2. Inhoud
1) Enkele opgaven week 2
2) Hoofdstuk 4: Cirkels
i. 4.1: De vergelijking van een cirkel (opgave 4.1 t/m 4.5)
ii. 4.2: Een raaklijn in een gegeven richting (opgave 4.6)
iii. 4.3: Een raaklijn in een gegeven punt (opgave 4.8 en 4.10)
3. Opgaven week 2
Opgave 2.15 Toelichting bij c. en d.
Gegeven een lijn 𝑙: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐1 en een afstand 𝐴. Bepaal de vergelijking van
de lijn 𝑚 evenwijdig aan 𝑙 met afstand 𝐴 tot 𝑙.
Stel vergelijking van lijn 𝑚 is 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐2 en 𝑃(𝑥0, 𝑦0) is een punt op lijn 𝑙. Er
geldt
𝑑 𝑚, 𝑙 = 𝑑 𝑃, 𝑚 =
𝑎𝑥0+𝑏𝑦0−𝑐2
𝑎2+𝑏2
=
𝑐1−𝑐2
𝑎2+𝑏2
Stel dit gelijk aan 𝐴 en dan kan 𝑐2 berekend worden (er zijn twee oplossingen).
4. Opgaven week 2
Opgave 3.10.a.
De lijn door 𝑃 heeft vergelijking 𝑦 − 𝑏 = −(𝑥 − 𝑎), dus 𝑄(𝑎 + 𝑏, 0).
De lijn door Q heeft vergelijking 𝑦 − 𝑏 = 𝑥 − 𝑎, dus 𝑅(0, 𝑏 − 𝑎).
Dus 𝑀
1
2
𝑎 + 𝑏 ,
1
2
𝑏 − 𝑎 .
Opgave 3.10.b.
Er geldt 𝑃(𝑡, 6 − 2𝑡), dus 𝑀 −
1
2
𝑡 + 3, −
3
2
𝑡 + 3 .
Denk aan parametervoorstellingen (Calculus 6).
Eliminatie van parameter 𝑡 levert 𝑦 = 3𝑥 − 6.
5. Opgaven week 2
Opgave 3.11.
Stel 𝐶(𝑐, 0) met 𝑐 > 0. Dan is rico 𝐴𝐵 = −
12
𝑐
.
Dus rico 𝐵𝐶 =
𝑐
12
.
Dus lijn 𝐵𝐶 heeft vergelijking 𝑦 =
𝑐
12
(𝑥 − 𝑐).
Snijpunt met 𝑦-as: 𝐵 0, −
𝑐2
12
.
Zwaartepunt (gemiddelden van hoekpunten):
1
3
𝑐, 4 −
𝑐2
36
.
Eliminatie van parameter 𝑐 levert vergelijking 𝑦 = 4 −
𝑥2
4
voor 𝑥 > 0.
6. De vergelijking van een cirkel
Uitgangspunt
Vergelijking van een cirkel met middelpunt 𝑀(𝑎, 𝑏) en straal 𝑟:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
Mogelijke vragen
1. Gegeven twee punten op de cirkel en de straal. Bepaal de vgl.
2. Gegeven drie punten op de cirkel. Bepaal de vgl.
3. De cirkel raakt aan een gegeven lijn in een gegeven punt. Verder ligt
middelpunt op een gegeven lijn. Bepaal de vgl.
4. Bepaal de vergelijking van een ingeschreven cirkel van een gegeven
driehoek.
5. …
7. Een raaklijn in een gegeven richting
Uitgangspunt
Cirkel met vergelijking 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 en een getal 𝑎.
Doel
Bepaal de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt gelijk aan 𝑎.
Strategie
1. Stel vergelijking van raaklijn op, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, met 𝑏 nog onbekend.
2. Invullen in vergelijking van cirkel: 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 2 = 𝑟2.
3. Stel de discriminant van deze vergelijking gelijk aan nul.
8. Een raaklijn in een gegeven punt
Uitgangspunt
Cirkel met vergelijking 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 en een punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0) op de cirkel.
Doel
Bepaal de raaklijn aan de cirkel door het punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0).
Strategie
1. Stel vergelijking van de lijn 𝑙 door (0,0) en 𝑃.
2. Bepaal de vergelijking van de lijn door 𝑃 loodrecht op 𝑙.
Oplossing (eerlijk delen)
𝑥0 𝑥 + 𝑦0 𝑦 = 𝑟2
9. Een raaklijn in een gegeven punt
Uitgangspunt
Cirkel met vergelijking 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2 en een punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0).
Doel
Bepaal de raaklijn aan de cirkel door het punt 𝑃(𝑥0, 𝑦0).
Oplossing (eerlijk delen)
(𝑥0−𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦0−𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2
