∈ Rn , t ≥ 0)
i=1
∂xi
with initial conditions
(3) u(x, 0) = u◦ (x) (x ∈ Rn ).
Here, u◦ (x) is a given, C ∞ divergence-free vector field on Rn , fi (x, t) are the com-
ponents of a given, externally applied force (e.g. gravity), ν is a positive coefficient
n
∂2
(the viscosity), and ∆ = is the Laplacian in the space variables. The Euler
i=1
∂x2
i
equations are equations (1), (2), (3) with ν set equal to zero.
Equation (1) is just Newton’s law f = ma for a fluid element subject to the ex-
ternal force f = (fi (x, t))1≤i≤n and to the forces arising from pressure and friction.
Equation (2) just says that the fluid is incompressible. For physically reasonable
solutions, we want to make sure u(x, t) does not grow large as |x| → ∞. Hence, we
will restrict attention to forces f and initial conditions u◦ that satisfy
(4) |∂x u◦ (x)| ≤ CαK (1 + |x|)−K
α
on Rn , for any α and K
and
(5) |∂x ∂t f (x, t)| ≤ CαmK (1 + |x| + t)−K
α m
on Rn × [0, ∞), for any α, m, K.
We accept a solution of (1), (2), (3) as physically reasonable only if it satisfies

(6) Collana di Seminari p, u ∈ CValorizzazione dei Risultati della Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
per la ∞ (Rn × [0, ∞))
and

Quando si veriﬁca la turbolenza?

Phil. Trans. R. Soc. Lond. 174, 935–982 (1883)


Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 186, 123–161 (1894)

The Royal Society is collaborating with JSTOR to digitize, preserve, and extend access to
Proceedings of the Royal Society of London. ®
www.jstor.org


∂ui ∂u 1 ∂p ∂ 2 ui
+ uj i = − +ν .
∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj

L
x → x L, u → uU, t →t ,
U

∂ui ∂u 1 ∂p ν ∂ 2 ui
+ uj i = − + .
∂t ∂xj ρ ∂xi UL ∂xj ∂xj

UL
Re = , numero di Reynolds.
ν



Re 1 (ν grande): moto laminare
Re 1 (ν piccolo): moto turbolento
Re → ∞ (ν → 0): turbolenza pienamente sviluppata

Re = 1.54 Re = 9.6

Re = 13.1 Re = 26

Re = 2000 Re = 100000


Quando arriva la turbolenza?

Deformazione ed allungamento di una linea materiale


Quando arriva la turbolenza?

In atmosfera: ν = 10−5 m2 /s, U 1m/s, L 103 m

UL
Re = 108 ,
ν
nei mari: ν = 10−6 m2 /s, U 10−2 m/s, L 104 m

UL
Re = 108 ,
ν
in un tubo: ν = 10−6 m2 /s, U 1m/s, L 10−2 m

UL
Re = 104 ,
ν


Teoria statistica delle turbolenza

` `
Sebbene le proprieta dettagliate della velocita appaiono non
predicibili, le sue caratteristiche statistiche sono
riproducibili.

Descrizione probabilistica della turbolenza (Taylor 1935, 1938).

`
Le equazioni di Navier–Stokes sono pero deterministiche:
sebbene senza ancora una prova rigorosa, assegnate le
condizioni iniziali esiste una ed una sola soluzione per tutti i
tempi.

Teoria statistica delle turbolenza

`
Accontentandosi di un livello di conoscenza inferiore, e
possibile ricorrere ad una descrizione statistica del moto
turbolento, basata sulla soluzione di equazioni mediate, che
risulta utile per la comprensione di alcune applicazioni
speciﬁche, ma con un alto prezzo da pagare in termini di
`
attendibilita dei risultati.

Infatti mediando le equazioni del moto si introducono nuove
incognite che richiedono l’assunzione di modelli euristici per
chiudere il problema.


Il problema della chiusura

Scomposizione di Reynolds (1895)

ui = Ui + ui , ui = Ui , ui = 0 ,

∂ui ∂u 1 ∂p ∂ 2 ui ∂ui
+ uj i = − +ν , = 0,
∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

∂Ui ∂Ui ∂ ui uj 1 ∂P ∂ 2 Ui ∂Ui
+ Uj + =− +ν , = 0,
∂t ∂xj ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

ui uj =? , tensore degli sforzi di Reynolds .



