Este documento presenta el informe de las prácticas pre-profesionales realizadas por Juan Carlos Vilca Tisnado en la asignatura de Física I. El informe describe los objetivos, metodología y contenidos abordados durante las prácticas, las cuales se desarrollaron de septiembre de 2008 a enero de 2009. El informe también incluye ejercicios resueltos de diferentes temas de Física como vectores, estática, cinemática y dinámica.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIER´IA CIVIL Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS F´ISICO MATEM´ATICAS
PRIMERA
PR´ACTICA PRE-PROFESIONAL
INFORME
CURSO : FISICA I
RESPONSABLE : JUAN CARLOS VILCA TISNADO
ASESOR : LIC. ELFI D. BUSTAMANTE Y´ABAR
PUNO - PERU
2010

3. Universidad Nacional del Altiplano
Facultad de Ingenier´ıa Civil y Arquitectura
Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas
Informe No
-2010-UNA-FICA
Al : Lic. Juan Carlos Benavides Huanca
Director de la Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas
De : Lic. Elfi D. Bustamante Y´abar
Asunto : Informe de pr´acticas Pre-Profesionales.
Fecha : Puno, 12 de Enero del 2010
Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las pr´acticas realizadas por el estudiante
JUAN CARLOS VILCA TISNADO, el cual detallo a continuaci´on:
1. Mediante el MEMORANDO No
-066-2008-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 12 de Setiem-
bre del 2008, se me asigna al estudiante JUAN CARLOS VILCA TISNADO para que
realice las pr´acticas pre-profesionales en la asignatura de F´ISICA I a mi cargo.
2. El estudiante realizo la practica pre-profesional a partir del 12 de setiembre del 2008 al 27
de enero de 2009, por 02 horas semanales; acumulando un total de 30 horas acad´emicas,
que consisti´o en desarrollar la parte practica de la asignatura de F´ISICA I, correspondiente
al II semestre de la E.P. Ingenier´ıa de minas.
3. Durante la realizaci´on de la practica pre-profesional el estudiante en menci´on, demostr´o mucha
responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparaci´on de sus sesiones, como
durante su desenvolvi´esemos ante los estudiantes, y dem´as tareas asignadas.
4. Concluida la practica pre-profesional, el estudiante alcanzo los objetivos establecidos,
siendo as´ı, solicito a Ud. Se˜nor Director realizar los tr´amites necesarios para la expedici´on
de la respectiva Resoluci´on.
Es cuanto puedo informar a Ud. Se˜nor Director para los fines consiguientes.
———————————————-
Lic. Elfi D. Bustamante Y´abar
UNA-PUNO

4. Universidad Nacional del Altiplano
Facultad de Ingenier´ıa Civil y Arquitectura
Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas
Informe No
-2010-UNA-FICA
Al : Lic. Elfi D. Bustamante Yab´ar
De : Juan Carlos Vilca Tisnado
Asunto : Informe de pr´acticas Pre-Profesionales.
Fecha : Puno, 11 de Enero del 2010
Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las pr´acticas que realice, el cual detallo a
continuaci´on:
1. Mediante el MEMORANDO No
-066-2008-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 12 de Setiem-
bre del 2008, se me asigna como asesor para que realice las pr´acticas pre-profesionales en
la asignatura de F´ısica I a su cargo.
2. La realizaci´on de la practica pre-profesional fue en el escuela profesional de ingenier´ıa de
minas en la asignatura de F´ısica I.
3. Los detalles de la practica pre-profesional se encuentran en la documentaci´on adjunta a
este informe.
Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.
————————————–
Juan Carlos Vilca Tisnado

5. Presentaci´on
Estas notas se originan por las pr´acticas pre-profesionales realizada del
12 de Setiembre de 2008 al 27 de enero de 2009 en la asignatura de F´ısica
I en la Escuela Profesional de Ingenier´ıa de Minas de la Universidad
Nacional del Altiplano.
En el capitulo 1 muestro los datos de la instituci´on donde realizo mis
pr´acticas pre-profesionales, como tambi´en los datos de la asignatura de-
sarrollado.
En el capitulo 2 y capitulo 3 muestro la justificaci´on de mis pr´acticas
pre-profesionales como tambi´en los objetivos.
En el capitulo 4 al capitulo 9 muestro los ejercicios resueltos en clases de
cada secci´on desarrollado.
En el capitulo 10 muestro la metodolog´ıa que aplico en el desarrollo de
mis pr´acticas pre-profesionales.
En el capitulo 11, muestro la lista de estudiantes , como tambi´en la lista
de asistencia.
Espero que este informe sirva como referencia para futuras pr´acticas pre-
profesionales que se realicen referente al tema.
Juan Carlos Vilca Tisnado .
i

6. ´Indice general
Presentaci´on I
´Indice general II
1. Datos generales 1
1.1. Datos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Datos de la Instituci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Datos de la Asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Justificaci´on 2
3. Objetivos 4
3.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Vectores 5
4.1. Gr´aficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2. Representaci´on cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.5. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.6. Adici´on de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.7. Sustracci´on de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.7.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.8. Ley de Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.9. Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.10. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.11. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.12. Ejercicios resueltos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
ii

7. ´INDICE GENERAL iii
5. Est´atica 17
5.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2. Condici´on de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3. Torque o momento de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4. Ejercicios resueltos de est´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Cinem´atica 25
6.1. Vector posici´on (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2. Desplazamiento d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3. Velocidad promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.4. Velocidad instant´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.5. Aceleraci´on promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.6. Aceleraci´on instant´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.7. Movimiento parab´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.7.1. Movimiento horizontal (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.7.2. Movimiento vertical (MRUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.8. Altura maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.9. Alcance m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.10. Movimiento circular: Velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.11. Ejercicios resueltos de cinem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7. Din´amica de una part´ıcula 44
7.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2. Primera ley de Newton (Ley de inercia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3. Segunda Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4. Tercera Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.5. Diferencia entre masa y peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.5.1. Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.5.2. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.6. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.6.1. Normal (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.6.2. Fuerza de rozamiento est´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.6.3. Fuerza de rozamiento cin´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.7. Fuerza centr´ıpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.8. Ejercicios resueltos de din´amica de una particula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8. Trabajo y Energ´ıa 60
8.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.2. Trabajo hecho por una fuerza variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3. Teorema del trabajo y la energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3.1. Cuando la fuerza es constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.3.2. Cuando la energ´ıa es variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.4. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.5. Fuerza conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.6. Energ´ıa Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.6.1. Energ´ıa potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.6.2. Energ´ıa potencial elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Fisica I

8. ´INDICE GENERAL iv
8.7. Ejercicios de trabajo y energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9. Cantidad de movimiento 71
9.1. Momentum lineal o cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2. Principio de conservaci´on de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 71
9.3. Ejercicio de Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.Metodolog´ıa 75
10.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2. M´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.Cronograma de Actividades 76
11.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
12.Relaci´on de Estudiantes y Asistencias 77
12.1. Relaci´on de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
12.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Bibliograf´ıa 79
Fisica I

9. CAP´ITULO 1
Datos generales
1.1. Datos Personales
Alumno Practicante : Juan Carlos Vilca Tisnado
Asesor : Lic. Elfi D. Bustamante Yabar
Asignatura : F´ısica I
Duraci´on : 30 horas
1.2. Datos de la Instituci´on
Lugar : Puno
Instituci´on : Universidad Nacional del Altiplano
Facultad : Ingenier´ıa de Minas
Escuela Profesional : Ingenier´ıa de Minas
1.3. Datos de la Asignatura
Asignatura : F´ısica I
Numero de Horas : 4T. (Teor´ıa) + 2P. (pr´acticas) = 6 Horas
A˜no Acad´emico : 2007 - II
Semestre : II
Area Curricular : General
Condici´on : Flexible
1

10. CAP´ITULO 2
Justificaci´on
La practica pre-profesional contribuye a lograr el perfil del futuro profesional de la E.P. de
Ciencias F´ısico Matem´aticas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio social
y desarrollo.
La practica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempe˜no
docente, mediante la aplicaci´on de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezas
desarrolladas en la E.P. de Ciencias F´ısico Matem´aticas.
La practica pre-profesional tiene sustento:
1ro
En la curricula flexible por competencias de la C.P. de Ciencias F´ısico Matem´aticas 2001-
2006 en los reglamentos espec´ıficos que habla de las pr´acticas pre-profesionales en sus
art´ıculos 40-48 se˜nalan:
Art. 40
El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizaci´on
de pr´acticas pre-profesionales en la formaci´on de todos los estudiantes de la universidad.
Art. 41
Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas est´an obligados
a realizar pr´acticas pre-profesionales pudiendo efectuarse despu´es de haber logrado un
m´ınimo de 170 cr´editos.
Art. 42
Las pr´acticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas ser´an
pr´acticas productivas y pr´acticas de investigaci´on.
Art. 43
Las pr´acticas productivas comprender´an pr´acticas pedag´ogicas en centros de ense˜nanza de
nivel medio superior y universidades; pr´acticas en centros productivos, convenio, proyectos
2

11. 2. Justificaci´on 3
y otros que requieran la participaci´on de F´ısicos Matem´aticos.
Art. 44
Las pr´acticas de investigaci´on se realizan en la U.N.A. bajo la direcci´on de un profesor
designado espec´ıficamente con este fin.
Art. 45
Las pr´acticas productivas de investigaci´on tendr´an una duraci´on de un semestre acad´emi-
co.
Art. 46
Los estudiantes, despu´es de haber cumplido con sus pr´acticas productivas y/o de investi-
gaci´on presentaran el informe a la instituci´on donde se realizo y esta a su vez informara
de su desarrollo a la Direcci´on de Carrera quien lo remitir´a a la comisi´on de pr´acticas pre
profesionales para su aprobaci´on o desaprobaci´on.
Art. 47
En el caso de que la practica productiva y/o pr´acticas de investigaci´on se realice en la
Universidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo,
este a su vez informara su desarrollo a la Direcci´on de la Carrera para el visto bueno de
la comisi´on de pr´acticas Pre-profesionales.
Art. 48
Los aspectos no contemplados en el presente reglamento ser´an absueltos por la Comisi´on
de pr´acticas pre profesionales.
2do
En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen acad´emico y administrativo en su
capitulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en su
articulo 122 que se˜nala:
Art. 122
La actividad acad´emica en una Escuela Profesional comprende:
Formaci´on general.
Formaci´on b´asica profesional.
Formaci´on profesional.
Investigaci´on.
Orientaci´on profesional.
Proyecci´on y extension universitaria
Su dise˜no involucra la programaci´on curricular te´orico-practica de cada asignatura; proyec-
tos de investigaci´on sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades de
proyecci´on y extension universitaria; y un plan de pr´acticas pre-profesionales. Concor.:
Arts.10, 12, 16 y ss. Ley 23733
Fisica I