∂ ui uj ∂ ui uj uk
+ ··· + = ... ,
∂t ∂xk

ui uj uk =?

Keller L.V. Fridman A.A., Differentialgleichung fur die
¨
turbulente bewegung einer kompressiblen ﬂussigkeit. Proc. 1st
¨
Intern. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924, 395–405.



Approssimazione di Boussinesq (1877, 1897)

∂Ui ∂Uj 2 ∂Uk
− ui uj = νt + − K + νt δij .
∂xj ∂xi 3 ∂xk

` `
νt e la viscosita turbolenza e
1
`
K = ui ui e l’energia cinetica turbolenta.
2

Turbolenza da parete

∂U1
− u1 u3 = νt .
∂x3


Fenomenologia della turbolenza
Lewis Fry Richardson (1922)


Fenomenologia della turbolenza (K41)

K41: teoria fenomenologica di A.N. Kolmogorov del 1941

Nel flusso turbolento si generano perturbazioni caratterizzate
dalla dimensione del vortice; ogni perturbazione prende
energia dal vortice di poco piu grande e la cede a quello di
`
poco piu piccolo fino ad arrivare ai vortici cos` piccoli per cui si
` ı
attiva la dissipazione dell’energia in calore.

` ´ `
Questo intervallo e detto inerziale perche non dipende ne dalle
`
forzanti ne dalla dissipazione ν.

In questo processo il moto dei vortici piu grandi non influenza
`
direttamente le fluttuazioni nei vortici piccoli, ma solo
indirettamente attraverso il flusso di energia che definisce il
tasso medio di energia cinetica dissipata.



Tasso medio di enegia cinetica dissipata

2
1 ∂ui ∂uj U3
ε= ν + = .
2 ∂xj ∂xi L
i,j

Scale della dissipazione (scale di Kolmogorov):
`
grandezza e velocita dei vortici piu piccoli
`

1/4
ν3
η= , vη = (νε)1/4 ,
ε

vη η
Re = = 1.
ν


`
Analisi dimensionale: le uniche quantita signiﬁcative sono la
dimensione del vortice e l’energia cinetica dissipata ε.

Leggi di scala delle funzioni di struttura

δu = u(x + ) − u(x) ,

Sp ( ) = (δu ( ))p = Cp (ε )p/3 ,

Cp costanti universali.


`
Osservazione di Landau (1944) sulla non universalita di Cp .
Supponiamo che siano svolti N esperimenti e ciascuno sia
´
indicizzato con i. Se le costanti Cp sono universali, cioe non
dipendono dal singolo esperimento i, allora

Sp ( ) = Cp (εi )p/3
i p/3
.
Eseguiamo la sovrapposizione dei risultati degli esperimenti
N N
1 i 1
Sp ( ) = Sp ( ) , ε= εi ,
N N
i=1 i=1

otteniamo
N N p/3
1 p/3 p/3 1 p/3
Sp ( ) = Cp (εi ) = Cp εi .
N N
i=1 i=1


Quindi le costanti Cp sono universali,
´
cioe non dipendono dal singolo esperimento i,
se e solo se

N p/3 N
1 1
εi = (εi )p/3 ,
N N
i=1 i=1

`
che e veriﬁcata solamente quando p = 3.



Ma K41 e le equazioni di Navier–Stokes sono legate?

L’unico risultato esatto derivato dalle equazioni di
Navier–Stokes e `

4
S3 ( ) = δu 3 ( ) = − ε ,
5

che in parte conferma K41.


Oltre K41

Intermittenza: Sp ( ) = δu p ( ) ∝ ζp .
Modello multifrattale (Parisi Frisch, 1985)
h
δu
∼ ,
u0 0

Sp ( ) δu p ( ) ph+3−D(h)
p = p ∼ dµ(h) ,
u0 u0 0

µ(h) e il peso dei differenti esponenti h, ( / 0 )ph e il contributo
` `
di δu p ( ) mentre ( / 0 )3−D(h) e la probabilita che ci sia una
` `
distanza in uno spazio di dimensione D(h).
Nello spazio cartesiano tridimensionale D = 3 e h = 1/3 si
ottiene la teoria di Kolmogorov del 1941.