12. CAP´ITULO 3
Objetivos
3.1. Objetivos Generales
Las pr´acticas pre-profesionales tienen como objetivo poner en pr´actica los conocimientos
adquiridos plasm´andolo en la ense˜nanza universitaria.
3.2. Objetivos Espec´ıficos
Los objetivos espec´ıficos que se tiene para la practica desarrollada en la respectiva asignatura
designada son:
Familiarizarse en el desempe˜no de la docencia universitaria.
Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la pr´actica pre-
profesional.
Solucionar con m´etodos adecuados los problemas que se presentan.
Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.
4

13. CAP´ITULO 4
Vectores
Definici´on: Vector es un segmento de recta que tiene direcci´on, tama˜no, sentido y origen.
4.1. Gr´aficamente
Se presenta de la siguiente manera:
Donde:
v : Se lee vector
||v|| = v : tama˜no o modulo del vector v
O : Punto de aplicaci´on u origen del vector.
→ : Esta dado por la linea del vector
5

14. 4. Vectores 6
4.2. Representaci´on cartesiano
Sea una sistema XY , se define vectores unitarios (modulo igual a uno) en el eje X : ˆi, eje
Y : ˆj, definimos el vector
−→
Ov, as´ı
El modulo se define ||
−→
Ov|| = ||v|| = v = v2
x + v2
y, La direcci´on se define usando la raz´on
trigonom´etrica tan θ que hace un ´angulo con el eje (+X):
tan θ =
vx
vy
4.3. Vectores en el espacio
Sea un sistema de coordenadas XY Z se define el vector unitario en los ejes X : ˆi, Y : ˆj y
Z : ˆk tal como se muestra en la figura
Fisica I

15. 4. Vectores 7
Entonces se define el vector
−→
Ov = Ovx
ˆi + Ovy
ˆj + Ovz
ˆk, donde:
Ovx = ||
−→
Ov|| cos α = vx
Ovy = ||
−→
Ov|| cos β = vy
Ovz = ||
−→
Ov|| cos θ = vz
Su modulo es: ||
−→
Ov|| = v = v2
x + v2
y + v2
z Su direcci´on: para encontrar las direcciones usaremos
la Razones trigonom´etricas del cos que hacen el vector con los ejes (cosenos directores)
cos α =
vx
v
, cos β =
vy
v
y cos θ =
vz
v
existe una propiedad fundamental: cos2
α + cos2
β + cos2
θ = 1
4.4. Observaciones
Se define como punto de coordenadas
P1 = (x1, y1, z1)
P2 = (x2, y2, z2)
entonces el vector
−−→
P1P2 = P2 − P1 = (x2, y2, z2) − (x1, y1, z1) donde queda de la forma siguiente
−−→
P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
su modulo:
||
−−→
P1P2|| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Fisica I

16. 4. Vectores 8
4.5. Vectores unitarios
El vector unitario se define ˆu = v
||v||
= v
v
, entonces v = vˆu, esto quiere decir que todo vector
es igual a su modulo multiplicado por su vector unitario.
4.6. Adici´on de vectores
Dados los vectores r, q, se define la suma de vectores, as´ı
r = rx
ˆi + ry
ˆj, q = qx
ˆi + qy
ˆj
r + q = (rx + qx)ˆi + (ry + qy)ˆj
gr´aficamente
4.6.1. Propiedades
i) Dado r y q entonces r + q = q + r (Ley de conmutativa)
ii) Dado r y q y R ∈ R; R(r + q) = Rr + Rq (distribuci´on con respecto a un escalar)
4.7. Sustracci´on de vectores
Dado los vectores r y q se define (r − q) y sumamos a r el vector opuesto a q
4.7.1. Propiedades
i) Dado r y q entonces r − q = −(q − r) (no cumple la conmutativa)
ii) Dado r, q, p entonces:
r − (q − p) = (r − q) + p (no cumple la Ley asciativa)
Fisica I

17. 4. Vectores 9
4.8. Ley de Cosenos
Demostraci´on
Como se trata de vectores libres se puede trasladar:
Teorema de pit´agoras en el tri´angulo ABC en efecto tenemos:
R2
= (v2 sen θ)2
+ (v1 + v2 cos θ)2
R2
= v2
2 sen2
θ + v2
1 + 2v1v2 cos θ + v2
2 cos2
θ
R2
= v2
2 + v2
1 + 2v1v2 cos θ
R = v2
2 + v2
1 + 2v1v2 cos θ
Si θ = 90o
entonces R = v2
1 + v2
2, si θ = 120o
entonces R = v1 − v2, si θ = 0o
entonces
R = v1 + v2
Fisica I

18. 4. Vectores 10
4.9. Ley de senos
Demostraci´on:
sen α =
h
r1
(1)
sen(180 − β) = sen β =
h
r3
(2)
(1)÷ (2) tendremos
h
r1
h
r3
=
sen α
sen β
=⇒
r3
r1
=
sen α
sen β
=⇒
r3
sen α
=
r1
sen β
(*)
por otro lado:
Fisica I

19. 4. Vectores 11
sen α =
h
r2
(3)
sen θ =
h
r3
(4)
(3)÷ (4) en efecto:
h
r2
h
r3
=
sen α
sen θ
=⇒
r3
r2
=
sen α
sen θ
=⇒
r3
sen θ
=
r2
sen θ
(**)
de (*) y (**)
r1
sen β
=
r2
sen θ
=
r3
sen α
4.10. Producto escalar
Dado los vectores:A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) se define el producto escalar: A ·
B = AxBx + AyBy + AzBz si los vectores A y B forman un ´angulo θ, se define el producto
A · B = AB cos θ
4.11. Producto vectorial
Dado los vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) se define el producto vectorial
A × B =
ˆi ˆj ˆk
Ax Ay Az
Bx By Bz
= ˆi(AyBz − AzBy) − ˆj(AxBz − AzBx) + ˆk(AxBy − AyBx)
4.12. Ejercicios resueltos de vectores
Ejercicio No
4. 1 Dado los vectores P y Q R = mP + nQ tal como se indica en la figura: si
P = 3, Q = 5, R = 10 Hallar la relaci´on m
n
=?
Fisica I

20. 4. Vectores 12
Soluci´on
Si
R = mP + nQ (*)
P = 3ˆi, Q = 5ˆj y R = R cos 45oˆi + R sen 45oˆj
P = 3ˆi
Q = 5ˆj
R = R cos 45oˆi + R sen 45oˆj
R = 10



(1)
Luego (1) en (*) tenemos
10 cos 45oˆi + 10 sen 45oˆj = 3mˆi + 5nˆj
tenemos
10 cos 45oˆi = 3mˆi m = 10
3
√
2
⇒
10 sen 45oˆj = 5nˆj n = 2√
2
como te pide encontrar m
n
=
10
3
√
2
2√
2
= 5
3
Ejercicio No
4. 2 Dado lo vectores P y Q que forman ´angulo θ demostrar: tan φ = Q sen θ
P+Q sen θ
Fisica I

21. 4. Vectores 13
Soluci´on
La demostraci´on se hace de acuerdo a la gr´afica. Haciendo un trazo tenemos.
del tri´angulo ACD tenemos
tan φ =
Q sen θ
P + Q cos θ
Ejercicio No
4. 3 Hallar el vector C de la figura sabiendo que A = (−1, 2) , B = (4, 1) y C = 8
Soluci´on
Sea el vector C = (x, y) como: B · C = (4, 1)(x, y) = 4x + y = ||B||||C|| cos α
4x + y =
√
17(8) cos α (1)
Luego hallamos: A · B = ||A||||B|| cos θ
(−1, 2) · (4, 1) =
√
5
√
17 cos θ
−4 + 2 =
√
85 cos θ
−2 =
√
85 cos θ
cos θ = − 2√
85
θ = arc cos − 2√
85
θ = 102.5o
(2)
Fisica I

22. 4. Vectores 14
Como α + θ + α = 180
2α + 102.5 = 180
α = 38.75 (3)
Luego (3) en (1) tenemos:
4x + y =
√
17(8) cos(38.75) = 25.72
4x + y = 25.72 (4)
como dato se tiene
x2 + y2 = 8 (5)
de (4) y (5) tenemos:
x2
+ (25.72 − 4x)2
= 64
x2
+ (25.72)2
− 2(4x)(25.72) + 16x2
= 64
17x2
− 205.76x + 597.53 = 0
x = 7.27 , y = 25.72 − 4x = −3.36
x = 4.83 , y = 25.72 − 4x = 6.4
Finalmente el vector toma 2 valores
C = (7.27, −3.36) C = (4.33, 6.4)
Ejercicio No
4. 4 Dado el modulo del vector |P| = 8 y la relaci´on de sus cosenos directores es
9 : 3 :
√
31, el vector R = (a, −10, 10) y el producto P ×R = (62.3, −4.52, −66.5) Hallar el ´angulo
que hace P y R
Soluci´on
Como sabemos
P = Px
ˆi + Py
ˆj + Pz
ˆk (1)
P = P cos αˆi + P cos βˆj + P cos γˆk (2)
como:
cos α
9
=
cos β
3
=
cos γ
√
31
cos β =
1
3
cos α y cos γ =
√
31
9
cos α (3)
Luego (3) en (2) tenemos
P = 8 cos αˆi +
8 cos α
3
ˆj +
8
√
31
9
cos αˆk (4)
||P|| = (8 cos α)2 +
8 cos α
3
2
+
8
√
31
9
cos α
2
= 8
cos α = 0.818o
, α = 35.1o
(5)
Fisica I

23. 4. Vectores 15
Luego (5) en (4) tenemos:
P = 8 cos 35.1oˆi +
8
3
cos 35.1oˆj +
8
√
31
9
cos 35.1oˆk
y como por dato: R = (a, −10, 10)
P × R =
ˆi ˆj ˆk
6.54 2.18 4.05
a −10 10
y ahora P × R = (62.3, −4.52, −66.5)
(62.3, −452, −66.5) = (10(2.18) + 10(4.05))ˆi − (6.54(10) − a(4.05))ˆj + (−6.54(10) − 2.18(a))ˆk
Relacionando los componentes tenemos:
−(6.54 − 4.05(a)) = −4.52
−(6.54 + 2.18(a)) = −66.5
de donde obtenemos a = 0.5, luego R = (0.5, −10, 10), como se pide encontrar el ´angulo de
separaci´on entre los vectores sera:
P · R = ||P||||R|| cos θ
(6.54, 2.18, 4.05)(0.5, −10, 10) = (7.99)(14.15) cos θ
6.54(0.5) − 2.18(10) + 4.05(10) = (7.99)(14.15) cos θ
21.97 = 7.99(14.15) cos θ
cos θ =
21.97
7.99(14.15)
= 0.194
θ = arctan(0.194) = 78.8
θ = 78.8
Ejercicio No
4. 5 Los extremos de los vectores A = (6, 9, 6), B = (2, 1, 4) y C = (8, 6, 7)
determinan un tri´angulo, demostrar si es rect´angulo
Soluci´on
Primero tenemos que hallar los lados
−→
AC,
−−→
BC y
−→
AB y
−→
AC = C − A = (8, 6, 7) − (6, 9, 6)
−→
AC = (2, −3, 1)
−→
BA = B − A = (2, 1, 4) − (6, 9, 6)
−→
BA = (−4, −8, −2)
−−→
BC = B − C = (2, 1, 4) − (8, 6, 7)
−−→
BC = (−6, −5, −3)
Fisica I

24. 4. Vectores 16
Luego:
−→
AC ·
−−→
BC = (2, −3, 1) · (−6, −5, −3)
−→
AC ·
−−→
BC = (−12 + 15 − 3 = 0
−→
AC ·
−→
AB = (2, −3, 1) · (−4, −8, −2)
−→
AC ·
−→
AB = −8 + 24 − 2 = 14
−−→
BC ·
−→
AB = (−6, −5, −3) · (−4, −8, −2)
−−→
BC ·
−→
AB = 24 + 40 + 6 = 70
Se observa que
−→
AC⊥
−−→
BC luego el tri´angulo es recto en C
Fisica I

25. CAP´ITULO 5
Est´atica
Es la parte de la mec´anica cuyo objetivo es estudiar las condiciones de equilibrio que
deben cumplir las fuerzas que act´uan sobre un cuerpo que esta se encuentre en equilibrio.
La EST´ATICA estudia a las fuerzas, a los cuerpos en equilibrio y centro de gravedad.
5.1. Fuerza
La fuerza se define como la causa de la deformaci´on de un cuerpo, de su cambio de posici´on
y de la variaci´on de su velocidad en consecuencia las fuerzas provocan aceleraci´on o deformaci´on
sobre los cuerpos.
5.2. Condici´on de equilibrio
Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando el efecto total de la fuerza que
act´ua sobre ella es nula o para que un cuerpo se encuentre en equilibrio la resultante de las
fuerzas que act´uan sobre el debe ser igual a cero
F = 0
Al efectuar la descomposici´on vectorial sobre los ejes rectangulares se debe cumplir
Fx = 0, Fy = 0 y Fz = 0
5.3. Torque o momento de una fuerza
Considerando una fuerza F que act´ua en un cuerpo C que puede rotar alrededor del punto
O(figura). Nuestra experiencia diar´ıa sugiere que la efectividad en la rotaci´on de F aumenta
con la distancia perpendicular (denominado brazo de palanca) b = OB desde O a la linea de
17

26. 5. Est´atica 18
acci´on de la fuerza. Esta experiencia nos sugiere la conveniencia de definir una cantidad f´ısica
τ que llamaremos torque o momento de una fuerza, de acuerdo a la relaci´on o torque = fuerza
× brazo de palanca.
τ = F × r
notando de la figura que b = r sen θ tambi´en podemos escribir as´ı:
τ = Fr sen θ
En el cual r es el vector posici´on con respecto al punto O recordando que r = xˆi + yˆj + ˆk y
F = Fx
ˆi + Fy
ˆj + Fz
ˆk tambi´en se puede obtener haciendo el producto × en efecto tenemos:
τ =
ˆi ˆj ˆk
x y z
Fx Fy Fz
= (Fzy − Fyz)ˆi − (Fzx − Fxz)ˆj + (Fyx − Fxy)ˆk
τ = Fzy − Fyz)ˆi − (Fzx − Fxz)ˆj + (Fyx − Fxy)ˆk
5.4. Ejercicios resueltos de est´atica
Ejercicio No
5. 1 En el sistema adjunto hallar el peso w que produce el equilibrio
Fisica I

27. 5. Est´atica 19
Soluci´on
Para este consideremos el sistema de fuerzas de coordenadas en el punto B
Por la condici´on de equilibrio:
Fx = 0, T1 cos 60o
− T2 cos 30o
= 0, T1 =
T2 cos 30o
cos 60
(1)
Fy = 0, T1 sen 60o
+ T2 sen 30o
− w = 0, w = T1 sen 60 + T2 sen 30o
(2)
pero es necesario en saber T2, para encontrar la tension T2 usaremos el sistema en el punto A
Tambi´en usando las ec. de equilibrio
Fx = 0
T2 cos 30o
− T3 cos 45o
= 0
T3 =
T2 cos 30o
cos 45o
(3)
Fy = 0, T3 sen 45o
− 10 − T2 sen 30o
= 0 (4)
Luego de (3) y (4) tenemos:
Fisica I

28. 5. Est´atica 20
T2 cos 30o
cos 45o sen 45o
− 10 − T2 sen 30o
= 0
T2 cos 30o
− T2 sen 30o
= 10
T2 = 10
cos 30o−sen 30o
T2 = 27.39N
Luego reemplazando en (1)
T1 =
(27.39) cos 30o
cos 60o
= 47.32N
Luego finalmente reemplazando T1, T2 en (2) se encontrara
w = (47.39) sen 60o
+ (27.39) sen 30o
= 54.73N
Ejercicio No
5. 2 Calcular el peso P necesario para mantener el sistema mostrado en la figura
adjunta en el cual A pesa 100Kgf , Q = 10Kgf el plano y las poleas son lisos la cuerda AC es
horizontal y la cuerda AB es paralelo al plano calcular tambi´en la reacci´on del plano sobre el peso
A.
Soluci´on
Haremos el diagrama de cuerpo libre del bloque:
Fisica I

29. 5. Est´atica 21
como A = 100Kgf y Q = 10Kgf
Fx = 0
P − Q cos 30o
− A sen 30o
= 0 (1)
P = Q cos 30o
+ A sen 30o
P = 10 cos 30o
+ 100 sen 30o
P = 10(
√
3
2
) + 100(1
2
)
P = 587Kgf
Fy = 0
N − A cos 30o
− Q sen 30o
N = 100 cos 30o
− 10 sen 30o
= 81.5Kgf
Ejercicio No
5. 3 Una varilla de masa de 6Kg y longitud 0.8m esta colocado sobre un ´angulo
recto liso como se muestra en la figura adjunta. Determinar la posici´on equilibrio y las fuerzas de
reacci´on como una funci´on del ´angulo α
Soluci´on
Haremos el diagrama de cuerpo libre:
Fx = 0
Fisica I

30. 5. Est´atica 22
RB cos α − RA sen α = 0
RA =
RB cos α
sen α
(1)
Fy = 0
RA cos α + RB sen α − w = 0
RA cos α + RB sen α = w (2)
Luego (1) en (2) tenemos
RB cos α
sen α
cos α + RB sen α = w
RB cos2
α + RB sen2
α = w sen α
RB(sen2
α + cos2
α) = w sen α
RB = w sen α (3)
Luego (3) en (1) tenemos
RA =
w sen α cos α
sen α
RA = w cos α (4)
Ejercicio No
5. 4 La viga uniforme AB de la figura adjunta tiene 4m de largo y pesa 100Kgf la
viga puede rotar alrededor de un punto fijo C. La viga reposa en el punto A. un hombre que pesa
75Kgf camina a lo largo de la viga partiendo de A. Calcular la maxima distancia que el hombre
puede caminar a partir A manteniendo el equilibrio. representar la reacci´on en A como una funci´on
de la distancia x
Soluci´on
Datos:
wb = 100Kgf
wh = 75Kgf
Fy = 0
Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la viga
Fisica I

31. 5. Est´atica 23
RA + RC − wb − wh = 0 (1)
Usando la segunda condici´on de equilibrio en el punto A
MA = 0
Rc(2.5) − 2wb − xwh = 0 (2)
la maxima distancia x es cuando RA = 0
RC = wb + wh (3)
luego (3) en (2) tenemos:
RC = 15175Kgf
(175)(2.5) − 2(100) − x(75) = 0
2375 = x(75) =⇒ x = 3.17m
Ejercicio No
5. 5 La viga AB de la figura tiene 1.2m de largo y pesa despreciable. Las esferas
C y D (de 10Kg y 20Kg respectivamente), unidas por la barra CD, descansan sobre la viga. La
distancia entre los centros de las esferas es de 0.3m calcular la distancia x de modo que la reacci´on
en B sea la mitad de la esfera.
Soluci´on
Datos:
wC = 40Kg
wD = 20Kg
CD = 0.3m
RB =
1
2
RA
Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la viga
Fisica I

32. 5. Est´atica 24
RA + RB − wC − wD = 0 (1)
usando la siguiente condici´on de equilibrio en el punto A
MA = 0
wC(1.2 − x − 0.3) + wD(1.2 − x) − RB(1.2) = 0
de (1) tenemos
RA +
1
2
RA = wC + wD
3RA
2
= 40 + 20 = 60
RA =
2.60
3
= 40
RA = 40N RB = 20N
Luego tenemos que encontrar la distancia x:
40(1.2 − x − 0.3) + 20(1.2 − x) = 1.2(20)
4(0.9 − x) + 2(1.2 − x) = 2.4
3.6 − 4x + 2.4 − 2x = 2.4
x = 0.6m
Fisica I

33. CAP´ITULO 6
Cinem´atica
La cinem´atica es la parte de la mec´anica que estudia el movimiento en si, sin tomar en
cuenta sus causas y las acciones de fuerza extra˜nas. La palabra viene de cin´etica, que significa
movimiento.
6.1. Vector posici´on (r)
Denominado tambi´en radio vector, determina la posici´on de un cuerpo en cada instante con
respecto al sistema de referencia.
En la figura anterior consideremos el movimiento de una part´ıcula (bolita) de izquierda a
derecha, ubicandoce en 3 tiempos diferentes (t1, t2, t3).
ubicado 3 vectores de posici´on r1, r2, r3 que se forman respecto al sistema de referencia
(punto O)
25

34. 6. Cinem´atica 26
6.2. Desplazamiento d
Es el vector (d) que define el cambio de posici´on que experimenta un cuerpo con respecto a
un sistema de referencia tal como se indica e la figura
en el tri´angulo vectorial verificamos que:
d = ∆r = r1 − r2 (6.1)
El modulo del vector desplazamiento tiene el nombre de distancia
6.3. Velocidad promedio
Se define la velocidad promedio de la part´ıcula durante un intervalo de tiempo ∆t como el
desplazamiento de una part´ıcula dividido entre el intervalo de tiempo
v =
r2 − r1
t2 − t1
=
∆r
∆t
(6.2)
Fisica I

35. 6. Cinem´atica 27
6.4. Velocidad instant´anea
Para definir la velocidad en un punto, se hace tender al limite el intervalo del tiempo
(∆t → 0) (el limite de la velocidad promedio)
vinst = l´ım
∆t→0
∆r
∆t
=
dr
dt
(6.3)
6.5. Aceleraci´on promedio
Cuando la part´ıcula pasa por A en un tiempo t, tiene una velocidad v1,(La velocidad es
tangente a la curva en los puntos A y B) B tiene una velocidad v2 en t2, ver gr´afica, se define
la aceleraci´on promedio
a =
∆v
∆t
=
v2 − v1
t2 − t1
(6.4)
Fisica I