Finalmente i computer!

Il grande sviluppo dei mezzi di calcolo, verificatosi nell’ultimo
decennio, ha reso possibile l’integrazione numerica delle
equazioni di Navier–Stokes anche nel caso di flussi turbolenti.

Inoltre, grazie alla potenza dei moderni computer ed alle attuali
tecnologie di acquisizione di immagini, sono disponibili nuovi
possibili approcci sperimentali basati sulla visualizzazione
quantitativa del moto dei fluidi. I due approcci, quello numerico
e quello sperimentale, nonostante alcune severe restrizioni e
`
limitazioni, permettono l’acquisizione di una grande quantita di
dati, che opportunamente analizzati, anche in termini statistici,
consentono di svelare aspetti interessanti della dinamica dei
moti turbolenti.



Nel 1949 von Neumann predisse che l’avvento dei computer
avrebbe rivoluzionato lo studio della turbolenza rendendo
possibile simulare le equazioni di Navier–Stokes nel regime
turbolento.

5-FL41-18 ARI 12 November 2008 17:46 `
La prima simulazione di turbolenza tridimensionale e stata
realizzata da Orszag Patterson nel 1972.

a SF6 b
10-1
He 1000
Air
H2O
10-2
τη (s)

Rλ

10-3 100

10-4

10-5 10
0 1000 2000 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Rλ Year
√
Figure 2 Rλ = 15 Re
(a) Kolmogorov time τ η versus microscale Reynolds number Rλ in highly turbulent ﬂows suitable for Lagrangian measurements. The
water data are from the experiment by La Porta et al. (2001) and Voth et al. (2002) (energy-injection scale L = 0.07 m, Rλ 1000), air
Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della
data are from the experiment by Mydlarski Warhaft (1998) (L = 0.5 m, Rλ 1200), low-temperature helium data are from
Ricerca al CRS4, 30 novembre 2011
experiments by Tabeling et al. (1996) (L = 0.02 m, Rλ 3000), and room-temperature compressed SF6 is estimated (L = 0.07 m,

365-FL41-18 ARI 12 November 2008 17:46
V365-FL41-18 ARI 12 November 2008 17:46

Filamenti vorticosi
100 10–2
a b 0.020
1.0 10–3
0.016
a 0.8 b 10–4
ã 4P(ã)

ã 4P(ã)
10–2 0.012
0.6
10–5
z
0.008
0.4
10–6 0.004
P(ã)

P(ã)
0.2
10−4
0 10–7 –80 –40 0 40 80
−60 −40 −20 0 20 40 60 a/σa
ã 10–8
10−6 10–9
10–10
10−8 10–11
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1 mm
ã = a/a21/2 a/σa
Experimental data Multifractal, µ = 0.25 DNS data
and n = 17.1
Beck-X2, q = 3/2 Multifractal prediction y
Beck-log, s2 = 3.0 Reynolds (2003) x Kolmogorov prediction

Figure 4 0 16,000
(a) Lin-log plot, comparing the experimental acceleration probability distribution function (PDF) with different models (Mordant et al.
2004a). Blue circles represent experimental data; the purple (m s–2) line denotes Beck-χ 2 , q = 3/2 (Beck 2001); the orange dashed line
Acceleration dashed
is the Beck-log, s2 = 3.0 (Beck 2003); the lightSeminari represents the multifractalRisultatiµ = 0.25 and n = 17.1 (Arimitsu 2011
Collana di blue line per la Valorizzazione dei model, della Ricerca al CRS4, 30 novembre
Arimitsu 2004); and the red line is from Reynolds (2003). (Inset) Linear plot of a 4 P (a) versus a = a/arms . Panel a courtesy of Haitao
˜ ˜ ˜
Figure 3

temperature differences and, in the inset, probability density converge to so-called chordal SLE (i.e., jo
functions for r ˆ 0:02, 0.04, 0.06 compared to a Gaussian on the real axis). Second, we extract the
density (solid line). Data have been obtained by direct numerical
Finalmente i computer! simulations of (1) by a pseudospectral code in a fully periodic,
square domain of size 1 with 40962 lattice points. Gaussian
ing function from the trace. To this aim,

white-noise-in-time forcing f has correlation length lf 1=200. 1
10
The system is kept in a statistically stationary state by supple- 10-1
(a) (b
Dall’invarianza di scala all’invarianza conforme: le lunghezze
menting (1) with a linear damping term ÿT= that models
bottom friction and extracts energy at very large scales l / ,
10
-2 10
0