36. 6. Cinem´atica 28
6.6. Aceleraci´on instant´anea
Es el limite de la aceleraci´on promedio para siempre en cuando el tiempo debe de ser muy
peque˜no por ese motivo (∆t → 0)
ainst = l´ım
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(6.5)
y como v = dr
dt
y reemplazando en (6.5)
ainst =
d
dt
dr
dt
=
d2
r
dt2
(6.6)
6.7. Movimiento parab´olico
En este movimiento el m´ovil lanzado con una velocidad v formando con la horizontal un
´angulo α describe una trayectoria parab´olica que proviene generalmente de dos movimientos
simples: cir horizontal (M.R.U.) y el otro vertical (M.R.U.V.)
6.7.1. Movimiento horizontal (MRU)
La velocidad es constante
vox = vx = vo cos α
x = voxt = vo cos αt (6.7)
Fisica I

37. 6. Cinem´atica 29
6.7.2. Movimiento vertical (MRUV)
El movimiento es uniforme acelerado
vy = voy − gt = vo sen α − gt (6.8)
de la ecuaci´on tenemos
y = voy −
1
2
gt2
= vo sen αt −
1
2
gt2
(6.9)
de (6.7) despejando t y luego reemplazando en (6.9)
t =
x
vo cos α
y =
vo sen αx
vo cos α
−
1
2
g
x
vo cos α
2
= x tan α −
1
2
g
x2
v2
o cos α
(6.10)
y = xvo tan α − 1
2
g x2
v2
o cos α
; es la ecuaci´on de la parabola
6.8. Altura maxima
Es el m´aximo alcance cuando vy = 0 en la ecuaci´on (6.8)
0 = vo sen α − gt, t =
vo sen α
g
(6.11)
luego (6.11) en (6.9)
y = Hmax = vo sen α
vo sen α
g
−
1
2
g
vo sen α
g
2
Hmax =
v2
o sen2
α
g
−
1
2
g
v2
o sen2
α
g2
=
v2
o sen2
α
g
−
1
2
vo sen2
α
g
Hmax =
v2
o sen2
α
2g
(6.12)
Fisica I

38. 6. Cinem´atica 30
6.9. Alcance m´aximo
Consideremos cuando y = 0 en (6.9)
0 = vo sen αt −
1
2
gt2
1
2
gt2
= vo sen αt
tt =
2vo sen α
g
(6.13)
donde tt: tiempo de vuelo del proyectil.
observamos que este tiempo es el doble del anterior por ello se dice que el tiempo de subida
es igual al tiempo de bajada (6.13) en (6.7)
x = R = vo cos αtt = vo cos α
2vo sen α
g
=
v2
o sen α cos α
g
por ´angulo doble de identidad trigonom´etrica
R =
vo sen 2α
g
(6.14)
para un tri´angulo t, el vector resultante es: v = v2
x + v2
y, su direcciones tan α = vy
vx
6.10. Movimiento circular: Velocidad angular
Consideremos ahora el caso especial en la cual la trayectoria es un circulo; esto es movimiento
circular, la velocidad v, siendo tangente al circulo, es perpendicular al radio R = CA cuando
medimos distancias a lo largo de la circunferencia del circulo a partir de O, del gr´afico mostrado
tenemos.
del gr´afico tenemos
S = Rθ
Fisica I

39. 6. Cinem´atica 31
derivamos con respecto al tiempo
dS
st
= R
dθ
dt
= Rw
v = RW (6.15)
como sabemos la velocidad angular instant´anea es:
w =
dθ
dt
(6.16)
derivamos nuevamente la ecu (6.15), con respecto a t
dv
dt
= R
dw
dt
= Rα
se define la aceleraci´on angular instant´anea
α =
dw
dt
(6.17)
cuando la aceleraci´on es constante se define la velocidad media
¯w =
wo + wt
2
(6.18)
Hallaremos la relaci´on vectorial entre v y w del gr´afico mostrado
v = w × r
sabemos v = Rw, del gr´afico R = r sen φ, v = (r sen φ)w = wr sen φ sabemos por definici´on
de producto vectorial
v = w × r (6.19)
Fisica I

40. 6. Cinem´atica 32
adem´as a = dv
dt
= d
dt
(w × r)
a =
dw
dt
× r + w ×
dr
dt
= α × r + w × v
a = α × r + w × v (6.20)
de donde tenemos
aT = α × r (aceleracion tangencial)
aN = w × v (aveleracion normal)
a = aT + aN
6.11. Ejercicios resueltos de cinem´atica
Ejercicio No
6. 1 Un m´ovil se mueve seg´un v = t2
−9, donde v(m/s) y t(seg), hallar la aceleraci´on
para v = 27m/s
Soluci´on
datos
v = 27m/s
Como te pide la aceleraci´on sabemos que:
a =
dv
dt
=
d
dt
(t2
− 9) =
d(t2
)
dt
−
d(9)
dt
a = 2t (1)
Fisica I

41. 6. Cinem´atica 33
ahora tenemos que encontrar el tiempo de v
v = t2
− 9, v = 27m/s
27 = t2
− 9
t2
= 36
t = 6 (2)
finamente para encontrar la aceleraci´on (2) en (1)
a = 2(6) = 12m/s2
a = 12m/s2
Ejercicio No
6. 2 Una part´ıcula se mueve en el plano XY , de acuerdo a las relaci´on ax =
−2 sen 3t, ay = cos 3t, cuando t = 0, x = 0, y = 2, vx = 4m/s y vy = 1m/s, hallar la ecuaci´on de
la trayectoria , la velocidad para t = π
6
seg
Soluci´on
datos:
ax = −2 sen 3t, ay = cos 3t, x = 0, t = 0, y = 2, vx = 4m/s, vy = 1m/s
a) como sabemos que
a =
dv
dt
(1)
i) Para el eje X de (1)
dvx = axdy
v − vx =
t
to
(−2 sen 3t)dt
v − vx = −2
t
0
sen 3tdt
v − vx = 2
3
cos 3t
t
0
v − vx = 2
3
cos 3t − 2
3
v =
2
3
cos 3t −
2
3
+ 4 =
2
3
cos 3t +
10
3
(2)
ahora v = dr
dt
r
ro
dr =
t
to
vdt
r − ro =
t
0
2
3
cos 3t +
10
3
dt
rˆi =
2
9
sen 3t +
10
3
t
t
0
=
2
9
sen 3t +
10t
3
ˆi (3)
Fisica I

42. 6. Cinem´atica 34
ii) Para el eje Y de (1)
v
vo=vy
dv =
t
to=0
adt
v − vy =
t
0
(cos 3t)dt
v =
sen 3t
3
+ 1 (4)
como v = dr
dt
r
ro
dr =
t
to
vdt
r − ro =
t
0
sen 3t
3
+ 1 dt
r − 2 = −
1
9
cos 3t +
1
9
+ t
r =
1
9
cos 3t +
19
9
+ t
ry =
19
9
+ t −
1
9
cos 3t ˆi (5)
de (3) y (5) tenemos
r =
10t
3
+
2
9
sen 3t ˆi +
19
9
+ t −
1
9
cos 3t ˆj
b) La velocidad para t = π
6
seg de (2) y (4) tenemos
v =
2
3
cos 3t +
10
3
ˆi +
1
3
sen 3t + 1 ˆj
v =
2
3
cos
π
2
+
10
3
ˆi +
1
3
sen
π
2
+ 1 ˆj =
10
3
ˆi +
4
3
ˆj
||v|| =
10
3
2
+
4
3
2
=
√
116
3
Ejercicio No
6. 3 Un cuerpo se mueve con una aceleraci´on de a = pt2
, donde p es constante, si
para t = 0, v = 2m/s y cuando t = 2s, v = 16m/s y y = 1m. a) Hallar la posici´on en funci´on del
tiempo. b) la distancia total recorrido en 2seg c) Cual es la posici´on al cabo de 3s
Soluci´on
Fisica I

43. 6. Cinem´atica 35
a) Si la aceleraci´on a = dv
dt
= pt2
datos: t = 0, vo = 2m/s, tf = 2 y vf = 16m/s
v
vo=2
dv =
tf
to=0
pt2
dt
vf − v0 = pt3
3
vf − 2 = p(2)3
3
16 − 2 = p(2)
3
14(3)
8
= p
p = 5.25
Para encontrar la posici´on
v = 2 +
5.25
3
t3
, v =
dx
dt
,
x
1
dx =
t
2
vdt
x − 1 =
t
2
2 +
5.25t3
3
dt
x = 1 + 2t|t
2 +
5.25t4
12
t
2
= 2t +
5.25t4
12
− 10
x = 2t +
5.25t4
12
− 10 (1)
b) Para hallar la distancia recorrida 1 a 2s debemos que hallar el area debajo de la funci´on
velocidad - tiempo
como v = dx
dt
x2
x1
dx =
2
1
vdt
x2 − x1 =
2
1
2 +
5.25t3
3
dt
x2 − x1 = 2t|2
1 +
5.25t4
12
2
1
x2 − x1 = 8.5625 (2)
Fisica I

44. 6. Cinem´atica 36
c) La posici´on al cabo de 3seg es de (1)
x = 2t +
5.25t4
12
− 12, t = 3
x = 2(3) +
5.25(3)4
12
− 10 = 7.81m
Ejercicio No
6. 4 Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley v = t3
+4t2
+2
si x = 4 cuando t = 2s encontrar el valor de x cuando t = 3s encontrar tambi´en su aceleraci´on
Soluci´on
Datos x = 4m, t = 2s, t = 3s
si tenemos la expresi´on
v = t3
+ 4t2
+ 2 (1)
adem´as v = dx
dt
x
xo
dx =
t
to
vdt
x|x
xo=4 =
t=3
to=2
(t3
+ 4t2
+ 2)dt
x − 4 = t4
4
+ 4t3
3
+ 2t
3
2
x = 4 + 81
4
− 16
4
+ 4(27)
3
− 4(3)
3
+ 2(3 − 2)
x = 4 81
4
+ 36 + 6 − 4 − 32
3
− 4
x = 47.58m
Luego calculamos su aceleraci´on si sabemos que
a =
dv
dt
a =
d
dt
(t3
+ 4t2
+ 2) = 3t2
+ 8t
pero t = 3seg
a = 3(3)2
+ 8(3)
a = 31m/s2
Ejercicio No
6. 5 En el t = 0 un paracaidista (figura) que tiene un peso de magnitud mg esta
situado en z = 0 y se mueve verticalmente hacia abajo con una velocidad vo si la fuerza o resistencia
del aire que act´ua sobre el paracaidista es perpendicular a la rapidez instant´anea, hallar a) la rapidez
b) la distancia
Soluci´on
Fisica I

45. 6. Cinem´atica 37
a) Consideremos como una part´ıcula de masa m, esta situaci´on a una distancia z del origen,
si k es un vector unitario en la direcci´on vectorial hacia abajo.
por la ley de Newton
ma = F
m
dv
dt
ˆk = (mg − βv)ˆk (1)
m
dv
dt
= mg − βv
mdv
mg − βv
= dt
integrando
mdv
mg − βv
= dt
−
m
β
ln(mg − βv) = t + c1 (2)
como v = vo cuando t = 0 e efecto
−
m
β
ln(mg − βvo) = c1 (3)
luego (3) en (2)
−m
β
ln(mg − βv) = t − m
β
ln(mg − βvo)
t = m
β
ln(mg − βvo) − m
β
ln(mg − βv)
t = m
β
ln mg−βvo
mg−βv
tβ
m
= ln mg−βvo
mg−βv
e
tβ
m = eln(mg−βvo
mg−βv )
e
tβ
m = mg−βvo
mg−βv
v =
mg
β
+ vo −
mg
β
e−βz
m (4)
Fisica I