10-3
10-1

M

L
(l ˆ 1=20–1=10 depending on ).
sono riscalate in modo non uniforme ma gli angoli sono R 10-4 15/8
10
-2
10-5
conservati. that such a loop ensemble has a conformal invariant scaling 10
-6
10
-3

limit, it should belong to the same universality class as 10
-4 -3
10
-2
10 10
-1 0
10 10
-4
10
loops in the O(2) model in the dense phase. By exploiting R
the Coulomb gas representation of the latter system (with 104
In turbolenza bidimensionale, l’invarianza conforme viene (c)
g ˆ 1, [17]) and general scaling arguments [16], it is 104

n(M,λM)
possible to derive analytically a set of scaling exponents

n(L,λL)
3
10
103
`
veriﬁcata lungo la cascata inversa per le isolinee di vorticita e di
associated to cluster and loop statistics. These include the
M
-16/15
L
-4
fractal dimensions of clusters and loops, the power-law 102 10
2

temperatura nulla. exponents for the number of clusters of given mass, and the
101
101
-6 -4 -2 0 -2
10 10 10 10 10
M
4 4
10 10

(e)
103

n(R,λR)

n(A,λA)
3
10

R-2 10
2
2
10

101
1
10 -3 -2 -1 0 -4
10 10 10 10 10
R

FIG. 3 (color online). Cluster and loop s
turbulence. (a) The average area M versus the
R. (b) The length of a loop (blue symbols)
accessible perimeter which is obtained by sub
with necks smaller than lf (green symbols) ver
of clusters of area between M and M. (d) N
length between L and L. (e) Number of loops
Collana di Seminari per la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca al(f) Number of loops of area betwee
R and R.
CRS4, 30 novembre 2011
FIG. 2 (color online). Temperature clusters in the inverse
cascade of SQG turbulence. These are connected domains with ﬁgures ’ 1:1. The solid lines are the theore

Turbolenza al CRS4

Combustione premiscelata turbolenta:

´
Rilevante nel contesto socio-economico perche legata al
settore industriale della produzione energetica.

Importante nella progettazione delle nuove tecnologie ad uso
´ `
industriale perche e un processo di combustione caratterizzato
da una bassa produzione di NOx e per questo fondamentale
per ridurre l’impatto ambientale.


Turbolenza al CRS4

Diversamente dalla ben nota combustione non premiscelata,
dove il combustibile ed il comburente devono essere mescolati
´
afﬁnche la combustione inizi,

nella combustione premiscelata i reagenti sono mescolati a
`
livello molecolare ed il processo di combustione puo essere
inteso come la seguente reazione

Gas Fresco → Gas Combusto + Calore


Turbolenza al CRS4

`
La combustione premiscelata e descritta da una sola variabile
adimensionale detta variabile di progresso.

Essa rappresenta la frazione di massa bruciata e vale 1 per i
volumi occupati solamente dai prodotti e 0 per i volumi occupati
solamente dai reagenti

ρu /ρ − 1 T − Tu
c(x, t) = , c(x, t) = .
ρu /ρb − 1 Tb − Tu


Turbolenza al CRS4


Turbolenza al CRS4

Il fronte della fiamma corrisponde all’interfaccia tra le frazioni di
reagente e di prodotto.

La fiamma viene deformata in volute dalla turbolenza che ne
accresce la superficie.

` `
La velocita di avanzamento della fiamma e proporzionale alla
sua superficie.


Turbolenza al CRS4

Computational Fluid Dynamics (CFD)

Risoluzione numerica delle equazioni di Reynolds con
applicazioni in campo industriale


Turbolenza al CRS4

Vladimir Zimont

∂c ∂2c ∂c
(1977) = Deq 2 + Ueq ,
∂t ∂x ∂x

τt
(1979) Ueq u2 1/2
Da1/4 , Da = .
τc

`
Il modello di Zimont e implementato in FLUENT/ANSYS.