46. 6. Cinem´atica 38
b) Para encontrar la distancia recorrida de (4) tenemos dz
dt
= v = mg
β
+ vo − mg
β
e−βt
m , entonces
integramos
dz
dt
=
mg
β
+ vo −
mg
β
e−βt
m dt
z =
mgt
β
−
β
m
vo −
mg
β
e−βt
m + c2 (5)
como z = 0, cuando t = 0
0 = −
β
m
vo −
mg
β
+ c2
c2 =
β
b
vo −
mg
β
(6)
(5) en (6) tenemos
z =
mgt
β
+
m
β
vo −
mg
β
1 − e−βt
m
c) utilizando (4), es aceleraci´on esta dado por
a =
dv
dt
= −
β
m
vo −
mg
β
e−βt
m = g −
βvo
m
e−βt
m
a = g −
βvo
m
e−βt
m
Ejercicio No
6. 6 Un plano inclinado (figura) forma un ´angulo α con la horizontal. se dispara un
proyectil desde el punto mas bajo A del plano inclinado con rapidez vo formando un ´angulo β con
la horizontal.
a) Demostrar que el alcance R sobre el plano inclinado es
R =
2v2
o sen(o
beta − α) cos β
g cos2 α
b) Probar que el alcance m´aximo sobre el plano inclinado seda por Rmax = v2
o
g(1+sen α)
, que se obtiene
cuando β = π
4
+ α
2
Fisica I

47. 6. Cinem´atica 39
Soluci´on
Para el eje horizontal (MRU) y para el eje vertical (MRUV)
z = (vo cos βt); y = vo sen βt −
1
2
gt2
(1)
el vector posici´on del proyectil en cualquier tiempo t es
r = yˆj + zˆz
de (1)
r = (vo cos βt)ˆj + (vo sen βt −
1
2
gt2
)ˆk (2)
la ecuaci´on del plano inclinado (en el plano Y Z es una recta) es
z = y tan α (3)
reemplazando (1) en (3) tenemos
vo sen βt −
1
2
gt2
= vo cos βt tan α
t =
2vo(sen β cos α − cos β sen α)
g cos α
=
2vo sen(β − α)
g cos α
(4)
el tiempo cuando este en el punto B del gr´afico
sec α =
R
y
R = y sec α, luego reemplazando el valor de t en la primera ecu.
R =
vo cos β2vo sen(β − α) sec α
g cos2 α
R =
2v2
o cos β sen(β − α)
g cos2 α
b) el alcance R puede expresar utilizando la identidad trigonom´etrica
sen A cos B =
1
2
(sen(A + B) + sen α)
Fisica I

48. 6. Cinem´atica 40
es m´aximo cuando sen(2β − α) = 1 esto es 2β − α = π
2
o β = α
2
+ π
4
y el valor de este m´aximo
es
Rmax =
v2
o(1 − sen α)
g cos2 α
=
v2
o(1 − sen α)
g(1 + sen α)(1 − sen α)
Rmax =
v2
o
g(1 + sen α)
Ejercicio No
6. 7 Un m´ovil se mueve sobre la trayectoria x2
+ y2
= 9 su ecuaci´on es S = 2t3
,
donde S se mide a partir del punto (3,0) sobre la trayectoria. Hallar la ecuaci´on del m´ovil
Soluci´on
La aceleraci´on esta dado por
a = a2
N + a2
T (*)
si S = 2t3
v =
dS
dt
=
d
dt
(2t3
) = 6t2
a =
dv
dt
=
d(6t2
)
dt
= 12t (1)
aN =
v2
p
=
(6t2
)2
3
=
36t4
3
= 12t4
(2)
donde p = 3 y finalmente (1) y (2) en (*)
a = (12t4)2 + (12t)2 =
√
144t8 + 144t2
a =
√
144t8 + 144t2
Ejercicio No
6. 8 Una part´ıcula parte con una velocidad inicial vo y se mueve aceleradamente por
una circunferencia de radio p en todo momento la aceleraci´on tangencial es el doble de la aceleraci´on
normal. Hallar la aceleraci´on total en funci´on del arco S
Fisica I

49. 6. Cinem´atica 41
Soluci´on
En todo instante
aT = 2aN (1)
La aceleraci´on total es:
a = a2
T + a2
N (2)
reemplazando (1) en (2)
a = (2aN )2 + (aN )2 = 5a2
N (3)
donde
aN =
v2
p
(4)
hallemos v seg´un la condici´on del problema aT = 2aN ; dv
dt
= 2v2
p
haremos unos arreglos multi-
plicando por dS
dS
dv
dt
dS
dS
=
dv
dS
dS
dt
= v
dv
dS
=
2v2
p
(5)
dv
v
= 2 dS
p
v
vo
dv
v
= 2
p
S
0
dS
ln v
vo
= 2S
p
eln( v
vo
) = e
2S
p
v = voe
2S
p (6)
Luego (6) en (4) tenemos
aN =
v2
p
=
voe
2S
p
2
p
=
v2
oe
4S
p
p
finalmente para encontrar la aceleraci´on de reemplazamos en (3)
a =
√
SaN =
√
S
v2
oe
4S
p
p
Fisica I

50. 6. Cinem´atica 42
Ejercicio No
6. 9 Un motor gira con una frecuencia constante de 360rpm. Calcular:
a) El periodo de rotaci´on en segundos
b) La frecuencia angular en rad/s
Soluci´on
f = 360rpm = 360
rev
min
= 360
rev
60s
f = 6rev/s
a) Calculo del periodo
T =
1
f
=
1
6
T =
1
6
s
b) Calculo de la frecuencia angular
w = 2πf = 2π(6)
w = 12π
rad
s
Ejercicio No
6. 10 Un auto es capas de recorrer uniformemente 100m en 4s, si el radio de sus
llantas es 0.2m, determinar su velocidad angular durante el movimiento.
Soluci´on
Graficando el movimiento realizado Soluci´on
Un observador en el auto dir´a
s = vt
s = wRt
Reemplazando
100 = w(0.2)(4)
w = 125rad/s
Ejercicio No
6. 11 Una rueda gira describiendo 80vueltas en 1 minuto. Si la rueda tiene un radio
de 50cm, ¿Cual ser´a la aceleraci´on centr´ıpeta de la rueda?
Soluci´on
Fisica I

51. 6. Cinem´atica 43
La aceleraci´on centr´ıpeta ser´a:
acp = w2
R
Pero
w =
θ
t
=
80vueltas
1minutos
=
80(2πrad)
60s
w =
8π
3
rad
s
Luego
acp =
8
3
π
2
(0.5)
acp =
32π2
9
m
s2
Fisica I

52. CAP´ITULO 7
Din´amica de una part´ıcula
Es la parte de la mec´anica que tiene finalidad estudiar las relaciones entre las fuerzas y el
movimiento que estas producen. Es decir entre las causas y efectos. Estas relaciones entre las
fuerzas y el movimiento fueron enunciados por ISAAC NEWTON
7.1. Fuerza
Es una cantidad vectorial, que se define como el cambio con respecto al tiempo del movimien-
to de una part´ıcula
F =
dp
dt
, donde: p: es momentun (7.1)
7.2. Primera ley de Newton (Ley de inercia)
Todo cuerpo permanece en reposo (velocidad igual a cero) o con un movimiento rectilineo
uniforme (velocidad constante) al menos que act´ua una fuerza que cambia su estado
7.3. Segunda Ley de Newton
Todo fuerza aplicada a un cuerpo le comunica una aceleraci´on a en la misma direcci´on y
sentido donde la fuerza directamente proporcional en ella o inversamente proporcional a la masa
m del cuerpo. de 7.1
F =
dp
dt
, p = mv
F = d(mv)
dt
F = mdv
dt
F = ma (7.2)
44

53. 7. Din´amica de una part´ıcula 45
La ecuaci´on (7.2) es la segunda Ley de Newton
7.4. Tercera Ley de Newton
Es cuando toda acci´on se opone siempre a una reacci´on igual pero en sentido contrario
7.5. Diferencia entre masa y peso
7.5.1. Peso
Es la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre el cuerpo, por ejemplo tenemos
El peso es una cantidad vectorial
Su direcci´on y sentido es hacia el centro de la tierra
7.5.2. Masa
Es una cantidad escalar
Se mide con la balanza
Es constante, salvo para velocidades pr´oximas a la luz
7.6. Fuerzas de rozamiento
Cuando un cuerpo va a iniciar un movimiento o esta en movimiento, existe una fuerza f
que se opone al movimiento relativo entre los cuerpos, tal como se indica en la figura
7.6.1. Normal (N)
La fuerza normal N es una fuerza perpendicular a la superficie en contacto, y es una reac-
ci´on de la superficie fija sobre el cuerpo que se mueve, la fuerza de rozamiento siempre es
perpendicular ala normal (N)
Fisica I

54. 7. Din´amica de una part´ıcula 46
7.6.2. Fuerza de rozamiento est´atico
Se define cuando se aplica una fuerza F sobre el cuerpo de peso w, al aumentar la fuerza
F, el cuerpo no se mueve entonces F alcanza un valor m´aximo, o limite Flim en el cual se dice
que el cuerpo va iniciar su desplazamiento o el movimiento es inmediato, entonces la fuerza que
se opone al movimiento que es la fuerza de rozamiento est´atico fs experimentada, se halla que
esta fuerza es proporcional a la normal
fs ∝ N, fs = µsN
donde µs : es el coeficiente de rozamiento est´atico
7.6.3. Fuerza de rozamiento cin´etico
Se define la fuerza de rozamiento cin´etico, como la fuerza necesaria para mantener dos
cuerpos en movimientos uniformes relativo, se halla experimentalmente que fk es proporcional
a la normal
fk ∝ N, fk = µkN
donde µk: es el coeficiente de rozamiento cin´etico
Fisica I

55. 7. Din´amica de una part´ıcula 47
7.7. Fuerza centr´ıpeta
Cuando un cuerpo describe un movimiento circular, siempre existe la fuerza centr´ıpeta,
mediante un observador que usa una sistema de referencia inercial
Fc = mac, como ac = v2
R
, tenemos
Fc = m
v2
R
adem´as v = wR y reemplazando
Fc = m
(wR)2
R
= m
w2
R2
R
= mw2
R
Fc = mw2
R, donde w: velocidad angular.
Tambi´en se puede expresar en funci´on la frecuencia
w =
2π
T
= 2πf
Reemplazando en la ecuaci´on de la fuerza centr´ıpeta
Fc = m(2πf)2
R = 4π2
Rmf2
7.8. Ejercicios resueltos de din´amica de una particula
Ejercicio No
7. 1 En la figura AB es una mesa sin rozamiento, las masa m1 y m2 est´an unidas
por una cuerda que pasa sobre una polea liviana en B. Determinar a) la aceleraci´on de la m2 b) la
tensi´on de la cuerda
Fisica I