Turbolenza al CRS4

week ending
PRL 107, 044503 (2011) PHYSICAL REVIEW LETTERS 22 JULY 2011

Lagrangian Formulation of Turbulent Premixed Combustion
Gianni Pagnini and Ernesto Bonomi
CRS4, Polaris Building 1, 09010 Pula, Italy
(Received 4 November 2010; published 21 July 2011)
The Lagrangian point of view is adopted to study turbulent premixed combustion. The evolution of the
volume fraction of combustion products is established by the Reynolds transport theorem. It emerges that
the burned-mass fraction is led by the turbulent particle motion, by the flame front velocity, and by the mean
curvature of the flame front. A physical requirement connecting particle turbulent dispersion and flame front
velocity is obtained from equating the expansion rates of the flame front progression and of the unburned
particles spread. The resulting description compares favorably with experimental data. In the case of a zero-
curvature flame, with a non-Markovian parabolic model for turbulent dispersion, the formulation yields the
Zimont equation extended to all elapsed times and fully determined by turbulence characteristics. The exact
solution of the extended Zimont equation is calculated and analyzed to bring out different regimes.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.044503 PACS numbers: 47.70.Pq, 05.20.Jj, 47.27.Ài

Turbulent premixed combustion is a challengingper la Valorizzazione dei Risultati della Ricerca alis intendednovembrepopu-
Collana di Seminari scien- In this Letter, the fresh mixture CRS4, 30 to be a 2011
tific field involving nonequilibrium phenomena and play- lation of particles in turbulent motion that, in a statistical

Turbolenza al CRS4

Definizione Lagrangiana della variabile di progresso (a parole)

Una particella di reagente viene mutata in prodotto se la sua
`
posizione media si trova all’interno del dominio il cui contorno e
costituito dalla superficie della fiamma.

´
La variabile di progresso, cioe la frazione di massa combusta
`
presente in un punto ad un certo istante, e determinata
dall’insime delle particelle prodotto che statisticamente
possono trovarsi il quel punto a quell’istante.


Turbolenza al CRS4

Definizione Lagrangiana della variabile di progresso
(in formule)

` `
p(x; t|x0 ) densita di probabilita delle particelle di reagenti,
` `
x0 posizione iniziale, se la velocita media e nulla x0 = x ,
Ω(t) dominio racchiuso dalla superficie della fiamma

c(x, t) = p(x; t|x0 ) dx0 .
Ω(t)


Turbolenza al CRS4

Teorema del trasporto di Reynolds

d ∂Ψ
Ψ(x, t) dV = dV + ˆ
Ψ u · nS dS ,
dt V V ∂t S

Teorema della divergenza

ˆ
Ψ u · nS dS = · (u Ψ) dV .
S V


Turbolenza al CRS4

Equazione per la variabile di progresso (1)

∂c ∂p
= dx0 + · (u p) dx0 .
∂t Ω(t) ∂t Ω(t)


Turbolenza al CRS4

Modello non markoviano per la dispersione turbolenta

∂p 2
= D(t) p, p(x; 0|x0 ) = δ(x − x0 ) ,
∂t

dove
1 dσ 2 1
D(t) = , σ 2 (t) = (x − x0 )2 ,
2 dt 3

e
D(t) =⇒ Deq = u 2 TL , t TL .

Turbolenza al CRS4

`
Deﬁnizione della velocita di combustione

t
Lf (t) = L0 + u(Lf , τ ) dτ ,
0

ˆ
u(x, t) = U(κ, t) n , U(κ, 0) = 0 ,

ˆ
dove n = − c/|| c|| e la normale uscenta da Ω
`
ˆ
κ(x) = · n/2 indica la curvatura media della superﬁcie di Ω.


Turbolenza al CRS4

`
Determinazione della velocita di combustione

`
L’espansione del volume racchiuso dalla fiamma e guidata dalla
´
dispersione delle particelle di reagente poiche determina
l’incontro tra la fiamma e le particelle stesse.

`
Siccome il moto delle particelle e di andata e ritorno rispetto
alla posizione media mentre l’avanzamento della fiamma e `
`
unidirezionale, un tempo doppio e necessario alla dispersione
delle particelle per raggiungere lo stesso tasso di espansione
del fronte di fiamma.