56. 7. Din´amica de una part´ıcula 48
Soluci´on
Analizando para el bloque (2), m2 > m1
de la segunda Ley de Newton
Fy = ma
T2 − m2g = m2a2 (1)
T1 = m1a1 (2)
Luego (2) en (1) y T1 = T2 = T y a1 = a2 = a
m1a − m2a = m2a
m1 − m2a = m2g
a = m2g
m1−m2
La tension
T = m2g + m2a
T = m2g + m2
m2g
m1−m2
T = m2g 1 + m2
m1−m2
= m2g m1−m2+m2
m1−m2
T = m1m2g
m1−m2
Ejercicio No
7. 2 Las masa A y B en la figura adjunta son respectivamente de 10Kg y 5kg el
coeficiente de fricci´on entre A y la masa es de 0,20, encontrar la masa minima de C que evita el
movimiento de A. Calcular la aceleraci´on del sistema si C se separa del sistema
Fisica I

57. 7. Din´amica de una part´ıcula 49
Soluci´on
Calculo de la masa C
De la 2da Ley de Newton
Fx = ma
T − Ff = (mA + mC)a (1)
Fy = 0
N = (mA + mC)g (2)
si Ff = µN
Ff = (mA + mC)gµ (3)
del bloque B tenemos
Fisica I

58. 7. Din´amica de una part´ıcula 50
De la 2da Ley de Newton
Fy = ma
mBg − T = mBa
T = mBg − mBa (4)
Luego (3) y (4) en (1) tenemos:
mBg − mBa − (mA + mC)gµ = (mA + mC)a
mBg − (mA + mC)gµ = (mA + mB + mC)a
a =
mBg − (mA + mC)gµ
(mA + mB + mC)
, como FB = mBg, Fg = (mA + mC)gµ
a =
FB − Ff
mA + mB + mC
(5)
Para que mC → minimo la aceleraci´on del sistema debe ser nula (a = 0) luego debe cumplir
FB = Ff (6)
(6) en (3)
mBg = (mA + mC)gµ
mBg = mAµg + mCµg
mC =
mAgµ − mB
µg
=
mAµ − mB
µ
(7)
finalmente reemplazando los datos en (7) pera encontrar la masa C
mC =
(5 − (0.20)10)
0.20
= 15Kg
mC = 15Kg
Para encontrar la aceleraci´on usamos la ecu. (5) tenemos
a =
mBg − µmAg
mA + mB
=
(5 − (0.20)10)9.8
5 + 10
= 1.96m/s2
a = 1.96m/s2
Ejercicio No
7. 3 Un cuerpo cuya masa es de 0.30Kg, se encuentra sobre un plano inclinado 30o
el cuerpo se mueve con movimiento uniforme y con aceleraci´on de 0.10m/s2
el coeficiente de fricci´on
de deslizamiento con el plano es de 0.30 y su velocidad es de 2m/s2
hacia arriba. ¿ Que distancia
recorre el cuerpo antes de detenerse?,¿ Cual es el menor del coeficiente de fricci´on de modo que el
cuerpo una vez detenido no regrese hacia abajo?
Soluci´on
Representemos gr´aficamente el problema
Fisica I

59. 7. Din´amica de una part´ıcula 51
Calcula de la distancia recorrida por el cuerpo tenemos:
x = vot +
1
2
at2
(1)
adem´as
v = vo + at (2)
segunda ley de movimiento
Fx = ma
−Ff − mg sen 30o
= ma (3)
ma = −(Ff + mg sen 30o
) (4)
Fy = 0
N = mg cos 30o
como Ff = Nµ, tenemos
Ff = mg cos 30o
µ = µmg cos 30o
(5)
Luego (5) en (4)
ma = −(µmg cos 30o
+ mg sen 30o
)
a = −(µg cos 30o
+ g sen 30o
)
a = −g(µ cos 30o
+ sen 30o
)
Reemplazando los datos tenemos
a = −(9.8)(0.3 cos 30o
+ sen 30o
)
a = −7.43m/s2
(6)
de (2), como v = 0
t = −
vo
a
=
−(0.10)
−(7.43)
= 0.269s (7)
finalmente (6), (7) en (1) tenemos
x = 2(0.269) +
1
2
(−7.43)(0.269)2
x = 0.27m (8)
Fisica I

60. 7. Din´amica de una part´ıcula 52
Calculemos el valor del coeficiente de fricci´on m´ınimo: tenemos:
Ff − mg sen 30o
= 0 (9)
pero
Ff = µ mg cos 30o
(10)
igualando (9)=(10) tenemos
µ mg cos 30o
= mg sen 30o
µ = sen 30o
cos 30o = tan 30o
µ = 0.577
El gr´afico Para que el coeficiente sea m´ınimo
Fx = 0
Ff − mg sen 30o
= 0
Ff = mg sen 30o
Ejercicio No
7. 4 La masa de A y B son de 3Kg y 1Kg respectivamente. Si se aplica una fuerza
F = 5t2
a la polea, encontrar la aceleraci´on de A y B en funci´on de t ¿ que sucede despu´es que B
alcanza la polea?
Fisica I

61. 7. Din´amica de una part´ıcula 53
Soluci´on
como se jala la polea haremos el an´alisis para el bloque B
De la 2da Ley de Newton
Fy = ma
TB − mBg = mBa (1)
luego el bloque A
Fx = 0
TA = mAg (2)
como:
F = TA + TB (3)
luego (2) y (1) en (3)
F = mBa + mBg + mAg
amB = F − mB − mAg
a =
F
mB
− g
(mB + mA)
mB
(4)
Reemplazando los datos F = 5t2
, mA = 3Kg, mB = 1Kg
a = 5t2
− (39.2)
Luego A no tiene movimiento AA = 0
Fisica I

62. 7. Din´amica de una part´ıcula 54
Ejercicio No
7. 5 Una piedra cuya masa es de 0.4Kg esta atado al extremo de una cuerda de
0.8m si la piedra describe un circulo a una velocidad de 80rev/min cuales la magnitud de la fuerza
que ejerce la cuerda sobre la piedra si la cuerda se rompe la tension en mayor de 50Kgf. ¿ Cual es
la mayor velocidad angular positiva?
Soluci´on
Datos: m = 0.4Kg, R = 0.8min Gr´afica del problema
La velocidad angular
w =
8rev
min
=
8πrad
3s
w =
8πrad
3s
(1)
como sabemos que:
FN =
mv2
R
= mRw2
(2)
luego reemplazando (1) y los datos en (2)
FN = (0.4)(0.8)
4
3
2(3.14)
2
= 22.42N
FN = 22.42N
Si la cuerda se rompe a la tension de 50Kg esta sera la maxima fuerza normal que podr´a so-
portar, luego
FN = mRw2
w =
FN
mR
=
(50)(9.8)
(0.4)(0.8)
= 39.12rad/s
Ejercicio No
7. 6 Una masa m muy peque˜na esta ligado con una cuerda al extremo de esta se
halla en el v´ertice de un cono a una altura L, el cual gira cierta velocidad w hallar el valor de w
para el cual la masa se separa ligeramente del cono tal como se indica en la figura
Fisica I

63. 7. Din´amica de una part´ıcula 55
Soluci´on
Consideremos que la masa gira junto con el cono y las fuerzas que act´uan son la tension de la
cuerda, el peso del cuerpo, y la reacci´on N del cono sobre la masa
De la 2da Ley de Newton
Fx = mac
T sen θ − N cos θ = mRw2
(1)
Fy = 0
T cos θ + N sen θ − mg = 0 (2)
seg´un el problema cuando se separa del cono N = 0 y (1) y (2)
T sen θ = mRw2
(3)
T cos θ = mg (4)
Fisica I

64. 7. Din´amica de una part´ıcula 56
(3)÷ (4) como
T cos θ = mg, R = L sen θ (6)
Luego (6) en (??) tenemos
sen θ
cos θ
=
L sen θw2
g
w2
=
g
L cos θ
w =
g
L cos θ
Ejercicio No
7. 7 Un cuerpo desliza del v´ertice de una esfera lisa de radio R Hallar la velocidad
del cuerpo en el momento de la separaci´on de la superficie de la esfera, si su velocidad inicial es
cero.
Soluci´on
Presentemos gr´aficamente el problema:
La part´ıcula esta en la posici´on p(R, θ) y tiene una velocidad tangencial y por lo tanto una
aceleraci´on tangencial y una aceleraci´on centr´ıpeta en la direcci´on R
FR = mac =
mv2
R
mg cos θ − N =
mv2
R
si cuando se separa N = 0
mg cos θ =
mv2
R
(1)
Fisica I

65. 7. Din´amica de una part´ıcula 57
La aceleraci´on tangencial en la direcci´on ˆθ
Fy = maT
mg sen θ = maT = m
dv
dt
dv
dt
= g sen θ (2)
como dv
dt
= dv
dθ
· dθ
dt
= dv
dθ
w
dv
dt
=
dv
dθ
v
R
(3)
Luego tenemos:
dv
dθ
v
R
= g sen θ
v
0
v
R
dv =
θ
0
sen dθ ⇒
v2
2
v
0
= −gR cos θ|θ
0
v2
2
= −gR(cos θ − cos 0) = −gR(cos θ − 1)
v2
= 2gR(1 − cos θ)
v = 2gR(1 − cos θ) (4)
de (1) y (4) tenemos
Rg cos θ = 2Rg(1 − cos θ)
cos θ = 2 − 2 cos θ
3 cos θ = 2
cosθ =
2
3
(5)
luego de (1) en (5) tenemos
v2
= RG
2
3
⇒ v =
2
2
RG
Fisica I

66. 7. Din´amica de una part´ıcula 58
Ejercicio No
7. 8 Una cadena flexile de longitud L y peso W (figura adjunta) esta colocado
inicialmente en reposo sobre una superficie sin fricci´on ABC estando D a una distancia L − a
de B demostrar que cuando el extremo D llega al punto B la velocidad de la cadena es v =
g
L
(L2 − a2) sen α
Soluci´on
Como sabemos que M es la masa total de la cuerda M
L
es la masa longitudinal de la cuerda
entonces, la masa de la longitud x es
m =
M
L
x (1)
Por la segunda Ley de Newton
F = ma
mg sen α = Ma (2)
M
L
xg sen α = Ma (3)
como :a = dv
dt
dx
dx
= dv
dx
dx
dt
a = v
dv
dx
(4)
Luego de (4) y (3) tenemos
Mv
dv
dx
=
Mx
L
g sen α
Fisica I

67. 7. Din´amica de una part´ıcula 59
v
0
vdv =
g sen α
L
L
0
xdx
v2
2
=
g sen α
L
x2
2
L
0
=
g sen α
2L
(L2
− a2
)
v2
2
=
g sen α
2L
(L2
− a2
)
v =
g sen α
L
(L2 − a2)
Fisica I