Turbolenza al CRS4

Relazione tra dispersione delle particelle ed avanzamento del
fronte di ﬁamma nella direzione normale al fronte

1 dσ 1 1 dLf
= ,
σ dt 2 Lf − L0 dt

oppure
D(t) U(t)
t
= t
.
0 D(ξ) dξ 0 U(ξ) dξ


Turbolenza al CRS4

D(t) U(t)
t
= t
,
0 D(ξ) dξ 0 U(ξ) dξ

t
[U(t)D(ξ) − D(t)U(ξ)] dξ = 0 ,
0

U(t) U(ξ)
= , 0≤ξ≤t,
D(t) D(ξ)

U(t) Ueq 1
→ = .
D(t) Deq λ


Turbolenza al CRS4

t
Lf (t) = L0 + U(τ ) dτ ,
0
1 t U(t) 1
= L0 + D(τ ) dτ , = ,
λ 0 D(t) λ
σ2
= L0 + .
2λ


Turbolenza al CRS4

Equazione per la variabile di progresso (2)

∂c 2
= D(t) c+ u· x0 p dx0
∂t Ω(t)
∂U
+ p x0 κ ˆ
· n + 2 U(κ, t)κ(x0 ) dx0 .
Ω(t) ∂κ

`
L’evoluzione della variabile di progresso e determinata da:
la dispersione turbolenta,
l’avanzamento della reazione chimica,
la curvatura media del fronte.

Turbolenza al CRS4

Limite non diffusivo

Se la diffusione trascurabile, le particelle risultano congelate ed
il loro moto non dipende dal tempo p → δ(x − x0 ),
l’equazione di evoluzione di c(x, t) diventa

∂c
= U(κ, t) || c|| ,
∂t

che corrisponde all’equazione di Hamilton–Jacobi che deﬁnisce
il cosiddetto Level Set Method.
J.A. Sethian P. Smereka, Level Set Methods for ﬂuid interfaces. Ann. Rev. Fluid Mech. 35, 341–372 (2003).


Turbolenza al CRS4

Limite di fronte piano

ˆ `
Quando la normale al fronte della ﬁamma n e assunta costante,
`
allora la curvatura κ e nulla, il fronte risulta piano e si ottiene

∂c 2
= D(t) c + U(t) || c|| ,
∂t

che nel caso asintotico t TL , poiche D(t) → Deq ,
´
corrisponde all’equazione di Zimont.


Turbolenza al CRS4

Soluzione esatta del modello di Zimont

1 x − LR (t) x + L (t)
c(x, t) = Erfc √ − Erfc √ L ,
2 2 σ(t) 2 σ(t)

`
dove Erfc e la funzione complementare degli errori,
LR e LL sono le posizioni del fronte di ﬁamma
rispettivamente a destra e a sinistra del punto di ignizione

dLR dL
= − L = U(t) , Ω(t) = [−LL (t); +LR (t)] .
dt dt

In buona compagnia
Einstein (Nobel 1921): “Dopo aver risolto altri problemi della
`
ﬁsica risolvero quello della turbolenza”.

Heisenberg (Nobel 1932): “When I meet God, I am going to ask
him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really
believe he will have an answer for the ﬁrst.”

Kapitza (Nobel 1947)

Landau (Nobel 1962)

Subrahmanyan Chandrasekhar (Nobel 1983)

B. Mandelbrot

Ya. B. Zel’dovich

In buona compagnia

`
“Ormai sono diventato vecchio e quando moriro e saro in `
paradiso ci saranno due cose sulle quali spero in un
`
chiarimento. Una e l’elettrodinamica quantistica e l’altra la
turbolenza. Sulla prima sono piuttosto ottimista.”

Sir Horace Lamb


Bibliograﬁa

A.S. Monin A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, vol. 1.
MIT Press (1971).

A.S. Monin A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, vol. 2.
MIT Press (1975).

U. Frisch, The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge
University Press (1996).


Ringraziamenti

Regione Autonoma della Sardegna

PO Sardegna FSE 2007-2013 sulla L.R. 7/2007
“Promozione della ricerca scientiﬁca e
dell’innovazione tecnologica in Sardegna”.


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