68. CAP´ITULO 8
Trabajo y Energ´ıa
En este capitulo se comenzara por introducir el concepto de trabajo, el trabajo es efectuado
por una fuerza que act´ua sobre un objeto cuando el punto de aplicaci´on de esa fuerza se mueve
alguna distancia y la fuerza tiene una componente a la largo de la linea de movimiento.
8.1. Trabajo
Consideremos una part´ıcula en A que se mueve a lo largo de una curva C bajo la acci´on de
una fuerza F (figura), en un tiempo muy peque˜no dt la part´ıcula se mueve de A a A’, siendo el
desplazamiento AA = dr. Al trabajo efectuado por la fuerza F durante el desplazamiento se
define por el producto escalar
dw = F · dr (8.1)
como se trata la distancia muy peque˜na se observa que dr ≈ ds, FT = F cos θ, tenemos
dw = FT = F cos θds = Fds cos θ
60

69. 8. Trabajo y Energ´ıa 61
dw = Fds cos θ (8.2)
8.2. Trabajo hecho por una fuerza variable
En este caso la fuerza no es constante en magnitud y es una funci´on de la posici´on y se
define, mediante un proceso de integraci´on figura. El trabajo es el area de la funci´on w = Area
debajo de la funci´on :
como:
∆w = Fx∆x
n
i=1
∆w =
n
i=0
Fx∆x (8.3)
Si se permite que los desplazamientos se aproximen a cero la llevaremos a l´ım ∆x → 0
∆w = Fx∆x
l´ım
∆x→0
w = l´ım
∆x→0
Fx∆x
w
0
dw =
xf
xi
Fx
w =
xf
xi
Fxdx (8.4)
8.3. Teorema del trabajo y la energ´ıa cin´etica
El teorema es ´unico, que se cumple si la fuerza es constante o no para este analizaremos
para los dos casos
Fisica I

70. 8. Trabajo y Energ´ıa 62
8.3.1. Cuando la fuerza es constante
Para esta consideremos F paralelo al desplazamiento en una solo direcci´on
El trabajo:
w = F · r (8.5)
como F = ma, tenemos r = x
w = max (8.6)
y adem´as v2
f = v2
o + 2ax de (8.6) y (8.5) tenemos:
w = m
v2
f − v2
o
2
=
mv2
f
2
−
mv2
o
2
(8.7)
de (8.7) tambi´en se define la energ´ıa cin´etica como la cantidad de trabajo que puede realizar el
cuerpo sobre sus alrededores
8.3.2. Cuando la energ´ıa es variable
Consideremos la fuerza variable de la ecu. (8.4)
w = Fdx = madx (8.8)
como:
a =
dv
dt
=
dv
dt
dx
dx
=
dv
dx
dx
dt
= v
dv
dx
(8.9)
Lo reemplazamos (8.9)en (8.8) tenemos
w = mv
dv
dx
dx = m
v
vo
vdv
w = m
v2
2
|v
vo
= m
v2
2
−
v2
o
2
=
1
2
mv2
−
1
2
mv2
o
w = K − Ko = ∆K (8.10)
Fisica I

71. 8. Trabajo y Energ´ıa 63
8.4. Potencia
Se define la potencia media como la rapidez con la que se efect´ua trabajo o es el tiempo que
se tarda en hacer el trabajo
P =
w
t
(8.11)
tambi´en se define la potencia instant´anea Pinst = dw
dt
, tambi´en dw =
t2
t1
Pdt
w =
t2
t1
Pdt (8.12)
8.5. Fuerza conservativas
Definici´on: Una fuerza conservativa si el trabajo hecho por una part´ıcula que se mueve
asignando un ∆K = 0 , w = 0, F = 0 es conservativa
circulo completo cualquiera es cero.
Ahora si el trabajo hecho por una fuerza F es un circulo cerrado es diferente de cero,
entonces es fuerza no es conservativa.
∆K = 0, ⇒ w = 0, ⇒ F no es conservativa
Definici´on: Una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por ella sobre una part´ıcula que se
desplaza entre dos puntos depende solamente de eses puntos y no de la trayectoria siguiendo si
se depende de la trayectoria la fuerza no es conservativa.
8.6. Energ´ıa Potencial
8.6.1. Energ´ıa potencial gravitatoria
Cuando un objeto cae hacia la tierra, esta ejerce sobre el una fuerza gravitatoria en direcci´on
hacia el centro de la tierra y esta dado por:
F = mg
como sabemos que: de (8.4)
w = Fdy
w =
y
yo
mgdy = mg
y
yo
dy = mg(y − yo)
w = mg∆y (8.13)
es el cambio de la energ´ıa potencial
Fisica I

72. 8. Trabajo y Energ´ıa 64
8.6.2. Energ´ıa potencial elastica
Ahora consideremos un sistema de un bloque mas un resorte como se muestra en la figura,
la fuerza que el ejerce sobre el bloque esta dada por Fs = −kx.
como en el caso anterior
w = Fsdx
w =
x
xo
−kxdx = −k
x
xo
xdx
w = −kx2
2
|x
xo
= −k
2
(x2
− x2
o)
w = 1
2
k(x2
o − x2
)
w = −∆U(x)
8.7. Ejercicios de trabajo y energ´ıa
Ejercicio No
8. 1 Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12N, cuyo punto de aplicaci´on
se mueve 7m, si el ´angulo entre las direcciones de las fuerzas y el desplazamiento a) 0o
b) 60o
c)
90o
d) 145o
e) 180o
Soluci´on
Como sabemos por definici´on que w = F · dr es en la forma vectorial, tambi´en se puede
escribir en la forma escalar
w = Fr cos θ
cuando esa en la direcci´on de la fuerza integrando tenemos
w = Fr cos θ
Para a) θ = 0o
w = (12)(7) cos 0o
= 84J
Para b) θ = 60o
w = (12)(7) cos 60o
= 42J
Fisica I

73. 8. Trabajo y Energ´ıa 65
Para c) θ = 90o
w = (12)(7) cos 90o
= 0J
Para d) θ = 145o
w = (12)(7) cos 145o
= −68.8J
Para e) θ = 180o
w = (12)(7) cos 180o
= −84J
Ejercicio No
8. 2 Un cuerpo de 0.10Kg de masa cae de una altura de 3m sobre un mont´on de
arena si el cuerpo penetra 3cm antes de detenerse que fuerza constante ejerce la arena sobre el
Soluci´on
Datos: d1 = 3m, d2 = 3cm, m = 0.10Kg, F =? Como w = Fd1, adem´as
F = fuerza = peso = mg
F = (0.1)(9.8) = 0.98N
d1 = 3m
Luego w = Fd1 = (0.98N)(3m) = 2.74J Luego la energ´ıa debe producir un trabajo al penetrar
en la arena ´osea
warena = Fd2 ⇒ F =
w
d
=
2.94
0.03
= 98N
F = 98N
Ejercicio No
8. 3 Sobre un plano inclinado de θ, se empuja un cuerpo de masa m si el coeficiente
de rozamiento es µk entre el cuerpo y el plano, que trabajo debe realizar para subir el cuerpo una
distancia de L , con una velocidad constante.
Soluci´on
Fisica I

74. 8. Trabajo y Energ´ıa 66
Analizamos las fuerzas de la componente x ,
Fx = F − fs − mg sen θ (1)
como la velocidad es constante ma = 0
F = ma = 0
F − fs − mg sen θ = 0
F = mg sen θ + fs (2)
Fy = 0
N − m cos θ = 0
N = m cos θ (3)
y fs = µN
fs = µmg cos θ (4)
Ahora como el trabajo es
w = F · r (5)
donde r = L Luego (5) (3) y (2) tenemos:
w = (fs + mg sen θ)L = (µmg cos θ + mg sen θ)L
w = mgL(µ cos θ + sen θ)
Ejercicio No
8. 4 sea una masa m, que se halla a una distancia h del extremo superior de un
resorte de constante elastica k, tal como se muestra en la figura, Hallar la maxima compresi´on
Soluci´on
Fisica I

75. 8. Trabajo y Energ´ıa 67
Del gr´afico podemos observar las fuerza que act´ua son el peso y el resorte tenemos: por conser-
vaci´on de energ´ıa
∆K + ∆Ue + ∆Ug = 0
1
2
v2
f m −
1
2
v2
om +
1
2
kx2
−
1
2
kx2
o + (mghf − mgho) = 0
(0 − 0) + (
1
2
kx2
− 0) + (0 − mg(h + x)) = 0
x2
=
2mg
k
(h + x)
x2
=
2mg
k
h +
2xmg
k
x2
−
2mg
k
x −
2mgh
k
= 0
factorizando tendremos
x =
mg
k
±
m2g2
k2
+
2mgh
k
Ejercicio No
8. 5 Una fuerza de 60dinas act´ua por 12s en cuerpo cuya masa es de 10gm. El
cuerpo tiene una velocidad inicial de 60cm/s en la misma direcci´on de la fuerza a) El trabajo
efectuado por la fuerza, b) La energ´ıa cin´etica final c) La potencia desarrollada y d) el aumento de
la energ´ıa cin´etica
Soluci´on
a) Trabajo efectuado: Datos: F = 60dinas, t = 12s, m = 10gm y v = 60cm/s Sabemos :
w = F · dr (1)
adem´as:
xf = vot +
1
2
at2
(2)
Fisica I

76. 8. Trabajo y Energ´ıa 68
Pero:
a =
F
m
=
60
10
= 6cm/s2
(3)
Luego (3) en (2)
x = (60)(12) +
1
2
(6)(12)2
= 1152cm
xo = 0; x1 = 1152cm
La distancia de 0 → 1152cm de (1) tenemos w =
x1
0
F cos θdr, como esta en la misma
direcci´on θ = 0
w =
1152
0
(60)(cos 0)dr = 60(1152) = 69120J
b) Energ´ıa cin´etica
Ek =
1
2
mv2
(4)
adem´as
vf = vo + at (5)
en efecto vf = 60 + 6(12)
vf = 132cm/s (6)
Luego (6) en (4) tenemos
EKf
=
1
2
mv2
=
1
2
(10)(132)2
Ekf
= 87.120J
c) Potencia desarrollada
P =
w
t
(7)
de (7) tenemos
P =
69.120
12
= 5.76 × 10−4
Watts
d) Aumento de la energ´ıa cin´etica
∆Ek = Ekf
− Eko
donde:
Eko =
1
2
mv2
o =
1
2
(10)(60)2
= 18000J
de lo anterior tenemos
Ekf
= 87.120J, Eko = 18000J
∆Ek = 87120 − 18000 = 69.120J
Ejercicio No
8. 6 Sabemos un plano inclinado θ = 60o
, esta situaci´on una masa de 20Kg, el cual
desliza una distancia de 5m, hasta la base del plano. despu´es recorre 2m antes de chocar con un
resorte de constante de elasticidad 1000N/m, cuanto se comprime el resorte, si ambas superficies
presentan rozamiento cuyo coeficiente es 0,3
Fisica I

77. 8. Trabajo y Energ´ıa 69
Soluci´on
Primeramente trabajamos el tramo AB por el teorema de conservaci´on de energ´ıa
∆Ug + ∆K = −Wfs
(mghf − mgho) +
1
2
mv2
f −
1
2
mv2
o = −wfs (1)
hf = 0, vo = 0 tenemos
−mgL1 sen θ +
1
2
mv2
1 = −wfs (2)
como: wfs = fsd, fs = µN
Fy = 0
N = mg cos θ ⇒ fs = µmg cos θ, d = L1
wfs = µmg cos θL1 (3)
de (3) y (2) tenemos
−mgL1 sen θ +
1
2
mv2
1 = −µmg cos θL1 (4)
ahora para el tramo BC el misma principio de conservaci´on de energ´ıa
∆Ug + ∆K = −Wfs
1
2
kx2
2 −
1
2
kx2
1 +
1
2
v2
2 −
1
2
mv2
1 = fsd
1
2
kx2
2 −
1
2
mv2
1 = −µmg(L2 + x) (5)
Fisica I

78. 8. Trabajo y Energ´ıa 70
de (4) y (5) tenemos
mgL1(sen θ − µ cos θ) =
1
2
kx2
+ µmg(x + L2)
Luego reemplazando los valores tenemos, como: m = 20Kg, θ = 60o
, L1 = 5m, L2 = 2m,
µ = 0.3
(20)(5)(cos 30o
+ 0.3 sen 60o
) =
1
2
100x2
+ (0.3)(20)(9.8)(x + 2)
resolviendo tenemos
1000x2
+ 12x − 24 = 0
finalmente x = 0.149m ≈ 0.15m
Fisica I

79. CAP´ITULO 9
Cantidad de movimiento
9.1. Momentum lineal o cantidad de movimiento
Es una magnitud vectorial que mide el grado de oposici´on (inercia) que presenta un cuerpo
para cambiar su movimiento.
P = mv (9.1)
9.2. Principio de conservaci´on de la cantidad de movimien-
to
Pantes = Pdespues (9.2)
Este se cumple solo si la resultante de las fuerzas externas es nulo.
9.3. Ejercicio de Cantidad de movimiento
Ejercicio No
9. 1 La figura adj. ilustra un p´endulo bal´ıstico se usa para determinar la velocidad
de una bala midiendo la altura h a la que el bloque se eleva despu´es de que la bala se ha incrustado
en el. Hallar la velocidad de la bala antes de impacto.
71

80. 9. Cantidad de movimiento 72
Soluci´on
Por conservaci´on de momentum
tenemos
m1v1 = (m1 + m2)v2
Adem´as por conservaci´on de energ´ıa
EMA
= EMB
EKA
+ EpA
= EKB
+ EpB
1
2
(m1 + m2)v2
2 = (m1 + m2)gh
v2 = 2gh
Reemplazando v2 en la ecuaci´on
m1v1 = (m1 + m2)v2
m1v1 = (m1 + m2) 2gh
v1 = 2gh
m1 + m2
m1
Ejercicio No
9. 2 Una bala de masa m y velocidad v pasa atraes de la esfera de un p´endulo
de masa M saliendo con una velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de la cuerda
de longitud l como se muestra en la figura. ¿Cual es el menor valor de v para el cual el p´endulo
completara una circunferencia entera?
Soluci´on
Por conservaci´on de momentum
sabemos:
mv = MV + m
v
2
Adem´as
1
2
m2
v =
1
2
MV 2
+
1
2
m
v
2
2
1
2
mv2
=
1
2
MV 2
+
1
8
mv2
3
8
mv2
=
1
2
MV 2
Fisica I

81. 9. Cantidad de movimiento 73
Ahora bien: Por conservaci´on de energ´ıa en la esfera
(Mg)2l =
1
2
MV 2
2Mgl =
1
2
MV 2
Reemplazando
3
8
mv2
= 2MV 2
v2
=
16Mgl
3m
v = 4
Mgl
3m
Ejercicio No
9. 3 Considere la superficie cil´ındrica de la figura desde la altura h se deja deslizar
un bloque 1 de masa m que choca el´asticamente con otro bloque 2 de masa 2m que se encuentra
en el punto mas bajo del cilindro y en reposo, si entre los bloques y la superficie cil´ındrica no hay
roce. Calcular las alturas m´aximas a los que llega los bloques 1 y 2 despu´es del choque.
Soluci´on
Por conservaci´on de energ´ıa, la velocidad v con que llega el bloque 1 al punto mas bajo del
cilindro (justo antes del choque con el bloque 2)es:
EMi
= EMf
hmg =
1
2
mv2
v = 2gh
En el momento que se produce el choque se conserva el momentum lineal del sistema y la
energ´ıa cin´etica del mismo. Antes del choque las velocidades (Horizontales) de los bloques son
v y 0, respectivamente. Llamemos v1 y v2 las velocidades de los bloques respectivamente justo
despu´es del choque. Por conservaci´on de momentum lineal,
P1 + P2 = P1 + P2
mv = mv1 + 2mv2
Por conservaci´on de energ´ıa
1
2
mv2
=
1
2
mv2
1 +
1
2
mv2
2
Fisica I

82. 9. Cantidad de movimiento 74
Ahora
v − v1 = 2v2
v2
− v2
1 = 2v2
2
dividiendo estas dos igualdades obtenemos
v + v1 = v2
Finalmente, resolviendo el par de ecuaciones lineales
v − v1 = 2v2
v + v1 = v2
encontramos las velocidades de cada uno de los bloques despu´es del choque:
v1 = −
1
3
v
v2 =
2
3
v
Para calcular las alturas a las que llegan los bloques, usamos conservaci´on de energ´ıa para cada
uno de ellos y obtenemos
Para el bloque 1
Ei = Ef
1
2
mv1 = H1mg
1
2
m(−
1
3
v)2
= H1mg
H1 =
1
9
h
Para el bloque 2
Ei = Ef
1
2
mv2 = H2mg
1
2
m(
2
3
v)2
= H2mg
H2 =
4
9
h
Fisica I

83. CAP´ITULO 10
Metodolog´ıa
10.1. Estrategias
El desarrollo del curso, se realiza utilizando la estrategia del aprendizaje significativo, brin-
dando apoyo a los alumnos en la soluci´on de los diferentes problemas que se les puede presentar.
10.2. M´etodos
El m´etodo que se emplea para el desarrollo de las pr´acticas pre-profesionales es el inductivo
y deductivo
10.3. Medios y Materiales
Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son:
Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana.
Visual: empleo de pizarra, plum´on y mota.
75

84. CAP´ITULO 11
Cronograma de Actividades
11.1. Temas
No
Temas
01 Vectores
02 Est´atica
03 Cinem´atica
04 Din´amica de una part´ıcula
05 Trabajo Potencia y energ´ıa
06 Cantidad de movimiento
11.2. Cronograma de Actividades
Fechas
Setiembre Octubre Noviembre Enero
Temas 16 23 30 7 14 21 28 4 11 18 25 6 13 20 27
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85. CAP´ITULO 12
Relaci´on de Estudiantes y Asistencias
12.1. Relaci´on de estudiantes
No CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES
1 073419 CCAMA MAMANI, SADDAM AGUST
2 073420 CCASO YUCASI, EMERSON IVAN
3 073417 CAMAZA MULLIRACA, EDWIN
4 073439 MAMANI CHUI, JOEL
5 073422 HUAMAN LOAYZA, ROMMEL
6 073412 HANCO MAMANI, ABEL FERNANDO
7 073442 MAMANI TURPO, IVAN JESUS
8 064237 CACERES NAVARRO, LUDTWIN
9 052075 PINTO ENRIQUEZ, JUMY MICHAEL
10 071403 SIHUACOLLO VARGAS, MARCOS RENE
11 071900 LEON MU˜NOZ, CESAR GUSTAVO
12 070800 COLLANTES SILLA, PABLO ANDRES
13 070792 APAZA CRUZ, JUAN ANDRES
14 071897 CORONEL COILA RONALD
15 070812 MAMANI MAMANI, JAVIER RUFINO
16 073410 APAZA SUCARI, RINALD
17 073422 COILA TICONA, JAVINO ELLIOTT
18 073447 TICONA PACOHUANACO, JUAN ROMAN
19 073413 BRAVO MAMANI, JESUS
20 073438 LUQUE PORCIA, ELMER EDUARDO
21 001561 SUCASACA BELIZARIO, MAURICIO
22 072171 PATRICIO TINTAYA, MILTON MANUEL
23 064666 PAYVA AQUINO, RIBERT CRISTHIAN
24 064667 PILCOMAMANI ARIAS, AMADOR
25 062318 QUENTA YANAPA, AGUSTO FREDDY
26 063891 QUISOCALA MOROCCO, SAMUEL
27 075428 QUISPE BUSTINCIO, JHOVANY
28 063892 QUISPE TECCE, ABEL
29 062321 RAMOS GALINDO, DANTE
30 990266 REYES CUBA, JOSE AMILCAR
31 071262 SANTANDER PACORICONA, FREDDY VLADIMIR
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86. 12. Relaci´on de Estudiantes y Asistencias 78
12.2. Lista de Asistencia
Datos Setiembre Octubre Novienbre Enero
No
CODIGO 16 23 30 7 14 21 28 4 11 18 25 6 13 20 27
1 073419 • • • • • • • • • • • • •
2 073420 • • • • • • • • • • • • •
3 073417 • • • • • • • • • • • • •
4 073439 • • • • • • • • • • • • •
5 073422 • • • • • • • • • • • •
6 073412 • • • • • • • • • • • •
7 073442 • • • • • • • • • • • • •
8 064237 • • • • • • • • • • • • •
9 052075 • • • • • • • • • • • • •
10 071403 • • • • • • • • • • • • •
11 071900 • • • • • • • • • • • • •
12 070800 • • • • •
13 070792 • • • • • • • • • • • •
14 071897 • • • • • • • • • • • • • • •
15 070812 • • • • • • • • • • • • • • •
16 073410 • • • •
17 073422 • • • • • • • • • • •
18 073447 • • • • • • • • • • • • • • •
19 073413 • • • • • • • • • • • • •
20 073438
21 001561 • • • • • • • • • • • • • •
22 072171
23 064666 • • • • • • • • • • • •
24 064667 • • • • • • • • • • • • • • •
25 062318 • • • • • • • • • • • •
26 063891 • • • • • • • • • • • • • • •
27 075428 • • • • • • • • • • • • •
28 063892 • • • • • • • • • • • • • •
29 062321 • • • • • • • • • • • • •
30 990266 • • • • • • • • • • • • •
31 071262 • • • • • • • • • • • • •
Fisica I

87. Bibliograf´ıa
[1] Luis Rodriguez Valencia, Mecanica I, Departamento de F´ısica,Universidad de Santiago
de Chile, 2000
[2] Marcelo Alonso y Edward J. Finn, Fisica Volumen I Macanica , 1967
[3] R. A. Serway,Fisica Tomo I, McGraw-Hill,1982
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